Theorem fovcl 7025

Description: Closure law for an operation. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
fovcl.1	⊢ 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶

Assertion

Ref	Expression
fovcl	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fovcl.1	. . 3 ⊢ 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶
2		ffnov 7024	. . . 4 ⊢ (𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ↔ (𝐹 Fn (𝑅 × 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝐶))
3	2	simprbi 492	. . 3 ⊢ (𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 → ∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝐶)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝐶
5		oveq1 6912	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝐹𝑦) = (𝐴𝐹𝑦))
6	5	eleq1d 2891	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝐶 ↔ (𝐴𝐹𝑦) ∈ 𝐶))
7		oveq2 6913	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴𝐹𝑦) = (𝐴𝐹𝐵))
8	7	eleq1d 2891	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴𝐹𝑦) ∈ 𝐶 ↔ (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶))
9	6, 8	rspc2v 3539	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝐶 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶))
10	4, 9	mpi 20	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ∀wral 3117   × cxp 5340   Fn wfn 6118  ⟶wf 6119  (class class class)co 6905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pr 5127

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-fv 6131  df-ov 6908

This theorem is referenced by:  addclnq  10082  mulclnq  10084  adderpq  10093  mulerpq  10094  distrnq  10098  axaddcl  10288  axmulcl  10290  xaddcl  12358  xmulcl  12391  elfzoelz  12765  addcnlem  23037  sgmcl  25285  hvaddcl  28424  hvmulcl  28425  hicl  28492  hhssabloilem  28673  rmxynorm  38326  rmxyneg  38328  rmxy1  38330  rmxy0  38331  rmxp1  38340  rmyp1  38341  rmxm1  38342  rmym1  38343  rmxluc  38344  rmyluc  38345  rmyluc2  38346  rmxdbl  38347  rmydbl  38348  rmxypos  38357  ltrmynn0  38358  ltrmxnn0  38359  lermxnn0  38360  rmxnn  38361  ltrmy  38362  rmyeq0  38363  rmyeq  38364  lermy  38365  rmynn  38366  rmynn0  38367  rmyabs  38368  jm2.24nn  38369  jm2.17a  38370  jm2.17b  38371  jm2.17c  38372  jm2.24  38373  rmygeid  38374  jm2.18  38398  jm2.19lem1  38399  jm2.19lem2  38400  jm2.19  38403  jm2.22  38405  jm2.23  38406  jm2.20nn  38407  jm2.25  38409  jm2.26a  38410  jm2.26lem3  38411  jm2.26  38412  jm2.15nn0  38413  jm2.16nn0  38414  jm2.27a  38415  jm2.27c  38417  rmydioph  38424  rmxdiophlem  38425  jm3.1lem1  38427  jm3.1  38430  expdiophlem1  38431