Theorem oduglb 18481

Description: Greatest lower bounds in a dual order are least upper bounds in the original order. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
oduglb.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
oduglb.l	⊢ 𝑈 = (lub‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
oduglb	⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝑈 = (glb‘𝐷))

Proof of Theorem oduglb

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oduglb.l	. 2 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝑂)
2		vex 3492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑏 ∈ V
3		vex 3492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑐 ∈ V
4	2, 3	brcnv 5907	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ↔ 𝑐(le‘𝑂)𝑏)
5	4	ralbii 3099	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏)
6		vex 3492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑑 ∈ V
7	6, 3	brcnv 5907	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 ↔ 𝑐(le‘𝑂)𝑑)
8	7	ralbii 3099	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑)
9	6, 2	brcnv 5907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑◡(le‘𝑂)𝑏 ↔ 𝑏(le‘𝑂)𝑑)
10	8, 9	imbi12i 350	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏) ↔ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑))
11	10	ralbii 3099	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏) ↔ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑))
12	5, 11	anbi12i 627	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏)) ↔ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑)))
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (Base‘𝑂) → ((∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏)) ↔ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑))))
14	13	riotabiia 7427	. . . . . 6 ⊢ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏))) = (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑)))
15	14	mpteq2i 5271	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏)))) = (𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑))))
16	12	reubii 3397	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏)) ↔ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑)))
17	16	abbii 2812	. . . . 5 ⊢ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏))} = {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑))}
18	15, 17	reseq12i 6009	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏))}) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑))})
19	18	eqcomi 2749	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑))}) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏))})
20		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
21		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
22		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (lub‘𝑂) = (lub‘𝑂)
23		biid 261	. . . 4 ⊢ ((∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑)) ↔ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑)))
24		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝑂 ∈ 𝑉)
25	20, 21, 22, 23, 24	lubfval 18422	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (lub‘𝑂) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑))}))
26		oduglb.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
27	26	fvexi 6936	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
28	26, 20	odubas 18363	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷)
29	26, 21	oduleval 18361	. . . . 5 ⊢ ◡(le‘𝑂) = (le‘𝐷)
30		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (glb‘𝐷) = (glb‘𝐷)
31		biid 261	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏)) ↔ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏)))
32		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ V → 𝐷 ∈ V)
33	28, 29, 30, 31, 32	glbfval 18435	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ V → (glb‘𝐷) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏))}))
34	27, 33	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (glb‘𝐷) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏))}))
35	19, 25, 34	3eqtr4a 2806	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (lub‘𝑂) = (glb‘𝐷))
36	1, 35	eqtrid 2792	1 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝑈 = (glb‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {cab 2717  ∀wral 3067  ∃!wreu 3386  Vcvv 3488  𝒫 cpw 4622   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ^◡ccnv 5699   ↾ cres 5702  ‘cfv 6575  ℩crio 7405  Basecbs 17260  lecple 17320  ODualcodu 18358  lubclub 18381  glbcglb 18382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-4 12360  df-5 12361  df-6 12362  df-7 12363  df-8 12364  df-9 12365  df-dec 12761  df-sets 17213  df-slot 17231  df-ndx 17243  df-base 17261  df-ple 17333  df-odu 18359  df-lub 18418  df-glb 18419

This theorem is referenced by:  odumeet  18482  oduclatb  18579