Theorem hire 31184

Description: A necessary and sufficient condition for an inner product to be real. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hire	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℝ ↔ (𝐴 ·ih 𝐵) = (𝐵 ·ih 𝐴)))

Proof of Theorem hire

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hicl 31170	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
2		cjreb 15080	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ → ((𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℝ ↔ (∗‘(𝐴 ·ih 𝐵)) = (𝐴 ·ih 𝐵)))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℝ ↔ (∗‘(𝐴 ·ih 𝐵)) = (𝐴 ·ih 𝐵)))
4		eqcom 2744	. . 3 ⊢ ((∗‘(𝐴 ·ih 𝐵)) = (𝐴 ·ih 𝐵) ↔ (𝐴 ·ih 𝐵) = (∗‘(𝐴 ·ih 𝐵)))
5	3, 4	bitrdi 287	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℝ ↔ (𝐴 ·ih 𝐵) = (∗‘(𝐴 ·ih 𝐵))))
6		ax-his1 31172	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih 𝐴) = (∗‘(𝐴 ·ih 𝐵)))
7	6	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih 𝐴) = (∗‘(𝐴 ·ih 𝐵)))
8	7	eqeq2d 2748	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = (𝐵 ·ih 𝐴) ↔ (𝐴 ·ih 𝐵) = (∗‘(𝐴 ·ih 𝐵))))
9	5, 8	bitr4d 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℝ ↔ (𝐴 ·ih 𝐵) = (𝐵 ·ih 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  ℂcc 11031  ℝcr 11032  ∗ccj 15053   ℋchba 31009   ·_ih csp 31012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-hfi 31169  ax-his1 31172

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058

This theorem is referenced by:  hiidrcl  31185  pjhthlem1  31481  eigposi  31926  hmopre  32013