Theorem oduglb 18501

Description: Greatest lower bounds in a dual order are least upper bounds in the original order. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
oduglb.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
oduglb.l	⊢ 𝑈 = (lub‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
oduglb	⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝑈 = (glb‘𝐷))

Proof of Theorem oduglb

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oduglb.l	. 2 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝑂)
2		vex 3457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑏 ∈ V
3		vex 3457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑐 ∈ V
4	2, 3	brcnv 5866	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ↔ 𝑐(le‘𝑂)𝑏)
5	4	ralbii 3110	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏)
6		vex 3457	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑑 ∈ V
7	6, 3	brcnv 5866	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 ↔ 𝑐(le‘𝑂)𝑑)
8	7	ralbii 3110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑)
9	6, 2	brcnv 5866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑◡(le‘𝑂)𝑏 ↔ 𝑏(le‘𝑂)𝑑)
10	8, 9	imbi12i 353	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏) ↔ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑))
11	10	ralbii 3110	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏) ↔ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑))
12	5, 11	anbi12i 640	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏)) ↔ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑)))
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (Base‘𝑂) → ((∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏)) ↔ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑))))
14	13	riotabiia 7394	. . . . . 6 ⊢ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏))) = (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑)))
15	14	mpteq2i 5205	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏)))) = (𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑))))
16	12	reubii 3376	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏)) ↔ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑)))
17	16	abbii 2829	. . . . 5 ⊢ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏))} = {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑))}
18	15, 17	reseq12i 5974	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏))}) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑))})
19	18	eqcomi 2771	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑))}) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏))})
20		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
21		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
22		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (lub‘𝑂) = (lub‘𝑂)
23		biid 264	. . . 4 ⊢ ((∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑)) ↔ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑)))
24		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝑂 ∈ 𝑉)
25	20, 21, 22, 23, 24	lubfval 18442	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (lub‘𝑂) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑))}))
26		oduglb.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
27	26	fvexi 6896	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
28	26, 20	odubas 18385	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷)
29	26, 21	oduleval 18383	. . . . 5 ⊢ ◡(le‘𝑂) = (le‘𝐷)
30		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (glb‘𝐷) = (glb‘𝐷)
31		biid 264	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏)) ↔ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏)))
32		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ V → 𝐷 ∈ V)
33	28, 29, 30, 31, 32	glbfval 18455	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ V → (glb‘𝐷) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏))}))
34	27, 33	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (glb‘𝐷) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏))}))
35	19, 25, 34	3eqtr4a 2823	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (lub‘𝑂) = (glb‘𝐷))
36	1, 35	eqtrid 2809	1 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝑈 = (glb‘𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2740  ∀wral 3078  ∃!wreu 3365  Vcvv 3453  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  ^◡ccnv 5658   ↾ cres 5661  ‘cfv 6537  ℩crio 7373  Basecbs 17307  lecple 17355  ODualcodu 18380  lubclub 18403  glbcglb 18404

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ple 17368  df-odu 18381  df-lub 18438  df-glb 18439

This theorem is used by:  odumeet  18502  oduclatb  18601