Theorem ltmuldivswd 28356

Description: Surreal less-than relationship between division and multiplication. Weak version. (Contributed by Scott Fenton, 14-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltdivmulswd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
ltdivmulswd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
ltdivmulswd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
ltdivmulswd.4	⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)
ltdivmulswd.5	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐶 ·s 𝑥) = 1s )

Assertion

Ref	Expression
ltmuldivswd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐶) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s (𝐵 /su 𝐶)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ltmuldivswd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltdivmulswd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		ltdivmulswd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		ltdivmulswd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
4		ltdivmulswd.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)
5	4	gt0ne0sd 27974	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0s )
6		ltdivmulswd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐶 ·s 𝑥) = 1s )
7	2, 3, 5, 6	divsclwd 28351	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 /su 𝐶) ∈ No )
8	1, 7, 3, 4	ltmuls1d 28328	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s (𝐵 /su 𝐶) ↔ (𝐴 ·s 𝐶) <s ((𝐵 /su 𝐶) ·s 𝐶)))
9	2, 3, 5, 6	divscan1wd 28353	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 /su 𝐶) ·s 𝐶) = 𝐵)
10	9	breq2d 5122	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐶) <s ((𝐵 /su 𝐶) ·s 𝐶) ↔ (𝐴 ·s 𝐶) <s 𝐵))
11	8, 10	bitr2d 283	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐶) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s (𝐵 /su 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095   class class class wbr 5110  (class class class)co 7408   No csur 27766   <s clts 27767   0_s c0s 27960   1_s c1s 27961   ·_s cmuls 28261   /_su cdivs 28342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-1o 8449  df-2o 8450  df-nadd 8648  df-no 27769  df-lts 27770  df-bday 27771  df-les 27871  df-slts 27913  df-cuts 27915  df-0s 27962  df-1s 27963  df-made 27982  df-old 27983  df-left 27985  df-right 27986  df-norec 28093  df-norec2 28104  df-adds 28115  df-negs 28176  df-subs 28177  df-muls 28262  df-divs 28343

This theorem is referenced by:  ltmuldivs2wd  28357  precsexlem9  28370  ltmuldivsd  28384