Theorem tngnm 24168

Description: The topology generated by a normed structure. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngnm.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngnm.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
tngnm.a	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
tngnm	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → 𝑁 = (norm‘𝑇))

Proof of Theorem tngnm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 486	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → 𝑁:𝑋⟶𝐴)
2	1	feqmptd 6961	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑁‘𝑥)))
3		tngnm.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
5	3, 4	grpsubf 18902	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (-g‘𝐺):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
6	5	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (-g‘𝐺):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
7		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
8		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
9	3, 8	grpidcl 18850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
10	9	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
11	7, 10	opelxpd 5716	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ⟨𝑥, (0g‘𝐺)⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
12		fvco3 6991	. . . . . 6 ⊢ (((-g‘𝐺):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ∧ ⟨𝑥, (0g‘𝐺)⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋)) → ((𝑁 ∘ (-g‘𝐺))‘⟨𝑥, (0g‘𝐺)⟩) = (𝑁‘((-g‘𝐺)‘⟨𝑥, (0g‘𝐺)⟩)))
13	6, 11, 12	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑁 ∘ (-g‘𝐺))‘⟨𝑥, (0g‘𝐺)⟩) = (𝑁‘((-g‘𝐺)‘⟨𝑥, (0g‘𝐺)⟩)))
14		df-ov 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑥(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))(0g‘𝐺)) = ((𝑁 ∘ (-g‘𝐺))‘⟨𝑥, (0g‘𝐺)⟩)
15		df-ov 7412	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(-g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = ((-g‘𝐺)‘⟨𝑥, (0g‘𝐺)⟩)
16	15	fveq2i 6895	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘(𝑥(-g‘𝐺)(0g‘𝐺))) = (𝑁‘((-g‘𝐺)‘⟨𝑥, (0g‘𝐺)⟩))
17	13, 14, 16	3eqtr4g 2798	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))(0g‘𝐺)) = (𝑁‘(𝑥(-g‘𝐺)(0g‘𝐺))))
18	3, 8, 4	grpsubid1 18908	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(-g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = 𝑥)
19	18	adantlr 714	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(-g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = 𝑥)
20	19	fveq2d 6896	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑥(-g‘𝐺)(0g‘𝐺))) = (𝑁‘𝑥))
21	17, 20	eqtr2d 2774	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝑥) = (𝑥(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))(0g‘𝐺)))
22	21	mpteq2dva 5249	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑁‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))(0g‘𝐺))))
23	3	fvexi 6906	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 ∈ V
24		tngnm.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ V
25		fex2 7924	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶𝐴 ∧ 𝑋 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝑁 ∈ V)
26	23, 24, 25	mp3an23 1454	. . . . . 6 ⊢ (𝑁:𝑋⟶𝐴 → 𝑁 ∈ V)
27	26	adantl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → 𝑁 ∈ V)
28		tngnm.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
29	28, 3	tngbas 24151	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ V → 𝑋 = (Base‘𝑇))
30	27, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → 𝑋 = (Base‘𝑇))
31	28, 4	tngds 24164	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ V → (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = (dist‘𝑇))
32	27, 31	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = (dist‘𝑇))
33		eqidd 2734	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → 𝑥 = 𝑥)
34	28, 8	tng0 24155	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ V → (0g‘𝐺) = (0g‘𝑇))
35	27, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝑇))
36	32, 33, 35	oveq123d 7430	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → (𝑥(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))(0g‘𝐺)) = (𝑥(dist‘𝑇)(0g‘𝑇)))
37	30, 36	mpteq12dv 5240	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))(0g‘𝐺))) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑇) ↦ (𝑥(dist‘𝑇)(0g‘𝑇))))
38		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
39		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
40		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
41		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (dist‘𝑇) = (dist‘𝑇)
42	38, 39, 40, 41	nmfval 24097	. . 3 ⊢ (norm‘𝑇) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑇) ↦ (𝑥(dist‘𝑇)(0g‘𝑇)))
43	37, 42	eqtr4di 2791	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))(0g‘𝐺))) = (norm‘𝑇))
44	2, 22, 43	3eqtrd 2777	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → 𝑁 = (norm‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  ⟨cop 4635   ↦ cmpt 5232   × cxp 5675   ∘ ccom 5681  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  distcds 17206  0_gc0g 17385  Grpcgrp 18819  -_gcsg 18821  normcnm 24085   toNrmGrp ctng 24087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-tset 17216  df-ds 17219  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-nm 24091  df-tng 24093

This theorem is referenced by:  tngngp2  24169  tngngp  24171  tngngp3  24173  nrmtngnrm  24175  tngnrg  24191  tchnmfval  24745  tcphcph  24754