MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfldsub 21427
Description: The subtraction operator in the field of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnfldsub − = (-g‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldsub
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 21385 . . . . 5 ℂ = (Base‘ℂfld)
2 cnfldadd 21387 . . . . 5 + = (+g‘ℂfld)
3 eqid 2734 . . . . 5 (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
4 eqid 2734 . . . . 5 (-g‘ℂfld) = (-g‘ℂfld)
51, 2, 3, 4grpsubval 19015 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥(-g‘ℂfld)𝑦) = (𝑥 + ((invg‘ℂfld)‘𝑦)))
6 cnfldneg 21425 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝑦) = -𝑦)
76adantl 481 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((invg‘ℂfld)‘𝑦) = -𝑦)
87oveq2d 7446 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + ((invg‘ℂfld)‘𝑦)) = (𝑥 + -𝑦))
9 negsub 11554 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + -𝑦) = (𝑥𝑦))
105, 8, 93eqtrrd 2779 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝑦) = (𝑥(-g‘ℂfld)𝑦))
1110mpoeq3ia 7510 . 2 (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑦)) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥(-g‘ℂfld)𝑦))
12 subf 11507 . . . 4 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
13 ffn 6736 . . . 4 ( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → − Fn (ℂ × ℂ))
1412, 13ax-mp 5 . . 3 − Fn (ℂ × ℂ)
15 fnov 7563 . . 3 ( − Fn (ℂ × ℂ) ↔ − = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑦)))
1614, 15mpbi 230 . 2 − = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑦))
17 cnring 21420 . . . . 5 fld ∈ Ring
18 ringgrp 20255 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
1917, 18ax-mp 5 . . . 4 fld ∈ Grp
201, 4grpsubf 19049 . . . 4 (ℂfld ∈ Grp → (-g‘ℂfld):(ℂ × ℂ)⟶ℂ)
21 ffn 6736 . . . 4 ((-g‘ℂfld):(ℂ × ℂ)⟶ℂ → (-g‘ℂfld) Fn (ℂ × ℂ))
2219, 20, 21mp2b 10 . . 3 (-g‘ℂfld) Fn (ℂ × ℂ)
23 fnov 7563 . . 3 ((-g‘ℂfld) Fn (ℂ × ℂ) ↔ (-g‘ℂfld) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥(-g‘ℂfld)𝑦)))
2422, 23mpbi 230 . 2 (-g‘ℂfld) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥(-g‘ℂfld)𝑦))
2511, 16, 243eqtr4i 2772 1 − = (-g‘ℂfld)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105   × cxp 5686   Fn wfn 6557  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cmpo 7432  cc 11150   + caddc 11155  cmin 11489  -cneg 11490  Grpcgrp 18963  invgcminusg 18964  -gcsg 18965  Ringcrg 20250  fldccnfld 21381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-cmn 19814  df-mgp 20152  df-ring 20252  df-cring 20253  df-cnfld 21382
This theorem is referenced by:  zringsub  21483  zringsubgval  21498  zndvds  21585  resubgval  21644  cnngp  24815  cnfldtgp  24906  clmsub  25126  clmsubcl  25132  cnindmet  25209  constrelextdg2  33751  2sqr3minply  33752  qqhucn  33954
  Copyright terms: Public domain W3C validator