MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  indistgp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem indistgp 23474
Description: Any group equipped with the indiscrete topology is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
distgp.1 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
distgp.2 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
indistgp ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {βˆ…, 𝐡}) β†’ 𝐺 ∈ TopGrp)

Proof of Theorem indistgp
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {βˆ…, 𝐡}) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
2 simpr 486 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {βˆ…, 𝐡}) β†’ 𝐽 = {βˆ…, 𝐡})
3 distgp.1 . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
43fvexi 6860 . . . . 5 𝐡 ∈ V
5 indistopon 22374 . . . . 5 (𝐡 ∈ V β†’ {βˆ…, 𝐡} ∈ (TopOnβ€˜π΅))
64, 5ax-mp 5 . . . 4 {βˆ…, 𝐡} ∈ (TopOnβ€˜π΅)
72, 6eqeltrdi 2842 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {βˆ…, 𝐡}) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
8 distgp.2 . . . 4 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
93, 8istps 22306 . . 3 (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
107, 9sylibr 233 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {βˆ…, 𝐡}) β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
11 eqid 2733 . . . . . 6 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
123, 11grpsubf 18834 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp β†’ (-gβ€˜πΊ):(𝐡 Γ— 𝐡)⟢𝐡)
1312adantr 482 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {βˆ…, 𝐡}) β†’ (-gβ€˜πΊ):(𝐡 Γ— 𝐡)⟢𝐡)
144, 4xpex 7691 . . . . 5 (𝐡 Γ— 𝐡) ∈ V
154, 14elmap 8815 . . . 4 ((-gβ€˜πΊ) ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 Γ— 𝐡)) ↔ (-gβ€˜πΊ):(𝐡 Γ— 𝐡)⟢𝐡)
1613, 15sylibr 233 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {βˆ…, 𝐡}) β†’ (-gβ€˜πΊ) ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 Γ— 𝐡)))
172oveq2d 7377 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {βˆ…, 𝐡}) β†’ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽) = ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn {βˆ…, 𝐡}))
18 txtopon 22965 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜(𝐡 Γ— 𝐡)))
197, 7, 18syl2anc 585 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {βˆ…, 𝐡}) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜(𝐡 Γ— 𝐡)))
20 cnindis 22666 . . . . 5 (((𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜(𝐡 Γ— 𝐡)) ∧ 𝐡 ∈ V) β†’ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn {βˆ…, 𝐡}) = (𝐡 ↑m (𝐡 Γ— 𝐡)))
2119, 4, 20sylancl 587 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {βˆ…, 𝐡}) β†’ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn {βˆ…, 𝐡}) = (𝐡 ↑m (𝐡 Γ— 𝐡)))
2217, 21eqtrd 2773 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {βˆ…, 𝐡}) β†’ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽) = (𝐡 ↑m (𝐡 Γ— 𝐡)))
2316, 22eleqtrrd 2837 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {βˆ…, 𝐡}) β†’ (-gβ€˜πΊ) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
248, 11istgp2 23465 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopSp ∧ (-gβ€˜πΊ) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)))
251, 10, 23, 24syl3anbrc 1344 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {βˆ…, 𝐡}) β†’ 𝐺 ∈ TopGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447  βˆ…c0 4286  {cpr 4592   Γ— cxp 5635  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ↑m cmap 8771  Basecbs 17091  TopOpenctopn 17311  Grpcgrp 18756  -gcsg 18758  TopOnctopon 22282  TopSpctps 22304   Cn ccn 22598   Γ—t ctx 22934  TopGrpctgp 23445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-map 8773  df-0g 17331  df-topgen 17333  df-plusf 18504  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-tx 22936  df-tmd 23446  df-tgp 23447
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator