Theorem hi2eq 31176

Description: Lemma used to prove equality of vectors. (Contributed by NM, 16-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hi2eq	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (𝐵 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem hi2eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvsubcl 31088	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
2		his2sub 31163	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) = ((𝐴 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − (𝐵 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))))
3	1, 2	mpd3an3 1465	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) = ((𝐴 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − (𝐵 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))))
4	3	eqeq1d 2739	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) = 0 ↔ ((𝐴 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − (𝐵 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) = 0))
5		his6 31170	. . . 4 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ → (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) = 0 ↔ (𝐴 −ℎ 𝐵) = 0ℎ))
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) = 0 ↔ (𝐴 −ℎ 𝐵) = 0ℎ))
7	4, 6	bitr3d 281	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − (𝐵 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) = 0 ↔ (𝐴 −ℎ 𝐵) = 0ℎ))
8		hicl 31151	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) ∈ ℂ)
9	1, 8	syldan 592	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) ∈ ℂ)
10		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → 𝐵 ∈ ℋ)
11		hicl 31151	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) ∈ ℂ)
12	10, 1, 11	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) ∈ ℂ)
13	9, 12	subeq0ad 11515	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − (𝐵 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) = 0 ↔ (𝐴 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (𝐵 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))))
14		hvsubeq0 31139	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ 𝐴 = 𝐵))
15	7, 13, 14	3bitr3d 309	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (𝐵 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038   − cmin 11377   ℋchba 30990   ·_ih csp 30993  0_ℎc0v 30995   −_ℎ cmv 30996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-hfvadd 31071  ax-hvcom 31072  ax-hvass 31073  ax-hv0cl 31074  ax-hvaddid 31075  ax-hfvmul 31076  ax-hvmulid 31077  ax-hvdistr2 31080  ax-hvmul0 31081  ax-hfi 31150  ax-his2 31154  ax-his3 31155  ax-his4 31156

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-sub 11379  df-neg 11380  df-hvsub 31042

This theorem is referenced by:  hial2eq  31177