Theorem fovcl 7555

Description: Closure law for an operation. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.) (Proof shortened by AV, 9-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
fovcl.1	⊢ 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶

Assertion

Ref	Expression
fovcl	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fovcl.1	. . . 4 ⊢ 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑅 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
3	2	fovcld 7554	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
4	3	3anidm12 1446	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   × cxp 5652  ⟶wf 6542  (class class class)co 7427

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pr 5394

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-fv 6554  df-ov 7430

This theorem is used by:  addclnq  11040  mulclnq  11042  adderpq  11051  mulerpq  11052  distrnq  11056  axaddcl  11246  axmulcl  11248  xaddcl  13379  xmulcl  13413  elfzoelz  13803  cncrng  21711  addcnlem  25196  sgmcl  27485  hvaddcl  31626  hvmulcl  31627  hicl  31694  hhssabloilem  31875  j00smo  35959  rmxynorm  44065  rmxyneg  44067  rmxy1  44069  rmxy0  44070  rmxp1  44079  rmyp1  44080  rmxm1  44081  rmym1  44082  rmxluc  44083  rmyluc  44084  rmyluc2  44085  rmxdbl  44086  rmydbl  44087  rmxypos  44094  ltrmynn0  44095  ltrmxnn0  44096  lermxnn0  44097  rmxnn  44098  ltrmy  44099  rmyeq0  44100  rmyeq  44101  lermy  44102  rmynn  44103  rmynn0  44104  rmyabs  44105  jm2.24nn  44106  jm2.17a  44107  jm2.17b  44108  jm2.17c  44109  jm2.24  44110  rmygeid  44111  jm2.18  44135  jm2.19lem1  44136  jm2.19lem2  44137  jm2.19  44140  jm2.22  44142  jm2.23  44143  jm2.20nn  44144  jm2.25  44146  jm2.26a  44147  jm2.26lem3  44148  jm2.26  44149  jm2.15nn0  44150  jm2.16nn0  44151  jm2.27a  44152  jm2.27c  44154  rmydioph  44161  rmxdiophlem  44162  jm3.1lem1  44164  jm3.1  44167  expdiophlem1  44168