Theorem ltdivmuls2d 28458

Description: Surreal less-than relationship between division and multiplication. (Contributed by Scott Fenton, 16-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltdivmulsd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
ltdivmulsd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
ltdivmulsd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
ltdivmulsd.4	⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ltdivmuls2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐶) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s (𝐵 ·s 𝐶)))

Proof of Theorem ltdivmuls2d

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltdivmulsd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		ltdivmulsd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		ltdivmulsd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
4		ltdivmulsd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)
5	4	gt0ne0sd 28049	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0s )
6	3, 5	recsexd 28450	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐶 ·s 𝑥) = 1s )
7	1, 2, 3, 4, 6	ltdivmuls2wd 28430	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐶) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s (𝐵 ·s 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  (class class class)co 7423   No csur 27841   <s clts 27842   0_s c0s 28035   ·_s cmuls 28336   /_su cdivs 28417

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-dc 10448

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-nadd 8661  df-no 27844  df-lts 27845  df-bday 27846  df-les 27946  df-slts 27988  df-cuts 27990  df-0s 28037  df-1s 28038  df-made 28057  df-old 28058  df-left 28060  df-right 28061  df-norec 28168  df-norec2 28179  df-adds 28190  df-negs 28251  df-subs 28252  df-muls 28337  df-divs 28418

This theorem is used by: (None)