Theorem ltmuldivswd 28211

Description: Surreal less-than relationship between division and multiplication. Weak version. (Contributed by Scott Fenton, 14-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltdivmulswd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
ltdivmulswd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
ltdivmulswd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
ltdivmulswd.4	⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)
ltdivmulswd.5	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐶 ·s 𝑥) = 1s )

Assertion

Ref	Expression
ltmuldivswd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐶) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s (𝐵 /su 𝐶)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ltmuldivswd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltdivmulswd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		ltdivmulswd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		ltdivmulswd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
4		ltdivmulswd.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)
5	4	gt0ne0sd 27829	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0s )
6		ltdivmulswd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐶 ·s 𝑥) = 1s )
7	2, 3, 5, 6	divsclwd 28206	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 /su 𝐶) ∈ No )
8	1, 7, 3, 4	ltmuls1d 28183	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s (𝐵 /su 𝐶) ↔ (𝐴 ·s 𝐶) <s ((𝐵 /su 𝐶) ·s 𝐶)))
9	2, 3, 5, 6	divscan1wd 28208	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 /su 𝐶) ·s 𝐶) = 𝐵)
10	9	breq2d 5084	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐶) <s ((𝐵 /su 𝐶) ·s 𝐶) ↔ (𝐴 ·s 𝐶) <s 𝐵))
11	8, 10	bitr2d 281	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐶) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s (𝐵 /su 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3063   class class class wbr 5072  (class class class)co 7356   No csur 27621   <s clts 27622   0_s c0s 27815   1_s c1s 27816   ·_s cmuls 28116   /_su cdivs 28197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-ot 4564  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-1o 8395  df-2o 8396  df-nadd 8592  df-no 27624  df-lts 27625  df-bday 27626  df-les 27727  df-slts 27768  df-cuts 27770  df-0s 27817  df-1s 27818  df-made 27837  df-old 27838  df-left 27840  df-right 27841  df-norec 27948  df-norec2 27959  df-adds 27970  df-negs 28031  df-subs 28032  df-muls 28117  df-divs 28198

This theorem is referenced by:  ltmuldivs2wd  28212  precsexlem9  28225  ltmuldivsd  28239