Theorem hi01 31076

Description: Inner product with the 0 vector. (Contributed by NM, 29-May-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hi01	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0ℎ ·ih 𝐴) = 0)

Proof of Theorem hi01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 30983	. . . . 5 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
2		ax-hvmul0 30990	. . . . 5 ⊢ (0ℎ ∈ ℋ → (0 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ
4	3	oveq1i 7356	. . 3 ⊢ ((0 ·ℎ 0ℎ) ·ih 𝐴) = (0ℎ ·ih 𝐴)
5		0cn 11104	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
6		ax-his3 31064	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 0ℎ ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((0 ·ℎ 0ℎ) ·ih 𝐴) = (0 · (0ℎ ·ih 𝐴)))
7	5, 1, 6	mp3an12 1453	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((0 ·ℎ 0ℎ) ·ih 𝐴) = (0 · (0ℎ ·ih 𝐴)))
8	4, 7	eqtr3id 2780	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0ℎ ·ih 𝐴) = (0 · (0ℎ ·ih 𝐴)))
9		hicl 31060	. . . 4 ⊢ ((0ℎ ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (0ℎ ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
10	1, 9	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0ℎ ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
11	10	mul02d 11311	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0 · (0ℎ ·ih 𝐴)) = 0)
12	8, 11	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0ℎ ·ih 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  0cc0 11006   · cmul 11011   ℋchba 30899   ·_ℎ csm 30901   ·_ih csp 30902  0_ℎc0v 30904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-hv0cl 30983  ax-hvmul0 30990  ax-hfi 31059  ax-his3 31064

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151

This theorem is referenced by:  hi02  31077  hiidge0  31078  his6  31079  hial0  31082  normgt0  31107  norm0  31108  ocsh  31263  0hmop  31963  adj0  31974  lnopeq0i  31987  leop3  32105  leoprf2  32107  leoprf  32108  idleop  32111