HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjspansn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjspansn 29918
Description: A projection on the span of a singleton. (The proof ws shortened by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) (Contributed by NM, 28-May-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pjspansn ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) = (((𝐵 ·ih 𝐴) / ((norm𝐴)↑2)) · 𝐴))

Proof of Theorem pjspansn
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 spansnch 29901 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → (span‘{𝐴}) ∈ C )
213ad2ant1 1131 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (span‘{𝐴}) ∈ C )
3 simp2 1135 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℋ)
4 eqid 2739 . . . . 5 ((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) = ((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵)
5 pjeq 29740 . . . . 5 (((span‘{𝐴}) ∈ C𝐵 ∈ ℋ) → (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) = ((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ↔ (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ∈ (span‘{𝐴}) ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴}))𝐵 = (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) + 𝑦))))
64, 5mpbii 232 . . . 4 (((span‘{𝐴}) ∈ C𝐵 ∈ ℋ) → (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ∈ (span‘{𝐴}) ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴}))𝐵 = (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) + 𝑦)))
76simprd 495 . . 3 (((span‘{𝐴}) ∈ C𝐵 ∈ ℋ) → ∃𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴}))𝐵 = (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) + 𝑦))
82, 3, 7syl2anc 583 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴}))𝐵 = (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) + 𝑦))
9 oveq1 7275 . . . . . . 7 (𝐵 = (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) + 𝑦) → (𝐵 ·ih 𝐴) = ((((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) + 𝑦) ·ih 𝐴))
109ad2antll 725 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴})) ∧ 𝐵 = (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) + 𝑦))) → (𝐵 ·ih 𝐴) = ((((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) + 𝑦) ·ih 𝐴))
11 pjhcl 29742 . . . . . . . . . . 11 (((span‘{𝐴}) ∈ C𝐵 ∈ ℋ) → ((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ∈ ℋ)
122, 3, 11syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ∈ ℋ)
1312adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴}))) → ((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ∈ ℋ)
14 choccl 29647 . . . . . . . . . . . 12 ((span‘{𝐴}) ∈ C → (⊥‘(span‘{𝐴})) ∈ C )
151, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℋ → (⊥‘(span‘{𝐴})) ∈ C )
16153ad2ant1 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (⊥‘(span‘{𝐴})) ∈ C )
17 chel 29571 . . . . . . . . . 10 (((⊥‘(span‘{𝐴})) ∈ C𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴}))) → 𝑦 ∈ ℋ)
1816, 17sylan 579 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴}))) → 𝑦 ∈ ℋ)
19 simpl1 1189 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴}))) → 𝐴 ∈ ℋ)
20 ax-his2 29424 . . . . . . . . 9 ((((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) + 𝑦) ·ih 𝐴) = ((((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ·ih 𝐴) + (𝑦 ·ih 𝐴)))
2113, 18, 19, 20syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴}))) → ((((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) + 𝑦) ·ih 𝐴) = ((((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ·ih 𝐴) + (𝑦 ·ih 𝐴)))
22 spansnsh 29902 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℋ → (span‘{𝐴}) ∈ S )
2322adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴}))) → (span‘{𝐴}) ∈ S )
24 spansnid 29904 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℋ → 𝐴 ∈ (span‘{𝐴}))
2524adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴}))) → 𝐴 ∈ (span‘{𝐴}))
26 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴}))) → 𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴})))
27 shocorth 29633 . . . . . . . . . . . . 13 ((span‘{𝐴}) ∈ S → ((𝐴 ∈ (span‘{𝐴}) ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴}))) → (𝐴 ·ih 𝑦) = 0))
28273impib 1114 . . . . . . . . . . . 12 (((span‘{𝐴}) ∈ S𝐴 ∈ (span‘{𝐴}) ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴}))) → (𝐴 ·ih 𝑦) = 0)
2923, 25, 26, 28syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴}))) → (𝐴 ·ih 𝑦) = 0)
3015, 17sylan 579 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴}))) → 𝑦 ∈ ℋ)
31 orthcom 29449 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝑦) = 0 ↔ (𝑦 ·ih 𝐴) = 0))
3230, 31syldan 590 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴}))) → ((𝐴 ·ih 𝑦) = 0 ↔ (𝑦 ·ih 𝐴) = 0))
3329, 32mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴}))) → (𝑦 ·ih 𝐴) = 0)
34333ad2antl1 1183 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴}))) → (𝑦 ·ih 𝐴) = 0)
3534oveq2d 7284 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴}))) → ((((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ·ih 𝐴) + (𝑦 ·ih 𝐴)) = ((((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ·ih 𝐴) + 0))
36 hicl 29421 . . . . . . . . . 10 ((((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
3713, 19, 36syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴}))) → (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
3837addid1d 11158 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴}))) → ((((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ·ih 𝐴) + 0) = (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ·ih 𝐴))
3921, 35, 383eqtrd 2783 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴}))) → ((((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) + 𝑦) ·ih 𝐴) = (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ·ih 𝐴))
4039adantrr 713 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴})) ∧ 𝐵 = (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) + 𝑦))) → ((((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) + 𝑦) ·ih 𝐴) = (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ·ih 𝐴))
4110, 40eqtrd 2779 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴})) ∧ 𝐵 = (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) + 𝑦))) → (𝐵 ·ih 𝐴) = (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ·ih 𝐴))
4241oveq1d 7283 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴})) ∧ 𝐵 = (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) + 𝑦))) → ((𝐵 ·ih 𝐴) / ((norm𝐴)↑2)) = ((((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ·ih 𝐴) / ((norm𝐴)↑2)))
4342oveq1d 7283 . . 3 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴})) ∧ 𝐵 = (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) + 𝑦))) → (((𝐵 ·ih 𝐴) / ((norm𝐴)↑2)) · 𝐴) = (((((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ·ih 𝐴) / ((norm𝐴)↑2)) · 𝐴))
44 simpl1 1189 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴})) ∧ 𝐵 = (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) + 𝑦))) → 𝐴 ∈ ℋ)
45 simpl3 1191 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴})) ∧ 𝐵 = (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) + 𝑦))) → 𝐴 ≠ 0)
46 axpjcl 29741 . . . . . 6 (((span‘{𝐴}) ∈ C𝐵 ∈ ℋ) → ((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ∈ (span‘{𝐴}))
472, 3, 46syl2anc 583 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ∈ (span‘{𝐴}))
4847adantr 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴})) ∧ 𝐵 = (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) + 𝑦))) → ((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ∈ (span‘{𝐴}))
49 normcan 29917 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ ((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ∈ (span‘{𝐴})) → (((((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ·ih 𝐴) / ((norm𝐴)↑2)) · 𝐴) = ((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵))
5044, 45, 48, 49syl3anc 1369 . . 3 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴})) ∧ 𝐵 = (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) + 𝑦))) → (((((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ·ih 𝐴) / ((norm𝐴)↑2)) · 𝐴) = ((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵))
5143, 50eqtr2d 2780 . 2 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴})) ∧ 𝐵 = (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) + 𝑦))) → ((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) = (((𝐵 ·ih 𝐴) / ((norm𝐴)↑2)) · 𝐴))
528, 51rexlimddv 3221 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) = (((𝐵 ·ih 𝐴) / ((norm𝐴)↑2)) · 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1541  wcel 2109  wne 2944  wrex 3066  {csn 4566  cfv 6430  (class class class)co 7268  cc 10853  0cc0 10855   + caddc 10858   / cdiv 11615  2c2 12011  cexp 13763  chba 29260   + cva 29261   · csm 29262   ·ih csp 29263  normcno 29264  0c0v 29265   S csh 29269   C cch 29270  cort 29271  spancspn 29273  projcpjh 29278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-inf2 9360  ax-cc 10175  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933  ax-addf 10934  ax-mulf 10935  ax-hilex 29340  ax-hfvadd 29341  ax-hvcom 29342  ax-hvass 29343  ax-hv0cl 29344  ax-hvaddid 29345  ax-hfvmul 29346  ax-hvmulid 29347  ax-hvmulass 29348  ax-hvdistr1 29349  ax-hvdistr2 29350  ax-hvmul0 29351  ax-hfi 29420  ax-his1 29423  ax-his2 29424  ax-his3 29425  ax-his4 29426  ax-hcompl 29543
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-iin 4932  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-supp 7962  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-2o 8282  df-oadd 8285  df-omul 8286  df-er 8472  df-map 8591  df-pm 8592  df-ixp 8660  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-fsupp 9090  df-fi 9131  df-sup 9162  df-inf 9163  df-oi 9230  df-card 9681  df-acn 9684  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-z 12303  df-dec 12420  df-uz 12565  df-q 12671  df-rp 12713  df-xneg 12830  df-xadd 12831  df-xmul 12832  df-ioo 13065  df-ico 13067  df-icc 13068  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-fl 13493  df-seq 13703  df-exp 13764  df-hash 14026  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928  df-clim 15178  df-rlim 15179  df-sum 15379  df-struct 16829  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-mulr 16957  df-starv 16958  df-sca 16959  df-vsca 16960  df-ip 16961  df-tset 16962  df-ple 16963  df-ds 16965  df-unif 16966  df-hom 16967  df-cco 16968  df-rest 17114  df-topn 17115  df-0g 17133  df-gsum 17134  df-topgen 17135  df-pt 17136  df-prds 17139  df-xrs 17194  df-qtop 17199  df-imas 17200  df-xps 17202  df-mre 17276  df-mrc 17277  df-acs 17279  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-submnd 18412  df-mulg 18682  df-cntz 18904  df-cmn 19369  df-psmet 20570  df-xmet 20571  df-met 20572  df-bl 20573  df-mopn 20574  df-fbas 20575  df-fg 20576  df-cnfld 20579  df-top 22024  df-topon 22041  df-topsp 22063  df-bases 22077  df-cld 22151  df-ntr 22152  df-cls 22153  df-nei 22230  df-cn 22359  df-cnp 22360  df-lm 22361  df-haus 22447  df-tx 22694  df-hmeo 22887  df-fil 22978  df-fm 23070  df-flim 23071  df-flf 23072  df-xms 23454  df-ms 23455  df-tms 23456  df-cfil 24400  df-cau 24401  df-cmet 24402  df-grpo 28834  df-gid 28835  df-ginv 28836  df-gdiv 28837  df-ablo 28886  df-vc 28900  df-nv 28933  df-va 28936  df-ba 28937  df-sm 28938  df-0v 28939  df-vs 28940  df-nmcv 28941  df-ims 28942  df-dip 29042  df-ssp 29063  df-ph 29154  df-cbn 29204  df-hnorm 29309  df-hba 29310  df-hvsub 29312  df-hlim 29313  df-hcau 29314  df-sh 29548  df-ch 29562  df-oc 29593  df-ch0 29594  df-shs 29649  df-span 29650  df-pjh 29736
This theorem is referenced by:  kbpj  30297
  Copyright terms: Public domain W3C validator