MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tngnm 23177
Description: The topology generated by a normed structure. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngnm.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngnm.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
tngnm.a 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
tngnm ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) → 𝑁 = (norm‘𝑇))

Proof of Theorem tngnm
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) → 𝑁:𝑋𝐴)
21feqmptd 6729 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) → 𝑁 = (𝑥𝑋 ↦ (𝑁𝑥)))
3 tngnm.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝐺)
4 eqid 2825 . . . . . . . 8 (-g𝐺) = (-g𝐺)
53, 4grpsubf 18110 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → (-g𝐺):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
65ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → (-g𝐺):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
7 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
8 eqid 2825 . . . . . . . . 9 (0g𝐺) = (0g𝐺)
93, 8grpidcl 18063 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
109ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
117, 10opelxpd 5591 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → ⟨𝑥, (0g𝐺)⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
12 fvco3 6756 . . . . . 6 (((-g𝐺):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ∧ ⟨𝑥, (0g𝐺)⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋)) → ((𝑁 ∘ (-g𝐺))‘⟨𝑥, (0g𝐺)⟩) = (𝑁‘((-g𝐺)‘⟨𝑥, (0g𝐺)⟩)))
136, 11, 12syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑁 ∘ (-g𝐺))‘⟨𝑥, (0g𝐺)⟩) = (𝑁‘((-g𝐺)‘⟨𝑥, (0g𝐺)⟩)))
14 df-ov 7154 . . . . 5 (𝑥(𝑁 ∘ (-g𝐺))(0g𝐺)) = ((𝑁 ∘ (-g𝐺))‘⟨𝑥, (0g𝐺)⟩)
15 df-ov 7154 . . . . . 6 (𝑥(-g𝐺)(0g𝐺)) = ((-g𝐺)‘⟨𝑥, (0g𝐺)⟩)
1615fveq2i 6669 . . . . 5 (𝑁‘(𝑥(-g𝐺)(0g𝐺))) = (𝑁‘((-g𝐺)‘⟨𝑥, (0g𝐺)⟩))
1713, 14, 163eqtr4g 2885 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(𝑁 ∘ (-g𝐺))(0g𝐺)) = (𝑁‘(𝑥(-g𝐺)(0g𝐺))))
183, 8, 4grpsubid1 18116 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(-g𝐺)(0g𝐺)) = 𝑥)
1918adantlr 711 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(-g𝐺)(0g𝐺)) = 𝑥)
2019fveq2d 6670 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑁‘(𝑥(-g𝐺)(0g𝐺))) = (𝑁𝑥))
2117, 20eqtr2d 2861 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑁𝑥) = (𝑥(𝑁 ∘ (-g𝐺))(0g𝐺)))
2221mpteq2dva 5157 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) → (𝑥𝑋 ↦ (𝑁𝑥)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑥(𝑁 ∘ (-g𝐺))(0g𝐺))))
233fvexi 6680 . . . . . . 7 𝑋 ∈ V
24 tngnm.a . . . . . . 7 𝐴 ∈ V
25 fex2 7629 . . . . . . 7 ((𝑁:𝑋𝐴𝑋 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝑁 ∈ V)
2623, 24, 25mp3an23 1446 . . . . . 6 (𝑁:𝑋𝐴𝑁 ∈ V)
2726adantl 482 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) → 𝑁 ∈ V)
28 tngnm.t . . . . . 6 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
2928, 3tngbas 23167 . . . . 5 (𝑁 ∈ V → 𝑋 = (Base‘𝑇))
3027, 29syl 17 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) → 𝑋 = (Base‘𝑇))
3128, 4tngds 23174 . . . . . 6 (𝑁 ∈ V → (𝑁 ∘ (-g𝐺)) = (dist‘𝑇))
3227, 31syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) → (𝑁 ∘ (-g𝐺)) = (dist‘𝑇))
33 eqidd 2826 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) → 𝑥 = 𝑥)
3428, 8tng0 23169 . . . . . 6 (𝑁 ∈ V → (0g𝐺) = (0g𝑇))
3527, 34syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) → (0g𝐺) = (0g𝑇))
3632, 33, 35oveq123d 7172 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) → (𝑥(𝑁 ∘ (-g𝐺))(0g𝐺)) = (𝑥(dist‘𝑇)(0g𝑇)))
3730, 36mpteq12dv 5147 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) → (𝑥𝑋 ↦ (𝑥(𝑁 ∘ (-g𝐺))(0g𝐺))) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑇) ↦ (𝑥(dist‘𝑇)(0g𝑇))))
38 eqid 2825 . . . 4 (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
39 eqid 2825 . . . 4 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
40 eqid 2825 . . . 4 (0g𝑇) = (0g𝑇)
41 eqid 2825 . . . 4 (dist‘𝑇) = (dist‘𝑇)
4238, 39, 40, 41nmfval 23115 . . 3 (norm‘𝑇) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑇) ↦ (𝑥(dist‘𝑇)(0g𝑇)))
4337, 42syl6eqr 2878 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) → (𝑥𝑋 ↦ (𝑥(𝑁 ∘ (-g𝐺))(0g𝐺))) = (norm‘𝑇))
442, 22, 433eqtrd 2864 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) → 𝑁 = (norm‘𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  Vcvv 3499  cop 4569  cmpt 5142   × cxp 5551  ccom 5557  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  Basecbs 16475  distcds 16566  0gc0g 16705  Grpcgrp 18035  -gcsg 18037  normcnm 23103   toNrmGrp ctng 23105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-tset 16576  df-ds 16579  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18038  df-minusg 18039  df-sbg 18040  df-nm 23109  df-tng 23111
This theorem is referenced by:  tngngp2  23178  tngngp  23180  tngngp3  23182  nrmtngnrm  23184  tngnrg  23200  tchnmfval  23748  tcphcph  23757
  Copyright terms: Public domain W3C validator