Theorem ltmuldivswd 28394

Description: Surreal less-than relationship between division and multiplication. Weak version. (Contributed by Scott Fenton, 14-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltdivmulswd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
ltdivmulswd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
ltdivmulswd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
ltdivmulswd.4	⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)
ltdivmulswd.5	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐶 ·s 𝑥) = 1s )

Assertion

Ref	Expression
ltmuldivswd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐶) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s (𝐵 /su 𝐶)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ltmuldivswd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltdivmulswd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		ltdivmulswd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		ltdivmulswd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
4		ltdivmulswd.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)
5	4	gt0ne0sd 28012	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0s )
6		ltdivmulswd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐶 ·s 𝑥) = 1s )
7	2, 3, 5, 6	divsclwd 28389	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 /su 𝐶) ∈ No )
8	1, 7, 3, 4	ltmuls1d 28366	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s (𝐵 /su 𝐶) ↔ (𝐴 ·s 𝐶) <s ((𝐵 /su 𝐶) ·s 𝐶)))
9	2, 3, 5, 6	divscan1wd 28391	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 /su 𝐶) ·s 𝐶) = 𝐵)
10	9	breq2d 5121	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐶) <s ((𝐵 /su 𝐶) ·s 𝐶) ↔ (𝐴 ·s 𝐶) <s 𝐵))
11	8, 10	bitr2d 283	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐶) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s (𝐵 /su 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410   No csur 27804   <s clts 27805   0_s c0s 27998   1_s c1s 27999   ·_s cmuls 28299   /_su cdivs 28380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-ot 4598  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-1o 8449  df-2o 8450  df-nadd 8648  df-no 27807  df-lts 27808  df-bday 27809  df-les 27909  df-slts 27951  df-cuts 27953  df-0s 28000  df-1s 28001  df-made 28020  df-old 28021  df-left 28023  df-right 28024  df-norec 28131  df-norec2 28142  df-adds 28153  df-negs 28214  df-subs 28215  df-muls 28300  df-divs 28381

This theorem is referenced by:  ltmuldivs2wd  28395  precsexlem9  28408  ltmuldivsd  28422