Theorem fovcl 7495

Description: Closure law for an operation. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.) (Proof shortened by AV, 9-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
fovcl.1	⊢ 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶

Assertion

Ref	Expression
fovcl	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fovcl.1	. . . 4 ⊢ 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑅 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
3	2	fovcld 7494	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
4	3	3anidm12 1422	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   × cxp 5629  ⟶wf 6494  (class class class)co 7367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-ov 7370

This theorem is referenced by:  addclnq  10868  mulclnq  10870  adderpq  10879  mulerpq  10880  distrnq  10884  axaddcl  11074  axmulcl  11076  xaddcl  13191  xmulcl  13225  elfzoelz  13613  cncrng  21373  addcnlem  24830  sgmcl  27109  hvaddcl  31083  hvmulcl  31084  hicl  31151  hhssabloilem  31332  rmxynorm  43346  rmxyneg  43348  rmxy1  43350  rmxy0  43351  rmxp1  43360  rmyp1  43361  rmxm1  43362  rmym1  43363  rmxluc  43364  rmyluc  43365  rmyluc2  43366  rmxdbl  43367  rmydbl  43368  rmxypos  43375  ltrmynn0  43376  ltrmxnn0  43377  lermxnn0  43378  rmxnn  43379  ltrmy  43380  rmyeq0  43381  rmyeq  43382  lermy  43383  rmynn  43384  rmynn0  43385  rmyabs  43386  jm2.24nn  43387  jm2.17a  43388  jm2.17b  43389  jm2.17c  43390  jm2.24  43391  rmygeid  43392  jm2.18  43416  jm2.19lem1  43417  jm2.19lem2  43418  jm2.19  43421  jm2.22  43423  jm2.23  43424  jm2.20nn  43425  jm2.25  43427  jm2.26a  43428  jm2.26lem3  43429  jm2.26  43430  jm2.15nn0  43431  jm2.16nn0  43432  jm2.27a  43433  jm2.27c  43435  rmydioph  43442  rmxdiophlem  43443  jm3.1lem1  43445  jm3.1  43448  expdiophlem1  43449