MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfldsub 20287
Description: The subtraction operator in the field of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnfldsub − = (-g‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldsub
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 20263 . . . . 5 ℂ = (Base‘ℂfld)
2 cnfldadd 20264 . . . . 5 + = (+g‘ℂfld)
3 eqid 2772 . . . . 5 (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
4 eqid 2772 . . . . 5 (-g‘ℂfld) = (-g‘ℂfld)
51, 2, 3, 4grpsubval 17948 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥(-g‘ℂfld)𝑦) = (𝑥 + ((invg‘ℂfld)‘𝑦)))
6 cnfldneg 20285 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝑦) = -𝑦)
76adantl 474 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((invg‘ℂfld)‘𝑦) = -𝑦)
87oveq2d 6990 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + ((invg‘ℂfld)‘𝑦)) = (𝑥 + -𝑦))
9 negsub 10733 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + -𝑦) = (𝑥𝑦))
105, 8, 93eqtrrd 2813 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝑦) = (𝑥(-g‘ℂfld)𝑦))
1110mpoeq3ia 7048 . 2 (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑦)) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥(-g‘ℂfld)𝑦))
12 subf 10686 . . . 4 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
13 ffn 6341 . . . 4 ( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → − Fn (ℂ × ℂ))
1412, 13ax-mp 5 . . 3 − Fn (ℂ × ℂ)
15 fnov 7096 . . 3 ( − Fn (ℂ × ℂ) ↔ − = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑦)))
1614, 15mpbi 222 . 2 − = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑦))
17 cnring 20281 . . . . 5 fld ∈ Ring
18 ringgrp 19037 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
1917, 18ax-mp 5 . . . 4 fld ∈ Grp
201, 4grpsubf 17977 . . . 4 (ℂfld ∈ Grp → (-g‘ℂfld):(ℂ × ℂ)⟶ℂ)
21 ffn 6341 . . . 4 ((-g‘ℂfld):(ℂ × ℂ)⟶ℂ → (-g‘ℂfld) Fn (ℂ × ℂ))
2219, 20, 21mp2b 10 . . 3 (-g‘ℂfld) Fn (ℂ × ℂ)
23 fnov 7096 . . 3 ((-g‘ℂfld) Fn (ℂ × ℂ) ↔ (-g‘ℂfld) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥(-g‘ℂfld)𝑦)))
2422, 23mpbi 222 . 2 (-g‘ℂfld) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥(-g‘ℂfld)𝑦))
2511, 16, 243eqtr4i 2806 1 − = (-g‘ℂfld)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050   × cxp 5401   Fn wfn 6180  wf 6181  cfv 6185  (class class class)co 6974  cmpo 6976  cc 10331   + caddc 10336  cmin 10668  -cneg 10669  Grpcgrp 17903  invgcminusg 17904  -gcsg 17905  Ringcrg 19032  fldccnfld 20259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-addf 10412  ax-mulf 10413
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-5 11504  df-6 11505  df-7 11506  df-8 11507  df-9 11508  df-n0 11706  df-z 11792  df-dec 11910  df-uz 12057  df-fz 12707  df-struct 16339  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-sets 16344  df-plusg 16432  df-mulr 16433  df-starv 16434  df-tset 16438  df-ple 16439  df-ds 16441  df-unif 16442  df-0g 16569  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-grp 17906  df-minusg 17907  df-sbg 17908  df-cmn 18680  df-mgp 18975  df-ring 19034  df-cring 19035  df-cnfld 20260
This theorem is referenced by:  zndvds  20410  resubgval  20467  cnngp  23103  cnfldtgp  23192  clmsub  23399  clmsubcl  23405  cnindmet  23481  qqhucn  30906  zringsubgval  43841
  Copyright terms: Public domain W3C validator