HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hi2eq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hi2eq 31134
Description: Lemma used to prove equality of vectors. (Contributed by NM, 16-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hi2eq ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih (𝐴 𝐵)) = (𝐵 ·ih (𝐴 𝐵)) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem hi2eq
StepHypRef Expression
1 hvsubcl 31046 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 𝐵) ∈ ℋ)
2 his2sub 31121 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝐴 𝐵) ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) = ((𝐴 ·ih (𝐴 𝐵)) − (𝐵 ·ih (𝐴 𝐵))))
31, 2mpd3an3 1461 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) = ((𝐴 ·ih (𝐴 𝐵)) − (𝐵 ·ih (𝐴 𝐵))))
43eqeq1d 2737 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) = 0 ↔ ((𝐴 ·ih (𝐴 𝐵)) − (𝐵 ·ih (𝐴 𝐵))) = 0))
5 his6 31128 . . . 4 ((𝐴 𝐵) ∈ ℋ → (((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) = 0 ↔ (𝐴 𝐵) = 0))
61, 5syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) = 0 ↔ (𝐴 𝐵) = 0))
74, 6bitr3d 281 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·ih (𝐴 𝐵)) − (𝐵 ·ih (𝐴 𝐵))) = 0 ↔ (𝐴 𝐵) = 0))
8 hicl 31109 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝐴 𝐵) ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐴 𝐵)) ∈ ℂ)
91, 8syldan 591 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐴 𝐵)) ∈ ℂ)
10 simpr 484 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → 𝐵 ∈ ℋ)
11 hicl 31109 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝐴 𝐵) ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝐴 𝐵)) ∈ ℂ)
1210, 1, 11syl2anc 584 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝐴 𝐵)) ∈ ℂ)
139, 12subeq0ad 11628 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·ih (𝐴 𝐵)) − (𝐵 ·ih (𝐴 𝐵))) = 0 ↔ (𝐴 ·ih (𝐴 𝐵)) = (𝐵 ·ih (𝐴 𝐵))))
14 hvsubeq0 31097 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) = 0𝐴 = 𝐵))
157, 13, 143bitr3d 309 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih (𝐴 𝐵)) = (𝐵 ·ih (𝐴 𝐵)) ↔ 𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  cmin 11490  chba 30948   ·ih csp 30951  0c0v 30953   cmv 30954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-hfvadd 31029  ax-hvcom 31030  ax-hvass 31031  ax-hv0cl 31032  ax-hvaddid 31033  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035  ax-hvdistr2 31038  ax-hvmul0 31039  ax-hfi 31108  ax-his2 31112  ax-his3 31113  ax-his4 31114
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-hvsub 31000
This theorem is referenced by:  hial2eq  31135
  Copyright terms: Public domain W3C validator