Theorem bcs2 31512

Description: Corollary of the Bunjakovaskij-Cauchy-Schwarz inequality bcsiHIL 31510. (Contributed by NM, 24-May-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bcs2	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) ≤ 1) → (abs‘(𝐴 ·ih 𝐵)) ≤ (normℎ‘𝐵))

Proof of Theorem bcs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hicl 31410	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
2	1	abscld 15492	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐴 ·ih 𝐵)) ∈ ℝ)
3	2	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) ≤ 1) → (abs‘(𝐴 ·ih 𝐵)) ∈ ℝ)
4		normcl 31455	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)
5		normcl 31455	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐵) ∈ ℝ)
6		remulcl 11186	. . . 4 ⊢ (((normℎ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝐵) ∈ ℝ) → ((normℎ‘𝐴) · (normℎ‘𝐵)) ∈ ℝ)
7	4, 5, 6	syl2an 607	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((normℎ‘𝐴) · (normℎ‘𝐵)) ∈ ℝ)
8	7	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) ≤ 1) → ((normℎ‘𝐴) · (normℎ‘𝐵)) ∈ ℝ)
9	5	3ad2ant2 1152	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) ≤ 1) → (normℎ‘𝐵) ∈ ℝ)
10		bcs 31511	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐴 ·ih 𝐵)) ≤ ((normℎ‘𝐴) · (normℎ‘𝐵)))
11	10	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) ≤ 1) → (abs‘(𝐴 ·ih 𝐵)) ≤ ((normℎ‘𝐴) · (normℎ‘𝐵)))
12	4	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) ≤ 1) → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)
13		normge0 31456	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘𝐵))
14	13	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) ≤ 1) → 0 ≤ (normℎ‘𝐵))
15	9, 14	jca 520	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) ≤ 1) → ((normℎ‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝐵)))
16		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) ≤ 1) → (normℎ‘𝐴) ≤ 1)
17		1re 11209	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
18		lemul1a 12070	. . . . 5 ⊢ ((((normℎ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝐵))) ∧ (normℎ‘𝐴) ≤ 1) → ((normℎ‘𝐴) · (normℎ‘𝐵)) ≤ (1 · (normℎ‘𝐵)))
19	17, 18	mp3anl2 1485	. . . 4 ⊢ ((((normℎ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝐵))) ∧ (normℎ‘𝐴) ≤ 1) → ((normℎ‘𝐴) · (normℎ‘𝐵)) ≤ (1 · (normℎ‘𝐵)))
20	12, 15, 16, 19	syl21anc 850	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) ≤ 1) → ((normℎ‘𝐴) · (normℎ‘𝐵)) ≤ (1 · (normℎ‘𝐵)))
21	5	recnd 11238	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐵) ∈ ℂ)
22	21	mullidd 11228	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (1 · (normℎ‘𝐵)) = (normℎ‘𝐵))
23	22	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) ≤ 1) → (1 · (normℎ‘𝐵)) = (normℎ‘𝐵))
24	20, 23	breqtrd 5138	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) ≤ 1) → ((normℎ‘𝐴) · (normℎ‘𝐵)) ≤ (normℎ‘𝐵))
25	3, 8, 9, 11, 24	letrd 11368	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) ≤ 1) → (abs‘(𝐴 ·ih 𝐵)) ≤ (normℎ‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102   · cmul 11106   ≤ cle 11245  abscabs 15287   ℋchba 31249   ·_ih csp 31252  norm_ℎcno 31253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180  ax-mulf 11181  ax-hilex 31329  ax-hfvadd 31330  ax-hvcom 31331  ax-hvass 31332  ax-hv0cl 31333  ax-hvaddid 31334  ax-hfvmul 31335  ax-hvmulid 31336  ax-hvmulass 31337  ax-hvdistr1 31338  ax-hvdistr2 31339  ax-hvmul0 31340  ax-hfi 31409  ax-his1 31412  ax-his2 31413  ax-his3 31414  ax-his4 31415

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13377  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-clim 15541  df-sum 15740  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17476  df-topn 17477  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-topgen 17497  df-pt 17498  df-prds 17501  df-xrs 17557  df-qtop 17562  df-imas 17563  df-xps 17565  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-mulg 19135  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-cnfld 21504  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-cld 23157  df-ntr 23158  df-cls 23159  df-cn 23365  df-cnp 23366  df-t1 23452  df-haus 23453  df-tx 23700  df-hmeo 23893  df-xms 24458  df-ms 24459  df-tms 24460  df-grpo 30823  df-gid 30824  df-ginv 30825  df-gdiv 30826  df-ablo 30875  df-vc 30889  df-nv 30922  df-va 30925  df-ba 30926  df-sm 30927  df-0v 30928  df-vs 30929  df-nmcv 30930  df-ims 30931  df-dip 31031  df-ph 31143  df-hnorm 31298  df-hba 31299  df-hvsub 31301

This theorem is referenced by:  bcs3  31513  branmfn  32435