Theorem tngnm 24819

Description: The topology generated by a normed structure. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngnm.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngnm.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
tngnm.a	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
tngnm	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → 𝑁 = (norm‘𝑇))

Proof of Theorem tngnm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → 𝑁:𝑋⟶𝐴)
2	1	feqmptd 6949	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑁‘𝑥)))
3		tngnm.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
5	3, 4	grpsubf 19091	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (-g‘𝐺):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
6	5	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (-g‘𝐺):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
7		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
8		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
9	3, 8	grpidcl 19038	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
10	9	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
11	7, 10	opelxpd 5699	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ⟨𝑥, (0g‘𝐺)⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
12		fvco3 6981	. . . . . 6 ⊢ (((-g‘𝐺):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ∧ ⟨𝑥, (0g‘𝐺)⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋)) → ((𝑁 ∘ (-g‘𝐺))‘⟨𝑥, (0g‘𝐺)⟩) = (𝑁‘((-g‘𝐺)‘⟨𝑥, (0g‘𝐺)⟩)))
13	6, 11, 12	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑁 ∘ (-g‘𝐺))‘⟨𝑥, (0g‘𝐺)⟩) = (𝑁‘((-g‘𝐺)‘⟨𝑥, (0g‘𝐺)⟩)))
14		df-ov 7415	. . . . 5 ⊢ (𝑥(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))(0g‘𝐺)) = ((𝑁 ∘ (-g‘𝐺))‘⟨𝑥, (0g‘𝐺)⟩)
15		df-ov 7415	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(-g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = ((-g‘𝐺)‘⟨𝑥, (0g‘𝐺)⟩)
16	15	fveq2i 6884	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘(𝑥(-g‘𝐺)(0g‘𝐺))) = (𝑁‘((-g‘𝐺)‘⟨𝑥, (0g‘𝐺)⟩))
17	13, 14, 16	3eqtr4g 2822	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))(0g‘𝐺)) = (𝑁‘(𝑥(-g‘𝐺)(0g‘𝐺))))
18	3, 8, 4	grpsubid1 19097	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(-g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = 𝑥)
19	18	adantlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(-g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = 𝑥)
20	19	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑥(-g‘𝐺)(0g‘𝐺))) = (𝑁‘𝑥))
21	17, 20	eqtr2d 2798	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝑥) = (𝑥(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))(0g‘𝐺)))
22	21	mpteq2dva 5203	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑁‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))(0g‘𝐺))))
23	3	fvexi 6895	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 ∈ V
24		tngnm.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ V
25		fex2 7931	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶𝐴 ∧ 𝑋 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝑁 ∈ V)
26	23, 24, 25	mp3an23 1481	. . . . . 6 ⊢ (𝑁:𝑋⟶𝐴 → 𝑁 ∈ V)
27	26	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → 𝑁 ∈ V)
28		tngnm.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
29	28, 3	tngbas 24809	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ V → 𝑋 = (Base‘𝑇))
30	27, 29	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → 𝑋 = (Base‘𝑇))
31	28, 4	tngds 24816	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ V → (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = (dist‘𝑇))
32	27, 31	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = (dist‘𝑇))
33		eqidd 2763	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → 𝑥 = 𝑥)
34	28, 8	tng0 24811	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ V → (0g‘𝐺) = (0g‘𝑇))
35	27, 34	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝑇))
36	32, 33, 35	oveq123d 7433	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → (𝑥(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))(0g‘𝐺)) = (𝑥(dist‘𝑇)(0g‘𝑇)))
37	30, 36	mpteq12dv 5197	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))(0g‘𝐺))) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑇) ↦ (𝑥(dist‘𝑇)(0g‘𝑇))))
38		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
39		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
40		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
41		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (dist‘𝑇) = (dist‘𝑇)
42	38, 39, 40, 41	nmfval 24756	. . 3 ⊢ (norm‘𝑇) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑇) ↦ (𝑥(dist‘𝑇)(0g‘𝑇)))
43	37, 42	eqtr4di 2815	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))(0g‘𝐺))) = (norm‘𝑇))
44	2, 22, 43	3eqtrd 2801	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → 𝑁 = (norm‘𝑇))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454  ⟨cop 4594   ↦ cmpt 5191   × cxp 5658   ∘ ccom 5664  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Basecbs 17275  distcds 17325  0_gc0g 17498  Grpcgrp 19006  -_gcsg 19008  normcnm 24744   toNrmGrp ctng 24746

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-plusg 17329  df-tset 17335  df-ds 17338  df-0g 17500  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-nm 24750  df-tng 24752

This theorem is used by:  tngngp2  24820  tngngp  24822  tngngp3  24824  nrmtngnrm  24826  tngnrg  24842  tchnmfval  25398  tcphcph  25407