HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  his7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem his7 28870
Description: Distributive law for inner product. Lemma 3.1(S7) of [Beran] p. 95. (Contributed by NM, 31-Jul-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
his7 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐴 ·ih 𝐶)))

Proof of Theorem his7
StepHypRef Expression
1 ax-his2 28863 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝐵 + 𝐶) ·ih 𝐴) = ((𝐵 ·ih 𝐴) + (𝐶 ·ih 𝐴)))
21fveq2d 6677 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (∗‘((𝐵 + 𝐶) ·ih 𝐴)) = (∗‘((𝐵 ·ih 𝐴) + (𝐶 ·ih 𝐴))))
3 hicl 28860 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
4 hicl 28860 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐶 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
5 cjadd 14503 . . . . . 6 (((𝐵 ·ih 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐶 ·ih 𝐴) ∈ ℂ) → (∗‘((𝐵 ·ih 𝐴) + (𝐶 ·ih 𝐴))) = ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)) + (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴))))
63, 4, 5syl2an 597 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ)) → (∗‘((𝐵 ·ih 𝐴) + (𝐶 ·ih 𝐴))) = ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)) + (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴))))
763impdir 1347 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (∗‘((𝐵 ·ih 𝐴) + (𝐶 ·ih 𝐴))) = ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)) + (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴))))
82, 7eqtrd 2859 . . 3 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (∗‘((𝐵 + 𝐶) ·ih 𝐴)) = ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)) + (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴))))
983comr 1121 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (∗‘((𝐵 + 𝐶) ·ih 𝐴)) = ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)) + (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴))))
10 hvaddcl 28792 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℋ)
11 ax-his1 28862 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐵 + 𝐶)) = (∗‘((𝐵 + 𝐶) ·ih 𝐴)))
1210, 11sylan2 594 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ)) → (𝐴 ·ih (𝐵 + 𝐶)) = (∗‘((𝐵 + 𝐶) ·ih 𝐴)))
13123impb 1111 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐵 + 𝐶)) = (∗‘((𝐵 + 𝐶) ·ih 𝐴)))
14 ax-his1 28862 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) = (∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)))
15143adant3 1128 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) = (∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)))
16 ax-his1 28862 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐶) = (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴)))
17163adant2 1127 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐶) = (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴)))
1815, 17oveq12d 7177 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐴 ·ih 𝐶)) = ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)) + (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴))))
199, 13, 183eqtr4d 2869 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐴 ·ih 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1083   = wceq 1536  wcel 2113  cfv 6358  (class class class)co 7159  cc 10538   + caddc 10543  ccj 14458  chba 28699   + cva 28700   ·ih csp 28702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-hfvadd 28780  ax-hfi 28859  ax-his1 28862  ax-his2 28863
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-po 5477  df-so 5478  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-2 11703  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463
This theorem is referenced by:  normlem0  28889  normlem8  28897  pjadjii  29454  lnopunilem1  29790  hmops  29800  cnlnadjlem6  29852  adjlnop  29866  adjadd  29873  hstoh  30012
  Copyright terms: Public domain W3C validator