MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  indistgp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem indistgp 24003
Description: Any group equipped with the indiscrete topology is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
distgp.1 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
distgp.2 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
indistgp ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {βˆ…, 𝐡}) β†’ 𝐺 ∈ TopGrp)
Proof of Theorem indistgp
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {βˆ…, 𝐡}) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
2 simpr 484 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {βˆ…, 𝐡}) β†’ 𝐽 = {βˆ…, 𝐡})
3 distgp.1 . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
43fvexi 6911 . . . . 5 𝐡 ∈ V
5 indistopon 22903 . . . . 5 (𝐡 ∈ V β†’ {βˆ…, 𝐡} ∈ (TopOnβ€˜π΅))
64, 5ax-mp 5 . . . 4 {βˆ…, 𝐡} ∈ (TopOnβ€˜π΅)
72, 6eqeltrdi 2837 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {βˆ…, 𝐡}) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
8 distgp.2 . . . 4 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
93, 8istps 22835 . . 3 (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
107, 9sylibr 233 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {βˆ…, 𝐡}) β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
11 eqid 2728 . . . . . 6 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
123, 11grpsubf 18974 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp β†’ (-gβ€˜πΊ):(𝐡 Γ— 𝐡)⟢𝐡)
1312adantr 480 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {βˆ…, 𝐡}) β†’ (-gβ€˜πΊ):(𝐡 Γ— 𝐡)⟢𝐡)
144, 4xpex 7755 . . . . 5 (𝐡 Γ— 𝐡) ∈ V
154, 14elmap 8889 . . . 4 ((-gβ€˜πΊ) ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 Γ— 𝐡)) ↔ (-gβ€˜πΊ):(𝐡 Γ— 𝐡)⟢𝐡)
1613, 15sylibr 233 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {βˆ…, 𝐡}) β†’ (-gβ€˜πΊ) ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 Γ— 𝐡)))
172oveq2d 7436 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {βˆ…, 𝐡}) β†’ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽) = ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn {βˆ…, 𝐡}))
18 txtopon 23494 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜(𝐡 Γ— 𝐡)))
197, 7, 18syl2anc 583 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {βˆ…, 𝐡}) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜(𝐡 Γ— 𝐡)))
20 cnindis 23195 . . . . 5 (((𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜(𝐡 Γ— 𝐡)) ∧ 𝐡 ∈ V) β†’ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn {βˆ…, 𝐡}) = (𝐡 ↑m (𝐡 Γ— 𝐡)))
2119, 4, 20sylancl 585 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {βˆ…, 𝐡}) β†’ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn {βˆ…, 𝐡}) = (𝐡 ↑m (𝐡 Γ— 𝐡)))
2217, 21eqtrd 2768 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {βˆ…, 𝐡}) β†’ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽) = (𝐡 ↑m (𝐡 Γ— 𝐡)))
2316, 22eleqtrrd 2832 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {βˆ…, 𝐡}) β†’ (-gβ€˜πΊ) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
248, 11istgp2 23994 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopSp ∧ (-gβ€˜πΊ) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)))
251, 10, 23, 24syl3anbrc 1341 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {βˆ…, 𝐡}) β†’ 𝐺 ∈ TopGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3471  βˆ…c0 4323  {cpr 4631   Γ— cxp 5676  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   ↑m cmap 8844  Basecbs 17179  TopOpenctopn 17402  Grpcgrp 18889  -gcsg 18891  TopOnctopon 22811  TopSpctps 22833   Cn ccn 23127   Γ—t ctx 23463  TopGrpctgp 23974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-map 8846  df-0g 17422  df-topgen 17424  df-plusf 18598  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-top 22795  df-topon 22812  df-topsp 22834  df-bases 22848  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-tx 23465  df-tmd 23975  df-tgp 23976
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator