Theorem 0elleft 27787

Description: Zero is in the left set of any positive number. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
0elleft.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
0elleft.2	⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
0elleft	⊢ (𝜑 → 0s ∈ ( L ‘𝐴))

Proof of Theorem 0elleft

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elleft.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		0elleft.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐴)
3	2	sgt0ne0d 27719	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0s )
4	1, 3	0elold 27786	. 2 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)))
5		breq1 5144	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0s → (𝑥 <s 𝐴 ↔ 0s <s 𝐴))
6		leftval 27741	. . 3 ⊢ ( L ‘𝐴) = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝑥 <s 𝐴}
7	5, 6	elrab2 3681	. 2 ⊢ ( 0s ∈ ( L ‘𝐴) ↔ ( 0s ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∧ 0s <s 𝐴))
8	4, 2, 7	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ ( L ‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  ‘cfv 6536   No csur 27524   <s cslt 27525   bday cbday 27526   0_s c0s 27706   O cold 27721   L cleft 27723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-1o 8464  df-2o 8465  df-no 27527  df-slt 27528  df-bday 27529  df-sslt 27665  df-scut 27667  df-0s 27708  df-made 27725  df-old 27726  df-left 27728  df-right 27729

This theorem is referenced by:  cutpos  27804  precsexlem11  28066