Theorem meet0 18584

Description: Lemma for odujoin 18586. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.) TODO (df-riota 7378 update): This proof increased from 152 bytes to 547 bytes after the df-riota 7378 change. Any way to shorten it? join0 18583 also.

Assertion

Ref	Expression
meet0	⊢ (meet‘∅) = ∅

Proof of Theorem meet0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5260	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (glb‘∅) = (glb‘∅)
3		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (meet‘∅) = (meet‘∅)
4	2, 3	meetfval 18565	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (meet‘∅) = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧})
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (meet‘∅) = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧}
6		df-oprab 7425	. . 3 ⊢ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧} = {𝑤 ∣ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧)}
7		br0 5153	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ {𝑥, 𝑦}∅𝑧
8		base0 17398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
9		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (le‘∅) = (le‘∅)
10		biid 264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦)) ↔ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦)))
11		id 23	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∅ ∈ V → ∅ ∈ V)
12	8, 9, 2, 10, 11	glbfval 18541	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∈ V → (glb‘∅) = ((𝑥 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑥 ∣ ∃!𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦))}))
13	1, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (glb‘∅) = ((𝑥 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑥 ∣ ∃!𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦))})
14		reu0 4308	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ ∃!𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦))
15	14	abf 4363	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑥 ∣ ∃!𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦))} = ∅
16	15	reseq2i 5966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑥 ∣ ∃!𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦))}) = ((𝑥 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦)))) ↾ ∅)
17		res0 5973	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦)))) ↾ ∅) = ∅
18	16, 17	eqtri 2783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑥 ∣ ∃!𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦))}) = ∅
19	13, 18	eqtri 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (glb‘∅) = ∅
20	19	breqi 5108	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧 ↔ {𝑥, 𝑦}∅𝑧)
21	7, 20	mtbir 326	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ {𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧
22	21	intnan 492	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧)
23	22	nex 1832	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧)
24	23	nex 1832	. . . . 5 ⊢ ¬ ∃𝑦∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧)
25	24	nex 1832	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧)
26	25	abf 4363	. . 3 ⊢ {𝑤 ∣ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧)} = ∅
27	6, 26	eqtri 2783	. 2 ⊢ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧} = ∅
28	5, 27	eqtri 2783	1 ⊢ (meet‘∅) = ∅

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144  {cab 2738  ∀wral 3076  ∃!wreu 3363  Vcvv 3450  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556  {cpr 4586  ⟨cop 4834   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   ↾ cres 5652  ‘cfv 6539  ℩crio 7377  {coprab 7422  lecple 17441  glbcglb 18490  meetcmee 18492

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-1cn 11262  ax-addcl 11264

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-nn 12340  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-glb 18525  df-meet 18527

This theorem is used by:  odumeet  18588