Theorem oduglb 18613

Description: Greatest lower bounds in a dual order are least upper bounds in the original order. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
oduglb.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
oduglb.l	⊢ 𝑈 = (lub‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
oduglb	⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝑈 = (glb‘𝐷))

Proof of Theorem oduglb

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oduglb.l	. 2 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝑂)
2		vex 3458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑏 ∈ V
3		vex 3458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑐 ∈ V
4	2, 3	brcnv 5868	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ↔ 𝑐(le‘𝑂)𝑏)
5	4	ralbii 3112	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏)
6		vex 3458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑑 ∈ V
7	6, 3	brcnv 5868	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 ↔ 𝑐(le‘𝑂)𝑑)
8	7	ralbii 3112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑)
9	6, 2	brcnv 5868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑◡(le‘𝑂)𝑏 ↔ 𝑏(le‘𝑂)𝑑)
10	8, 9	imbi12i 353	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏) ↔ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑))
11	10	ralbii 3112	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏) ↔ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑))
12	5, 11	anbi12i 640	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏)) ↔ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑)))
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (Base‘𝑂) → ((∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏)) ↔ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑))))
14	13	riotabiia 7423	. . . . . 6 ⊢ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏))) = (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑)))
15	14	mpteq2i 5205	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏)))) = (𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑))))
16	12	reubii 3378	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏)) ↔ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑)))
17	16	abbii 2830	. . . . 5 ⊢ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏))} = {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑))}
18	15, 17	reseq12i 5980	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏))}) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑))})
19	18	eqcomi 2772	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑))}) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏))})
20		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
21		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
22		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (lub‘𝑂) = (lub‘𝑂)
23		biid 264	. . . 4 ⊢ ((∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑)) ↔ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑)))
24		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝑂 ∈ 𝑉)
25	20, 21, 22, 23, 24	lubfval 18554	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (lub‘𝑂) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 → 𝑏(le‘𝑂)𝑑))}))
26		oduglb.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
27	26	fvexi 6925	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
28	26, 20	odubas 18497	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷)
29	26, 21	oduleval 18495	. . . . 5 ⊢ ◡(le‘𝑂) = (le‘𝐷)
30		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (glb‘𝐷) = (glb‘𝐷)
31		biid 264	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏)) ↔ (∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏)))
32		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ V → 𝐷 ∈ V)
33	28, 29, 30, 31, 32	glbfval 18567	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ V → (glb‘𝐷) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏))}))
34	27, 33	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (glb‘𝐷) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (℩𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑏◡(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐 ∈ 𝑎 𝑑◡(le‘𝑂)𝑐 → 𝑑◡(le‘𝑂)𝑏))}))
35	19, 25, 34	3eqtr4a 2824	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (lub‘𝑂) = (glb‘𝐷))
36	1, 35	eqtrid 2810	1 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝑈 = (glb‘𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {cab 2741  ∀wral 3080  ∃!wreu 3367  Vcvv 3454  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5190  ^◡ccnv 5655   ↾ cres 5658  ‘cfv 6561  ℩crio 7402  Basecbs 17419  lecple 17467  ODualcodu 18492  lubclub 18515  glbcglb 18516

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ple 17480  df-odu 18493  df-lub 18550  df-glb 18551

This theorem is used by:  odumeet  18614  oduclatb  18713