Theorem his35 28660

Description: Move scalar multiplication to outside of inner product. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
his35	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐷)) = ((𝐴 · (∗‘𝐵)) · (𝐶 ·ih 𝐷)))

Proof of Theorem his35

Step	Hyp	Ref	Expression
1		his5 28658	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐶 ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐷)) = ((∗‘𝐵) · (𝐶 ·ih 𝐷)))
2	1	3expb 1101	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐶 ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐷)) = ((∗‘𝐵) · (𝐶 ·ih 𝐷)))
3	2	adantll 702	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐶 ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐷)) = ((∗‘𝐵) · (𝐶 ·ih 𝐷)))
4	3	oveq2d 6991	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐴 · (𝐶 ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐷))) = (𝐴 · ((∗‘𝐵) · (𝐶 ·ih 𝐷))))
5		simpll 755	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		simprl 759	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → 𝐶 ∈ ℋ)
7		hvmulcl 28585	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ)
8	7	ad2ant2l 734	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐵 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ)
9		ax-his3 28656	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ (𝐵 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐷)) = (𝐴 · (𝐶 ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐷))))
10	5, 6, 8, 9	syl3anc 1352	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐷)) = (𝐴 · (𝐶 ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐷))))
11		cjcl 14324	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
12	11	ad2antlr 715	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
13		hicl 28652	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐶 ·ih 𝐷) ∈ ℂ)
14	13	adantl 474	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐶 ·ih 𝐷) ∈ ℂ)
15	5, 12, 14	mulassd 10462	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 · (∗‘𝐵)) · (𝐶 ·ih 𝐷)) = (𝐴 · ((∗‘𝐵) · (𝐶 ·ih 𝐷))))
16	4, 10, 15	3eqtr4d 2819	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐷)) = ((𝐴 · (∗‘𝐵)) · (𝐶 ·ih 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1508   ∈ wcel 2051  ‘cfv 6186  (class class class)co 6975  ℂcc 10332   · cmul 10339  ∗ccj 14315   ℋchba 28491   ·_ℎ csm 28493   ·_ih csp 28494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411  ax-hfvmul 28577  ax-hfi 28651  ax-his1 28654  ax-his3 28656

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rmo 3091  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-op 4443  df-uni 4710  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-id 5309  df-po 5323  df-so 5324  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-er 8088  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-div 11098  df-2 11502  df-cj 14318  df-re 14319  df-im 14320

This theorem is referenced by:  his35i  28661  pjhthlem1  28965