Theorem indistgp 23994

Description: Any group equipped with the indiscrete topology is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
distgp.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
distgp.2	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
indistgp	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → 𝐺 ∈ TopGrp)

Proof of Theorem indistgp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → 𝐺 ∈ Grp)
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → 𝐽 = {∅, 𝐵})
3		distgp.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4	3	fvexi 6875	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
5		indistopon 22895	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → {∅, 𝐵} ∈ (TopOn‘𝐵))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {∅, 𝐵} ∈ (TopOn‘𝐵)
7	2, 6	eqeltrdi 2837	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
8		distgp.2	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
9	3, 8	istps 22828	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
10	7, 9	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → 𝐺 ∈ TopSp)
11		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
12	3, 11	grpsubf 18958	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (-g‘𝐺):(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → (-g‘𝐺):(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
14	4, 4	xpex 7732	. . . . 5 ⊢ (𝐵 × 𝐵) ∈ V
15	4, 14	elmap 8847	. . . 4 ⊢ ((-g‘𝐺) ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 × 𝐵)) ↔ (-g‘𝐺):(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
16	13, 15	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → (-g‘𝐺) ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 × 𝐵)))
17	2	oveq2d 7406	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) = ((𝐽 ×t 𝐽) Cn {∅, 𝐵}))
18		txtopon 23485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵)) → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(𝐵 × 𝐵)))
19	7, 7, 18	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(𝐵 × 𝐵)))
20		cnindis 23186	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝐽 ×t 𝐽) Cn {∅, 𝐵}) = (𝐵 ↑m (𝐵 × 𝐵)))
21	19, 4, 20	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → ((𝐽 ×t 𝐽) Cn {∅, 𝐵}) = (𝐵 ↑m (𝐵 × 𝐵)))
22	17, 21	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) = (𝐵 ↑m (𝐵 × 𝐵)))
23	16, 22	eleqtrrd 2832	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → (-g‘𝐺) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
24	8, 11	istgp2 23985	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopSp ∧ (-g‘𝐺) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)))
25	1, 10, 23, 24	syl3anbrc 1344	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → 𝐺 ∈ TopGrp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  ∅c0 4299  {cpr 4594   × cxp 5639  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ↑_m cmap 8802  Basecbs 17186  TopOpenctopn 17391  Grpcgrp 18872  -_gcsg 18874  TopOnctopon 22804  TopSpctps 22826   Cn ccn 23118   ×_t ctx 23454  TopGrpctgp 23965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-map 8804  df-0g 17411  df-topgen 17413  df-plusf 18573  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-tx 23456  df-tmd 23966  df-tgp 23967

This theorem is referenced by: (None)