Theorem ltdivmulswd 28205

Description: Surreal less-than relationship between division and multiplication. Weak version. (Contributed by Scott Fenton, 14-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltdivmulswd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
ltdivmulswd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
ltdivmulswd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
ltdivmulswd.4	⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)
ltdivmulswd.5	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐶 ·s 𝑥) = 1s )

Assertion

Ref	Expression
ltdivmulswd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐶) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s (𝐶 ·s 𝐵)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ltdivmulswd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltdivmulswd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		ltdivmulswd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
3		ltdivmulswd.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)
4	3	gt0ne0sd 27825	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0s )
5		ltdivmulswd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐶 ·s 𝑥) = 1s )
6	1, 2, 4, 5	divsclwd 28202	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su 𝐶) ∈ No )
7		ltdivmulswd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
8	6, 7, 2, 3	ltmuls2d 28178	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐶) <s 𝐵 ↔ (𝐶 ·s (𝐴 /su 𝐶)) <s (𝐶 ·s 𝐵)))
9	1, 2, 4, 5	divscan2wd 28203	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·s (𝐴 /su 𝐶)) = 𝐴)
10	9	breq1d 5096	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·s (𝐴 /su 𝐶)) <s (𝐶 ·s 𝐵) ↔ 𝐴 <s (𝐶 ·s 𝐵)))
11	8, 10	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐶) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s (𝐶 ·s 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   class class class wbr 5086  (class class class)co 7360   No csur 27617   <s clts 27618   0_s c0s 27811   1_s c1s 27812   ·_s cmuls 28112   /_su cdivs 28193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-1o 8398  df-2o 8399  df-nadd 8595  df-no 27620  df-lts 27621  df-bday 27622  df-les 27723  df-slts 27764  df-cuts 27766  df-0s 27813  df-1s 27814  df-made 27833  df-old 27834  df-left 27836  df-right 27837  df-norec 27944  df-norec2 27955  df-adds 27966  df-negs 28027  df-subs 28028  df-muls 28113  df-divs 28194

This theorem is referenced by:  ltdivmuls2wd  28206  precsexlem9  28221  precsexlem11  28223  ltdivmulsd  28233  pw2ltdivmulsd  28456