Theorem fovcl 7539

Description: Closure law for an operation. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.) (Proof shortened by AV, 9-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
fovcl.1	⊢ 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶

Assertion

Ref	Expression
fovcl	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fovcl.1	. . . 4 ⊢ 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑅 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
3	2	fovcld 7538	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
4	3	3anidm12 1444	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149   × cxp 5660  ⟶wf 6533  (class class class)co 7411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7414

This theorem is referenced by:  addclnq  10930  mulclnq  10932  adderpq  10941  mulerpq  10942  distrnq  10946  axaddcl  11136  axmulcl  11138  xaddcl  13265  xmulcl  13299  elfzoelz  13687  cncrng  21512  addcnlem  24991  sgmcl  27276  hvaddcl  31305  hvmulcl  31306  hicl  31373  hhssabloilem  31554  rmxynorm  43537  rmxyneg  43539  rmxy1  43541  rmxy0  43542  rmxp1  43551  rmyp1  43552  rmxm1  43553  rmym1  43554  rmxluc  43555  rmyluc  43556  rmyluc2  43557  rmxdbl  43558  rmydbl  43559  rmxypos  43566  ltrmynn0  43567  ltrmxnn0  43568  lermxnn0  43569  rmxnn  43570  ltrmy  43571  rmyeq0  43572  rmyeq  43573  lermy  43574  rmynn  43575  rmynn0  43576  rmyabs  43577  jm2.24nn  43578  jm2.17a  43579  jm2.17b  43580  jm2.17c  43581  jm2.24  43582  rmygeid  43583  jm2.18  43607  jm2.19lem1  43608  jm2.19lem2  43609  jm2.19  43612  jm2.22  43614  jm2.23  43615  jm2.20nn  43616  jm2.25  43618  jm2.26a  43619  jm2.26lem3  43620  jm2.26  43621  jm2.15nn0  43622  jm2.16nn0  43623  jm2.27a  43624  jm2.27c  43626  rmydioph  43633  rmxdiophlem  43634  jm3.1lem1  43636  jm3.1  43639  expdiophlem1  43640