Theorem fovcl 7486

Description: Closure law for an operation. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.) (Proof shortened by AV, 9-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
fovcl.1	⊢ 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶

Assertion

Ref	Expression
fovcl	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fovcl.1	. . . 4 ⊢ 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑅 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
3	2	fovcld 7485	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
4	3	3anidm12 1421	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   × cxp 5622  ⟶wf 6488  (class class class)co 7358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7361

This theorem is referenced by:  addclnq  10856  mulclnq  10858  adderpq  10867  mulerpq  10868  distrnq  10872  axaddcl  11062  axmulcl  11064  xaddcl  13154  xmulcl  13188  elfzoelz  13575  cncrng  21343  addcnlem  24809  sgmcl  27112  hvaddcl  31087  hvmulcl  31088  hicl  31155  hhssabloilem  31336  rmxynorm  43170  rmxyneg  43172  rmxy1  43174  rmxy0  43175  rmxp1  43184  rmyp1  43185  rmxm1  43186  rmym1  43187  rmxluc  43188  rmyluc  43189  rmyluc2  43190  rmxdbl  43191  rmydbl  43192  rmxypos  43199  ltrmynn0  43200  ltrmxnn0  43201  lermxnn0  43202  rmxnn  43203  ltrmy  43204  rmyeq0  43205  rmyeq  43206  lermy  43207  rmynn  43208  rmynn0  43209  rmyabs  43210  jm2.24nn  43211  jm2.17a  43212  jm2.17b  43213  jm2.17c  43214  jm2.24  43215  rmygeid  43216  jm2.18  43240  jm2.19lem1  43241  jm2.19lem2  43242  jm2.19  43245  jm2.22  43247  jm2.23  43248  jm2.20nn  43249  jm2.25  43251  jm2.26a  43252  jm2.26lem3  43253  jm2.26  43254  jm2.15nn0  43255  jm2.16nn0  43256  jm2.27a  43257  jm2.27c  43259  rmydioph  43266  rmxdiophlem  43267  jm3.1lem1  43269  jm3.1  43272  expdiophlem1  43273