Theorem normcan 32171

Description: Cancellation-type law that "extracts" a vector 𝐴 from its inner product with a proportional vector 𝐵. (Contributed by NM, 18-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
normcan	⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 ∈ (span‘{𝐵})) → (((𝐴 ·ih 𝐵) / ((normℎ‘𝐵)↑2)) ·ℎ 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem normcan

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elspansn 32161	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐴 ∈ (span‘{𝐵}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)))
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ) → (𝐴 ∈ (span‘{𝐵}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)))
3		oveq1 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → (𝐴 ·ih 𝐵) = ((𝑥 ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐵))
4		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
5		simpl 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℋ)
6		ax-his3 31679	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐵) = (𝑥 · (𝐵 ·ih 𝐵)))
7	4, 5, 5, 6	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥 ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐵) = (𝑥 · (𝐵 ·ih 𝐵)))
8	3, 7	sylan9eqr 2818	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → (𝐴 ·ih 𝐵) = (𝑥 · (𝐵 ·ih 𝐵)))
9		normsq 31729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝐵)↑2) = (𝐵 ·ih 𝐵))
10	9	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → ((normℎ‘𝐵)↑2) = (𝐵 ·ih 𝐵))
11	8, 10	oveq12d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → ((𝐴 ·ih 𝐵) / ((normℎ‘𝐵)↑2)) = ((𝑥 · (𝐵 ·ih 𝐵)) / (𝐵 ·ih 𝐵)))
12	11	adantllr 732	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → ((𝐴 ·ih 𝐵) / ((normℎ‘𝐵)↑2)) = ((𝑥 · (𝐵 ·ih 𝐵)) / (𝐵 ·ih 𝐵)))
13		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
14		hicl 31675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
15	14	anidms 577	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
16	15	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
17		his6 31694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → ((𝐵 ·ih 𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = 0ℎ))
18	17	necon3bid 3000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ 0ℎ))
19	18	biimpar 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ) → (𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0)
20	19	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0)
21	13, 16, 20	divcan4d 12092	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥 · (𝐵 ·ih 𝐵)) / (𝐵 ·ih 𝐵)) = 𝑥)
22	21	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → ((𝑥 · (𝐵 ·ih 𝐵)) / (𝐵 ·ih 𝐵)) = 𝑥)
23	12, 22	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → ((𝐴 ·ih 𝐵) / ((normℎ‘𝐵)↑2)) = 𝑥)
24	23	oveq1d 7433	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → (((𝐴 ·ih 𝐵) / ((normℎ‘𝐵)↑2)) ·ℎ 𝐵) = (𝑥 ·ℎ 𝐵))
25		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵))
26	24, 25	eqtr4d 2799	. . . 4 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → (((𝐴 ·ih 𝐵) / ((normℎ‘𝐵)↑2)) ·ℎ 𝐵) = 𝐴)
27	26	rexlimdva2 3166	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ) → (∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → (((𝐴 ·ih 𝐵) / ((normℎ‘𝐵)↑2)) ·ℎ 𝐵) = 𝐴))
28	2, 27	sylbid 243	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ) → (𝐴 ∈ (span‘{𝐵}) → (((𝐴 ·ih 𝐵) / ((normℎ‘𝐵)↑2)) ·ℎ 𝐵) = 𝐴))
29	28	3impia 1135	1 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 ∈ (span‘{𝐵})) → (((𝐴 ·ih 𝐵) / ((normℎ‘𝐵)↑2)) ·ℎ 𝐵) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087  {csn 4584  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  0cc0 11193   · cmul 11198   / cdiv 11966  2c2 12390  ↑cexp 14197   ℋchba 31514   ·_ℎ csm 31516   ·_ih csp 31517  norm_ℎcno 31518  0_ℎc0v 31519  spancspn 31527

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-cc 10506  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271  ax-addf 11272  ax-mulf 11273  ax-hilex 31594  ax-hfvadd 31595  ax-hvcom 31596  ax-hvass 31597  ax-hv0cl 31598  ax-hvaddid 31599  ax-hfvmul 31600  ax-hvmulid 31601  ax-hvmulass 31602  ax-hvdistr1 31603  ax-hvdistr2 31604  ax-hvmul0 31605  ax-hfi 31674  ax-his1 31677  ax-his2 31678  ax-his3 31679  ax-his4 31680  ax-hcompl 31797

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-fi 9396  df-sup 9427  df-inf 9428  df-oi 9497  df-card 10013  df-acn 10016  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-q 13069  df-rp 13114  df-xneg 13234  df-xadd 13235  df-xmul 13236  df-ioo 13473  df-ico 13475  df-icc 13476  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-fl 13925  df-seq 14138  df-exp 14198  df-hash 14468  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-clim 15648  df-rlim 15649  df-sum 15847  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-starv 17436  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-unif 17444  df-hom 17445  df-cco 17446  df-rest 17586  df-topn 17587  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-topgen 17607  df-pt 17608  df-prds 17611  df-xrs 17667  df-qtop 17672  df-imas 17673  df-xps 17675  df-mre 17749  df-mrc 17750  df-acs 17752  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-submnd 18972  df-mulg 19271  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-psmet 21663  df-xmet 21664  df-met 21665  df-bl 21666  df-mopn 21667  df-fbas 21668  df-fg 21669  df-cnfld 21672  df-top 23205  df-topon 23222  df-topsp 23244  df-bases 23257  df-cld 23330  df-ntr 23331  df-cls 23332  df-nei 23409  df-cn 23538  df-cnp 23539  df-lm 23540  df-haus 23626  df-tx 23874  df-hmeo 24067  df-fil 24158  df-fm 24250  df-flim 24251  df-flf 24252  df-xms 24632  df-ms 24633  df-tms 24634  df-cfil 25569  df-cau 25570  df-cmet 25571  df-grpo 31088  df-gid 31089  df-ginv 31090  df-gdiv 31091  df-ablo 31140  df-vc 31154  df-nv 31187  df-va 31190  df-ba 31191  df-sm 31192  df-0v 31193  df-vs 31194  df-nmcv 31195  df-ims 31196  df-dip 31296  df-ssp 31317  df-ph 31408  df-cbn 31458  df-hnorm 31563  df-hba 31564  df-hvsub 31566  df-hlim 31567  df-hcau 31568  df-sh 31802  df-ch 31816  df-oc 31847  df-ch0 31848  df-span 31904

This theorem is used by:  pjspansn  32172  eigvec1  32557