Theorem tngnm 24638

Description: The topology generated by a normed structure. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngnm.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngnm.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
tngnm.a	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
tngnm	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → 𝑁 = (norm‘𝑇))

Proof of Theorem tngnm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 486	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → 𝑁:𝑋⟶𝐴)
2	1	feqmptd 6899	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑁‘𝑥)))
3		tngnm.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
5	3, 4	grpsubf 18990	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (-g‘𝐺):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
6	5	ad2antrr 733	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (-g‘𝐺):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
7		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
8		eqid 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
9	3, 8	grpidcl 18936	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
10	9	ad2antrr 733	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
11	7, 10	opelxpd 5660	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ⟨𝑥, (0g‘𝐺)⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
12		fvco3 6931	. . . . . 6 ⊢ (((-g‘𝐺):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ∧ ⟨𝑥, (0g‘𝐺)⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋)) → ((𝑁 ∘ (-g‘𝐺))‘⟨𝑥, (0g‘𝐺)⟩) = (𝑁‘((-g‘𝐺)‘⟨𝑥, (0g‘𝐺)⟩)))
13	6, 11, 12	syl2anc 591	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑁 ∘ (-g‘𝐺))‘⟨𝑥, (0g‘𝐺)⟩) = (𝑁‘((-g‘𝐺)‘⟨𝑥, (0g‘𝐺)⟩)))
14		df-ov 7363	. . . . 5 ⊢ (𝑥(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))(0g‘𝐺)) = ((𝑁 ∘ (-g‘𝐺))‘⟨𝑥, (0g‘𝐺)⟩)
15		df-ov 7363	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(-g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = ((-g‘𝐺)‘⟨𝑥, (0g‘𝐺)⟩)
16	15	fveq2i 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘(𝑥(-g‘𝐺)(0g‘𝐺))) = (𝑁‘((-g‘𝐺)‘⟨𝑥, (0g‘𝐺)⟩))
17	13, 14, 16	3eqtr4g 2801	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))(0g‘𝐺)) = (𝑁‘(𝑥(-g‘𝐺)(0g‘𝐺))))
18	3, 8, 4	grpsubid1 18996	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(-g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = 𝑥)
19	18	adantlr 722	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(-g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = 𝑥)
20	19	fveq2d 6835	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑥(-g‘𝐺)(0g‘𝐺))) = (𝑁‘𝑥))
21	17, 20	eqtr2d 2777	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝑥) = (𝑥(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))(0g‘𝐺)))
22	21	mpteq2dva 5168	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑁‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))(0g‘𝐺))))
23	3	fvexi 6845	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 ∈ V
24		tngnm.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ V
25		fex2 7880	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶𝐴 ∧ 𝑋 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝑁 ∈ V)
26	23, 24, 25	mp3an23 1462	. . . . . 6 ⊢ (𝑁:𝑋⟶𝐴 → 𝑁 ∈ V)
27	26	adantl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → 𝑁 ∈ V)
28		tngnm.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
29	28, 3	tngbas 24628	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ V → 𝑋 = (Base‘𝑇))
30	27, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → 𝑋 = (Base‘𝑇))
31	28, 4	tngds 24635	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ V → (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = (dist‘𝑇))
32	27, 31	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = (dist‘𝑇))
33		eqidd 2742	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → 𝑥 = 𝑥)
34	28, 8	tng0 24630	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ V → (0g‘𝐺) = (0g‘𝑇))
35	27, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝑇))
36	32, 33, 35	oveq123d 7381	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → (𝑥(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))(0g‘𝐺)) = (𝑥(dist‘𝑇)(0g‘𝑇)))
37	30, 36	mpteq12dv 5162	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))(0g‘𝐺))) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑇) ↦ (𝑥(dist‘𝑇)(0g‘𝑇))))
38		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
39		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
40		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
41		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (dist‘𝑇) = (dist‘𝑇)
42	38, 39, 40, 41	nmfval 24575	. . 3 ⊢ (norm‘𝑇) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑇) ↦ (𝑥(dist‘𝑇)(0g‘𝑇)))
43	37, 42	eqtr4di 2794	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))(0g‘𝐺))) = (norm‘𝑇))
44	2, 22, 43	3eqtrd 2780	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → 𝑁 = (norm‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  Vcvv 3433  ⟨cop 4564   ↦ cmpt 5156   × cxp 5619   ∘ ccom 5625  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Basecbs 17174  distcds 17224  0_gc0g 17397  Grpcgrp 18904  -_gcsg 18906  normcnm 24563   toNrmGrp ctng 24565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-tset 17234  df-ds 17237  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-nm 24569  df-tng 24571

This theorem is referenced by:  tngngp2  24639  tngngp  24641  tngngp3  24643  nrmtngnrm  24645  tngnrg  24661  tchnmfval  25217  tcphcph  25226