Theorem 0elleft 27859

Description: Zero is in the left set of any positive number. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
0elleft.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
0elleft.2	⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
0elleft	⊢ (𝜑 → 0s ∈ ( L ‘𝐴))

Proof of Theorem 0elleft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elleft.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		0elleft.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐴)
3	2	sgt0ne0d 27783	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0s )
4	1, 3	0elold 27858	. 2 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)))
5		elleft 27809	. 2 ⊢ ( 0s ∈ ( L ‘𝐴) ↔ ( 0s ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∧ 0s <s 𝐴))
6	4, 2, 5	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ ( L ‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  ‘cfv 6488   No csur 27581   <s cslt 27582   bday cbday 27583   0_s c0s 27769   O cold 27787   L cleft 27789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-1o 8393  df-2o 8394  df-no 27584  df-slt 27585  df-bday 27586  df-sslt 27724  df-scut 27726  df-0s 27771  df-made 27791  df-old 27792  df-left 27794  df-right 27795

This theorem is referenced by:  cutpos  27880  precsexlem11  28158