Theorem cnfldsub 21358

Description: The subtraction operator in the field of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldsub	⊢ − = (-g‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldsub

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldbas 21317	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
2		cnfldadd 21319	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
3		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
4		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (-g‘ℂfld) = (-g‘ℂfld)
5	1, 2, 3, 4	grpsubval 18966	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥(-g‘ℂfld)𝑦) = (𝑥 + ((invg‘ℂfld)‘𝑦)))
6		cnfldneg 21356	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝑦) = -𝑦)
7	6	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((invg‘ℂfld)‘𝑦) = -𝑦)
8	7	oveq2d 7419	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + ((invg‘ℂfld)‘𝑦)) = (𝑥 + -𝑦))
9		negsub 11529	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + -𝑦) = (𝑥 − 𝑦))
10	5, 8, 9	3eqtrrd 2775	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑥(-g‘ℂfld)𝑦))
11	10	mpoeq3ia 7483	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 𝑦)) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥(-g‘ℂfld)𝑦))
12		subf 11482	. . . 4 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
13		ffn 6705	. . . 4 ⊢ ( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → − Fn (ℂ × ℂ))
14	12, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ − Fn (ℂ × ℂ)
15		fnov 7536	. . 3 ⊢ ( − Fn (ℂ × ℂ) ↔ − = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 𝑦)))
16	14, 15	mpbi 230	. 2 ⊢ − = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 𝑦))
17		cnring 21351	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
18		ringgrp 20196	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Grp
20	1, 4	grpsubf 19000	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Grp → (-g‘ℂfld):(ℂ × ℂ)⟶ℂ)
21		ffn 6705	. . . 4 ⊢ ((-g‘ℂfld):(ℂ × ℂ)⟶ℂ → (-g‘ℂfld) Fn (ℂ × ℂ))
22	19, 20, 21	mp2b 10	. . 3 ⊢ (-g‘ℂfld) Fn (ℂ × ℂ)
23		fnov 7536	. . 3 ⊢ ((-g‘ℂfld) Fn (ℂ × ℂ) ↔ (-g‘ℂfld) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥(-g‘ℂfld)𝑦)))
24	22, 23	mpbi 230	. 2 ⊢ (-g‘ℂfld) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥(-g‘ℂfld)𝑦))
25	11, 16, 24	3eqtr4i 2768	1 ⊢ − = (-g‘ℂfld)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   × cxp 5652   Fn wfn 6525  ⟶wf 6526  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403   ∈ cmpo 7405  ℂcc 11125   + caddc 11130   − cmin 11464  -cneg 11465  Grpcgrp 18914  inv_gcminusg 18915  -_gcsg 18916  Ringcrg 20191  ℂ_fldccnfld 21313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-addf 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-fz 13523  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-0g 17453  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-grp 18917  df-minusg 18918  df-sbg 18919  df-cmn 19761  df-mgp 20099  df-ring 20193  df-cring 20194  df-cnfld 21314

This theorem is referenced by:  zringsub  21414  zringsubgval  21429  zndvds  21508  resubgval  21567  cnngp  24716  cnfldtgp  24809  clmsub  25029  clmsubcl  25035  cnindmet  25112  constrelextdg2  33727  2sqr3minply  33760  qqhucn  33969