Theorem hi01 28504

Description: Inner product with the 0 vector. (Contributed by NM, 29-May-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hi01	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0ℎ ·ih 𝐴) = 0)

Proof of Theorem hi01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 28411	. . . . 5 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
2		ax-hvmul0 28418	. . . . 5 ⊢ (0ℎ ∈ ℋ → (0 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ
4	3	oveq1i 6920	. . 3 ⊢ ((0 ·ℎ 0ℎ) ·ih 𝐴) = (0ℎ ·ih 𝐴)
5		0cn 10355	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
6		ax-his3 28492	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 0ℎ ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((0 ·ℎ 0ℎ) ·ih 𝐴) = (0 · (0ℎ ·ih 𝐴)))
7	5, 1, 6	mp3an12 1579	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((0 ·ℎ 0ℎ) ·ih 𝐴) = (0 · (0ℎ ·ih 𝐴)))
8	4, 7	syl5eqr 2875	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0ℎ ·ih 𝐴) = (0 · (0ℎ ·ih 𝐴)))
9		hicl 28488	. . . 4 ⊢ ((0ℎ ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (0ℎ ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
10	1, 9	mpan 681	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0ℎ ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
11	10	mul02d 10560	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0 · (0ℎ ·ih 𝐴)) = 0)
12	8, 11	eqtrd 2861	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0ℎ ·ih 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  (class class class)co 6910  ℂcc 10257  0cc0 10259   · cmul 10264   ℋchba 28327   ·_ℎ csm 28329   ·_ih csp 28330  0_ℎc0v 28332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-hv0cl 28411  ax-hvmul0 28418  ax-hfi 28487  ax-his3 28492

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-po 5265  df-so 5266  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-ov 6913  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-ltxr 10403

This theorem is referenced by:  hi02  28505  hiidge0  28506  his6  28507  hial0  28510  normgt0  28535  norm0  28536  ocsh  28693  0hmop  29393  adj0  29404  lnopeq0i  29417  leop3  29535  leoprf2  29537  leoprf  29538  idleop  29541