HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hire Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hire 30385
Description: A necessary and sufficient condition for an inner product to be real. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hire ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทih ๐ต) โˆˆ โ„ โ†” (๐ด ยทih ๐ต) = (๐ต ยทih ๐ด)))
Proof of Theorem hire
StepHypRef Expression
1 hicl 30371 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทih ๐ต) โˆˆ โ„‚)
2 cjreb 15072 . . . 4 ((๐ด ยทih ๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ด ยทih ๐ต) โˆˆ โ„ โ†” (โˆ—โ€˜(๐ด ยทih ๐ต)) = (๐ด ยทih ๐ต)))
31, 2syl 17 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทih ๐ต) โˆˆ โ„ โ†” (โˆ—โ€˜(๐ด ยทih ๐ต)) = (๐ด ยทih ๐ต)))
4 eqcom 2739 . . 3 ((โˆ—โ€˜(๐ด ยทih ๐ต)) = (๐ด ยทih ๐ต) โ†” (๐ด ยทih ๐ต) = (โˆ—โ€˜(๐ด ยทih ๐ต)))
53, 4bitrdi 286 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทih ๐ต) โˆˆ โ„ โ†” (๐ด ยทih ๐ต) = (โˆ—โ€˜(๐ด ยทih ๐ต))))
6 ax-his1 30373 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ต ยทih ๐ด) = (โˆ—โ€˜(๐ด ยทih ๐ต)))
76ancoms 459 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ต ยทih ๐ด) = (โˆ—โ€˜(๐ด ยทih ๐ต)))
87eqeq2d 2743 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทih ๐ต) = (๐ต ยทih ๐ด) โ†” (๐ด ยทih ๐ต) = (โˆ—โ€˜(๐ด ยทih ๐ต))))
95, 8bitr4d 281 1 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทih ๐ต) โˆˆ โ„ โ†” (๐ด ยทih ๐ต) = (๐ต ยทih ๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  โˆ—ccj 15045   โ„‹chba 30210   ยทih csp 30213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-hfi 30370  ax-his1 30373
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-2 12277  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050
This theorem is referenced by:  hiidrcl  30386  pjhthlem1  30682  eigposi  31127  hmopre  31214
  Copyright terms: Public domain W3C validator