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Theorem oduglb 18344
Description: Greatest lower bounds in a dual order are least upper bounds in the original order. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oduglb.d 𝐷 = (ODual‘𝑂)
oduglb.l 𝑈 = (lub‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
oduglb (𝑂𝑉𝑈 = (glb‘𝐷))

Proof of Theorem oduglb
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oduglb.l . 2 𝑈 = (lub‘𝑂)
2 vex 3477 . . . . . . . . . . 11 𝑏 ∈ V
3 vex 3477 . . . . . . . . . . 11 𝑐 ∈ V
42, 3brcnv 5874 . . . . . . . . . 10 (𝑏(le‘𝑂)𝑐𝑐(le‘𝑂)𝑏)
54ralbii 3092 . . . . . . . . 9 (∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ↔ ∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏)
6 vex 3477 . . . . . . . . . . . . 13 𝑑 ∈ V
76, 3brcnv 5874 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑐(le‘𝑂)𝑑)
87ralbii 3092 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐 ↔ ∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑)
96, 2brcnv 5874 . . . . . . . . . . 11 (𝑑(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑑)
108, 9imbi12i 350 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏) ↔ (∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑))
1110ralbii 3092 . . . . . . . . 9 (∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏) ↔ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑))
125, 11anbi12i 627 . . . . . . . 8 ((∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏)) ↔ (∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑)))
1312a1i 11 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ (Base‘𝑂) → ((∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏)) ↔ (∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑))))
1413riotabiia 7370 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏))) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑)))
1514mpteq2i 5246 . . . . 5 (𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏)))) = (𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑))))
1612reubii 3384 . . . . . 6 (∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏)) ↔ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑)))
1716abbii 2801 . . . . 5 {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏))} = {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑))}
1815, 17reseq12i 5971 . . . 4 ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏))}) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑))})
1918eqcomi 2740 . . 3 ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑))}) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏))})
20 eqid 2731 . . . 4 (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
21 eqid 2731 . . . 4 (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
22 eqid 2731 . . . 4 (lub‘𝑂) = (lub‘𝑂)
23 biid 260 . . . 4 ((∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑)) ↔ (∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑)))
24 id 22 . . . 4 (𝑂𝑉𝑂𝑉)
2520, 21, 22, 23, 24lubfval 18285 . . 3 (𝑂𝑉 → (lub‘𝑂) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑))}))
26 oduglb.d . . . . 5 𝐷 = (ODual‘𝑂)
2726fvexi 6892 . . . 4 𝐷 ∈ V
2826, 20odubas 18226 . . . . 5 (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷)
2926, 21oduleval 18224 . . . . 5 (le‘𝑂) = (le‘𝐷)
30 eqid 2731 . . . . 5 (glb‘𝐷) = (glb‘𝐷)
31 biid 260 . . . . 5 ((∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏)) ↔ (∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏)))
32 id 22 . . . . 5 (𝐷 ∈ V → 𝐷 ∈ V)
3328, 29, 30, 31, 32glbfval 18298 . . . 4 (𝐷 ∈ V → (glb‘𝐷) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏))}))
3427, 33mp1i 13 . . 3 (𝑂𝑉 → (glb‘𝐷) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏))}))
3519, 25, 343eqtr4a 2797 . 2 (𝑂𝑉 → (lub‘𝑂) = (glb‘𝐷))
361, 35eqtrid 2783 1 (𝑂𝑉𝑈 = (glb‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  {cab 2708  wral 3060  ∃!wreu 3373  Vcvv 3473  𝒫 cpw 4596   class class class wbr 5141  cmpt 5224  ccnv 5668  cres 5671  cfv 6532  crio 7348  Basecbs 17126  lecple 17186  ODualcodu 18221  lubclub 18244  glbcglb 18245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-dec 12660  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ple 17199  df-odu 18222  df-lub 18281  df-glb 18282
This theorem is referenced by:  odumeet  18345  oduclatb  18442
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