Theorem fovcl 7489

Description: Closure law for an operation. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.) (Proof shortened by AV, 9-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
fovcl.1	⊢ 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶

Assertion

Ref	Expression
fovcl	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fovcl.1	. . . 4 ⊢ 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑅 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
3	2	fovcld 7488	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
4	3	3anidm12 1422	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   × cxp 5623  ⟶wf 6489  (class class class)co 7361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fv 6501  df-ov 7364

This theorem is referenced by:  addclnq  10862  mulclnq  10864  adderpq  10873  mulerpq  10874  distrnq  10878  axaddcl  11068  axmulcl  11070  xaddcl  13185  xmulcl  13219  elfzoelz  13607  cncrng  21381  addcnlem  24843  sgmcl  27126  hvaddcl  31101  hvmulcl  31102  hicl  31169  hhssabloilem  31350  rmxynorm  43367  rmxyneg  43369  rmxy1  43371  rmxy0  43372  rmxp1  43381  rmyp1  43382  rmxm1  43383  rmym1  43384  rmxluc  43385  rmyluc  43386  rmyluc2  43387  rmxdbl  43388  rmydbl  43389  rmxypos  43396  ltrmynn0  43397  ltrmxnn0  43398  lermxnn0  43399  rmxnn  43400  ltrmy  43401  rmyeq0  43402  rmyeq  43403  lermy  43404  rmynn  43405  rmynn0  43406  rmyabs  43407  jm2.24nn  43408  jm2.17a  43409  jm2.17b  43410  jm2.17c  43411  jm2.24  43412  rmygeid  43413  jm2.18  43437  jm2.19lem1  43438  jm2.19lem2  43439  jm2.19  43442  jm2.22  43444  jm2.23  43445  jm2.20nn  43446  jm2.25  43448  jm2.26a  43449  jm2.26lem3  43450  jm2.26  43451  jm2.15nn0  43452  jm2.16nn0  43453  jm2.27a  43454  jm2.27c  43456  rmydioph  43463  rmxdiophlem  43464  jm3.1lem1  43466  jm3.1  43469  expdiophlem1  43470