HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hi01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hi01 28857
Description: Inner product with the 0 vector. (Contributed by NM, 29-May-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hi01 (𝐴 ∈ ℋ → (0 ·ih 𝐴) = 0)

Proof of Theorem hi01
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 28764 . . . . 5 0 ∈ ℋ
2 ax-hvmul0 28771 . . . . 5 (0 ∈ ℋ → (0 · 0) = 0)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (0 · 0) = 0
43oveq1i 7140 . . 3 ((0 · 0) ·ih 𝐴) = (0 ·ih 𝐴)
5 0cn 10610 . . . 4 0 ∈ ℂ
6 ax-his3 28845 . . . 4 ((0 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((0 · 0) ·ih 𝐴) = (0 · (0 ·ih 𝐴)))
75, 1, 6mp3an12 1448 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → ((0 · 0) ·ih 𝐴) = (0 · (0 ·ih 𝐴)))
84, 7syl5eqr 2870 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (0 ·ih 𝐴) = (0 · (0 ·ih 𝐴)))
9 hicl 28841 . . . 4 ((0 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (0 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
101, 9mpan 689 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → (0 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
1110mul02d 10815 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (0 · (0 ·ih 𝐴)) = 0)
128, 11eqtrd 2856 1 (𝐴 ∈ ℋ → (0 ·ih 𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  (class class class)co 7130  cc 10512  0cc0 10514   · cmul 10519  chba 28680   · csm 28682   ·ih csp 28683  0c0v 28685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-hv0cl 28764  ax-hvmul0 28771  ax-hfi 28840  ax-his3 28845
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-po 5447  df-so 5448  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7133  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-ltxr 10657
This theorem is referenced by:  hi02  28858  hiidge0  28859  his6  28860  hial0  28863  normgt0  28888  norm0  28889  ocsh  29044  0hmop  29744  adj0  29755  lnopeq0i  29768  leop3  29886  leoprf2  29888  leoprf  29889  idleop  29892
  Copyright terms: Public domain W3C validator