Theorem normcan 32184

Description: Cancellation-type law that "extracts" a vector 𝐴 from its inner product with a proportional vector 𝐵. (Contributed by NM, 18-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
normcan	⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 ∈ (span‘{𝐵})) → (((𝐴 ·ih 𝐵) / ((normℎ‘𝐵)↑2)) ·ℎ 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem normcan

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elspansn 32174	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐴 ∈ (span‘{𝐵}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)))
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ) → (𝐴 ∈ (span‘{𝐵}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)))
3		oveq1 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → (𝐴 ·ih 𝐵) = ((𝑥 ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐵))
4		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
5		simpl 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℋ)
6		ax-his3 31692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐵) = (𝑥 · (𝐵 ·ih 𝐵)))
7	4, 5, 5, 6	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥 ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐵) = (𝑥 · (𝐵 ·ih 𝐵)))
8	3, 7	sylan9eqr 2817	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → (𝐴 ·ih 𝐵) = (𝑥 · (𝐵 ·ih 𝐵)))
9		normsq 31742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝐵)↑2) = (𝐵 ·ih 𝐵))
10	9	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → ((normℎ‘𝐵)↑2) = (𝐵 ·ih 𝐵))
11	8, 10	oveq12d 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → ((𝐴 ·ih 𝐵) / ((normℎ‘𝐵)↑2)) = ((𝑥 · (𝐵 ·ih 𝐵)) / (𝐵 ·ih 𝐵)))
12	11	adantllr 732	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → ((𝐴 ·ih 𝐵) / ((normℎ‘𝐵)↑2)) = ((𝑥 · (𝐵 ·ih 𝐵)) / (𝐵 ·ih 𝐵)))
13		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
14		hicl 31688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
15	14	anidms 577	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
16	15	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
17		his6 31707	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → ((𝐵 ·ih 𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = 0ℎ))
18	17	necon3bid 2999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ 0ℎ))
19	18	biimpar 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ) → (𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0)
20	19	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0)
21	13, 16, 20	divcan4d 12103	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥 · (𝐵 ·ih 𝐵)) / (𝐵 ·ih 𝐵)) = 𝑥)
22	21	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → ((𝑥 · (𝐵 ·ih 𝐵)) / (𝐵 ·ih 𝐵)) = 𝑥)
23	12, 22	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → ((𝐴 ·ih 𝐵) / ((normℎ‘𝐵)↑2)) = 𝑥)
24	23	oveq1d 7436	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → (((𝐴 ·ih 𝐵) / ((normℎ‘𝐵)↑2)) ·ℎ 𝐵) = (𝑥 ·ℎ 𝐵))
25		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵))
26	24, 25	eqtr4d 2798	. . . 4 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → (((𝐴 ·ih 𝐵) / ((normℎ‘𝐵)↑2)) ·ℎ 𝐵) = 𝐴)
27	26	rexlimdva2 3165	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ) → (∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → (((𝐴 ·ih 𝐵) / ((normℎ‘𝐵)↑2)) ·ℎ 𝐵) = 𝐴))
28	2, 27	sylbid 243	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ) → (𝐴 ∈ (span‘{𝐵}) → (((𝐴 ·ih 𝐵) / ((normℎ‘𝐵)↑2)) ·ℎ 𝐵) = 𝐴))
29	28	3impia 1135	1 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 ∈ (span‘{𝐵})) → (((𝐴 ·ih 𝐵) / ((normℎ‘𝐵)↑2)) ·ℎ 𝐵) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  {csn 4584  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  0cc0 11204   · cmul 11209   / cdiv 11977  2c2 12401  ↑cexp 14208   ℋchba 31527   ·_ℎ csm 31529   ·_ih csp 31530  norm_ℎcno 31531  0_ℎc0v 31532  spancspn 31540

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-cc 10517  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282  ax-addf 11283  ax-mulf 11284  ax-hilex 31607  ax-hfvadd 31608  ax-hvcom 31609  ax-hvass 31610  ax-hv0cl 31611  ax-hvaddid 31612  ax-hfvmul 31613  ax-hvmulid 31614  ax-hvmulass 31615  ax-hvdistr1 31616  ax-hvdistr2 31617  ax-hvmul0 31618  ax-hfi 31687  ax-his1 31690  ax-his2 31691  ax-his3 31692  ax-his4 31693  ax-hcompl 31810

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8181  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8721  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8930  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-fsupp 9358  df-fi 9407  df-sup 9438  df-inf 9439  df-oi 9508  df-card 10024  df-acn 10027  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-q 13080  df-rp 13125  df-xneg 13245  df-xadd 13246  df-xmul 13247  df-ioo 13484  df-ico 13486  df-icc 13487  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-fl 13936  df-seq 14149  df-exp 14209  df-hash 14479  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-clim 15661  df-rlim 15662  df-sum 15860  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-starv 17449  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-tset 17453  df-ple 17454  df-ds 17456  df-unif 17457  df-hom 17458  df-cco 17459  df-rest 17599  df-topn 17600  df-0g 17618  df-gsum 17619  df-topgen 17620  df-pt 17621  df-prds 17624  df-xrs 17680  df-qtop 17685  df-imas 17686  df-xps 17688  df-mre 17762  df-mrc 17763  df-acs 17765  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-submnd 18985  df-mulg 19284  df-cntz 19537  df-cmn 20002  df-psmet 21676  df-xmet 21677  df-met 21678  df-bl 21679  df-mopn 21680  df-fbas 21681  df-fg 21682  df-cnfld 21685  df-top 23218  df-topon 23235  df-topsp 23257  df-bases 23270  df-cld 23343  df-ntr 23344  df-cls 23345  df-nei 23422  df-cn 23551  df-cnp 23552  df-lm 23553  df-haus 23639  df-tx 23887  df-hmeo 24080  df-fil 24171  df-fm 24263  df-flim 24264  df-flf 24265  df-xms 24645  df-ms 24646  df-tms 24647  df-cfil 25582  df-cau 25583  df-cmet 25584  df-grpo 31101  df-gid 31102  df-ginv 31103  df-gdiv 31104  df-ablo 31153  df-vc 31167  df-nv 31200  df-va 31203  df-ba 31204  df-sm 31205  df-0v 31206  df-vs 31207  df-nmcv 31208  df-ims 31209  df-dip 31309  df-ssp 31330  df-ph 31421  df-cbn 31471  df-hnorm 31576  df-hba 31577  df-hvsub 31579  df-hlim 31580  df-hcau 31581  df-sh 31815  df-ch 31829  df-oc 31860  df-ch0 31861  df-span 31917

This theorem is used by:  pjspansn  32185  eigvec1  32570