HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjspansn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjspansn 29360
Description: A projection on the span of a singleton. (The proof ws shortened by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) (Contributed by NM, 28-May-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pjspansn ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) = (((𝐵 ·ih 𝐴) / ((norm𝐴)↑2)) · 𝐴))

Proof of Theorem pjspansn
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 spansnch 29343 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → (span‘{𝐴}) ∈ C )
213ad2ant1 1130 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (span‘{𝐴}) ∈ C )
3 simp2 1134 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℋ)
4 eqid 2798 . . . . 5 ((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) = ((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵)
5 pjeq 29182 . . . . 5 (((span‘{𝐴}) ∈ C𝐵 ∈ ℋ) → (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) = ((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ↔ (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ∈ (span‘{𝐴}) ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴}))𝐵 = (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) + 𝑦))))
64, 5mpbii 236 . . . 4 (((span‘{𝐴}) ∈ C𝐵 ∈ ℋ) → (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ∈ (span‘{𝐴}) ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴}))𝐵 = (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) + 𝑦)))
76simprd 499 . . 3 (((span‘{𝐴}) ∈ C𝐵 ∈ ℋ) → ∃𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴}))𝐵 = (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) + 𝑦))
82, 3, 7syl2anc 587 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴}))𝐵 = (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) + 𝑦))
9 oveq1 7142 . . . . . . 7 (𝐵 = (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) + 𝑦) → (𝐵 ·ih 𝐴) = ((((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) + 𝑦) ·ih 𝐴))
109ad2antll 728 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴})) ∧ 𝐵 = (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) + 𝑦))) → (𝐵 ·ih 𝐴) = ((((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) + 𝑦) ·ih 𝐴))
11 pjhcl 29184 . . . . . . . . . . 11 (((span‘{𝐴}) ∈ C𝐵 ∈ ℋ) → ((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ∈ ℋ)
122, 3, 11syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ∈ ℋ)
1312adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴}))) → ((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ∈ ℋ)
14 choccl 29089 . . . . . . . . . . . 12 ((span‘{𝐴}) ∈ C → (⊥‘(span‘{𝐴})) ∈ C )
151, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℋ → (⊥‘(span‘{𝐴})) ∈ C )
16153ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (⊥‘(span‘{𝐴})) ∈ C )
17 chel 29013 . . . . . . . . . 10 (((⊥‘(span‘{𝐴})) ∈ C𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴}))) → 𝑦 ∈ ℋ)
1816, 17sylan 583 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴}))) → 𝑦 ∈ ℋ)
19 simpl1 1188 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴}))) → 𝐴 ∈ ℋ)
20 ax-his2 28866 . . . . . . . . 9 ((((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) + 𝑦) ·ih 𝐴) = ((((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ·ih 𝐴) + (𝑦 ·ih 𝐴)))
2113, 18, 19, 20syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴}))) → ((((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) + 𝑦) ·ih 𝐴) = ((((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ·ih 𝐴) + (𝑦 ·ih 𝐴)))
22 spansnsh 29344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℋ → (span‘{𝐴}) ∈ S )
2322adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴}))) → (span‘{𝐴}) ∈ S )
24 spansnid 29346 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℋ → 𝐴 ∈ (span‘{𝐴}))
2524adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴}))) → 𝐴 ∈ (span‘{𝐴}))
26 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴}))) → 𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴})))
27 shocorth 29075 . . . . . . . . . . . . 13 ((span‘{𝐴}) ∈ S → ((𝐴 ∈ (span‘{𝐴}) ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴}))) → (𝐴 ·ih 𝑦) = 0))
28273impib 1113 . . . . . . . . . . . 12 (((span‘{𝐴}) ∈ S𝐴 ∈ (span‘{𝐴}) ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴}))) → (𝐴 ·ih 𝑦) = 0)
2923, 25, 26, 28syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴}))) → (𝐴 ·ih 𝑦) = 0)
3015, 17sylan 583 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴}))) → 𝑦 ∈ ℋ)
31 orthcom 28891 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝑦) = 0 ↔ (𝑦 ·ih 𝐴) = 0))
3230, 31syldan 594 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴}))) → ((𝐴 ·ih 𝑦) = 0 ↔ (𝑦 ·ih 𝐴) = 0))
3329, 32mpbid 235 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴}))) → (𝑦 ·ih 𝐴) = 0)
34333ad2antl1 1182 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴}))) → (𝑦 ·ih 𝐴) = 0)
3534oveq2d 7151 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴}))) → ((((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ·ih 𝐴) + (𝑦 ·ih 𝐴)) = ((((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ·ih 𝐴) + 0))
36 hicl 28863 . . . . . . . . . 10 ((((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
3713, 19, 36syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴}))) → (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
3837addid1d 10829 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴}))) → ((((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ·ih 𝐴) + 0) = (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ·ih 𝐴))
3921, 35, 383eqtrd 2837 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴}))) → ((((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) + 𝑦) ·ih 𝐴) = (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ·ih 𝐴))
4039adantrr 716 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴})) ∧ 𝐵 = (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) + 𝑦))) → ((((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) + 𝑦) ·ih 𝐴) = (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ·ih 𝐴))
4110, 40eqtrd 2833 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴})) ∧ 𝐵 = (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) + 𝑦))) → (𝐵 ·ih 𝐴) = (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ·ih 𝐴))
4241oveq1d 7150 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴})) ∧ 𝐵 = (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) + 𝑦))) → ((𝐵 ·ih 𝐴) / ((norm𝐴)↑2)) = ((((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ·ih 𝐴) / ((norm𝐴)↑2)))
4342oveq1d 7150 . . 3 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴})) ∧ 𝐵 = (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) + 𝑦))) → (((𝐵 ·ih 𝐴) / ((norm𝐴)↑2)) · 𝐴) = (((((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ·ih 𝐴) / ((norm𝐴)↑2)) · 𝐴))
44 simpl1 1188 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴})) ∧ 𝐵 = (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) + 𝑦))) → 𝐴 ∈ ℋ)
45 simpl3 1190 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴})) ∧ 𝐵 = (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) + 𝑦))) → 𝐴 ≠ 0)
46 axpjcl 29183 . . . . . 6 (((span‘{𝐴}) ∈ C𝐵 ∈ ℋ) → ((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ∈ (span‘{𝐴}))
472, 3, 46syl2anc 587 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ∈ (span‘{𝐴}))
4847adantr 484 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴})) ∧ 𝐵 = (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) + 𝑦))) → ((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ∈ (span‘{𝐴}))
49 normcan 29359 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ ((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ∈ (span‘{𝐴})) → (((((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ·ih 𝐴) / ((norm𝐴)↑2)) · 𝐴) = ((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵))
5044, 45, 48, 49syl3anc 1368 . . 3 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴})) ∧ 𝐵 = (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) + 𝑦))) → (((((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) ·ih 𝐴) / ((norm𝐴)↑2)) · 𝐴) = ((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵))
5143, 50eqtr2d 2834 . 2 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ (⊥‘(span‘{𝐴})) ∧ 𝐵 = (((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) + 𝑦))) → ((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) = (((𝐵 ·ih 𝐴) / ((norm𝐴)↑2)) · 𝐴))
528, 51rexlimddv 3250 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝐵) = (((𝐵 ·ih 𝐴) / ((norm𝐴)↑2)) · 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2111  wne 2987  wrex 3107  {csn 4525  cfv 6324  (class class class)co 7135  cc 10524  0cc0 10526   + caddc 10529   / cdiv 11286  2c2 11680  cexp 13425  chba 28702   + cva 28703   · csm 28704   ·ih csp 28705  normcno 28706  0c0v 28707   S csh 28711   C cch 28712  cort 28713  spancspn 28715  projcpjh 28720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cc 9846  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606  ax-hilex 28782  ax-hfvadd 28783  ax-hvcom 28784  ax-hvass 28785  ax-hv0cl 28786  ax-hvaddid 28787  ax-hfvmul 28788  ax-hvmulid 28789  ax-hvmulass 28790  ax-hvdistr1 28791  ax-hvdistr2 28792  ax-hvmul0 28793  ax-hfi 28862  ax-his1 28865  ax-his2 28866  ax-his3 28867  ax-his4 28868  ax-hcompl 28985
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-omul 8090  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-acn 9355  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-fbas 20088  df-fg 20089  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cld 21624  df-ntr 21625  df-cls 21626  df-nei 21703  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-lm 21834  df-haus 21920  df-tx 22167  df-hmeo 22360  df-fil 22451  df-fm 22543  df-flim 22544  df-flf 22545  df-xms 22927  df-ms 22928  df-tms 22929  df-cfil 23859  df-cau 23860  df-cmet 23861  df-grpo 28276  df-gid 28277  df-ginv 28278  df-gdiv 28279  df-ablo 28328  df-vc 28342  df-nv 28375  df-va 28378  df-ba 28379  df-sm 28380  df-0v 28381  df-vs 28382  df-nmcv 28383  df-ims 28384  df-dip 28484  df-ssp 28505  df-ph 28596  df-cbn 28646  df-hnorm 28751  df-hba 28752  df-hvsub 28754  df-hlim 28755  df-hcau 28756  df-sh 28990  df-ch 29004  df-oc 29035  df-ch0 29036  df-shs 29091  df-span 29092  df-pjh 29178
This theorem is referenced by:  kbpj  29739
  Copyright terms: Public domain W3C validator