Theorem meet0 18461

Description: Lemma for odujoin 18463. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.) TODO (df-riota 7369 update): This proof increased from 152 bytes to 547 bytes after the df-riota 7369 change. Any way to shorten it? join0 18460 also.

Assertion

Ref	Expression
meet0	⊢ (meet‘∅) = ∅

Proof of Theorem meet0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5271	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (glb‘∅) = (glb‘∅)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (meet‘∅) = (meet‘∅)
4	2, 3	meetfval 18442	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (meet‘∅) = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧})
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (meet‘∅) = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧}
6		df-oprab 7416	. . 3 ⊢ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧} = {𝑤 ∣ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧)}
7		br0 5161	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ {𝑥, 𝑦}∅𝑧
8		base0 17275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
9		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (le‘∅) = (le‘∅)
10		biid 264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦)) ↔ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦)))
11		id 23	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∅ ∈ V → ∅ ∈ V)
12	8, 9, 2, 10, 11	glbfval 18418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∈ V → (glb‘∅) = ((𝑥 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑥 ∣ ∃!𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦))}))
13	1, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (glb‘∅) = ((𝑥 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑥 ∣ ∃!𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦))})
14		reu0 4317	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ ∃!𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦))
15	14	abf 4372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑥 ∣ ∃!𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦))} = ∅
16	15	reseq2i 5977	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑥 ∣ ∃!𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦))}) = ((𝑥 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦)))) ↾ ∅)
17		res0 5984	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦)))) ↾ ∅) = ∅
18	16, 17	eqtri 2786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑥 ∣ ∃!𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦))}) = ∅
19	13, 18	eqtri 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (glb‘∅) = ∅
20	19	breqi 5116	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧 ↔ {𝑥, 𝑦}∅𝑧)
21	7, 20	mtbir 326	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ {𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧
22	21	intnan 491	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧)
23	22	nex 1830	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧)
24	23	nex 1830	. . . . 5 ⊢ ¬ ∃𝑦∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧)
25	24	nex 1830	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧)
26	25	abf 4372	. . 3 ⊢ {𝑤 ∣ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧)} = ∅
27	6, 26	eqtri 2786	. 2 ⊢ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧} = ∅
28	5, 27	eqtri 2786	1 ⊢ (meet‘∅) = ∅

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143  {cab 2741  ∀wral 3079  ∃!wreu 3367  Vcvv 3455  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4563  {cpr 4592  ⟨cop 4596   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   ↾ cres 5665  ‘cfv 6538  ℩crio 7368  {coprab 7413  lecple 17318  glbcglb 18367  meetcmee 18369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-1cn 11159  ax-addcl 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-nn 12235  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-glb 18402  df-meet 18404

This theorem is referenced by:  odumeet  18465