Theorem 0elleft 28066

Description: Zero is in the left set of any positive number. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
0elleft.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
0elleft.2	⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
0elleft	⊢ (𝜑 → 0s ∈ ( L ‘𝐴))

Proof of Theorem 0elleft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elleft.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		0elleft.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐴)
3	2	gt0ne0sd 27974	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0s )
4	1, 3	0elold 28065	. 2 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)))
5		elleft 28006	. 2 ⊢ ( 0s ∈ ( L ‘𝐴) ↔ ( 0s ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∧ 0s <s 𝐴))
6	4, 2, 5	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ ( L ‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5110  ‘cfv 6534   No csur 27766   <s clts 27767   bday cbday 27768   0_s c0s 27960   O cold 27978   L cleft 27980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-1o 8449  df-2o 8450  df-no 27769  df-lts 27770  df-bday 27771  df-slts 27913  df-cuts 27915  df-0s 27962  df-made 27982  df-old 27983  df-left 27985  df-right 27986

This theorem is referenced by:  cutpos  28088  precsexlem11  28372  bdayfinbndlem1  28622