HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hi01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hi01 29209
Description: Inner product with the 0 vector. (Contributed by NM, 29-May-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hi01 (𝐴 ∈ ℋ → (0 ·ih 𝐴) = 0)

Proof of Theorem hi01
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 29116 . . . . 5 0 ∈ ℋ
2 ax-hvmul0 29123 . . . . 5 (0 ∈ ℋ → (0 · 0) = 0)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (0 · 0) = 0
43oveq1i 7245 . . 3 ((0 · 0) ·ih 𝐴) = (0 ·ih 𝐴)
5 0cn 10855 . . . 4 0 ∈ ℂ
6 ax-his3 29197 . . . 4 ((0 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((0 · 0) ·ih 𝐴) = (0 · (0 ·ih 𝐴)))
75, 1, 6mp3an12 1453 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → ((0 · 0) ·ih 𝐴) = (0 · (0 ·ih 𝐴)))
84, 7eqtr3id 2794 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (0 ·ih 𝐴) = (0 · (0 ·ih 𝐴)))
9 hicl 29193 . . . 4 ((0 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (0 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
101, 9mpan 690 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → (0 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
1110mul02d 11060 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (0 · (0 ·ih 𝐴)) = 0)
128, 11eqtrd 2779 1 (𝐴 ∈ ℋ → (0 ·ih 𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1543  wcel 2112  (class class class)co 7235  cc 10757  0cc0 10759   · cmul 10764  chba 29032   · csm 29034   ·ih csp 29035  0c0v 29037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-sep 5209  ax-nul 5216  ax-pow 5275  ax-pr 5339  ax-un 7545  ax-resscn 10816  ax-1cn 10817  ax-icn 10818  ax-addcl 10819  ax-addrcl 10820  ax-mulcl 10821  ax-mulrcl 10822  ax-mulcom 10823  ax-addass 10824  ax-mulass 10825  ax-distr 10826  ax-i2m1 10827  ax-1ne0 10828  ax-1rid 10829  ax-rnegex 10830  ax-rrecex 10831  ax-cnre 10832  ax-pre-lttri 10833  ax-pre-lttrn 10834  ax-pre-ltadd 10835  ax-hv0cl 29116  ax-hvmul0 29123  ax-hfi 29192  ax-his3 29197
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-id 5472  df-po 5486  df-so 5487  df-xp 5575  df-rel 5576  df-cnv 5577  df-co 5578  df-dm 5579  df-rn 5580  df-res 5581  df-ima 5582  df-iota 6359  df-fun 6403  df-fn 6404  df-f 6405  df-f1 6406  df-fo 6407  df-f1o 6408  df-fv 6409  df-ov 7238  df-er 8415  df-en 8651  df-dom 8652  df-sdom 8653  df-pnf 10899  df-mnf 10900  df-ltxr 10902
This theorem is referenced by:  hi02  29210  hiidge0  29211  his6  29212  hial0  29215  normgt0  29240  norm0  29241  ocsh  29396  0hmop  30096  adj0  30107  lnopeq0i  30120  leop3  30238  leoprf2  30240  leoprf  30241  idleop  30244
  Copyright terms: Public domain W3C validator