Theorem tngnm 24566

Description: The topology generated by a normed structure. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngnm.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngnm.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
tngnm.a	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
tngnm	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → 𝑁 = (norm‘𝑇))

Proof of Theorem tngnm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → 𝑁:𝑋⟶𝐴)
2	1	feqmptd 6890	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑁‘𝑥)))
3		tngnm.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
5	3, 4	grpsubf 18932	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (-g‘𝐺):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
6	5	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (-g‘𝐺):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
7		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
8		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
9	3, 8	grpidcl 18878	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
10	9	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
11	7, 10	opelxpd 5653	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ⟨𝑥, (0g‘𝐺)⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
12		fvco3 6921	. . . . . 6 ⊢ (((-g‘𝐺):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ∧ ⟨𝑥, (0g‘𝐺)⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋)) → ((𝑁 ∘ (-g‘𝐺))‘⟨𝑥, (0g‘𝐺)⟩) = (𝑁‘((-g‘𝐺)‘⟨𝑥, (0g‘𝐺)⟩)))
13	6, 11, 12	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑁 ∘ (-g‘𝐺))‘⟨𝑥, (0g‘𝐺)⟩) = (𝑁‘((-g‘𝐺)‘⟨𝑥, (0g‘𝐺)⟩)))
14		df-ov 7349	. . . . 5 ⊢ (𝑥(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))(0g‘𝐺)) = ((𝑁 ∘ (-g‘𝐺))‘⟨𝑥, (0g‘𝐺)⟩)
15		df-ov 7349	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(-g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = ((-g‘𝐺)‘⟨𝑥, (0g‘𝐺)⟩)
16	15	fveq2i 6825	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘(𝑥(-g‘𝐺)(0g‘𝐺))) = (𝑁‘((-g‘𝐺)‘⟨𝑥, (0g‘𝐺)⟩))
17	13, 14, 16	3eqtr4g 2791	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))(0g‘𝐺)) = (𝑁‘(𝑥(-g‘𝐺)(0g‘𝐺))))
18	3, 8, 4	grpsubid1 18938	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(-g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = 𝑥)
19	18	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(-g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = 𝑥)
20	19	fveq2d 6826	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑥(-g‘𝐺)(0g‘𝐺))) = (𝑁‘𝑥))
21	17, 20	eqtr2d 2767	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝑥) = (𝑥(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))(0g‘𝐺)))
22	21	mpteq2dva 5182	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑁‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))(0g‘𝐺))))
23	3	fvexi 6836	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 ∈ V
24		tngnm.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ V
25		fex2 7866	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶𝐴 ∧ 𝑋 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝑁 ∈ V)
26	23, 24, 25	mp3an23 1455	. . . . . 6 ⊢ (𝑁:𝑋⟶𝐴 → 𝑁 ∈ V)
27	26	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → 𝑁 ∈ V)
28		tngnm.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
29	28, 3	tngbas 24556	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ V → 𝑋 = (Base‘𝑇))
30	27, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → 𝑋 = (Base‘𝑇))
31	28, 4	tngds 24563	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ V → (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = (dist‘𝑇))
32	27, 31	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = (dist‘𝑇))
33		eqidd 2732	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → 𝑥 = 𝑥)
34	28, 8	tng0 24558	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ V → (0g‘𝐺) = (0g‘𝑇))
35	27, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝑇))
36	32, 33, 35	oveq123d 7367	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → (𝑥(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))(0g‘𝐺)) = (𝑥(dist‘𝑇)(0g‘𝑇)))
37	30, 36	mpteq12dv 5176	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))(0g‘𝐺))) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑇) ↦ (𝑥(dist‘𝑇)(0g‘𝑇))))
38		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
39		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
40		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
41		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (dist‘𝑇) = (dist‘𝑇)
42	38, 39, 40, 41	nmfval 24503	. . 3 ⊢ (norm‘𝑇) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑇) ↦ (𝑥(dist‘𝑇)(0g‘𝑇)))
43	37, 42	eqtr4di 2784	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))(0g‘𝐺))) = (norm‘𝑇))
44	2, 22, 43	3eqtrd 2770	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → 𝑁 = (norm‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  ⟨cop 4579   ↦ cmpt 5170   × cxp 5612   ∘ ccom 5618  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  distcds 17170  0_gc0g 17343  Grpcgrp 18846  -_gcsg 18848  normcnm 24491   toNrmGrp ctng 24493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-tset 17180  df-ds 17183  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-nm 24497  df-tng 24499

This theorem is referenced by:  tngngp2  24567  tngngp  24569  tngngp3  24571  nrmtngnrm  24573  tngnrg  24589  tchnmfval  25155  tcphcph  25164