Theorem eigvalcl 30455

Description: An eigenvalue is a complex number. (Contributed by NM, 11-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
eigvalcl	⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem eigvalcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eigvalval 30454	. 2 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((eigval‘𝑇)‘𝐴) = (((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) / ((normℎ‘𝐴)↑2)))
2		eleigveccl 30453	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → 𝐴 ∈ ℋ)
3		ffvelcdm 6998	. . . . 5 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ)
4		hicl 29574	. . . . 5 ⊢ (((𝑇‘𝐴) ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
5	3, 4	sylancom 588	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
6	2, 5	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
7		normcl 29619	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11082	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℂ)
9	2, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (normℎ‘𝐴) ∈ ℂ)
10	9	sqcld 13941	. . 3 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((normℎ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
11		eleigvec 30451	. . . . 5 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇) ↔ (𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ ∧ ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑇‘𝐴) = (𝑥 ·ℎ 𝐴))))
12	11	biimpa 477	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ ∧ ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑇‘𝐴) = (𝑥 ·ℎ 𝐴)))
13		sqne0 13922	. . . . . . . 8 ⊢ ((normℎ‘𝐴) ∈ ℂ → (((normℎ‘𝐴)↑2) ≠ 0 ↔ (normℎ‘𝐴) ≠ 0))
14	8, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (((normℎ‘𝐴)↑2) ≠ 0 ↔ (normℎ‘𝐴) ≠ 0))
15		normne0 29624	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0ℎ))
16	14, 15	bitr2d 279	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0ℎ ↔ ((normℎ‘𝐴)↑2) ≠ 0))
17	16	biimpa 477	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → ((normℎ‘𝐴)↑2) ≠ 0)
18	17	3adant3 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ ∧ ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑇‘𝐴) = (𝑥 ·ℎ 𝐴)) → ((normℎ‘𝐴)↑2) ≠ 0)
19	12, 18	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((normℎ‘𝐴)↑2) ≠ 0)
20	6, 10, 19	divcld 11830	. 2 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → (((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) / ((normℎ‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
21	1, 20	eqeltrd 2837	1 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ (eigvec‘𝑇)) → ((eigval‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070  ⟶wf 6461  ‘cfv 6465  (class class class)co 7316  ℂcc 10948  0cc0 10950   / cdiv 11711  2c2 12107  ↑cexp 13861   ℋchba 29413   ·_ℎ csm 29415   ·_ih csp 29416  norm_ℎcno 29417  0_ℎc0v 29418  eigveccei 29453  eigvalcel 29454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-inf2 9476  ax-cc 10270  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027  ax-pre-sup 11028  ax-addf 11029  ax-mulf 11030  ax-hilex 29493  ax-hfvadd 29494  ax-hvcom 29495  ax-hvass 29496  ax-hv0cl 29497  ax-hvaddid 29498  ax-hfvmul 29499  ax-hvmulid 29500  ax-hvmulass 29501  ax-hvdistr1 29502  ax-hvdistr2 29503  ax-hvmul0 29504  ax-hfi 29573  ax-his1 29576  ax-his2 29577  ax-his3 29578  ax-his4 29579  ax-hcompl 29696

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4850  df-int 4892  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-se 5563  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-isom 6474  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-of 7574  df-om 7759  df-1st 7877  df-2nd 7878  df-supp 8026  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-1o 8345  df-2o 8346  df-oadd 8349  df-omul 8350  df-er 8547  df-map 8666  df-pm 8667  df-ixp 8735  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-fin 8786  df-fsupp 9205  df-fi 9246  df-sup 9277  df-inf 9278  df-oi 9345  df-card 9774  df-acn 9777  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-div 11712  df-nn 12053  df-2 12115  df-3 12116  df-4 12117  df-5 12118  df-6 12119  df-7 12120  df-8 12121  df-9 12122  df-n0 12313  df-z 12399  df-dec 12517  df-uz 12662  df-q 12768  df-rp 12810  df-xneg 12927  df-xadd 12928  df-xmul 12929  df-ioo 13162  df-ico 13164  df-icc 13165  df-fz 13319  df-fzo 13462  df-fl 13591  df-seq 13801  df-exp 13862  df-hash 14124  df-cj 14886  df-re 14887  df-im 14888  df-sqrt 15022  df-abs 15023  df-clim 15273  df-rlim 15274  df-sum 15474  df-struct 16922  df-sets 16939  df-slot 16957  df-ndx 16969  df-base 16987  df-ress 17016  df-plusg 17049  df-mulr 17050  df-starv 17051  df-sca 17052  df-vsca 17053  df-ip 17054  df-tset 17055  df-ple 17056  df-ds 17058  df-unif 17059  df-hom 17060  df-cco 17061  df-rest 17207  df-topn 17208  df-0g 17226  df-gsum 17227  df-topgen 17228  df-pt 17229  df-prds 17232  df-xrs 17287  df-qtop 17292  df-imas 17293  df-xps 17295  df-mre 17369  df-mrc 17370  df-acs 17372  df-mgm 18400  df-sgrp 18449  df-mnd 18460  df-submnd 18505  df-mulg 18774  df-cntz 18996  df-cmn 19460  df-psmet 20669  df-xmet 20670  df-met 20671  df-bl 20672  df-mopn 20673  df-fbas 20674  df-fg 20675  df-cnfld 20678  df-top 22123  df-topon 22140  df-topsp 22162  df-bases 22176  df-cld 22250  df-ntr 22251  df-cls 22252  df-nei 22329  df-cn 22458  df-cnp 22459  df-lm 22460  df-haus 22546  df-tx 22793  df-hmeo 22986  df-fil 23077  df-fm 23169  df-flim 23170  df-flf 23171  df-xms 23553  df-ms 23554  df-tms 23555  df-cfil 24499  df-cau 24500  df-cmet 24501  df-grpo 28987  df-gid 28988  df-ginv 28989  df-gdiv 28990  df-ablo 29039  df-vc 29053  df-nv 29086  df-va 29089  df-ba 29090  df-sm 29091  df-0v 29092  df-vs 29093  df-nmcv 29094  df-ims 29095  df-dip 29195  df-ssp 29216  df-ph 29307  df-cbn 29357  df-hnorm 29462  df-hba 29463  df-hvsub 29465  df-hlim 29466  df-hcau 29467  df-sh 29701  df-ch 29715  df-oc 29746  df-ch0 29747  df-span 29803  df-eigvec 30347  df-eigval 30348

This theorem is referenced by:  eighmre  30457