MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0elleft Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0elleft 27963
Description: Zero is in the left set of any positive number. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
0elleft.1 (𝜑𝐴 No )
0elleft.2 (𝜑 → 0s <s 𝐴)
Assertion
Ref Expression
0elleft (𝜑 → 0s ∈ ( L ‘𝐴))

Proof of Theorem 0elleft
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0elleft.1 . . 3 (𝜑𝐴 No )
2 0elleft.2 . . . 4 (𝜑 → 0s <s 𝐴)
32sgt0ne0d 27895 . . 3 (𝜑𝐴 ≠ 0s )
41, 30elold 27962 . 2 (𝜑 → 0s ∈ ( O ‘( bday 𝐴)))
5 breq1 5151 . . 3 (𝑥 = 0s → (𝑥 <s 𝐴 ↔ 0s <s 𝐴))
6 leftval 27917 . . 3 ( L ‘𝐴) = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday 𝐴)) ∣ 𝑥 <s 𝐴}
75, 6elrab2 3698 . 2 ( 0s ∈ ( L ‘𝐴) ↔ ( 0s ∈ ( O ‘( bday 𝐴)) ∧ 0s <s 𝐴))
84, 2, 7sylanbrc 583 1 (𝜑 → 0s ∈ ( L ‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106   class class class wbr 5148  cfv 6563   No csur 27699   <s cslt 27700   bday cbday 27701   0s c0s 27882   O cold 27897   L cleft 27899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-1o 8505  df-2o 8506  df-no 27702  df-slt 27703  df-bday 27704  df-sslt 27841  df-scut 27843  df-0s 27884  df-made 27901  df-old 27902  df-left 27904  df-right 27905
This theorem is referenced by:  cutpos  27982  precsexlem11  28256
  Copyright terms: Public domain W3C validator