MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0elleft Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0elleft 27854
Description: Zero is in the left set of any positive number. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
0elleft.1 (𝜑𝐴 No )
0elleft.2 (𝜑 → 0s <s 𝐴)
Assertion
Ref Expression
0elleft (𝜑 → 0s ∈ ( L ‘𝐴))

Proof of Theorem 0elleft
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0elleft.1 . . 3 (𝜑𝐴 No )
2 0elleft.2 . . . 4 (𝜑 → 0s <s 𝐴)
32sgt0ne0d 27786 . . 3 (𝜑𝐴 ≠ 0s )
41, 30elold 27853 . 2 (𝜑 → 0s ∈ ( O ‘( bday 𝐴)))
5 breq1 5153 . . 3 (𝑥 = 0s → (𝑥 <s 𝐴 ↔ 0s <s 𝐴))
6 leftval 27808 . . 3 ( L ‘𝐴) = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday 𝐴)) ∣ 𝑥 <s 𝐴}
75, 6elrab2 3685 . 2 ( 0s ∈ ( L ‘𝐴) ↔ ( 0s ∈ ( O ‘( bday 𝐴)) ∧ 0s <s 𝐴))
84, 2, 7sylanbrc 581 1 (𝜑 → 0s ∈ ( L ‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2098   class class class wbr 5150  cfv 6551   No csur 27591   <s cslt 27592   bday cbday 27593   0s c0s 27773   O cold 27788   L cleft 27790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-1o 8491  df-2o 8492  df-no 27594  df-slt 27595  df-bday 27596  df-sslt 27732  df-scut 27734  df-0s 27775  df-made 27792  df-old 27793  df-left 27795  df-right 27796
This theorem is referenced by:  cutpos  27871  precsexlem11  28133
  Copyright terms: Public domain W3C validator