Theorem fovcl 7497

Description: Closure law for an operation. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.) (Proof shortened by AV, 9-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
fovcl.1	⊢ 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶

Assertion

Ref	Expression
fovcl	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fovcl.1	. . . 4 ⊢ 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑅 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
3	2	fovcld 7496	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
4	3	3anidm12 1421	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   × cxp 5629  ⟶wf 6495  (class class class)co 7369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-ov 7372

This theorem is referenced by:  addclnq  10874  mulclnq  10876  adderpq  10885  mulerpq  10886  distrnq  10890  axaddcl  11080  axmulcl  11082  xaddcl  13175  xmulcl  13209  elfzoelz  13596  cncrng  21330  addcnlem  24786  sgmcl  27089  hvaddcl  30991  hvmulcl  30992  hicl  31059  hhssabloilem  31240  rmxynorm  42900  rmxyneg  42902  rmxy1  42904  rmxy0  42905  rmxp1  42914  rmyp1  42915  rmxm1  42916  rmym1  42917  rmxluc  42918  rmyluc  42919  rmyluc2  42920  rmxdbl  42921  rmydbl  42922  rmxypos  42929  ltrmynn0  42930  ltrmxnn0  42931  lermxnn0  42932  rmxnn  42933  ltrmy  42934  rmyeq0  42935  rmyeq  42936  lermy  42937  rmynn  42938  rmynn0  42939  rmyabs  42940  jm2.24nn  42941  jm2.17a  42942  jm2.17b  42943  jm2.17c  42944  jm2.24  42945  rmygeid  42946  jm2.18  42970  jm2.19lem1  42971  jm2.19lem2  42972  jm2.19  42975  jm2.22  42977  jm2.23  42978  jm2.20nn  42979  jm2.25  42981  jm2.26a  42982  jm2.26lem3  42983  jm2.26  42984  jm2.15nn0  42985  jm2.16nn0  42986  jm2.27a  42987  jm2.27c  42989  rmydioph  42996  rmxdiophlem  42997  jm3.1lem1  42999  jm3.1  43002  expdiophlem1  43003