Theorem fovcl 7547

Description: Closure law for an operation. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.) (Proof shortened by AV, 9-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
fovcl.1	⊢ 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶

Assertion

Ref	Expression
fovcl	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fovcl.1	. . . 4 ⊢ 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑅 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
3	2	fovcld 7546	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
4	3	3anidm12 1446	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   × cxp 5661  ⟶wf 6536  (class class class)co 7419

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7422

This theorem is used by:  addclnq  10947  mulclnq  10949  adderpq  10958  mulerpq  10959  distrnq  10963  axaddcl  11153  axmulcl  11155  xaddcl  13283  xmulcl  13317  elfzoelz  13706  cncrng  21595  addcnlem  25075  sgmcl  27363  hvaddcl  31437  hvmulcl  31438  hicl  31505  hhssabloilem  31686  rmxynorm  43705  rmxyneg  43707  rmxy1  43709  rmxy0  43710  rmxp1  43719  rmyp1  43720  rmxm1  43721  rmym1  43722  rmxluc  43723  rmyluc  43724  rmyluc2  43725  rmxdbl  43726  rmydbl  43727  rmxypos  43734  ltrmynn0  43735  ltrmxnn0  43736  lermxnn0  43737  rmxnn  43738  ltrmy  43739  rmyeq0  43740  rmyeq  43741  lermy  43742  rmynn  43743  rmynn0  43744  rmyabs  43745  jm2.24nn  43746  jm2.17a  43747  jm2.17b  43748  jm2.17c  43749  jm2.24  43750  rmygeid  43751  jm2.18  43775  jm2.19lem1  43776  jm2.19lem2  43777  jm2.19  43780  jm2.22  43782  jm2.23  43783  jm2.20nn  43784  jm2.25  43786  jm2.26a  43787  jm2.26lem3  43788  jm2.26  43789  jm2.15nn0  43790  jm2.16nn0  43791  jm2.27a  43792  jm2.27c  43794  rmydioph  43801  rmxdiophlem  43802  jm3.1lem1  43804  jm3.1  43807  expdiophlem1  43808