Theorem his35 31623

Description: Move scalar multiplication to outside of inner product. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
his35	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐷)) = ((𝐴 · (∗‘𝐵)) · (𝐶 ·ih 𝐷)))

Proof of Theorem his35

Step	Hyp	Ref	Expression
1		his5 31621	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐶 ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐷)) = ((∗‘𝐵) · (𝐶 ·ih 𝐷)))
2	1	3expb 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐶 ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐷)) = ((∗‘𝐵) · (𝐶 ·ih 𝐷)))
3	2	adantll 727	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐶 ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐷)) = ((∗‘𝐵) · (𝐶 ·ih 𝐷)))
4	3	oveq2d 7424	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐴 · (𝐶 ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐷))) = (𝐴 · ((∗‘𝐵) · (𝐶 ·ih 𝐷))))
5		simpll 779	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		simprl 783	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → 𝐶 ∈ ℋ)
7		hvmulcl 31548	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ)
8	7	ad2ant2l 759	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐵 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ)
9		ax-his3 31619	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ (𝐵 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐷)) = (𝐴 · (𝐶 ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐷))))
10	5, 6, 8, 9	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐷)) = (𝐴 · (𝐶 ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐷))))
11		cjcl 15239	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
12	11	ad2antlr 740	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
13		hicl 31615	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐶 ·ih 𝐷) ∈ ℂ)
14	13	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐶 ·ih 𝐷) ∈ ℂ)
15	5, 12, 14	mulassd 11303	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 · (∗‘𝐵)) · (𝐶 ·ih 𝐷)) = (𝐴 · ((∗‘𝐵) · (𝐶 ·ih 𝐷))))
16	4, 10, 15	3eqtr4d 2805	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐷)) = ((𝐴 · (∗‘𝐵)) · (𝐶 ·ih 𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ℂcc 11169   · cmul 11176  ∗ccj 15230   ℋchba 31454   ·_ℎ csm 31456   ·_ih csp 31457

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-hfvmul 31540  ax-hfi 31614  ax-his1 31617  ax-his3 31619

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-cj 15233  df-re 15234  df-im 15235

This theorem is used by:  his35i  31624  pjhthlem1  31926