Theorem bcs2 30473

Description: Corollary of the Bunjakovaskij-Cauchy-Schwarz inequality bcsiHIL 30471. (Contributed by NM, 24-May-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bcs2	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) ≤ 1) → (abs‘(𝐴 ·ih 𝐵)) ≤ (normℎ‘𝐵))

Proof of Theorem bcs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hicl 30371	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
2	1	abscld 15385	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐴 ·ih 𝐵)) ∈ ℝ)
3	2	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) ≤ 1) → (abs‘(𝐴 ·ih 𝐵)) ∈ ℝ)
4		normcl 30416	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)
5		normcl 30416	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐵) ∈ ℝ)
6		remulcl 11197	. . . 4 ⊢ (((normℎ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝐵) ∈ ℝ) → ((normℎ‘𝐴) · (normℎ‘𝐵)) ∈ ℝ)
7	4, 5, 6	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((normℎ‘𝐴) · (normℎ‘𝐵)) ∈ ℝ)
8	7	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) ≤ 1) → ((normℎ‘𝐴) · (normℎ‘𝐵)) ∈ ℝ)
9	5	3ad2ant2 1134	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) ≤ 1) → (normℎ‘𝐵) ∈ ℝ)
10		bcs 30472	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐴 ·ih 𝐵)) ≤ ((normℎ‘𝐴) · (normℎ‘𝐵)))
11	10	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) ≤ 1) → (abs‘(𝐴 ·ih 𝐵)) ≤ ((normℎ‘𝐴) · (normℎ‘𝐵)))
12	4	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) ≤ 1) → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)
13		normge0 30417	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘𝐵))
14	13	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) ≤ 1) → 0 ≤ (normℎ‘𝐵))
15	9, 14	jca 512	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) ≤ 1) → ((normℎ‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝐵)))
16		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) ≤ 1) → (normℎ‘𝐴) ≤ 1)
17		1re 11216	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
18		lemul1a 12070	. . . . 5 ⊢ ((((normℎ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝐵))) ∧ (normℎ‘𝐴) ≤ 1) → ((normℎ‘𝐴) · (normℎ‘𝐵)) ≤ (1 · (normℎ‘𝐵)))
19	17, 18	mp3anl2 1456	. . . 4 ⊢ ((((normℎ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝐵))) ∧ (normℎ‘𝐴) ≤ 1) → ((normℎ‘𝐴) · (normℎ‘𝐵)) ≤ (1 · (normℎ‘𝐵)))
20	12, 15, 16, 19	syl21anc 836	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) ≤ 1) → ((normℎ‘𝐴) · (normℎ‘𝐵)) ≤ (1 · (normℎ‘𝐵)))
21	5	recnd 11244	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐵) ∈ ℂ)
22	21	mullidd 11234	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (1 · (normℎ‘𝐵)) = (normℎ‘𝐵))
23	22	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) ≤ 1) → (1 · (normℎ‘𝐵)) = (normℎ‘𝐵))
24	20, 23	breqtrd 5174	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) ≤ 1) → ((normℎ‘𝐴) · (normℎ‘𝐵)) ≤ (normℎ‘𝐵))
25	3, 8, 9, 11, 24	letrd 11373	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) ≤ 1) → (abs‘(𝐴 ·ih 𝐵)) ≤ (normℎ‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   · cmul 11117   ≤ cle 11251  abscabs 15183   ℋchba 30210   ·_ih csp 30213  norm_ℎcno 30214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192  ax-hilex 30290  ax-hfvadd 30291  ax-hvcom 30292  ax-hvass 30293  ax-hv0cl 30294  ax-hvaddid 30295  ax-hfvmul 30296  ax-hvmulid 30297  ax-hvmulass 30298  ax-hvdistr1 30299  ax-hvdistr2 30300  ax-hvmul0 30301  ax-hfi 30370  ax-his1 30373  ax-his2 30374  ax-his3 30375  ax-his4 30376

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-t1 22825  df-haus 22826  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-grpo 29784  df-gid 29785  df-ginv 29786  df-gdiv 29787  df-ablo 29836  df-vc 29850  df-nv 29883  df-va 29886  df-ba 29887  df-sm 29888  df-0v 29889  df-vs 29890  df-nmcv 29891  df-ims 29892  df-dip 29992  df-ph 30104  df-hnorm 30259  df-hba 30260  df-hvsub 30262

This theorem is referenced by:  bcs3  30474  branmfn  31396