Theorem meet0 18318

Description: Lemma for odujoin 18320. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.) TODO (df-riota 7312 update): This proof increased from 152 bytes to 547 bytes after the df-riota 7312 change. Any way to shorten it? join0 18317 also.

Assertion

Ref	Expression
meet0	⊢ (meet‘∅) = ∅

Proof of Theorem meet0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5249	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (glb‘∅) = (glb‘∅)
3		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (meet‘∅) = (meet‘∅)
4	2, 3	meetfval 18299	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (meet‘∅) = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧})
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (meet‘∅) = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧}
6		df-oprab 7359	. . 3 ⊢ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧} = {𝑤 ∣ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧)}
7		br0 5144	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ {𝑥, 𝑦}∅𝑧
8		base0 17132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
9		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (le‘∅) = (le‘∅)
10		biid 261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦)) ↔ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦)))
11		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∅ ∈ V → ∅ ∈ V)
12	8, 9, 2, 10, 11	glbfval 18275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∈ V → (glb‘∅) = ((𝑥 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑥 ∣ ∃!𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦))}))
13	1, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (glb‘∅) = ((𝑥 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑥 ∣ ∃!𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦))})
14		reu0 4310	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ ∃!𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦))
15	14	abf 4355	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑥 ∣ ∃!𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦))} = ∅
16	15	reseq2i 5932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑥 ∣ ∃!𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦))}) = ((𝑥 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦)))) ↾ ∅)
17		res0 5939	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦)))) ↾ ∅) = ∅
18	16, 17	eqtri 2756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑥 ∣ ∃!𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦))}) = ∅
19	13, 18	eqtri 2756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (glb‘∅) = ∅
20	19	breqi 5101	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧 ↔ {𝑥, 𝑦}∅𝑧)
21	7, 20	mtbir 323	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ {𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧
22	21	intnan 486	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧)
23	22	nex 1801	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧)
24	23	nex 1801	. . . . 5 ⊢ ¬ ∃𝑦∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧)
25	24	nex 1801	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧)
26	25	abf 4355	. . 3 ⊢ {𝑤 ∣ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧)} = ∅
27	6, 26	eqtri 2756	. 2 ⊢ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧} = ∅
28	5, 27	eqtri 2756	1 ⊢ (meet‘∅) = ∅

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  {cab 2711  ∀wral 3048  ∃!wreu 3345  Vcvv 3437  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4551  {cpr 4579  ⟨cop 4583   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176   ↾ cres 5623  ‘cfv 6489  ℩crio 7311  {coprab 7356  lecple 17175  glbcglb 18224  meetcmee 18226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-1cn 11075  ax-addcl 11077

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-nn 12137  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-glb 18259  df-meet 18261

This theorem is referenced by:  odumeet  18322