MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfldsub 20825
Description: The subtraction operator in the field of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnfldsub − = (-g‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldsub
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 20800 . . . . 5 ℂ = (Base‘ℂfld)
2 cnfldadd 20801 . . . . 5 + = (+g‘ℂfld)
3 eqid 2736 . . . . 5 (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
4 eqid 2736 . . . . 5 (-g‘ℂfld) = (-g‘ℂfld)
51, 2, 3, 4grpsubval 18796 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥(-g‘ℂfld)𝑦) = (𝑥 + ((invg‘ℂfld)‘𝑦)))
6 cnfldneg 20823 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝑦) = -𝑦)
76adantl 482 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((invg‘ℂfld)‘𝑦) = -𝑦)
87oveq2d 7373 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + ((invg‘ℂfld)‘𝑦)) = (𝑥 + -𝑦))
9 negsub 11449 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + -𝑦) = (𝑥𝑦))
105, 8, 93eqtrrd 2781 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝑦) = (𝑥(-g‘ℂfld)𝑦))
1110mpoeq3ia 7435 . 2 (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑦)) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥(-g‘ℂfld)𝑦))
12 subf 11403 . . . 4 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
13 ffn 6668 . . . 4 ( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → − Fn (ℂ × ℂ))
1412, 13ax-mp 5 . . 3 − Fn (ℂ × ℂ)
15 fnov 7487 . . 3 ( − Fn (ℂ × ℂ) ↔ − = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑦)))
1614, 15mpbi 229 . 2 − = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑦))
17 cnring 20819 . . . . 5 fld ∈ Ring
18 ringgrp 19969 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
1917, 18ax-mp 5 . . . 4 fld ∈ Grp
201, 4grpsubf 18826 . . . 4 (ℂfld ∈ Grp → (-g‘ℂfld):(ℂ × ℂ)⟶ℂ)
21 ffn 6668 . . . 4 ((-g‘ℂfld):(ℂ × ℂ)⟶ℂ → (-g‘ℂfld) Fn (ℂ × ℂ))
2219, 20, 21mp2b 10 . . 3 (-g‘ℂfld) Fn (ℂ × ℂ)
23 fnov 7487 . . 3 ((-g‘ℂfld) Fn (ℂ × ℂ) ↔ (-g‘ℂfld) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥(-g‘ℂfld)𝑦)))
2422, 23mpbi 229 . 2 (-g‘ℂfld) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥(-g‘ℂfld)𝑦))
2511, 16, 243eqtr4i 2774 1 − = (-g‘ℂfld)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106   × cxp 5631   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  cc 11049   + caddc 11054  cmin 11385  -cneg 11386  Grpcgrp 18748  invgcminusg 18749  -gcsg 18750  Ringcrg 19964  fldccnfld 20796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-cmn 19564  df-mgp 19897  df-ring 19966  df-cring 19967  df-cnfld 20797
This theorem is referenced by:  zringsubgval  20891  zndvds  20956  resubgval  21013  cnngp  24143  cnfldtgp  24232  clmsub  24443  clmsubcl  24449  cnindmet  24526  qqhucn  32573
  Copyright terms: Public domain W3C validator