Theorem hi2eq 31164

Description: Lemma used to prove equality of vectors. (Contributed by NM, 16-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hi2eq	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (𝐵 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem hi2eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvsubcl 31076	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
2		his2sub 31151	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) = ((𝐴 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − (𝐵 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))))
3	1, 2	mpd3an3 1465	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) = ((𝐴 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − (𝐵 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))))
4	3	eqeq1d 2737	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) = 0 ↔ ((𝐴 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − (𝐵 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) = 0))
5		his6 31158	. . . 4 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ → (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) = 0 ↔ (𝐴 −ℎ 𝐵) = 0ℎ))
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) = 0 ↔ (𝐴 −ℎ 𝐵) = 0ℎ))
7	4, 6	bitr3d 281	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − (𝐵 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) = 0 ↔ (𝐴 −ℎ 𝐵) = 0ℎ))
8		hicl 31139	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) ∈ ℂ)
9	1, 8	syldan 592	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) ∈ ℂ)
10		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → 𝐵 ∈ ℋ)
11		hicl 31139	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) ∈ ℂ)
12	10, 1, 11	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) ∈ ℂ)
13	9, 12	subeq0ad 11504	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − (𝐵 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) = 0 ↔ (𝐴 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (𝐵 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))))
14		hvsubeq0 31127	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ 𝐴 = 𝐵))
15	7, 13, 14	3bitr3d 309	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (𝐵 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7356  ℂcc 11025  0cc0 11027   − cmin 11366   ℋchba 30978   ·_ih csp 30981  0_ℎc0v 30983   −_ℎ cmv 30984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-hfvadd 31059  ax-hvcom 31060  ax-hvass 31061  ax-hv0cl 31062  ax-hvaddid 31063  ax-hfvmul 31064  ax-hvmulid 31065  ax-hvdistr2 31068  ax-hvmul0 31069  ax-hfi 31138  ax-his2 31142  ax-his3 31143  ax-his4 31144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-po 5528  df-so 5529  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11368  df-neg 11369  df-hvsub 31030

This theorem is referenced by:  hial2eq  31165