Theorem his35 29450

Description: Move scalar multiplication to outside of inner product. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
his35	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐷)) = ((𝐴 · (∗‘𝐵)) · (𝐶 ·ih 𝐷)))

Proof of Theorem his35

Step	Hyp	Ref	Expression
1		his5 29448	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐶 ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐷)) = ((∗‘𝐵) · (𝐶 ·ih 𝐷)))
2	1	3expb 1119	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐶 ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐷)) = ((∗‘𝐵) · (𝐶 ·ih 𝐷)))
3	2	adantll 711	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐶 ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐷)) = ((∗‘𝐵) · (𝐶 ·ih 𝐷)))
4	3	oveq2d 7291	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐴 · (𝐶 ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐷))) = (𝐴 · ((∗‘𝐵) · (𝐶 ·ih 𝐷))))
5		simpll 764	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		simprl 768	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → 𝐶 ∈ ℋ)
7		hvmulcl 29375	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ)
8	7	ad2ant2l 743	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐵 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ)
9		ax-his3 29446	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ (𝐵 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐷)) = (𝐴 · (𝐶 ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐷))))
10	5, 6, 8, 9	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐷)) = (𝐴 · (𝐶 ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐷))))
11		cjcl 14816	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
12	11	ad2antlr 724	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
13		hicl 29442	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐶 ·ih 𝐷) ∈ ℂ)
14	13	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐶 ·ih 𝐷) ∈ ℂ)
15	5, 12, 14	mulassd 10998	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 · (∗‘𝐵)) · (𝐶 ·ih 𝐷)) = (𝐴 · ((∗‘𝐵) · (𝐶 ·ih 𝐷))))
16	4, 10, 15	3eqtr4d 2788	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐷)) = ((𝐴 · (∗‘𝐵)) · (𝐶 ·ih 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869   · cmul 10876  ∗ccj 14807   ℋchba 29281   ·_ℎ csm 29283   ·_ih csp 29284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-hfvmul 29367  ax-hfi 29441  ax-his1 29444  ax-his3 29446

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-2 12036  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812

This theorem is referenced by:  his35i  29451  pjhthlem1  29753