Theorem hi01 29503

Description: Inner product with the 0 vector. (Contributed by NM, 29-May-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hi01	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0ℎ ·ih 𝐴) = 0)

Proof of Theorem hi01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 29410	. . . . 5 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
2		ax-hvmul0 29417	. . . . 5 ⊢ (0ℎ ∈ ℋ → (0 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ
4	3	oveq1i 7317	. . 3 ⊢ ((0 ·ℎ 0ℎ) ·ih 𝐴) = (0ℎ ·ih 𝐴)
5		0cn 11013	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
6		ax-his3 29491	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 0ℎ ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((0 ·ℎ 0ℎ) ·ih 𝐴) = (0 · (0ℎ ·ih 𝐴)))
7	5, 1, 6	mp3an12 1451	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((0 ·ℎ 0ℎ) ·ih 𝐴) = (0 · (0ℎ ·ih 𝐴)))
8	4, 7	eqtr3id 2790	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0ℎ ·ih 𝐴) = (0 · (0ℎ ·ih 𝐴)))
9		hicl 29487	. . . 4 ⊢ ((0ℎ ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (0ℎ ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
10	1, 9	mpan 688	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0ℎ ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
11	10	mul02d 11219	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0 · (0ℎ ·ih 𝐴)) = 0)
12	8, 11	eqtrd 2776	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0ℎ ·ih 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  (class class class)co 7307  ℂcc 10915  0cc0 10917   · cmul 10922   ℋchba 29326   ·_ℎ csm 29328   ·_ih csp 29329  0_ℎc0v 29331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-hv0cl 29410  ax-hvmul0 29417  ax-hfi 29486  ax-his3 29491

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-po 5514  df-so 5515  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-ov 7310  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-ltxr 11060

This theorem is referenced by:  hi02  29504  hiidge0  29505  his6  29506  hial0  29509  normgt0  29534  norm0  29535  ocsh  29690  0hmop  30390  adj0  30401  lnopeq0i  30414  leop3  30532  leoprf2  30534  leoprf  30535  idleop  30538