HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  his5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem his5 30895
Description: Associative law for inner product. Lemma 3.1(S5) of [Beran] p. 95. (Contributed by NM, 29-Jul-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
his5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝐴 · 𝐶)) = ((∗‘𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐶)))

Proof of Theorem his5
StepHypRef Expression
1 hvmulcl 30822 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℋ)
2 ax-his1 30891 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝐴 · 𝐶)) = (∗‘((𝐴 · 𝐶) ·ih 𝐵)))
31, 2sylan2 592 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ)) → (𝐵 ·ih (𝐴 · 𝐶)) = (∗‘((𝐴 · 𝐶) ·ih 𝐵)))
433impb 1113 . . 3 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝐴 · 𝐶)) = (∗‘((𝐴 · 𝐶) ·ih 𝐵)))
543com12 1121 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝐴 · 𝐶)) = (∗‘((𝐴 · 𝐶) ·ih 𝐵)))
6 ax-his3 30893 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐶) ·ih 𝐵) = (𝐴 · (𝐶 ·ih 𝐵)))
763com23 1124 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐶) ·ih 𝐵) = (𝐴 · (𝐶 ·ih 𝐵)))
87fveq2d 6901 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (∗‘((𝐴 · 𝐶) ·ih 𝐵)) = (∗‘(𝐴 · (𝐶 ·ih 𝐵))))
9 hicl 30889 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
10 cjmul 15121 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ·ih 𝐵) ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 · (𝐶 ·ih 𝐵))) = ((∗‘𝐴) · (∗‘(𝐶 ·ih 𝐵))))
119, 10sylan2 592 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ)) → (∗‘(𝐴 · (𝐶 ·ih 𝐵))) = ((∗‘𝐴) · (∗‘(𝐶 ·ih 𝐵))))
12113impb 1113 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (∗‘(𝐴 · (𝐶 ·ih 𝐵))) = ((∗‘𝐴) · (∗‘(𝐶 ·ih 𝐵))))
13123com23 1124 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (∗‘(𝐴 · (𝐶 ·ih 𝐵))) = ((∗‘𝐴) · (∗‘(𝐶 ·ih 𝐵))))
14 ax-his1 30891 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih 𝐶) = (∗‘(𝐶 ·ih 𝐵)))
15143adant1 1128 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih 𝐶) = (∗‘(𝐶 ·ih 𝐵)))
1615oveq2d 7436 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((∗‘𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐶)) = ((∗‘𝐴) · (∗‘(𝐶 ·ih 𝐵))))
1713, 16eqtr4d 2771 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (∗‘(𝐴 · (𝐶 ·ih 𝐵))) = ((∗‘𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐶)))
185, 8, 173eqtrd 2772 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝐴 · 𝐶)) = ((∗‘𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  cfv 6548  (class class class)co 7420  cc 11136   · cmul 11143  ccj 15075  chba 30728   · csm 30730   ·ih csp 30731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-hfvmul 30814  ax-hfi 30888  ax-his1 30891  ax-his3 30893
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-2 12305  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080
This theorem is referenced by:  his52  30896  his35  30897  normlem0  30918  normlem9  30927  bcseqi  30929  polid2i  30966  pjhthlem1  31200  eigrei  31643  eigposi  31645  eigorthi  31646  brafnmul  31760  lnopunilem1  31819  hmopm  31830  cnlnadjlem6  31881  adjlnop  31895
  Copyright terms: Public domain W3C validator