Theorem oduglb 18375

Description: Greatest lower bounds in a dual order are least upper bounds in the original order. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
oduglb.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
oduglb.l	⊢ 𝑈 = (lub‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
oduglb	⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝑈 = (glb‘𝐷))

Proof of Theorem oduglb

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oduglb.l	. 2 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝑂)
2		vex 3454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑏 ∈ V
3		vex 3454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑐 ∈ V
4	2, 3	brcnv 5849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ↔ 𝑐(le‘𝑂)𝑏)
5	4	ralbii 3076	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏)
6		vex 3454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑑 ∈ V
7	6, 3	brcnv 5849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 ↔ 𝑐(le‘𝑂)𝑑)
8	7	ralbii 3076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑)
9	6, 2	brcnv 5849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑◡(le‘𝑂)𝑏 ↔ 𝑏(le‘𝑂)𝑑)
10	8, 9	imbi12i 350	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏) ↔ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑))
11	10	ralbii 3076	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏) ↔ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑))
12	5, 11	anbi12i 628	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏)) ↔ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑)))
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (Base‘𝑂) → ((∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏)) ↔ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑))))
14	13	riotabiia 7367	. . . . . 6 ⊢ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏))) = (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑)))
15	14	mpteq2i 5206	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏)))) = (𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑))))
16	12	reubii 3365	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏)) ↔ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑)))
17	16	abbii 2797	. . . . 5 ⊢ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏))} = {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑))}
18	15, 17	reseq12i 5951	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏))}) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑))})
19	18	eqcomi 2739	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑))}) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏))})
20		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
21		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
22		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (lub‘𝑂) = (lub‘𝑂)
23		biid 261	. . . 4 ⊢ ((∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑)) ↔ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑)))
24		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝑂 ∈ 𝑉)
25	20, 21, 22, 23, 24	lubfval 18316	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (lub‘𝑂) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑))}))
26		oduglb.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
27	26	fvexi 6875	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
28	26, 20	odubas 18259	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷)
29	26, 21	oduleval 18257	. . . . 5 ⊢ ◡(le‘𝑂) = (le‘𝐷)
30		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (glb‘𝐷) = (glb‘𝐷)
31		biid 261	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏)) ↔ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏)))
32		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ V → 𝐷 ∈ V)
33	28, 29, 30, 31, 32	glbfval 18329	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ V → (glb‘𝐷) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏))}))
34	27, 33	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (glb‘𝐷) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏))}))
35	19, 25, 34	3eqtr4a 2791	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (lub‘𝑂) = (glb‘𝐷))
36	1, 35	eqtrid 2777	1 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝑈 = (glb‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2708  ∀wral 3045  ∃!wreu 3354  Vcvv 3450  𝒫 cpw 4566   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  ^◡ccnv 5640   ↾ cres 5643  ‘cfv 6514  ℩crio 7346  Basecbs 17186  lecple 17234  ODualcodu 18254  lubclub 18277  glbcglb 18278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-dec 12657  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ple 17247  df-odu 18255  df-lub 18312  df-glb 18313

This theorem is referenced by:  odumeet  18376  oduclatb  18473