MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oduglb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oduglb 17727
Description: Greatest lower bounds in a dual order are least upper bounds in the original order. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oduglb.d 𝐷 = (ODual‘𝑂)
oduglb.l 𝑈 = (lub‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
oduglb (𝑂𝑉𝑈 = (glb‘𝐷))

Proof of Theorem oduglb
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oduglb.l . 2 𝑈 = (lub‘𝑂)
2 vex 3474 . . . . . . . . . . 11 𝑏 ∈ V
3 vex 3474 . . . . . . . . . . 11 𝑐 ∈ V
42, 3brcnv 5726 . . . . . . . . . 10 (𝑏(le‘𝑂)𝑐𝑐(le‘𝑂)𝑏)
54ralbii 3153 . . . . . . . . 9 (∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ↔ ∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏)
6 vex 3474 . . . . . . . . . . . . 13 𝑑 ∈ V
76, 3brcnv 5726 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑐(le‘𝑂)𝑑)
87ralbii 3153 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 ↔ ∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑)
96, 2brcnv 5726 . . . . . . . . . . 11 (𝑑(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑑)
108, 9imbi12i 354 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏) ↔ (∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑))
1110ralbii 3153 . . . . . . . . 9 (∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏) ↔ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑))
125, 11anbi12i 629 . . . . . . . 8 ((∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏)) ↔ (∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑)))
1312a1i 11 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ (Base‘𝑂) → ((∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏)) ↔ (∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑))))
1413riotabiia 7108 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏))) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑)))
1514mpteq2i 5131 . . . . 5 (𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏)))) = (𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑))))
1612reubii 3376 . . . . . 6 (∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏)) ↔ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑)))
1716abbii 2886 . . . . 5 {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏))} = {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑))}
1815, 17reseq12i 5824 . . . 4 ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏))}) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑))})
1918eqcomi 2830 . . 3 ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑))}) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏))})
20 eqid 2821 . . . 4 (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
21 eqid 2821 . . . 4 (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
22 eqid 2821 . . . 4 (lub‘𝑂) = (lub‘𝑂)
23 biid 264 . . . 4 ((∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑)) ↔ (∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑)))
24 id 22 . . . 4 (𝑂𝑉𝑂𝑉)
2520, 21, 22, 23, 24lubfval 17566 . . 3 (𝑂𝑉 → (lub‘𝑂) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑))}))
26 oduglb.d . . . . 5 𝐷 = (ODual‘𝑂)
2726fvexi 6657 . . . 4 𝐷 ∈ V
2826, 20odubas 17721 . . . . 5 (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷)
2926, 21oduleval 17719 . . . . 5 (le‘𝑂) = (le‘𝐷)
30 eqid 2821 . . . . 5 (glb‘𝐷) = (glb‘𝐷)
31 biid 264 . . . . 5 ((∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏)) ↔ (∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏)))
32 id 22 . . . . 5 (𝐷 ∈ V → 𝐷 ∈ V)
3328, 29, 30, 31, 32glbfval 17579 . . . 4 (𝐷 ∈ V → (glb‘𝐷) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏))}))
3427, 33mp1i 13 . . 3 (𝑂𝑉 → (glb‘𝐷) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏))}))
3519, 25, 343eqtr4a 2882 . 2 (𝑂𝑉 → (lub‘𝑂) = (glb‘𝐷))
361, 35syl5eq 2868 1 (𝑂𝑉𝑈 = (glb‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  {cab 2799  wral 3126  ∃!wreu 3128  Vcvv 3471  𝒫 cpw 4512   class class class wbr 5039  cmpt 5119  ccnv 5527  cres 5530  cfv 6328  crio 7087  Basecbs 16461  lecple 16550  lubclub 17530  glbcglb 17531  ODualcodu 17716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-dec 12077  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-sets 16468  df-ple 16563  df-lub 17562  df-glb 17563  df-odu 17717
This theorem is referenced by:  odumeet  17728  oduclatb  17732
  Copyright terms: Public domain W3C validator