Theorem cnfldsub 21519

Description: The subtraction operator in the field of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldsub	⊢ − = (-g‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldsub

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldbas 21495	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
2		cnfldadd 21497	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
3		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
4		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (-g‘ℂfld) = (-g‘ℂfld)
5	1, 2, 3, 4	grpsubval 19052	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥(-g‘ℂfld)𝑦) = (𝑥 + ((invg‘ℂfld)‘𝑦)))
6		cnfldneg 21517	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝑦) = -𝑦)
7	6	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((invg‘ℂfld)‘𝑦) = -𝑦)
8	7	oveq2d 7427	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + ((invg‘ℂfld)‘𝑦)) = (𝑥 + -𝑦))
9		negsub 11506	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + -𝑦) = (𝑥 − 𝑦))
10	5, 8, 9	3eqtrrd 2809	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑥(-g‘ℂfld)𝑦))
11	10	mpoeq3ia 7489	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 𝑦)) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥(-g‘ℂfld)𝑦))
12		subf 11459	. . . 4 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
13		ffn 6706	. . . 4 ⊢ ( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → − Fn (ℂ × ℂ))
14	12, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ − Fn (ℂ × ℂ)
15		fnov 7542	. . 3 ⊢ ( − Fn (ℂ × ℂ) ↔ − = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 𝑦)))
16	14, 15	mpbi 233	. 2 ⊢ − = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 𝑦))
17		cnring 21513	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
18		ringgrp 20320	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Grp
20	1, 4	grpsubf 19085	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Grp → (-g‘ℂfld):(ℂ × ℂ)⟶ℂ)
21		ffn 6706	. . . 4 ⊢ ((-g‘ℂfld):(ℂ × ℂ)⟶ℂ → (-g‘ℂfld) Fn (ℂ × ℂ))
22	19, 20, 21	mp2b 10	. . 3 ⊢ (-g‘ℂfld) Fn (ℂ × ℂ)
23		fnov 7542	. . 3 ⊢ ((-g‘ℂfld) Fn (ℂ × ℂ) ↔ (-g‘ℂfld) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥(-g‘ℂfld)𝑦)))
24	22, 23	mpbi 233	. 2 ⊢ (-g‘ℂfld) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥(-g‘ℂfld)𝑦))
25	11, 16, 24	3eqtr4i 2802	1 ⊢ − = (-g‘ℂfld)

Syntax hints:   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   × cxp 5660   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  ℂcc 11098   + caddc 11103   − cmin 11441  -cneg 11442  Grpcgrp 19000  inv_gcminusg 19001  -_gcsg 19002  Ringcrg 20315  ℂ_fldccnfld 21491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-addf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-0g 17494  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-cmn 19852  df-mgp 20217  df-ring 20317  df-cring 20318  df-cnfld 21492

This theorem is referenced by:  zringsub  21574  zringsubgval  21589  zndvds  21668  resubgval  21728  cnngp  24905  cnfldtgp  24997  clmsub  25208  clmsubcl  25214  cnindmet  25290  constrelextdg2  34082  2sqr3minply  34115  qqhucn  34327