MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  indistgp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem indistgp 22316
Description: Any group equipped with the indiscrete topology is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
distgp.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
distgp.2 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
indistgp ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → 𝐺 ∈ TopGrp)

Proof of Theorem indistgp
StepHypRef Expression
1 simpl 476 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → 𝐺 ∈ Grp)
2 simpr 479 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → 𝐽 = {∅, 𝐵})
3 distgp.1 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
43fvexi 6462 . . . . 5 𝐵 ∈ V
5 indistopon 21217 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → {∅, 𝐵} ∈ (TopOn‘𝐵))
64, 5ax-mp 5 . . . 4 {∅, 𝐵} ∈ (TopOn‘𝐵)
72, 6syl6eqel 2867 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
8 distgp.2 . . . 4 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
93, 8istps 21150 . . 3 (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
107, 9sylibr 226 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → 𝐺 ∈ TopSp)
11 eqid 2778 . . . . . 6 (-g𝐺) = (-g𝐺)
123, 11grpsubf 17885 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (-g𝐺):(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
1312adantr 474 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → (-g𝐺):(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
144, 4xpex 7242 . . . . 5 (𝐵 × 𝐵) ∈ V
154, 14elmap 8171 . . . 4 ((-g𝐺) ∈ (𝐵𝑚 (𝐵 × 𝐵)) ↔ (-g𝐺):(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
1613, 15sylibr 226 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → (-g𝐺) ∈ (𝐵𝑚 (𝐵 × 𝐵)))
172oveq2d 6940 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) = ((𝐽 ×t 𝐽) Cn {∅, 𝐵}))
18 txtopon 21807 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵)) → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(𝐵 × 𝐵)))
197, 7, 18syl2anc 579 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(𝐵 × 𝐵)))
20 cnindis 21508 . . . . 5 (((𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝐽 ×t 𝐽) Cn {∅, 𝐵}) = (𝐵𝑚 (𝐵 × 𝐵)))
2119, 4, 20sylancl 580 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → ((𝐽 ×t 𝐽) Cn {∅, 𝐵}) = (𝐵𝑚 (𝐵 × 𝐵)))
2217, 21eqtrd 2814 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) = (𝐵𝑚 (𝐵 × 𝐵)))
2316, 22eleqtrrd 2862 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → (-g𝐺) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
248, 11istgp2 22307 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopSp ∧ (-g𝐺) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)))
251, 10, 23, 24syl3anbrc 1400 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → 𝐺 ∈ TopGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  Vcvv 3398  c0 4141  {cpr 4400   × cxp 5355  wf 6133  cfv 6137  (class class class)co 6924  𝑚 cmap 8142  Basecbs 16259  TopOpenctopn 16472  Grpcgrp 17813  -gcsg 17815  TopOnctopon 21126  TopSpctps 21148   Cn ccn 21440   ×t ctx 21776  TopGrpctgp 22287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-map 8144  df-0g 16492  df-topgen 16494  df-plusf 17631  df-mgm 17632  df-sgrp 17674  df-mnd 17685  df-grp 17816  df-minusg 17817  df-sbg 17818  df-top 21110  df-topon 21127  df-topsp 21149  df-bases 21162  df-cn 21443  df-cnp 21444  df-tx 21778  df-tmd 22288  df-tgp 22289
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator