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Theorem pjspansn 30825
Description: A projection on the span of a singleton. (The proof ws shortened by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) (Contributed by NM, 28-May-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pjspansn ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐴 β‰  0β„Ž) β†’ ((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) = (((𝐡 Β·ih 𝐴) / ((normβ„Žβ€˜π΄)↑2)) Β·β„Ž 𝐴))
Proof of Theorem pjspansn
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 spansnch 30808 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‹ β†’ (spanβ€˜{𝐴}) ∈ Cβ„‹ )
213ad2ant1 1133 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐴 β‰  0β„Ž) β†’ (spanβ€˜{𝐴}) ∈ Cβ„‹ )
3 simp2 1137 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐴 β‰  0β„Ž) β†’ 𝐡 ∈ β„‹)
4 eqid 2732 . . . . 5 ((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) = ((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅)
5 pjeq 30647 . . . . 5 (((spanβ€˜{𝐴}) ∈ Cβ„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) = ((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) ↔ (((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) ∈ (spanβ€˜{𝐴}) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ (βŠ₯β€˜(spanβ€˜{𝐴}))𝐡 = (((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) +β„Ž 𝑦))))
64, 5mpbii 232 . . . 4 (((spanβ€˜{𝐴}) ∈ Cβ„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) ∈ (spanβ€˜{𝐴}) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ (βŠ₯β€˜(spanβ€˜{𝐴}))𝐡 = (((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) +β„Ž 𝑦)))
76simprd 496 . . 3 (((spanβ€˜{𝐴}) ∈ Cβ„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (βŠ₯β€˜(spanβ€˜{𝐴}))𝐡 = (((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) +β„Ž 𝑦))
82, 3, 7syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐴 β‰  0β„Ž) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (βŠ₯β€˜(spanβ€˜{𝐴}))𝐡 = (((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) +β„Ž 𝑦))
9 oveq1 7415 . . . . . . 7 (𝐡 = (((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) +β„Ž 𝑦) β†’ (𝐡 Β·ih 𝐴) = ((((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) +β„Ž 𝑦) Β·ih 𝐴))
109ad2antll 727 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐴 β‰  0β„Ž) ∧ (𝑦 ∈ (βŠ₯β€˜(spanβ€˜{𝐴})) ∧ 𝐡 = (((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) +β„Ž 𝑦))) β†’ (𝐡 Β·ih 𝐴) = ((((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) +β„Ž 𝑦) Β·ih 𝐴))
11 pjhcl 30649 . . . . . . . . . . 11 (((spanβ€˜{𝐴}) ∈ Cβ„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ ((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) ∈ β„‹)
122, 3, 11syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐴 β‰  0β„Ž) β†’ ((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) ∈ β„‹)
1312adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐴 β‰  0β„Ž) ∧ 𝑦 ∈ (βŠ₯β€˜(spanβ€˜{𝐴}))) β†’ ((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) ∈ β„‹)
14 choccl 30554 . . . . . . . . . . . 12 ((spanβ€˜{𝐴}) ∈ Cβ„‹ β†’ (βŠ₯β€˜(spanβ€˜{𝐴})) ∈ Cβ„‹ )
151, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ β„‹ β†’ (βŠ₯β€˜(spanβ€˜{𝐴})) ∈ Cβ„‹ )
16153ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐴 β‰  0β„Ž) β†’ (βŠ₯β€˜(spanβ€˜{𝐴})) ∈ Cβ„‹ )
17 chel 30478 . . . . . . . . . 10 (((βŠ₯β€˜(spanβ€˜{𝐴})) ∈ Cβ„‹ ∧ 𝑦 ∈ (βŠ₯β€˜(spanβ€˜{𝐴}))) β†’ 𝑦 ∈ β„‹)
1816, 17sylan 580 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐴 β‰  0β„Ž) ∧ 𝑦 ∈ (βŠ₯β€˜(spanβ€˜{𝐴}))) β†’ 𝑦 ∈ β„‹)
19 simpl1 1191 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐴 β‰  0β„Ž) ∧ 𝑦 ∈ (βŠ₯β€˜(spanβ€˜{𝐴}))) β†’ 𝐴 ∈ β„‹)
20 ax-his2 30331 . . . . . . . . 9 ((((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝐴 ∈ β„‹) β†’ ((((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) +β„Ž 𝑦) Β·ih 𝐴) = ((((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) Β·ih 𝐴) + (𝑦 Β·ih 𝐴)))
2113, 18, 19, 20syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐴 β‰  0β„Ž) ∧ 𝑦 ∈ (βŠ₯β€˜(spanβ€˜{𝐴}))) β†’ ((((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) +β„Ž 𝑦) Β·ih 𝐴) = ((((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) Β·ih 𝐴) + (𝑦 Β·ih 𝐴)))
22 spansnsh 30809 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ β„‹ β†’ (spanβ€˜{𝐴}) ∈ Sβ„‹ )
2322adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ (βŠ₯β€˜(spanβ€˜{𝐴}))) β†’ (spanβ€˜{𝐴}) ∈ Sβ„‹ )
24 spansnid 30811 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ β„‹ β†’ 𝐴 ∈ (spanβ€˜{𝐴}))
2524adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ (βŠ₯β€˜(spanβ€˜{𝐴}))) β†’ 𝐴 ∈ (spanβ€˜{𝐴}))
26 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ (βŠ₯β€˜(spanβ€˜{𝐴}))) β†’ 𝑦 ∈ (βŠ₯β€˜(spanβ€˜{𝐴})))
27 shocorth 30540 . . . . . . . . . . . . 13 ((spanβ€˜{𝐴}) ∈ Sβ„‹ β†’ ((𝐴 ∈ (spanβ€˜{𝐴}) ∧ 𝑦 ∈ (βŠ₯β€˜(spanβ€˜{𝐴}))) β†’ (𝐴 Β·ih 𝑦) = 0))
28273impib 1116 . . . . . . . . . . . 12 (((spanβ€˜{𝐴}) ∈ Sβ„‹ ∧ 𝐴 ∈ (spanβ€˜{𝐴}) ∧ 𝑦 ∈ (βŠ₯β€˜(spanβ€˜{𝐴}))) β†’ (𝐴 Β·ih 𝑦) = 0)
2923, 25, 26, 28syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ (βŠ₯β€˜(spanβ€˜{𝐴}))) β†’ (𝐴 Β·ih 𝑦) = 0)
3015, 17sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ (βŠ₯β€˜(spanβ€˜{𝐴}))) β†’ 𝑦 ∈ β„‹)
31 orthcom 30356 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((𝐴 Β·ih 𝑦) = 0 ↔ (𝑦 Β·ih 𝐴) = 0))
3230, 31syldan 591 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ (βŠ₯β€˜(spanβ€˜{𝐴}))) β†’ ((𝐴 Β·ih 𝑦) = 0 ↔ (𝑦 Β·ih 𝐴) = 0))
3329, 32mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ (βŠ₯β€˜(spanβ€˜{𝐴}))) β†’ (𝑦 Β·ih 𝐴) = 0)
34333ad2antl1 1185 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐴 β‰  0β„Ž) ∧ 𝑦 ∈ (βŠ₯β€˜(spanβ€˜{𝐴}))) β†’ (𝑦 Β·ih 𝐴) = 0)
3534oveq2d 7424 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐴 β‰  0β„Ž) ∧ 𝑦 ∈ (βŠ₯β€˜(spanβ€˜{𝐴}))) β†’ ((((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) Β·ih 𝐴) + (𝑦 Β·ih 𝐴)) = ((((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) Β·ih 𝐴) + 0))
36 hicl 30328 . . . . . . . . . 10 ((((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) ∈ β„‹ ∧ 𝐴 ∈ β„‹) β†’ (((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) Β·ih 𝐴) ∈ β„‚)
3713, 19, 36syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐴 β‰  0β„Ž) ∧ 𝑦 ∈ (βŠ₯β€˜(spanβ€˜{𝐴}))) β†’ (((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) Β·ih 𝐴) ∈ β„‚)
3837addridd 11413 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐴 β‰  0β„Ž) ∧ 𝑦 ∈ (βŠ₯β€˜(spanβ€˜{𝐴}))) β†’ ((((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) Β·ih 𝐴) + 0) = (((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) Β·ih 𝐴))
3921, 35, 383eqtrd 2776 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐴 β‰  0β„Ž) ∧ 𝑦 ∈ (βŠ₯β€˜(spanβ€˜{𝐴}))) β†’ ((((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) +β„Ž 𝑦) Β·ih 𝐴) = (((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) Β·ih 𝐴))
4039adantrr 715 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐴 β‰  0β„Ž) ∧ (𝑦 ∈ (βŠ₯β€˜(spanβ€˜{𝐴})) ∧ 𝐡 = (((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) +β„Ž 𝑦))) β†’ ((((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) +β„Ž 𝑦) Β·ih 𝐴) = (((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) Β·ih 𝐴))
4110, 40eqtrd 2772 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐴 β‰  0β„Ž) ∧ (𝑦 ∈ (βŠ₯β€˜(spanβ€˜{𝐴})) ∧ 𝐡 = (((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) +β„Ž 𝑦))) β†’ (𝐡 Β·ih 𝐴) = (((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) Β·ih 𝐴))
4241oveq1d 7423 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐴 β‰  0β„Ž) ∧ (𝑦 ∈ (βŠ₯β€˜(spanβ€˜{𝐴})) ∧ 𝐡 = (((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) +β„Ž 𝑦))) β†’ ((𝐡 Β·ih 𝐴) / ((normβ„Žβ€˜π΄)↑2)) = ((((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) Β·ih 𝐴) / ((normβ„Žβ€˜π΄)↑2)))
4342oveq1d 7423 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐴 β‰  0β„Ž) ∧ (𝑦 ∈ (βŠ₯β€˜(spanβ€˜{𝐴})) ∧ 𝐡 = (((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) +β„Ž 𝑦))) β†’ (((𝐡 Β·ih 𝐴) / ((normβ„Žβ€˜π΄)↑2)) Β·β„Ž 𝐴) = (((((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) Β·ih 𝐴) / ((normβ„Žβ€˜π΄)↑2)) Β·β„Ž 𝐴))
44 simpl1 1191 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐴 β‰  0β„Ž) ∧ (𝑦 ∈ (βŠ₯β€˜(spanβ€˜{𝐴})) ∧ 𝐡 = (((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) +β„Ž 𝑦))) β†’ 𝐴 ∈ β„‹)
45 simpl3 1193 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐴 β‰  0β„Ž) ∧ (𝑦 ∈ (βŠ₯β€˜(spanβ€˜{𝐴})) ∧ 𝐡 = (((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) +β„Ž 𝑦))) β†’ 𝐴 β‰  0β„Ž)
46 axpjcl 30648 . . . . . 6 (((spanβ€˜{𝐴}) ∈ Cβ„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ ((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) ∈ (spanβ€˜{𝐴}))
472, 3, 46syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐴 β‰  0β„Ž) β†’ ((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) ∈ (spanβ€˜{𝐴}))
4847adantr 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐴 β‰  0β„Ž) ∧ (𝑦 ∈ (βŠ₯β€˜(spanβ€˜{𝐴})) ∧ 𝐡 = (((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) +β„Ž 𝑦))) β†’ ((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) ∈ (spanβ€˜{𝐴}))
49 normcan 30824 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐴 β‰  0β„Ž ∧ ((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) ∈ (spanβ€˜{𝐴})) β†’ (((((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) Β·ih 𝐴) / ((normβ„Žβ€˜π΄)↑2)) Β·β„Ž 𝐴) = ((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅))
5044, 45, 48, 49syl3anc 1371 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐴 β‰  0β„Ž) ∧ (𝑦 ∈ (βŠ₯β€˜(spanβ€˜{𝐴})) ∧ 𝐡 = (((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) +β„Ž 𝑦))) β†’ (((((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) Β·ih 𝐴) / ((normβ„Žβ€˜π΄)↑2)) Β·β„Ž 𝐴) = ((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅))
5143, 50eqtr2d 2773 . 2 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐴 β‰  0β„Ž) ∧ (𝑦 ∈ (βŠ₯β€˜(spanβ€˜{𝐴})) ∧ 𝐡 = (((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) +β„Ž 𝑦))) β†’ ((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) = (((𝐡 Β·ih 𝐴) / ((normβ„Žβ€˜π΄)↑2)) Β·β„Ž 𝐴))
528, 51rexlimddv 3161 1 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐴 β‰  0β„Ž) β†’ ((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π΅) = (((𝐡 Β·ih 𝐴) / ((normβ„Žβ€˜π΄)↑2)) Β·β„Ž 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070  {csn 4628  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  0cc0 11109   + caddc 11112   / cdiv 11870  2c2 12266  β†‘cexp 14026   β„‹chba 30167   +β„Ž cva 30168   Β·β„Ž csm 30169   Β·ih csp 30170  normβ„Žcno 30171  0β„Žc0v 30172   Sβ„‹ csh 30176   Cβ„‹ cch 30177  βŠ₯cort 30178  spancspn 30180  projβ„Žcpjh 30185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cc 10429  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189  ax-hilex 30247  ax-hfvadd 30248  ax-hvcom 30249  ax-hvass 30250  ax-hv0cl 30251  ax-hvaddid 30252  ax-hfvmul 30253  ax-hvmulid 30254  ax-hvmulass 30255  ax-hvdistr1 30256  ax-hvdistr2 30257  ax-hvmul0 30258  ax-hfi 30327  ax-his1 30330  ax-his2 30331  ax-his3 30332  ax-his4 30333  ax-hcompl 30450
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-lm 22732  df-haus 22818  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cfil 24771  df-cau 24772  df-cmet 24773  df-grpo 29741  df-gid 29742  df-ginv 29743  df-gdiv 29744  df-ablo 29793  df-vc 29807  df-nv 29840  df-va 29843  df-ba 29844  df-sm 29845  df-0v 29846  df-vs 29847  df-nmcv 29848  df-ims 29849  df-dip 29949  df-ssp 29970  df-ph 30061  df-cbn 30111  df-hnorm 30216  df-hba 30217  df-hvsub 30219  df-hlim 30220  df-hcau 30221  df-sh 30455  df-ch 30469  df-oc 30500  df-ch0 30501  df-shs 30556  df-span 30557  df-pjh 30643
This theorem is referenced by:  kbpj  31204
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