Theorem meet0 18456

Description: Lemma for odujoin 18458. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.) TODO (df-riota 7365 update): This proof increased from 152 bytes to 547 bytes after the df-riota 7365 change. Any way to shorten it? join0 18455 also.

Assertion

Ref	Expression
meet0	⊢ (meet‘∅) = ∅

Proof of Theorem meet0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5269	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (glb‘∅) = (glb‘∅)
3		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (meet‘∅) = (meet‘∅)
4	2, 3	meetfval 18437	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (meet‘∅) = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧})
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (meet‘∅) = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧}
6		df-oprab 7412	. . 3 ⊢ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧} = {𝑤 ∣ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧)}
7		br0 5161	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ {𝑥, 𝑦}∅𝑧
8		base0 17270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
9		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (le‘∅) = (le‘∅)
10		biid 264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦)) ↔ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦)))
11		id 23	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∅ ∈ V → ∅ ∈ V)
12	8, 9, 2, 10, 11	glbfval 18413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∈ V → (glb‘∅) = ((𝑥 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑥 ∣ ∃!𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦))}))
13	1, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (glb‘∅) = ((𝑥 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑥 ∣ ∃!𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦))})
14		reu0 4323	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ ∃!𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦))
15	14	abf 4369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑥 ∣ ∃!𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦))} = ∅
16	15	reseq2i 5973	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑥 ∣ ∃!𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦))}) = ((𝑥 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦)))) ↾ ∅)
17		res0 5980	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦)))) ↾ ∅) = ∅
18	16, 17	eqtri 2792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑥 ∣ ∃!𝑦 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ∅ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑤(le‘∅)𝑧 → 𝑤(le‘∅)𝑦))}) = ∅
19	13, 18	eqtri 2792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (glb‘∅) = ∅
20	19	breqi 5116	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧 ↔ {𝑥, 𝑦}∅𝑧)
21	7, 20	mtbir 326	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ {𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧
22	21	intnan 491	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧)
23	22	nex 1827	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧)
24	23	nex 1827	. . . . 5 ⊢ ¬ ∃𝑦∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧)
25	24	nex 1827	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧)
26	25	abf 4369	. . 3 ⊢ {𝑤 ∣ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧)} = ∅
27	6, 26	eqtri 2792	. 2 ⊢ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (glb‘∅)𝑧} = ∅
28	5, 27	eqtri 2792	1 ⊢ (meet‘∅) = ∅

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149  {cab 2747  ∀wral 3085  ∃!wreu 3374  Vcvv 3463  ∅c0 4294  𝒫 cpw 4564  {cpr 4593  ⟨cop 4597   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   ↾ cres 5661  ‘cfv 6533  ℩crio 7364  {coprab 7409  lecple 17313  glbcglb 18362  meetcmee 18364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-1cn 11154  ax-addcl 11156

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-nn 12230  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-glb 18397  df-meet 18399

This theorem is referenced by:  odumeet  18460