MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tngnm 24388
Description: The topology generated by a normed structure. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngnm.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngnm.x 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
tngnm.a 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
tngnm ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) β†’ 𝑁 = (normβ€˜π‘‡))

Proof of Theorem tngnm
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) β†’ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄)
21feqmptd 6960 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) β†’ 𝑁 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘β€˜π‘₯)))
3 tngnm.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
4 eqid 2732 . . . . . . . 8 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
53, 4grpsubf 18938 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp β†’ (-gβ€˜πΊ):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹)
65ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (-gβ€˜πΊ):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹)
7 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
8 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
93, 8grpidcl 18886 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑋)
109ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑋)
117, 10opelxpd 5715 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ⟨π‘₯, (0gβ€˜πΊ)⟩ ∈ (𝑋 Γ— 𝑋))
12 fvco3 6990 . . . . . 6 (((-gβ€˜πΊ):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹ ∧ ⟨π‘₯, (0gβ€˜πΊ)⟩ ∈ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ ((𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ))β€˜βŸ¨π‘₯, (0gβ€˜πΊ)⟩) = (π‘β€˜((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, (0gβ€˜πΊ)⟩)))
136, 11, 12syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ))β€˜βŸ¨π‘₯, (0gβ€˜πΊ)⟩) = (π‘β€˜((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, (0gβ€˜πΊ)⟩)))
14 df-ov 7414 . . . . 5 (π‘₯(𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ))(0gβ€˜πΊ)) = ((𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ))β€˜βŸ¨π‘₯, (0gβ€˜πΊ)⟩)
15 df-ov 7414 . . . . . 6 (π‘₯(-gβ€˜πΊ)(0gβ€˜πΊ)) = ((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, (0gβ€˜πΊ)⟩)
1615fveq2i 6894 . . . . 5 (π‘β€˜(π‘₯(-gβ€˜πΊ)(0gβ€˜πΊ))) = (π‘β€˜((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, (0gβ€˜πΊ)⟩))
1713, 14, 163eqtr4g 2797 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ))(0gβ€˜πΊ)) = (π‘β€˜(π‘₯(-gβ€˜πΊ)(0gβ€˜πΊ))))
183, 8, 4grpsubid1 18944 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(-gβ€˜πΊ)(0gβ€˜πΊ)) = π‘₯)
1918adantlr 713 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(-gβ€˜πΊ)(0gβ€˜πΊ)) = π‘₯)
2019fveq2d 6895 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(π‘₯(-gβ€˜πΊ)(0gβ€˜πΊ))) = (π‘β€˜π‘₯))
2117, 20eqtr2d 2773 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘₯) = (π‘₯(𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ))(0gβ€˜πΊ)))
2221mpteq2dva 5248 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯(𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ))(0gβ€˜πΊ))))
233fvexi 6905 . . . . . . 7 𝑋 ∈ V
24 tngnm.a . . . . . . 7 𝐴 ∈ V
25 fex2 7926 . . . . . . 7 ((𝑁:π‘‹βŸΆπ΄ ∧ 𝑋 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ 𝑁 ∈ V)
2623, 24, 25mp3an23 1453 . . . . . 6 (𝑁:π‘‹βŸΆπ΄ β†’ 𝑁 ∈ V)
2726adantl 482 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) β†’ 𝑁 ∈ V)
28 tngnm.t . . . . . 6 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
2928, 3tngbas 24371 . . . . 5 (𝑁 ∈ V β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜π‘‡))
3027, 29syl 17 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜π‘‡))
3128, 4tngds 24384 . . . . . 6 (𝑁 ∈ V β†’ (𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ)) = (distβ€˜π‘‡))
3227, 31syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) β†’ (𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ)) = (distβ€˜π‘‡))
33 eqidd 2733 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) β†’ π‘₯ = π‘₯)
3428, 8tng0 24375 . . . . . 6 (𝑁 ∈ V β†’ (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜π‘‡))
3527, 34syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) β†’ (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜π‘‡))
3632, 33, 35oveq123d 7432 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) β†’ (π‘₯(𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ))(0gβ€˜πΊ)) = (π‘₯(distβ€˜π‘‡)(0gβ€˜π‘‡)))
3730, 36mpteq12dv 5239 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯(𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ))(0gβ€˜πΊ))) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‡) ↦ (π‘₯(distβ€˜π‘‡)(0gβ€˜π‘‡))))
38 eqid 2732 . . . 4 (normβ€˜π‘‡) = (normβ€˜π‘‡)
39 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
40 eqid 2732 . . . 4 (0gβ€˜π‘‡) = (0gβ€˜π‘‡)
41 eqid 2732 . . . 4 (distβ€˜π‘‡) = (distβ€˜π‘‡)
4238, 39, 40, 41nmfval 24317 . . 3 (normβ€˜π‘‡) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‡) ↦ (π‘₯(distβ€˜π‘‡)(0gβ€˜π‘‡)))
4337, 42eqtr4di 2790 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯(𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ))(0gβ€˜πΊ))) = (normβ€˜π‘‡))
442, 22, 433eqtrd 2776 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) β†’ 𝑁 = (normβ€˜π‘‡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  βŸ¨cop 4634   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  distcds 17210  0gc0g 17389  Grpcgrp 18855  -gcsg 18857  normcnm 24305   toNrmGrp ctng 24307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-tset 17220  df-ds 17223  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-nm 24311  df-tng 24313
This theorem is referenced by:  tngngp2  24389  tngngp  24391  tngngp3  24393  nrmtngnrm  24395  tngnrg  24411  tchnmfval  24969  tcphcph  24978
  Copyright terms: Public domain W3C validator