MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tngnm 24672
Description: The topology generated by a normed structure. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngnm.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngnm.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
tngnm.a 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
tngnm ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) → 𝑁 = (norm‘𝑇))

Proof of Theorem tngnm
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) → 𝑁:𝑋𝐴)
21feqmptd 6977 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) → 𝑁 = (𝑥𝑋 ↦ (𝑁𝑥)))
3 tngnm.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝐺)
4 eqid 2737 . . . . . . . 8 (-g𝐺) = (-g𝐺)
53, 4grpsubf 19037 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → (-g𝐺):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
65ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → (-g𝐺):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
7 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
8 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (0g𝐺) = (0g𝐺)
93, 8grpidcl 18983 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
109ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
117, 10opelxpd 5724 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → ⟨𝑥, (0g𝐺)⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
12 fvco3 7008 . . . . . 6 (((-g𝐺):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ∧ ⟨𝑥, (0g𝐺)⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋)) → ((𝑁 ∘ (-g𝐺))‘⟨𝑥, (0g𝐺)⟩) = (𝑁‘((-g𝐺)‘⟨𝑥, (0g𝐺)⟩)))
136, 11, 12syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑁 ∘ (-g𝐺))‘⟨𝑥, (0g𝐺)⟩) = (𝑁‘((-g𝐺)‘⟨𝑥, (0g𝐺)⟩)))
14 df-ov 7434 . . . . 5 (𝑥(𝑁 ∘ (-g𝐺))(0g𝐺)) = ((𝑁 ∘ (-g𝐺))‘⟨𝑥, (0g𝐺)⟩)
15 df-ov 7434 . . . . . 6 (𝑥(-g𝐺)(0g𝐺)) = ((-g𝐺)‘⟨𝑥, (0g𝐺)⟩)
1615fveq2i 6909 . . . . 5 (𝑁‘(𝑥(-g𝐺)(0g𝐺))) = (𝑁‘((-g𝐺)‘⟨𝑥, (0g𝐺)⟩))
1713, 14, 163eqtr4g 2802 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(𝑁 ∘ (-g𝐺))(0g𝐺)) = (𝑁‘(𝑥(-g𝐺)(0g𝐺))))
183, 8, 4grpsubid1 19043 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(-g𝐺)(0g𝐺)) = 𝑥)
1918adantlr 715 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(-g𝐺)(0g𝐺)) = 𝑥)
2019fveq2d 6910 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑁‘(𝑥(-g𝐺)(0g𝐺))) = (𝑁𝑥))
2117, 20eqtr2d 2778 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑁𝑥) = (𝑥(𝑁 ∘ (-g𝐺))(0g𝐺)))
2221mpteq2dva 5242 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) → (𝑥𝑋 ↦ (𝑁𝑥)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑥(𝑁 ∘ (-g𝐺))(0g𝐺))))
233fvexi 6920 . . . . . . 7 𝑋 ∈ V
24 tngnm.a . . . . . . 7 𝐴 ∈ V
25 fex2 7958 . . . . . . 7 ((𝑁:𝑋𝐴𝑋 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝑁 ∈ V)
2623, 24, 25mp3an23 1455 . . . . . 6 (𝑁:𝑋𝐴𝑁 ∈ V)
2726adantl 481 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) → 𝑁 ∈ V)
28 tngnm.t . . . . . 6 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
2928, 3tngbas 24655 . . . . 5 (𝑁 ∈ V → 𝑋 = (Base‘𝑇))
3027, 29syl 17 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) → 𝑋 = (Base‘𝑇))
3128, 4tngds 24668 . . . . . 6 (𝑁 ∈ V → (𝑁 ∘ (-g𝐺)) = (dist‘𝑇))
3227, 31syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) → (𝑁 ∘ (-g𝐺)) = (dist‘𝑇))
33 eqidd 2738 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) → 𝑥 = 𝑥)
3428, 8tng0 24659 . . . . . 6 (𝑁 ∈ V → (0g𝐺) = (0g𝑇))
3527, 34syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) → (0g𝐺) = (0g𝑇))
3632, 33, 35oveq123d 7452 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) → (𝑥(𝑁 ∘ (-g𝐺))(0g𝐺)) = (𝑥(dist‘𝑇)(0g𝑇)))
3730, 36mpteq12dv 5233 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) → (𝑥𝑋 ↦ (𝑥(𝑁 ∘ (-g𝐺))(0g𝐺))) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑇) ↦ (𝑥(dist‘𝑇)(0g𝑇))))
38 eqid 2737 . . . 4 (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
39 eqid 2737 . . . 4 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
40 eqid 2737 . . . 4 (0g𝑇) = (0g𝑇)
41 eqid 2737 . . . 4 (dist‘𝑇) = (dist‘𝑇)
4238, 39, 40, 41nmfval 24601 . . 3 (norm‘𝑇) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑇) ↦ (𝑥(dist‘𝑇)(0g𝑇)))
4337, 42eqtr4di 2795 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) → (𝑥𝑋 ↦ (𝑥(𝑁 ∘ (-g𝐺))(0g𝐺))) = (norm‘𝑇))
442, 22, 433eqtrd 2781 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋𝐴) → 𝑁 = (norm‘𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  cop 4632  cmpt 5225   × cxp 5683  ccom 5689  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  distcds 17306  0gc0g 17484  Grpcgrp 18951  -gcsg 18953  normcnm 24589   toNrmGrp ctng 24591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-tset 17316  df-ds 17319  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-nm 24595  df-tng 24597
This theorem is referenced by:  tngngp2  24673  tngngp  24675  tngngp3  24677  nrmtngnrm  24679  tngnrg  24695  tchnmfval  25262  tcphcph  25271
  Copyright terms: Public domain W3C validator