MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tngnm 24038
Description: The topology generated by a normed structure. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngnm.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngnm.x 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
tngnm.a 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
tngnm ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) β†’ 𝑁 = (normβ€˜π‘‡))

Proof of Theorem tngnm
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) β†’ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄)
21feqmptd 6914 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) β†’ 𝑁 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘β€˜π‘₯)))
3 tngnm.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
4 eqid 2733 . . . . . . . 8 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
53, 4grpsubf 18834 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp β†’ (-gβ€˜πΊ):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹)
65ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (-gβ€˜πΊ):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹)
7 simpr 486 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
8 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
93, 8grpidcl 18786 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑋)
109ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑋)
117, 10opelxpd 5675 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ⟨π‘₯, (0gβ€˜πΊ)⟩ ∈ (𝑋 Γ— 𝑋))
12 fvco3 6944 . . . . . 6 (((-gβ€˜πΊ):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹ ∧ ⟨π‘₯, (0gβ€˜πΊ)⟩ ∈ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ ((𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ))β€˜βŸ¨π‘₯, (0gβ€˜πΊ)⟩) = (π‘β€˜((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, (0gβ€˜πΊ)⟩)))
136, 11, 12syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ))β€˜βŸ¨π‘₯, (0gβ€˜πΊ)⟩) = (π‘β€˜((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, (0gβ€˜πΊ)⟩)))
14 df-ov 7364 . . . . 5 (π‘₯(𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ))(0gβ€˜πΊ)) = ((𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ))β€˜βŸ¨π‘₯, (0gβ€˜πΊ)⟩)
15 df-ov 7364 . . . . . 6 (π‘₯(-gβ€˜πΊ)(0gβ€˜πΊ)) = ((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, (0gβ€˜πΊ)⟩)
1615fveq2i 6849 . . . . 5 (π‘β€˜(π‘₯(-gβ€˜πΊ)(0gβ€˜πΊ))) = (π‘β€˜((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, (0gβ€˜πΊ)⟩))
1713, 14, 163eqtr4g 2798 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ))(0gβ€˜πΊ)) = (π‘β€˜(π‘₯(-gβ€˜πΊ)(0gβ€˜πΊ))))
183, 8, 4grpsubid1 18840 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(-gβ€˜πΊ)(0gβ€˜πΊ)) = π‘₯)
1918adantlr 714 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(-gβ€˜πΊ)(0gβ€˜πΊ)) = π‘₯)
2019fveq2d 6850 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(π‘₯(-gβ€˜πΊ)(0gβ€˜πΊ))) = (π‘β€˜π‘₯))
2117, 20eqtr2d 2774 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘₯) = (π‘₯(𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ))(0gβ€˜πΊ)))
2221mpteq2dva 5209 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯(𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ))(0gβ€˜πΊ))))
233fvexi 6860 . . . . . . 7 𝑋 ∈ V
24 tngnm.a . . . . . . 7 𝐴 ∈ V
25 fex2 7874 . . . . . . 7 ((𝑁:π‘‹βŸΆπ΄ ∧ 𝑋 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ 𝑁 ∈ V)
2623, 24, 25mp3an23 1454 . . . . . 6 (𝑁:π‘‹βŸΆπ΄ β†’ 𝑁 ∈ V)
2726adantl 483 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) β†’ 𝑁 ∈ V)
28 tngnm.t . . . . . 6 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
2928, 3tngbas 24021 . . . . 5 (𝑁 ∈ V β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜π‘‡))
3027, 29syl 17 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜π‘‡))
3128, 4tngds 24034 . . . . . 6 (𝑁 ∈ V β†’ (𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ)) = (distβ€˜π‘‡))
3227, 31syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) β†’ (𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ)) = (distβ€˜π‘‡))
33 eqidd 2734 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) β†’ π‘₯ = π‘₯)
3428, 8tng0 24025 . . . . . 6 (𝑁 ∈ V β†’ (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜π‘‡))
3527, 34syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) β†’ (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜π‘‡))
3632, 33, 35oveq123d 7382 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) β†’ (π‘₯(𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ))(0gβ€˜πΊ)) = (π‘₯(distβ€˜π‘‡)(0gβ€˜π‘‡)))
3730, 36mpteq12dv 5200 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯(𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ))(0gβ€˜πΊ))) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‡) ↦ (π‘₯(distβ€˜π‘‡)(0gβ€˜π‘‡))))
38 eqid 2733 . . . 4 (normβ€˜π‘‡) = (normβ€˜π‘‡)
39 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
40 eqid 2733 . . . 4 (0gβ€˜π‘‡) = (0gβ€˜π‘‡)
41 eqid 2733 . . . 4 (distβ€˜π‘‡) = (distβ€˜π‘‡)
4238, 39, 40, 41nmfval 23967 . . 3 (normβ€˜π‘‡) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‡) ↦ (π‘₯(distβ€˜π‘‡)(0gβ€˜π‘‡)))
4337, 42eqtr4di 2791 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯(𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ))(0gβ€˜πΊ))) = (normβ€˜π‘‡))
442, 22, 433eqtrd 2777 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆπ΄) β†’ 𝑁 = (normβ€˜π‘‡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447  βŸ¨cop 4596   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635   ∘ ccom 5641  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  distcds 17150  0gc0g 17329  Grpcgrp 18756  -gcsg 18758  normcnm 23955   toNrmGrp ctng 23957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-tset 17160  df-ds 17163  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-nm 23961  df-tng 23963
This theorem is referenced by:  tngngp2  24039  tngngp  24041  tngngp3  24043  nrmtngnrm  24045  tngnrg  24061  tchnmfval  24615  tcphcph  24624
  Copyright terms: Public domain W3C validator