MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  indistgp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem indistgp 23948
Description: Any group equipped with the indiscrete topology is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
distgp.1 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
distgp.2 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
indistgp ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {βˆ…, 𝐡}) β†’ 𝐺 ∈ TopGrp)
Proof of Theorem indistgp
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {βˆ…, 𝐡}) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
2 simpr 484 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {βˆ…, 𝐡}) β†’ 𝐽 = {βˆ…, 𝐡})
3 distgp.1 . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
43fvexi 6896 . . . . 5 𝐡 ∈ V
5 indistopon 22848 . . . . 5 (𝐡 ∈ V β†’ {βˆ…, 𝐡} ∈ (TopOnβ€˜π΅))
64, 5ax-mp 5 . . . 4 {βˆ…, 𝐡} ∈ (TopOnβ€˜π΅)
72, 6eqeltrdi 2833 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {βˆ…, 𝐡}) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
8 distgp.2 . . . 4 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
93, 8istps 22780 . . 3 (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
107, 9sylibr 233 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {βˆ…, 𝐡}) β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
11 eqid 2724 . . . . . 6 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
123, 11grpsubf 18943 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp β†’ (-gβ€˜πΊ):(𝐡 Γ— 𝐡)⟢𝐡)
1312adantr 480 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {βˆ…, 𝐡}) β†’ (-gβ€˜πΊ):(𝐡 Γ— 𝐡)⟢𝐡)
144, 4xpex 7734 . . . . 5 (𝐡 Γ— 𝐡) ∈ V
154, 14elmap 8862 . . . 4 ((-gβ€˜πΊ) ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 Γ— 𝐡)) ↔ (-gβ€˜πΊ):(𝐡 Γ— 𝐡)⟢𝐡)
1613, 15sylibr 233 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {βˆ…, 𝐡}) β†’ (-gβ€˜πΊ) ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 Γ— 𝐡)))
172oveq2d 7418 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {βˆ…, 𝐡}) β†’ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽) = ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn {βˆ…, 𝐡}))
18 txtopon 23439 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜(𝐡 Γ— 𝐡)))
197, 7, 18syl2anc 583 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {βˆ…, 𝐡}) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜(𝐡 Γ— 𝐡)))
20 cnindis 23140 . . . . 5 (((𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜(𝐡 Γ— 𝐡)) ∧ 𝐡 ∈ V) β†’ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn {βˆ…, 𝐡}) = (𝐡 ↑m (𝐡 Γ— 𝐡)))
2119, 4, 20sylancl 585 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {βˆ…, 𝐡}) β†’ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn {βˆ…, 𝐡}) = (𝐡 ↑m (𝐡 Γ— 𝐡)))
2217, 21eqtrd 2764 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {βˆ…, 𝐡}) β†’ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽) = (𝐡 ↑m (𝐡 Γ— 𝐡)))
2316, 22eleqtrrd 2828 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {βˆ…, 𝐡}) β†’ (-gβ€˜πΊ) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
248, 11istgp2 23939 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopSp ∧ (-gβ€˜πΊ) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)))
251, 10, 23, 24syl3anbrc 1340 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {βˆ…, 𝐡}) β†’ 𝐺 ∈ TopGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466  βˆ…c0 4315  {cpr 4623   Γ— cxp 5665  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   ↑m cmap 8817  Basecbs 17149  TopOpenctopn 17372  Grpcgrp 18859  -gcsg 18861  TopOnctopon 22756  TopSpctps 22778   Cn ccn 23072   Γ—t ctx 23408  TopGrpctgp 23919
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-map 8819  df-0g 17392  df-topgen 17394  df-plusf 18568  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-top 22740  df-topon 22757  df-topsp 22779  df-bases 22793  df-cn 23075  df-cnp 23076  df-tx 23410  df-tmd 23920  df-tgp 23921
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator