Theorem indistgp 24419

Description: Any group equipped with the indiscrete topology is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
distgp.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
distgp.2	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
indistgp	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → 𝐺 ∈ TopGrp)

Proof of Theorem indistgp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → 𝐺 ∈ Grp)
2		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → 𝐽 = {∅, 𝐵})
3		distgp.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4	3	fvexi 6899	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
5		indistopon 23319	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → {∅, 𝐵} ∈ (TopOn‘𝐵))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {∅, 𝐵} ∈ (TopOn‘𝐵)
7	2, 6	eqeltrdi 2868	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
8		distgp.2	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
9	3, 8	istps 23252	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
10	7, 9	sylibr 237	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → 𝐺 ∈ TopSp)
11		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
12	3, 11	grpsubf 19229	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (-g‘𝐺):(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
13	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → (-g‘𝐺):(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
14	4, 4	xpex 7767	. . . . 5 ⊢ (𝐵 × 𝐵) ∈ V
15	4, 14	elmap 8899	. . . 4 ⊢ ((-g‘𝐺) ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 × 𝐵)) ↔ (-g‘𝐺):(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
16	13, 15	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → (-g‘𝐺) ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 × 𝐵)))
17	2	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) = ((𝐽 ×t 𝐽) Cn {∅, 𝐵}))
18		txtopon 23910	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵)) → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(𝐵 × 𝐵)))
19	7, 7, 18	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(𝐵 × 𝐵)))
20		cnindis 23610	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝐽 ×t 𝐽) Cn {∅, 𝐵}) = (𝐵 ↑m (𝐵 × 𝐵)))
21	19, 4, 20	sylancl 598	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → ((𝐽 ×t 𝐽) Cn {∅, 𝐵}) = (𝐵 ↑m (𝐵 × 𝐵)))
22	17, 21	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) = (𝐵 ↑m (𝐵 × 𝐵)))
23	16, 22	eleqtrrd 2863	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → (-g‘𝐺) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
24	8, 11	istgp2 24410	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopSp ∧ (-g‘𝐺) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)))
25	1, 10, 23, 24	syl3anbrc 1362	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → 𝐺 ∈ TopGrp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ∅c0 4278  {cpr 4585   × cxp 5648  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8847  Basecbs 17387  TopOpenctopn 17592  Grpcgrp 19144  -_gcsg 19146  TopOnctopon 23228  TopSpctps 23250   Cn ccn 23542   ×_t ctx 23879  TopGrpctgp 24390

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-map 8849  df-0g 17612  df-topgen 17614  df-plusf 18815  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-tx 23881  df-tmd 24391  df-tgp 24392

This theorem is used by: (None)