HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hi2eq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hi2eq 28809
Description: Lemma used to prove equality of vectors. (Contributed by NM, 16-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hi2eq ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih (𝐴 𝐵)) = (𝐵 ·ih (𝐴 𝐵)) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem hi2eq
StepHypRef Expression
1 hvsubcl 28721 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 𝐵) ∈ ℋ)
2 his2sub 28796 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝐴 𝐵) ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) = ((𝐴 ·ih (𝐴 𝐵)) − (𝐵 ·ih (𝐴 𝐵))))
31, 2mpd3an3 1453 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) = ((𝐴 ·ih (𝐴 𝐵)) − (𝐵 ·ih (𝐴 𝐵))))
43eqeq1d 2820 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) = 0 ↔ ((𝐴 ·ih (𝐴 𝐵)) − (𝐵 ·ih (𝐴 𝐵))) = 0))
5 his6 28803 . . . 4 ((𝐴 𝐵) ∈ ℋ → (((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) = 0 ↔ (𝐴 𝐵) = 0))
61, 5syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) = 0 ↔ (𝐴 𝐵) = 0))
74, 6bitr3d 282 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·ih (𝐴 𝐵)) − (𝐵 ·ih (𝐴 𝐵))) = 0 ↔ (𝐴 𝐵) = 0))
8 hicl 28784 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝐴 𝐵) ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐴 𝐵)) ∈ ℂ)
91, 8syldan 591 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐴 𝐵)) ∈ ℂ)
10 simpr 485 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → 𝐵 ∈ ℋ)
11 hicl 28784 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝐴 𝐵) ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝐴 𝐵)) ∈ ℂ)
1210, 1, 11syl2anc 584 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝐴 𝐵)) ∈ ℂ)
139, 12subeq0ad 10995 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·ih (𝐴 𝐵)) − (𝐵 ·ih (𝐴 𝐵))) = 0 ↔ (𝐴 ·ih (𝐴 𝐵)) = (𝐵 ·ih (𝐴 𝐵))))
14 hvsubeq0 28772 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) = 0𝐴 = 𝐵))
157, 13, 143bitr3d 310 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih (𝐴 𝐵)) = (𝐵 ·ih (𝐴 𝐵)) ↔ 𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525  cmin 10858  chba 28623   ·ih csp 28626  0c0v 28628   cmv 28629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-hfvadd 28704  ax-hvcom 28705  ax-hvass 28706  ax-hv0cl 28707  ax-hvaddid 28708  ax-hfvmul 28709  ax-hvmulid 28710  ax-hvdistr2 28713  ax-hvmul0 28714  ax-hfi 28783  ax-his2 28787  ax-his3 28788  ax-his4 28789
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-ltxr 10668  df-sub 10860  df-neg 10861  df-hvsub 28675
This theorem is referenced by:  hial2eq  28810
  Copyright terms: Public domain W3C validator