Theorem tngnm 24537

Description: The topology generated by a normed structure. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngnm.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngnm.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
tngnm.a	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
tngnm	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → 𝑁 = (norm‘𝑇))

Proof of Theorem tngnm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → 𝑁:𝑋⟶𝐴)
2	1	feqmptd 6891	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑁‘𝑥)))
3		tngnm.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
5	3, 4	grpsubf 18898	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (-g‘𝐺):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
6	5	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (-g‘𝐺):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
7		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
8		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
9	3, 8	grpidcl 18844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
10	9	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
11	7, 10	opelxpd 5658	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ⟨𝑥, (0g‘𝐺)⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
12		fvco3 6922	. . . . . 6 ⊢ (((-g‘𝐺):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ∧ ⟨𝑥, (0g‘𝐺)⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋)) → ((𝑁 ∘ (-g‘𝐺))‘⟨𝑥, (0g‘𝐺)⟩) = (𝑁‘((-g‘𝐺)‘⟨𝑥, (0g‘𝐺)⟩)))
13	6, 11, 12	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑁 ∘ (-g‘𝐺))‘⟨𝑥, (0g‘𝐺)⟩) = (𝑁‘((-g‘𝐺)‘⟨𝑥, (0g‘𝐺)⟩)))
14		df-ov 7352	. . . . 5 ⊢ (𝑥(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))(0g‘𝐺)) = ((𝑁 ∘ (-g‘𝐺))‘⟨𝑥, (0g‘𝐺)⟩)
15		df-ov 7352	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(-g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = ((-g‘𝐺)‘⟨𝑥, (0g‘𝐺)⟩)
16	15	fveq2i 6825	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘(𝑥(-g‘𝐺)(0g‘𝐺))) = (𝑁‘((-g‘𝐺)‘⟨𝑥, (0g‘𝐺)⟩))
17	13, 14, 16	3eqtr4g 2789	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))(0g‘𝐺)) = (𝑁‘(𝑥(-g‘𝐺)(0g‘𝐺))))
18	3, 8, 4	grpsubid1 18904	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(-g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = 𝑥)
19	18	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(-g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = 𝑥)
20	19	fveq2d 6826	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑥(-g‘𝐺)(0g‘𝐺))) = (𝑁‘𝑥))
21	17, 20	eqtr2d 2765	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝑥) = (𝑥(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))(0g‘𝐺)))
22	21	mpteq2dva 5185	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑁‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))(0g‘𝐺))))
23	3	fvexi 6836	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 ∈ V
24		tngnm.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ V
25		fex2 7869	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶𝐴 ∧ 𝑋 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝑁 ∈ V)
26	23, 24, 25	mp3an23 1455	. . . . . 6 ⊢ (𝑁:𝑋⟶𝐴 → 𝑁 ∈ V)
27	26	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → 𝑁 ∈ V)
28		tngnm.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
29	28, 3	tngbas 24527	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ V → 𝑋 = (Base‘𝑇))
30	27, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → 𝑋 = (Base‘𝑇))
31	28, 4	tngds 24534	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ V → (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = (dist‘𝑇))
32	27, 31	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = (dist‘𝑇))
33		eqidd 2730	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → 𝑥 = 𝑥)
34	28, 8	tng0 24529	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ V → (0g‘𝐺) = (0g‘𝑇))
35	27, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝑇))
36	32, 33, 35	oveq123d 7370	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → (𝑥(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))(0g‘𝐺)) = (𝑥(dist‘𝑇)(0g‘𝑇)))
37	30, 36	mpteq12dv 5179	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))(0g‘𝐺))) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑇) ↦ (𝑥(dist‘𝑇)(0g‘𝑇))))
38		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
39		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
40		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
41		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (dist‘𝑇) = (dist‘𝑇)
42	38, 39, 40, 41	nmfval 24474	. . 3 ⊢ (norm‘𝑇) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑇) ↦ (𝑥(dist‘𝑇)(0g‘𝑇)))
43	37, 42	eqtr4di 2782	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))(0g‘𝐺))) = (norm‘𝑇))
44	2, 22, 43	3eqtrd 2768	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶𝐴) → 𝑁 = (norm‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436  ⟨cop 4583   ↦ cmpt 5173   × cxp 5617   ∘ ccom 5623  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120  distcds 17170  0_gc0g 17343  Grpcgrp 18812  -_gcsg 18814  normcnm 24462   toNrmGrp ctng 24464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-tset 17180  df-ds 17183  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-nm 24468  df-tng 24470

This theorem is referenced by:  tngngp2  24538  tngngp  24540  tngngp3  24542  nrmtngnrm  24544  tngnrg  24560  tchnmfval  25126  tcphcph  25135