Theorem cnfldsub 21379

Description: The subtraction operator in the field of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldsub	⊢ − = (-g‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldsub

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldbas 21355	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
2		cnfldadd 21357	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
3		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
4		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (-g‘ℂfld) = (-g‘ℂfld)
5	1, 2, 3, 4	grpsubval 18956	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥(-g‘ℂfld)𝑦) = (𝑥 + ((invg‘ℂfld)‘𝑦)))
6		cnfldneg 21377	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝑦) = -𝑦)
7	6	adantl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((invg‘ℂfld)‘𝑦) = -𝑦)
8	7	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + ((invg‘ℂfld)‘𝑦)) = (𝑥 + -𝑦))
9		negsub 11437	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + -𝑦) = (𝑥 − 𝑦))
10	5, 8, 9	3eqtrrd 2781	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑥(-g‘ℂfld)𝑦))
11	10	mpoeq3ia 7438	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 𝑦)) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥(-g‘ℂfld)𝑦))
12		subf 11390	. . . 4 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
13		ffn 6659	. . . 4 ⊢ ( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → − Fn (ℂ × ℂ))
14	12, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ − Fn (ℂ × ℂ)
15		fnov 7491	. . 3 ⊢ ( − Fn (ℂ × ℂ) ↔ − = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 𝑦)))
16	14, 15	mpbi 232	. 2 ⊢ − = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 𝑦))
17		cnring 21373	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
18		ringgrp 20214	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Grp
20	1, 4	grpsubf 18990	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Grp → (-g‘ℂfld):(ℂ × ℂ)⟶ℂ)
21		ffn 6659	. . . 4 ⊢ ((-g‘ℂfld):(ℂ × ℂ)⟶ℂ → (-g‘ℂfld) Fn (ℂ × ℂ))
22	19, 20, 21	mp2b 10	. . 3 ⊢ (-g‘ℂfld) Fn (ℂ × ℂ)
23		fnov 7491	. . 3 ⊢ ((-g‘ℂfld) Fn (ℂ × ℂ) ↔ (-g‘ℂfld) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥(-g‘ℂfld)𝑦)))
24	22, 23	mpbi 232	. 2 ⊢ (-g‘ℂfld) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥(-g‘ℂfld)𝑦))
25	11, 16, 24	3eqtr4i 2774	1 ⊢ − = (-g‘ℂfld)

Syntax hints:   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   × cxp 5619   Fn wfn 6484  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360   ∈ cmpo 7362  ℂcc 11031   + caddc 11036   − cmin 11372  -cneg 11373  Grpcgrp 18904  inv_gcminusg 18905  -_gcsg 18906  Ringcrg 20209  ℂ_fldccnfld 21351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-addf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-cmn 19752  df-mgp 20117  df-ring 20211  df-cring 20212  df-cnfld 21352

This theorem is referenced by:  zringsub  21434  zringsubgval  21449  zndvds  21528  resubgval  21588  cnngp  24766  cnfldtgp  24858  clmsub  25069  clmsubcl  25075  cnindmet  25151  constrelextdg2  33943  2sqr3minply  33976  qqhucn  34188