MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tngnm 24167
Description: The topology generated by a normed structure. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngnm.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngnm.x 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
tngnm.a 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
tngnm ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) β†’ 𝑁 = (normβ€˜π‘‡))

Proof of Theorem tngnm
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) β†’ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄)
21feqmptd 6960 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) β†’ 𝑁 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘β€˜π‘₯)))
3 tngnm.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
4 eqid 2732 . . . . . . . 8 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
53, 4grpsubf 18901 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp β†’ (-gβ€˜πΊ):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹)
65ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (-gβ€˜πΊ):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹)
7 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
8 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
93, 8grpidcl 18849 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑋)
109ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑋)
117, 10opelxpd 5715 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ⟨π‘₯, (0gβ€˜πΊ)⟩ ∈ (𝑋 Γ— 𝑋))
12 fvco3 6990 . . . . . 6 (((-gβ€˜πΊ):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹ ∧ ⟨π‘₯, (0gβ€˜πΊ)⟩ ∈ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ ((𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ))β€˜βŸ¨π‘₯, (0gβ€˜πΊ)⟩) = (π‘β€˜((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, (0gβ€˜πΊ)⟩)))
136, 11, 12syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ))β€˜βŸ¨π‘₯, (0gβ€˜πΊ)⟩) = (π‘β€˜((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, (0gβ€˜πΊ)⟩)))
14 df-ov 7411 . . . . 5 (π‘₯(𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ))(0gβ€˜πΊ)) = ((𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ))β€˜βŸ¨π‘₯, (0gβ€˜πΊ)⟩)
15 df-ov 7411 . . . . . 6 (π‘₯(-gβ€˜πΊ)(0gβ€˜πΊ)) = ((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, (0gβ€˜πΊ)⟩)
1615fveq2i 6894 . . . . 5 (π‘β€˜(π‘₯(-gβ€˜πΊ)(0gβ€˜πΊ))) = (π‘β€˜((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, (0gβ€˜πΊ)⟩))
1713, 14, 163eqtr4g 2797 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ))(0gβ€˜πΊ)) = (π‘β€˜(π‘₯(-gβ€˜πΊ)(0gβ€˜πΊ))))
183, 8, 4grpsubid1 18907 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(-gβ€˜πΊ)(0gβ€˜πΊ)) = π‘₯)
1918adantlr 713 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(-gβ€˜πΊ)(0gβ€˜πΊ)) = π‘₯)
2019fveq2d 6895 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(π‘₯(-gβ€˜πΊ)(0gβ€˜πΊ))) = (π‘β€˜π‘₯))
2117, 20eqtr2d 2773 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘₯) = (π‘₯(𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ))(0gβ€˜πΊ)))
2221mpteq2dva 5248 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯(𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ))(0gβ€˜πΊ))))
233fvexi 6905 . . . . . . 7 𝑋 ∈ V
24 tngnm.a . . . . . . 7 𝐴 ∈ V
25 fex2 7923 . . . . . . 7 ((𝑁:π‘‹βŸΆπ΄ ∧ 𝑋 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ 𝑁 ∈ V)
2623, 24, 25mp3an23 1453 . . . . . 6 (𝑁:π‘‹βŸΆπ΄ β†’ 𝑁 ∈ V)
2726adantl 482 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) β†’ 𝑁 ∈ V)
28 tngnm.t . . . . . 6 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
2928, 3tngbas 24150 . . . . 5 (𝑁 ∈ V β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜π‘‡))
3027, 29syl 17 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜π‘‡))
3128, 4tngds 24163 . . . . . 6 (𝑁 ∈ V β†’ (𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ)) = (distβ€˜π‘‡))
3227, 31syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) β†’ (𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ)) = (distβ€˜π‘‡))
33 eqidd 2733 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) β†’ π‘₯ = π‘₯)
3428, 8tng0 24154 . . . . . 6 (𝑁 ∈ V β†’ (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜π‘‡))
3527, 34syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) β†’ (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜π‘‡))
3632, 33, 35oveq123d 7429 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) β†’ (π‘₯(𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ))(0gβ€˜πΊ)) = (π‘₯(distβ€˜π‘‡)(0gβ€˜π‘‡)))
3730, 36mpteq12dv 5239 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯(𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ))(0gβ€˜πΊ))) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‡) ↦ (π‘₯(distβ€˜π‘‡)(0gβ€˜π‘‡))))
38 eqid 2732 . . . 4 (normβ€˜π‘‡) = (normβ€˜π‘‡)
39 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
40 eqid 2732 . . . 4 (0gβ€˜π‘‡) = (0gβ€˜π‘‡)
41 eqid 2732 . . . 4 (distβ€˜π‘‡) = (distβ€˜π‘‡)
4238, 39, 40, 41nmfval 24096 . . 3 (normβ€˜π‘‡) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‡) ↦ (π‘₯(distβ€˜π‘‡)(0gβ€˜π‘‡)))
4337, 42eqtr4di 2790 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯(𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ))(0gβ€˜πΊ))) = (normβ€˜π‘‡))
442, 22, 433eqtrd 2776 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) β†’ 𝑁 = (normβ€˜π‘‡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  βŸ¨cop 4634   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  distcds 17205  0gc0g 17384  Grpcgrp 18818  -gcsg 18820  normcnm 24084   toNrmGrp ctng 24086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-tset 17215  df-ds 17218  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-nm 24090  df-tng 24092
This theorem is referenced by:  tngngp2  24168  tngngp  24170  tngngp3  24172  nrmtngnrm  24174  tngnrg  24190  tchnmfval  24744  tcphcph  24753
  Copyright terms: Public domain W3C validator