HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  adjsym Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem adjsym 31086
Description: Symmetry property of an adjoint. (Contributed by NM, 18-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjsym ((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘†   ๐‘ฅ,๐‘‡,๐‘ฆ
Proof of Theorem adjsym
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ralcom 3287 . . . 4 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
2 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ง) = (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))
32oveq2d 7425 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ง)) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))
4 oveq2 7417 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
53, 4eqeq12d 2749 . . . . . 6 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฅ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ง)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) โ†” (๐‘ฅ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
65ralbidv 3178 . . . . 5 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ง)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
76cbvralvw 3235 . . . 4 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ง)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
81, 7bitr4i 278 . . 3 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ง)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง))
9 oveq1 7416 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ง)) = (๐‘ฆ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ง)))
10 fveq2 6892 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))
1110oveq1d 7424 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง))
129, 11eqeq12d 2749 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฅ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ง)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) โ†” (๐‘ฆ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ง)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง)))
1312cbvralvw 3235 . . . 4 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ง)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ง)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง))
1413ralbii 3094 . . 3 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ง)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ง)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง))
15 fveq2 6892 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ง) = (๐‘†โ€˜๐‘ฅ))
1615oveq2d 7425 . . . . . 6 (๐‘ง = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ฆ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ง)) = (๐‘ฆ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฅ)))
17 oveq2 7417 . . . . . 6 (๐‘ง = ๐‘ฅ โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฅ))
1816, 17eqeq12d 2749 . . . . 5 (๐‘ง = ๐‘ฅ โ†’ ((๐‘ฆ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ง)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) โ†” (๐‘ฆ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฅ)))
1918ralbidv 3178 . . . 4 (๐‘ง = ๐‘ฅ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ง)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฅ)))
2019cbvralvw 3235 . . 3 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ง)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฅ))
218, 14, 203bitri 297 . 2 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฅ))
22 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
23 ax-his1 30335 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฅ) = (โˆ—โ€˜(๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))))
2422, 23sylan 581 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฅ) = (โˆ—โ€˜(๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))))
2524adantrl 715 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฅ) = (โˆ—โ€˜(๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))))
26 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
27 ax-his1 30335 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฆ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฅ)) = (โˆ—โ€˜((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
2826, 27sylan2 594 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฆ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฅ)) = (โˆ—โ€˜((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
2928adantll 713 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฆ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฅ)) = (โˆ—โ€˜((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
3025, 29eqeq12d 2749 . . . . . . . . 9 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฅ)) โ†” (โˆ—โ€˜(๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) = (โˆ—โ€˜((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))))
3130ancoms 460 . . . . . . . 8 (((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฅ)) โ†” (โˆ—โ€˜(๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) = (โˆ—โ€˜((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))))
32 hicl 30333 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‚)
3322, 32sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‚)
3433adantll 713 . . . . . . . . 9 (((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‚)
35 hicl 30333 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
3626, 35sylan 581 . . . . . . . . . 10 (((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
3736adantrl 715 . . . . . . . . 9 (((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
38 cj11 15109 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โˆ—โ€˜(๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) = (โˆ—โ€˜((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
3934, 37, 38syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((โˆ—โ€˜(๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) = (โˆ—โ€˜((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
4031, 39bitr2d 280 . . . . . . 7 (((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฅ))))
4140an4s 659 . . . . . 6 (((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฅ))))
4241anassrs 469 . . . . 5 ((((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฅ))))
43 eqcom 2740 . . . . 5 (((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฅ)) โ†” (๐‘ฆ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฅ))
4442, 43bitrdi 287 . . . 4 ((((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ฆ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฅ)))
4544ralbidva 3176 . . 3 (((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฅ)))
4645ralbidva 3176 . 2 ((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฅ)))
4721, 46bitr4id 290 1 ((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โˆ—ccj 15043   โ„‹chba 30172   ยทih csp 30175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-hfi 30332  ax-his1 30335
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-2 12275  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048
This theorem is referenced by:  dfadj2  31138  adjval2  31144  cnlnadjeui  31330  cnlnssadj  31333  adjbdln  31336
  Copyright terms: Public domain W3C validator