Theorem fovcl 7477

Description: Closure law for an operation. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.) (Proof shortened by AV, 9-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
fovcl.1	⊢ 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶

Assertion

Ref	Expression
fovcl	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fovcl.1	. . . 4 ⊢ 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑅 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
3	2	fovcld 7476	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
4	3	3anidm12 1421	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   × cxp 5617  ⟶wf 6478  (class class class)co 7349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-fv 6490  df-ov 7352

This theorem is referenced by:  addclnq  10839  mulclnq  10841  adderpq  10850  mulerpq  10851  distrnq  10855  axaddcl  11045  axmulcl  11047  xaddcl  13141  xmulcl  13175  elfzoelz  13562  cncrng  21295  addcnlem  24751  sgmcl  27054  hvaddcl  30956  hvmulcl  30957  hicl  31024  hhssabloilem  31205  rmxynorm  42895  rmxyneg  42897  rmxy1  42899  rmxy0  42900  rmxp1  42909  rmyp1  42910  rmxm1  42911  rmym1  42912  rmxluc  42913  rmyluc  42914  rmyluc2  42915  rmxdbl  42916  rmydbl  42917  rmxypos  42924  ltrmynn0  42925  ltrmxnn0  42926  lermxnn0  42927  rmxnn  42928  ltrmy  42929  rmyeq0  42930  rmyeq  42931  lermy  42932  rmynn  42933  rmynn0  42934  rmyabs  42935  jm2.24nn  42936  jm2.17a  42937  jm2.17b  42938  jm2.17c  42939  jm2.24  42940  rmygeid  42941  jm2.18  42965  jm2.19lem1  42966  jm2.19lem2  42967  jm2.19  42970  jm2.22  42972  jm2.23  42973  jm2.20nn  42974  jm2.25  42976  jm2.26a  42977  jm2.26lem3  42978  jm2.26  42979  jm2.15nn0  42980  jm2.16nn0  42981  jm2.27a  42982  jm2.27c  42984  rmydioph  42991  rmxdiophlem  42992  jm3.1lem1  42994  jm3.1  42997  expdiophlem1  42998