Theorem ltmuldivs2d 28389

Description: Surreal less-than relationship between division and multiplication. (Contributed by Scott Fenton, 16-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltdivmulsd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
ltdivmulsd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
ltdivmulsd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
ltdivmulsd.4	⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ltmuldivs2d	⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·s 𝐴) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s (𝐵 /su 𝐶)))

Proof of Theorem ltmuldivs2d

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltdivmulsd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		ltdivmulsd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		ltdivmulsd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
4		ltdivmulsd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)
5	4	gt0ne0sd 27978	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0s )
6	3, 5	recsexd 28379	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐶 ·s 𝑥) = 1s )
7	1, 2, 3, 4, 6	ltmuldivs2wd 28361	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·s 𝐴) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s (𝐵 /su 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113  (class class class)co 7411   No csur 27770   <s clts 27771   0_s c0s 27964   ·_s cmuls 28265   /_su cdivs 28346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-dc 10430

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-oadd 8457  df-nadd 8652  df-no 27773  df-lts 27774  df-bday 27775  df-les 27875  df-slts 27917  df-cuts 27919  df-0s 27966  df-1s 27967  df-made 27986  df-old 27987  df-left 27989  df-right 27990  df-norec 28097  df-norec2 28108  df-adds 28119  df-negs 28180  df-subs 28181  df-muls 28266  df-divs 28347

This theorem is referenced by: (None)