Theorem hi01 28873

Description: Inner product with the 0 vector. (Contributed by NM, 29-May-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hi01	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0ℎ ·ih 𝐴) = 0)

Proof of Theorem hi01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 28780	. . . . 5 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
2		ax-hvmul0 28787	. . . . 5 ⊢ (0ℎ ∈ ℋ → (0 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ
4	3	oveq1i 7166	. . 3 ⊢ ((0 ·ℎ 0ℎ) ·ih 𝐴) = (0ℎ ·ih 𝐴)
5		0cn 10633	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
6		ax-his3 28861	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 0ℎ ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((0 ·ℎ 0ℎ) ·ih 𝐴) = (0 · (0ℎ ·ih 𝐴)))
7	5, 1, 6	mp3an12 1447	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((0 ·ℎ 0ℎ) ·ih 𝐴) = (0 · (0ℎ ·ih 𝐴)))
8	4, 7	syl5eqr 2870	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0ℎ ·ih 𝐴) = (0 · (0ℎ ·ih 𝐴)))
9		hicl 28857	. . . 4 ⊢ ((0ℎ ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (0ℎ ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
10	1, 9	mpan 688	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0ℎ ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
11	10	mul02d 10838	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0 · (0ℎ ·ih 𝐴)) = 0)
12	8, 11	eqtrd 2856	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0ℎ ·ih 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  0cc0 10537   · cmul 10542   ℋchba 28696   ·_ℎ csm 28698   ·_ih csp 28699  0_ℎc0v 28701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-hv0cl 28780  ax-hvmul0 28787  ax-hfi 28856  ax-his3 28861

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-ltxr 10680

This theorem is referenced by:  hi02  28874  hiidge0  28875  his6  28876  hial0  28879  normgt0  28904  norm0  28905  ocsh  29060  0hmop  29760  adj0  29771  lnopeq0i  29784  leop3  29902  leoprf2  29904  leoprf  29905  idleop  29908