Theorem indistgp 23985

Description: Any group equipped with the indiscrete topology is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
distgp.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
distgp.2	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
indistgp	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → 𝐺 ∈ TopGrp)

Proof of Theorem indistgp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → 𝐺 ∈ Grp)
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → 𝐽 = {∅, 𝐵})
3		distgp.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4	3	fvexi 6836	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
5		indistopon 22886	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → {∅, 𝐵} ∈ (TopOn‘𝐵))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {∅, 𝐵} ∈ (TopOn‘𝐵)
7	2, 6	eqeltrdi 2836	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
8		distgp.2	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
9	3, 8	istps 22819	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
10	7, 9	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → 𝐺 ∈ TopSp)
11		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
12	3, 11	grpsubf 18898	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (-g‘𝐺):(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → (-g‘𝐺):(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
14	4, 4	xpex 7689	. . . . 5 ⊢ (𝐵 × 𝐵) ∈ V
15	4, 14	elmap 8798	. . . 4 ⊢ ((-g‘𝐺) ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 × 𝐵)) ↔ (-g‘𝐺):(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
16	13, 15	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → (-g‘𝐺) ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 × 𝐵)))
17	2	oveq2d 7365	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) = ((𝐽 ×t 𝐽) Cn {∅, 𝐵}))
18		txtopon 23476	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵)) → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(𝐵 × 𝐵)))
19	7, 7, 18	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(𝐵 × 𝐵)))
20		cnindis 23177	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝐽 ×t 𝐽) Cn {∅, 𝐵}) = (𝐵 ↑m (𝐵 × 𝐵)))
21	19, 4, 20	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → ((𝐽 ×t 𝐽) Cn {∅, 𝐵}) = (𝐵 ↑m (𝐵 × 𝐵)))
22	17, 21	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) = (𝐵 ↑m (𝐵 × 𝐵)))
23	16, 22	eleqtrrd 2831	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → (-g‘𝐺) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
24	8, 11	istgp2 23976	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopSp ∧ (-g‘𝐺) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)))
25	1, 10, 23, 24	syl3anbrc 1344	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → 𝐺 ∈ TopGrp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436  ∅c0 4284  {cpr 4579   × cxp 5617  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ↑_m cmap 8753  Basecbs 17120  TopOpenctopn 17325  Grpcgrp 18812  -_gcsg 18814  TopOnctopon 22795  TopSpctps 22817   Cn ccn 23109   ×_t ctx 23445  TopGrpctgp 23956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-map 8755  df-0g 17345  df-topgen 17347  df-plusf 18513  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-top 22779  df-topon 22796  df-topsp 22818  df-bases 22831  df-cn 23112  df-cnp 23113  df-tx 23447  df-tmd 23957  df-tgp 23958

This theorem is referenced by: (None)