Theorem cnfldsub 21304

Description: The subtraction operator in the field of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldsub	⊢ − = (-g‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldsub

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldbas 21265	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
2		cnfldadd 21267	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
3		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
4		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (-g‘ℂfld) = (-g‘ℂfld)
5	1, 2, 3, 4	grpsubval 18864	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥(-g‘ℂfld)𝑦) = (𝑥 + ((invg‘ℂfld)‘𝑦)))
6		cnfldneg 21302	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝑦) = -𝑦)
7	6	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((invg‘ℂfld)‘𝑦) = -𝑦)
8	7	oveq2d 7365	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + ((invg‘ℂfld)‘𝑦)) = (𝑥 + -𝑦))
9		negsub 11412	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + -𝑦) = (𝑥 − 𝑦))
10	5, 8, 9	3eqtrrd 2769	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑥(-g‘ℂfld)𝑦))
11	10	mpoeq3ia 7427	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 𝑦)) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥(-g‘ℂfld)𝑦))
12		subf 11365	. . . 4 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
13		ffn 6652	. . . 4 ⊢ ( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → − Fn (ℂ × ℂ))
14	12, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ − Fn (ℂ × ℂ)
15		fnov 7480	. . 3 ⊢ ( − Fn (ℂ × ℂ) ↔ − = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 𝑦)))
16	14, 15	mpbi 230	. 2 ⊢ − = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 𝑦))
17		cnring 21297	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
18		ringgrp 20123	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Grp
20	1, 4	grpsubf 18898	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Grp → (-g‘ℂfld):(ℂ × ℂ)⟶ℂ)
21		ffn 6652	. . . 4 ⊢ ((-g‘ℂfld):(ℂ × ℂ)⟶ℂ → (-g‘ℂfld) Fn (ℂ × ℂ))
22	19, 20, 21	mp2b 10	. . 3 ⊢ (-g‘ℂfld) Fn (ℂ × ℂ)
23		fnov 7480	. . 3 ⊢ ((-g‘ℂfld) Fn (ℂ × ℂ) ↔ (-g‘ℂfld) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥(-g‘ℂfld)𝑦)))
24	22, 23	mpbi 230	. 2 ⊢ (-g‘ℂfld) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥(-g‘ℂfld)𝑦))
25	11, 16, 24	3eqtr4i 2762	1 ⊢ − = (-g‘ℂfld)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   × cxp 5617   Fn wfn 6477  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ∈ cmpo 7351  ℂcc 11007   + caddc 11012   − cmin 11347  -cneg 11348  Grpcgrp 18812  inv_gcminusg 18813  -_gcsg 18814  Ringcrg 20118  ℂ_fldccnfld 21261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-addf 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-cmn 19661  df-mgp 20026  df-ring 20120  df-cring 20121  df-cnfld 21262

This theorem is referenced by:  zringsub  21362  zringsubgval  21377  zndvds  21456  resubgval  21516  cnngp  24665  cnfldtgp  24758  clmsub  24978  clmsubcl  24984  cnindmet  25060  constrelextdg2  33720  2sqr3minply  33753  qqhucn  33965