HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hi01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hi01 30978
Description: Inner product with the 0 vector. (Contributed by NM, 29-May-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hi01 (𝐴 ∈ ℋ → (0 ·ih 𝐴) = 0)

Proof of Theorem hi01
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 30885 . . . . 5 0 ∈ ℋ
2 ax-hvmul0 30892 . . . . 5 (0 ∈ ℋ → (0 · 0) = 0)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (0 · 0) = 0
43oveq1i 7429 . . 3 ((0 · 0) ·ih 𝐴) = (0 ·ih 𝐴)
5 0cn 11238 . . . 4 0 ∈ ℂ
6 ax-his3 30966 . . . 4 ((0 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((0 · 0) ·ih 𝐴) = (0 · (0 ·ih 𝐴)))
75, 1, 6mp3an12 1447 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → ((0 · 0) ·ih 𝐴) = (0 · (0 ·ih 𝐴)))
84, 7eqtr3id 2779 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (0 ·ih 𝐴) = (0 · (0 ·ih 𝐴)))
9 hicl 30962 . . . 4 ((0 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (0 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
101, 9mpan 688 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → (0 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
1110mul02d 11444 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (0 · (0 ·ih 𝐴)) = 0)
128, 11eqtrd 2765 1 (𝐴 ∈ ℋ → (0 ·ih 𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  (class class class)co 7419  cc 11138  0cc0 11140   · cmul 11145  chba 30801   · csm 30803   ·ih csp 30804  0c0v 30806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-hv0cl 30885  ax-hvmul0 30892  ax-hfi 30961  ax-his3 30966
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-ltxr 11285
This theorem is referenced by:  hi02  30979  hiidge0  30980  his6  30981  hial0  30984  normgt0  31009  norm0  31010  ocsh  31165  0hmop  31865  adj0  31876  lnopeq0i  31889  leop3  32007  leoprf2  32009  leoprf  32010  idleop  32013
  Copyright terms: Public domain W3C validator