Theorem fovcl 7520

Description: Closure law for an operation. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.) (Proof shortened by AV, 9-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
fovcl.1	⊢ 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶

Assertion

Ref	Expression
fovcl	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fovcl.1	. . . 4 ⊢ 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑅 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
3	2	fovcld 7519	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
4	3	3anidm12 1421	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   × cxp 5639  ⟶wf 6510  (class class class)co 7390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-fv 6522  df-ov 7393

This theorem is referenced by:  addclnq  10905  mulclnq  10907  adderpq  10916  mulerpq  10917  distrnq  10921  axaddcl  11111  axmulcl  11113  xaddcl  13206  xmulcl  13240  elfzoelz  13627  cncrng  21307  addcnlem  24760  sgmcl  27063  hvaddcl  30948  hvmulcl  30949  hicl  31016  hhssabloilem  31197  rmxynorm  42914  rmxyneg  42916  rmxy1  42918  rmxy0  42919  rmxp1  42928  rmyp1  42929  rmxm1  42930  rmym1  42931  rmxluc  42932  rmyluc  42933  rmyluc2  42934  rmxdbl  42935  rmydbl  42936  rmxypos  42943  ltrmynn0  42944  ltrmxnn0  42945  lermxnn0  42946  rmxnn  42947  ltrmy  42948  rmyeq0  42949  rmyeq  42950  lermy  42951  rmynn  42952  rmynn0  42953  rmyabs  42954  jm2.24nn  42955  jm2.17a  42956  jm2.17b  42957  jm2.17c  42958  jm2.24  42959  rmygeid  42960  jm2.18  42984  jm2.19lem1  42985  jm2.19lem2  42986  jm2.19  42989  jm2.22  42991  jm2.23  42992  jm2.20nn  42993  jm2.25  42995  jm2.26a  42996  jm2.26lem3  42997  jm2.26  42998  jm2.15nn0  42999  jm2.16nn0  43000  jm2.27a  43001  jm2.27c  43003  rmydioph  43010  rmxdiophlem  43011  jm3.1lem1  43013  jm3.1  43016  expdiophlem1  43017