Theorem hial2eq2 31037

Description: Two vectors whose inner product is always equal are equal. (Contributed by NM, 28-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hial2eq2	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem hial2eq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-his1 31012	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝑥) = (∗‘(𝑥 ·ih 𝐴)))
2		ax-his1 31012	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih 𝑥) = (∗‘(𝑥 ·ih 𝐵)))
3	1, 2	eqeqan12d 2740	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih 𝑥) ↔ (∗‘(𝑥 ·ih 𝐴)) = (∗‘(𝑥 ·ih 𝐵))))
4		hicl 31010	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
5	4	ancoms 457	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
6		hicl 31010	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
7	6	ancoms 457	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
8		cj11 15162	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ·ih 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑥 ·ih 𝐵) ∈ ℂ) → ((∗‘(𝑥 ·ih 𝐴)) = (∗‘(𝑥 ·ih 𝐵)) ↔ (𝑥 ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝐵)))
9	5, 7, 8	syl2an 594	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ)) → ((∗‘(𝑥 ·ih 𝐴)) = (∗‘(𝑥 ·ih 𝐵)) ↔ (𝑥 ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝐵)))
10	3, 9	bitr2d 279	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ)) → ((𝑥 ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝐵) ↔ (𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih 𝑥)))
11	10	anandirs 677	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝐵) ↔ (𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih 𝑥)))
12	11	ralbidva 3166	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih 𝑥)))
13		hial2eq 31036	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih 𝑥) ↔ 𝐴 = 𝐵))
14	12, 13	bitrd 278	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416  ℂcc 11147  ∗ccj 15096   ℋchba 30849   ·_ih csp 30852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-hfvadd 30930  ax-hvcom 30931  ax-hvass 30932  ax-hv0cl 30933  ax-hvaddid 30934  ax-hfvmul 30935  ax-hvmulid 30936  ax-hvdistr2 30939  ax-hvmul0 30940  ax-hfi 31009  ax-his1 31012  ax-his2 31013  ax-his3 31014  ax-his4 31015

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-po 5586  df-so 5587  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-2 12321  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-hvsub 30901

This theorem is referenced by:  hoeq2  31761  adjvalval  31867  cnlnadjlem6  32002  adjlnop  32016  bra11  32038