Theorem normcan 31560

Description: Cancellation-type law that "extracts" a vector 𝐴 from its inner product with a proportional vector 𝐵. (Contributed by NM, 18-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
normcan	⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 ∈ (span‘{𝐵})) → (((𝐴 ·ih 𝐵) / ((normℎ‘𝐵)↑2)) ·ℎ 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem normcan

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elspansn 31550	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐴 ∈ (span‘{𝐵}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)))
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ) → (𝐴 ∈ (span‘{𝐵}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)))
3		oveq1 7361	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → (𝐴 ·ih 𝐵) = ((𝑥 ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐵))
4		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
5		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℋ)
6		ax-his3 31068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐵) = (𝑥 · (𝐵 ·ih 𝐵)))
7	4, 5, 5, 6	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥 ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐵) = (𝑥 · (𝐵 ·ih 𝐵)))
8	3, 7	sylan9eqr 2790	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → (𝐴 ·ih 𝐵) = (𝑥 · (𝐵 ·ih 𝐵)))
9		normsq 31118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝐵)↑2) = (𝐵 ·ih 𝐵))
10	9	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → ((normℎ‘𝐵)↑2) = (𝐵 ·ih 𝐵))
11	8, 10	oveq12d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → ((𝐴 ·ih 𝐵) / ((normℎ‘𝐵)↑2)) = ((𝑥 · (𝐵 ·ih 𝐵)) / (𝐵 ·ih 𝐵)))
12	11	adantllr 719	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → ((𝐴 ·ih 𝐵) / ((normℎ‘𝐵)↑2)) = ((𝑥 · (𝐵 ·ih 𝐵)) / (𝐵 ·ih 𝐵)))
13		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
14		hicl 31064	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
15	14	anidms 566	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
16	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
17		his6 31083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → ((𝐵 ·ih 𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = 0ℎ))
18	17	necon3bid 2973	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ 0ℎ))
19	18	biimpar 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ) → (𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0)
20	19	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0)
21	13, 16, 20	divcan4d 11912	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥 · (𝐵 ·ih 𝐵)) / (𝐵 ·ih 𝐵)) = 𝑥)
22	21	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → ((𝑥 · (𝐵 ·ih 𝐵)) / (𝐵 ·ih 𝐵)) = 𝑥)
23	12, 22	eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → ((𝐴 ·ih 𝐵) / ((normℎ‘𝐵)↑2)) = 𝑥)
24	23	oveq1d 7369	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → (((𝐴 ·ih 𝐵) / ((normℎ‘𝐵)↑2)) ·ℎ 𝐵) = (𝑥 ·ℎ 𝐵))
25		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵))
26	24, 25	eqtr4d 2771	. . . 4 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → (((𝐴 ·ih 𝐵) / ((normℎ‘𝐵)↑2)) ·ℎ 𝐵) = 𝐴)
27	26	rexlimdva2 3136	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ) → (∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → (((𝐴 ·ih 𝐵) / ((normℎ‘𝐵)↑2)) ·ℎ 𝐵) = 𝐴))
28	2, 27	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ) → (𝐴 ∈ (span‘{𝐵}) → (((𝐴 ·ih 𝐵) / ((normℎ‘𝐵)↑2)) ·ℎ 𝐵) = 𝐴))
29	28	3impia 1117	1 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 ∈ (span‘{𝐵})) → (((𝐴 ·ih 𝐵) / ((normℎ‘𝐵)↑2)) ·ℎ 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∃wrex 3057  {csn 4577  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  ℂcc 11013  0cc0 11015   · cmul 11020   / cdiv 11783  2c2 12189  ↑cexp 13972   ℋchba 30903   ·_ℎ csm 30905   ·_ih csp 30906  norm_ℎcno 30907  0_ℎc0v 30908  spancspn 30916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-inf2 9540  ax-cc 10335  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-pre-sup 11093  ax-addf 11094  ax-mulf 11095  ax-hilex 30983  ax-hfvadd 30984  ax-hvcom 30985  ax-hvass 30986  ax-hv0cl 30987  ax-hvaddid 30988  ax-hfvmul 30989  ax-hvmulid 30990  ax-hvmulass 30991  ax-hvdistr1 30992  ax-hvdistr2 30993  ax-hvmul0 30994  ax-hfi 31063  ax-his1 31066  ax-his2 31067  ax-his3 31068  ax-his4 31069  ax-hcompl 31186

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-of 7618  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-supp 8099  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-2o 8394  df-oadd 8397  df-omul 8398  df-er 8630  df-map 8760  df-pm 8761  df-ixp 8830  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-fsupp 9255  df-fi 9304  df-sup 9335  df-inf 9336  df-oi 9405  df-card 9841  df-acn 9844  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-div 11784  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-5 12200  df-6 12201  df-7 12202  df-8 12203  df-9 12204  df-n0 12391  df-z 12478  df-dec 12597  df-uz 12741  df-q 12851  df-rp 12895  df-xneg 13015  df-xadd 13016  df-xmul 13017  df-ioo 13253  df-ico 13255  df-icc 13256  df-fz 13412  df-fzo 13559  df-fl 13700  df-seq 13913  df-exp 13973  df-hash 14242  df-cj 15010  df-re 15011  df-im 15012  df-sqrt 15146  df-abs 15147  df-clim 15399  df-rlim 15400  df-sum 15598  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-ress 17146  df-plusg 17178  df-mulr 17179  df-starv 17180  df-sca 17181  df-vsca 17182  df-ip 17183  df-tset 17184  df-ple 17185  df-ds 17187  df-unif 17188  df-hom 17189  df-cco 17190  df-rest 17330  df-topn 17331  df-0g 17349  df-gsum 17350  df-topgen 17351  df-pt 17352  df-prds 17355  df-xrs 17410  df-qtop 17415  df-imas 17416  df-xps 17418  df-mre 17492  df-mrc 17493  df-acs 17495  df-mgm 18552  df-sgrp 18631  df-mnd 18647  df-submnd 18696  df-mulg 18985  df-cntz 19233  df-cmn 19698  df-psmet 21287  df-xmet 21288  df-met 21289  df-bl 21290  df-mopn 21291  df-fbas 21292  df-fg 21293  df-cnfld 21296  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22864  df-cld 22937  df-ntr 22938  df-cls 22939  df-nei 23016  df-cn 23145  df-cnp 23146  df-lm 23147  df-haus 23233  df-tx 23480  df-hmeo 23673  df-fil 23764  df-fm 23856  df-flim 23857  df-flf 23858  df-xms 24238  df-ms 24239  df-tms 24240  df-cfil 25185  df-cau 25186  df-cmet 25187  df-grpo 30477  df-gid 30478  df-ginv 30479  df-gdiv 30480  df-ablo 30529  df-vc 30543  df-nv 30576  df-va 30579  df-ba 30580  df-sm 30581  df-0v 30582  df-vs 30583  df-nmcv 30584  df-ims 30585  df-dip 30685  df-ssp 30706  df-ph 30797  df-cbn 30847  df-hnorm 30952  df-hba 30953  df-hvsub 30955  df-hlim 30956  df-hcau 30957  df-sh 31191  df-ch 31205  df-oc 31236  df-ch0 31237  df-span 31293

This theorem is referenced by:  pjspansn  31561  eigvec1  31946