Theorem hial2eq2 31196

Description: Two vectors whose inner product is always equal are equal. (Contributed by NM, 28-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hial2eq2	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem hial2eq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-his1 31171	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝑥) = (∗‘(𝑥 ·ih 𝐴)))
2		ax-his1 31171	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih 𝑥) = (∗‘(𝑥 ·ih 𝐵)))
3	1, 2	eqeqan12d 2751	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih 𝑥) ↔ (∗‘(𝑥 ·ih 𝐴)) = (∗‘(𝑥 ·ih 𝐵))))
4		hicl 31169	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
5	4	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
6		hicl 31169	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
7	6	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
8		cj11 15118	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ·ih 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑥 ·ih 𝐵) ∈ ℂ) → ((∗‘(𝑥 ·ih 𝐴)) = (∗‘(𝑥 ·ih 𝐵)) ↔ (𝑥 ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝐵)))
9	5, 7, 8	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ)) → ((∗‘(𝑥 ·ih 𝐴)) = (∗‘(𝑥 ·ih 𝐵)) ↔ (𝑥 ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝐵)))
10	3, 9	bitr2d 280	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ)) → ((𝑥 ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝐵) ↔ (𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih 𝑥)))
11	10	anandirs 680	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝐵) ↔ (𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih 𝑥)))
12	11	ralbidva 3159	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih 𝑥)))
13		hial2eq 31195	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih 𝑥) ↔ 𝐴 = 𝐵))
14	12, 13	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℂcc 11030  ∗ccj 15052   ℋchba 31008   ·_ih csp 31011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-hfvadd 31089  ax-hvcom 31090  ax-hvass 31091  ax-hv0cl 31092  ax-hvaddid 31093  ax-hfvmul 31094  ax-hvmulid 31095  ax-hvdistr2 31098  ax-hvmul0 31099  ax-hfi 31168  ax-his1 31171  ax-his2 31172  ax-his3 31173  ax-his4 31174

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-hvsub 31060

This theorem is referenced by:  hoeq2  31920  adjvalval  32026  cnlnadjlem6  32161  adjlnop  32175  bra11  32197