Theorem hial2eq2 31131

Description: Two vectors whose inner product is always equal are equal. (Contributed by NM, 28-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hial2eq2	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem hial2eq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-his1 31106	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝑥) = (∗‘(𝑥 ·ih 𝐴)))
2		ax-his1 31106	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih 𝑥) = (∗‘(𝑥 ·ih 𝐵)))
3	1, 2	eqeqan12d 2748	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih 𝑥) ↔ (∗‘(𝑥 ·ih 𝐴)) = (∗‘(𝑥 ·ih 𝐵))))
4		hicl 31104	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
5	4	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
6		hicl 31104	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
7	6	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
8		cj11 15083	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ·ih 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑥 ·ih 𝐵) ∈ ℂ) → ((∗‘(𝑥 ·ih 𝐴)) = (∗‘(𝑥 ·ih 𝐵)) ↔ (𝑥 ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝐵)))
9	5, 7, 8	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ)) → ((∗‘(𝑥 ·ih 𝐴)) = (∗‘(𝑥 ·ih 𝐵)) ↔ (𝑥 ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝐵)))
10	3, 9	bitr2d 280	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ)) → ((𝑥 ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝐵) ↔ (𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih 𝑥)))
11	10	anandirs 679	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝐵) ↔ (𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih 𝑥)))
12	11	ralbidva 3155	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih 𝑥)))
13		hial2eq 31130	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih 𝑥) ↔ 𝐴 = 𝐵))
14	12, 13	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℂcc 11022  ∗ccj 15017   ℋchba 30943   ·_ih csp 30946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-hfvadd 31024  ax-hvcom 31025  ax-hvass 31026  ax-hv0cl 31027  ax-hvaddid 31028  ax-hfvmul 31029  ax-hvmulid 31030  ax-hvdistr2 31033  ax-hvmul0 31034  ax-hfi 31103  ax-his1 31106  ax-his2 31107  ax-his3 31108  ax-his4 31109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-hvsub 30995

This theorem is referenced by:  hoeq2  31855  adjvalval  31961  cnlnadjlem6  32096  adjlnop  32110  bra11  32132