Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normcan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem normcan 29347
 Description: Cancellation-type law that "extracts" a vector 𝐴 from its inner product with a proportional vector 𝐵. (Contributed by NM, 18-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
normcan ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0𝐴 ∈ (span‘{𝐵})) → (((𝐴 ·ih 𝐵) / ((norm𝐵)↑2)) · 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem normcan
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elspansn 29337 . . . 4 (𝐵 ∈ ℋ → (𝐴 ∈ (span‘{𝐵}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 · 𝐵)))
21adantr 483 . . 3 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ∈ (span‘{𝐵}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 · 𝐵)))
3 oveq1 7157 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = (𝑥 · 𝐵) → (𝐴 ·ih 𝐵) = ((𝑥 · 𝐵) ·ih 𝐵))
4 simpr 487 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
5 simpl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℋ)
6 ax-his3 28855 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑥 · 𝐵) ·ih 𝐵) = (𝑥 · (𝐵 ·ih 𝐵)))
74, 5, 5, 6syl3anc 1367 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝐵) ·ih 𝐵) = (𝑥 · (𝐵 ·ih 𝐵)))
83, 7sylan9eqr 2878 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 = (𝑥 · 𝐵)) → (𝐴 ·ih 𝐵) = (𝑥 · (𝐵 ·ih 𝐵)))
9 normsq 28905 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℋ → ((norm𝐵)↑2) = (𝐵 ·ih 𝐵))
109ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 = (𝑥 · 𝐵)) → ((norm𝐵)↑2) = (𝐵 ·ih 𝐵))
118, 10oveq12d 7168 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 = (𝑥 · 𝐵)) → ((𝐴 ·ih 𝐵) / ((norm𝐵)↑2)) = ((𝑥 · (𝐵 ·ih 𝐵)) / (𝐵 ·ih 𝐵)))
1211adantllr 717 . . . . . . 7 ((((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 = (𝑥 · 𝐵)) → ((𝐴 ·ih 𝐵) / ((norm𝐵)↑2)) = ((𝑥 · (𝐵 ·ih 𝐵)) / (𝐵 ·ih 𝐵)))
13 simpr 487 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
14 hicl 28851 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
1514anidms 569 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
1615ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
17 his6 28870 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℋ → ((𝐵 ·ih 𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = 0))
1817necon3bid 3060 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℋ → ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ 0))
1918biimpar 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0)
2019adantr 483 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0)
2113, 16, 20divcan4d 11416 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥 · (𝐵 ·ih 𝐵)) / (𝐵 ·ih 𝐵)) = 𝑥)
2221adantr 483 . . . . . . 7 ((((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 = (𝑥 · 𝐵)) → ((𝑥 · (𝐵 ·ih 𝐵)) / (𝐵 ·ih 𝐵)) = 𝑥)
2312, 22eqtrd 2856 . . . . . 6 ((((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 = (𝑥 · 𝐵)) → ((𝐴 ·ih 𝐵) / ((norm𝐵)↑2)) = 𝑥)
2423oveq1d 7165 . . . . 5 ((((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 = (𝑥 · 𝐵)) → (((𝐴 ·ih 𝐵) / ((norm𝐵)↑2)) · 𝐵) = (𝑥 · 𝐵))
25 simpr 487 . . . . 5 ((((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 = (𝑥 · 𝐵)) → 𝐴 = (𝑥 · 𝐵))
2624, 25eqtr4d 2859 . . . 4 ((((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 = (𝑥 · 𝐵)) → (((𝐴 ·ih 𝐵) / ((norm𝐵)↑2)) · 𝐵) = 𝐴)
2726rexlimdva2 3287 . . 3 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 · 𝐵) → (((𝐴 ·ih 𝐵) / ((norm𝐵)↑2)) · 𝐵) = 𝐴))
282, 27sylbid 242 . 2 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ∈ (span‘{𝐵}) → (((𝐴 ·ih 𝐵) / ((norm𝐵)↑2)) · 𝐵) = 𝐴))
29283impia 1113 1 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0𝐴 ∈ (span‘{𝐵})) → (((𝐴 ·ih 𝐵) / ((norm𝐵)↑2)) · 𝐵) = 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∃wrex 3139  {csn 4560  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  0cc0 10531   · cmul 10536   / cdiv 11291  2c2 11686  ↑cexp 13423   ℋchba 28690   ·ℎ csm 28692   ·ih csp 28693  normℎcno 28694  0ℎc0v 28695  spancspn 28703 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cc 9851  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611  ax-hilex 28770  ax-hfvadd 28771  ax-hvcom 28772  ax-hvass 28773  ax-hv0cl 28774  ax-hvaddid 28775  ax-hfvmul 28776  ax-hvmulid 28777  ax-hvmulass 28778  ax-hvdistr1 28779  ax-hvdistr2 28780  ax-hvmul0 28781  ax-hfi 28850  ax-his1 28853  ax-his2 28854  ax-his3 28855  ax-his4 28856  ax-hcompl 28973 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-iin 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-omul 8101  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-acn 9365  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ioo 12736  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-sum 15037  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-topgen 16711  df-pt 16712  df-prds 16715  df-xrs 16769  df-qtop 16774  df-imas 16775  df-xps 16777  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-mulg 18219  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-fbas 20536  df-fg 20537  df-cnfld 20540  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-cld 21621  df-ntr 21622  df-cls 21623  df-nei 21700  df-cn 21829  df-cnp 21830  df-lm 21831  df-haus 21917  df-tx 22164  df-hmeo 22357  df-fil 22448  df-fm 22540  df-flim 22541  df-flf 22542  df-xms 22924  df-ms 22925  df-tms 22926  df-cfil 23852  df-cau 23853  df-cmet 23854  df-grpo 28264  df-gid 28265  df-ginv 28266  df-gdiv 28267  df-ablo 28316  df-vc 28330  df-nv 28363  df-va 28366  df-ba 28367  df-sm 28368  df-0v 28369  df-vs 28370  df-nmcv 28371  df-ims 28372  df-dip 28472  df-ssp 28493  df-ph 28584  df-cbn 28634  df-hnorm 28739  df-hba 28740  df-hvsub 28742  df-hlim 28743  df-hcau 28744  df-sh 28978  df-ch 28992  df-oc 29023  df-ch0 29024  df-span 29080 This theorem is referenced by:  pjspansn  29348  eigvec1  29733
 Copyright terms: Public domain W3C validator