Theorem gt0ne0sd 28238

Description: A positive surreal is not equal to zero. (Contributed by Scott Fenton, 12-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
gt0ne0sd.1	⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0sd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0s )

Proof of Theorem gt0ne0sd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0sd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐴)
2		gt0ne0s 28237	. 2 ⊢ ( 0s <s 𝐴 → 𝐴 ≠ 0s )
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0s )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ≠ wne 2959   class class class wbr 5106   <s clts 28031   0_s c0s 28224

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-ord 6386  df-on 6387  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-no 28033  df-lts 28034  df-bday 28035  df-slts 28177  df-cuts 28179  df-0s 28226

This theorem is used by:  0elleft  28330  ltdivmulswd  28618  ltmuldivswd  28620  precsexlem8  28633  precsexlem9  28634  ltdivmulsd  28646  ltdivmuls2d  28647  ltmuldivsd  28648  ltmuldivs2d  28649