Theorem indistgp 22316

Description: Any group equipped with the indiscrete topology is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
distgp.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
distgp.2	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
indistgp	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → 𝐺 ∈ TopGrp)

Proof of Theorem indistgp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 476	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → 𝐺 ∈ Grp)
2		simpr 479	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → 𝐽 = {∅, 𝐵})
3		distgp.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4	3	fvexi 6462	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
5		indistopon 21217	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → {∅, 𝐵} ∈ (TopOn‘𝐵))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {∅, 𝐵} ∈ (TopOn‘𝐵)
7	2, 6	syl6eqel 2867	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
8		distgp.2	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
9	3, 8	istps 21150	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
10	7, 9	sylibr 226	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → 𝐺 ∈ TopSp)
11		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
12	3, 11	grpsubf 17885	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (-g‘𝐺):(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
13	12	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → (-g‘𝐺):(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
14	4, 4	xpex 7242	. . . . 5 ⊢ (𝐵 × 𝐵) ∈ V
15	4, 14	elmap 8171	. . . 4 ⊢ ((-g‘𝐺) ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝐵 × 𝐵)) ↔ (-g‘𝐺):(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
16	13, 15	sylibr 226	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → (-g‘𝐺) ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝐵 × 𝐵)))
17	2	oveq2d 6940	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) = ((𝐽 ×t 𝐽) Cn {∅, 𝐵}))
18		txtopon 21807	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵)) → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(𝐵 × 𝐵)))
19	7, 7, 18	syl2anc 579	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(𝐵 × 𝐵)))
20		cnindis 21508	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝐽 ×t 𝐽) Cn {∅, 𝐵}) = (𝐵 ↑𝑚 (𝐵 × 𝐵)))
21	19, 4, 20	sylancl 580	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → ((𝐽 ×t 𝐽) Cn {∅, 𝐵}) = (𝐵 ↑𝑚 (𝐵 × 𝐵)))
22	17, 21	eqtrd 2814	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) = (𝐵 ↑𝑚 (𝐵 × 𝐵)))
23	16, 22	eleqtrrd 2862	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → (-g‘𝐺) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
24	8, 11	istgp2 22307	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopSp ∧ (-g‘𝐺) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)))
25	1, 10, 23, 24	syl3anbrc 1400	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → 𝐺 ∈ TopGrp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  Vcvv 3398  ∅c0 4141  {cpr 4400   × cxp 5355  ⟶wf 6133  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924   ↑_𝑚 cmap 8142  Basecbs 16259  TopOpenctopn 16472  Grpcgrp 17813  -_gcsg 17815  TopOnctopon 21126  TopSpctps 21148   Cn ccn 21440   ×_t ctx 21776  TopGrpctgp 22287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-map 8144  df-0g 16492  df-topgen 16494  df-plusf 17631  df-mgm 17632  df-sgrp 17674  df-mnd 17685  df-grp 17816  df-minusg 17817  df-sbg 17818  df-top 21110  df-topon 21127  df-topsp 21149  df-bases 21162  df-cn 21443  df-cnp 21444  df-tx 21778  df-tmd 22288  df-tgp 22289

This theorem is referenced by: (None)