HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cnvadj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnvadj 31145
Description: The adjoint function equals its converse. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
cnvadj โ—กadjโ„Ž = adjโ„Ž

Proof of Theorem cnvadj
Dummy variables ๐‘ข ๐‘ก ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvopab 6139 . . 3 โ—ก{โŸจ๐‘ข, ๐‘กโŸฉ โˆฃ (๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))} = {โŸจ๐‘ก, ๐‘ขโŸฉ โˆฃ (๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))}
2 3ancoma 1099 . . . . 5 ((๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
3 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
4 ax-his1 30335 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ขโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ขโ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฅ) = (โˆ—โ€˜(๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ))))
53, 4sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ขโ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฅ) = (โˆ—โ€˜(๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ))))
65adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘ขโ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฅ) = (โˆ—โ€˜(๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ))))
7 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘กโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
8 ax-his1 30335 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘กโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฆ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฅ)) = (โˆ—โ€˜((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
97, 8sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฆ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฅ)) = (โˆ—โ€˜((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
109adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฆ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฅ)) = (โˆ—โ€˜((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
116, 10eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘ขโ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฅ)) โ†” (โˆ—โ€˜(๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ))) = (โˆ—โ€˜((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))))
1211ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘ขโ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฅ)) โ†” (โˆ—โ€˜(๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ))) = (โˆ—โ€˜((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))))
13 hicl 30333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‚)
143, 13sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‚)
1514adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‚)
16 hicl 30333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
177, 16sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
1817adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
19 cj11 15109 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โˆ—โ€˜(๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ))) = (โˆ—โ€˜((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
2015, 18, 19syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((โˆ—โ€˜(๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ))) = (โˆ—โ€˜((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
2112, 20bitr2d 280 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” ((๐‘ขโ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฅ))))
2221an4s 659 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” ((๐‘ขโ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฅ))))
2322anassrs 469 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” ((๐‘ขโ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฅ))))
24 eqcom 2740 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ขโ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฅ)) โ†” (๐‘ฆ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฅ))
2523, 24bitrdi 287 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ฆ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฅ)))
2625ralbidva 3176 . . . . . . . . 9 (((๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฅ)))
2726ralbidva 3176 . . . . . . . 8 ((๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฅ)))
28 ralcom 3287 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฅ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฅ))
2927, 28bitrdi 287 . . . . . . 7 ((๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฅ)))
3029pm5.32i 576 . . . . . 6 (((๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†” ((๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฅ)))
31 df-3an 1090 . . . . . 6 ((๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†” ((๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
32 df-3an 1090 . . . . . 6 ((๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฅ)) โ†” ((๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฅ)))
3330, 31, 323bitr4i 303 . . . . 5 ((๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฅ)))
342, 33bitri 275 . . . 4 ((๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฅ)))
3534opabbii 5216 . . 3 {โŸจ๐‘ก, ๐‘ขโŸฉ โˆฃ (๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))} = {โŸจ๐‘ก, ๐‘ขโŸฉ โˆฃ (๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฅ))}
361, 35eqtri 2761 . 2 โ—ก{โŸจ๐‘ข, ๐‘กโŸฉ โˆฃ (๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))} = {โŸจ๐‘ก, ๐‘ขโŸฉ โˆฃ (๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฅ))}
37 dfadj2 31138 . . 3 adjโ„Ž = {โŸจ๐‘ข, ๐‘กโŸฉ โˆฃ (๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))}
3837cnveqi 5875 . 2 โ—กadjโ„Ž = โ—ก{โŸจ๐‘ข, ๐‘กโŸฉ โˆฃ (๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))}
39 dfadj2 31138 . 2 adjโ„Ž = {โŸจ๐‘ก, ๐‘ขโŸฉ โˆฃ (๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฅ))}
4036, 38, 393eqtr4i 2771 1 โ—กadjโ„Ž = adjโ„Ž
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062  {copab 5211  โ—กccnv 5676  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โˆ—ccj 15043   โ„‹chba 30172   ยทih csp 30175  adjโ„Žcado 30208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-hfi 30332  ax-his1 30335
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-2 12275  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-adjh 31102
This theorem is referenced by:  funcnvadj  31146  adj1o  31147  adjbdlnb  31337
  Copyright terms: Public domain W3C validator