Theorem fovcl 7258

Description: Closure law for an operation. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
fovcl.1	⊢ 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶

Assertion

Ref	Expression
fovcl	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fovcl.1	. . 3 ⊢ 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶
2		ffnov 7257	. . . 4 ⊢ (𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ↔ (𝐹 Fn (𝑅 × 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝐶))
3	2	simprbi 500	. . 3 ⊢ (𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 → ∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝐶)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝐶
5		oveq1 7142	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝐹𝑦) = (𝐴𝐹𝑦))
6	5	eleq1d 2874	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝐶 ↔ (𝐴𝐹𝑦) ∈ 𝐶))
7		oveq2 7143	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴𝐹𝑦) = (𝐴𝐹𝐵))
8	7	eleq1d 2874	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴𝐹𝑦) ∈ 𝐶 ↔ (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶))
9	6, 8	rspc2v 3581	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝐶 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶))
10	4, 9	mpi 20	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106   × cxp 5517   Fn wfn 6319  ⟶wf 6320  (class class class)co 7135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-fv 6332  df-ov 7138

This theorem is referenced by:  addclnq  10356  mulclnq  10358  adderpq  10367  mulerpq  10368  distrnq  10372  axaddcl  10562  axmulcl  10564  xaddcl  12620  xmulcl  12654  elfzoelz  13033  addcnlem  23469  sgmcl  25731  hvaddcl  28795  hvmulcl  28796  hicl  28863  hhssabloilem  29044  rmxynorm  39859  rmxyneg  39861  rmxy1  39863  rmxy0  39864  rmxp1  39873  rmyp1  39874  rmxm1  39875  rmym1  39876  rmxluc  39877  rmyluc  39878  rmyluc2  39879  rmxdbl  39880  rmydbl  39881  rmxypos  39888  ltrmynn0  39889  ltrmxnn0  39890  lermxnn0  39891  rmxnn  39892  ltrmy  39893  rmyeq0  39894  rmyeq  39895  lermy  39896  rmynn  39897  rmynn0  39898  rmyabs  39899  jm2.24nn  39900  jm2.17a  39901  jm2.17b  39902  jm2.17c  39903  jm2.24  39904  rmygeid  39905  jm2.18  39929  jm2.19lem1  39930  jm2.19lem2  39931  jm2.19  39934  jm2.22  39936  jm2.23  39937  jm2.20nn  39938  jm2.25  39940  jm2.26a  39941  jm2.26lem3  39942  jm2.26  39943  jm2.15nn0  39944  jm2.16nn0  39945  jm2.27a  39946  jm2.27c  39948  rmydioph  39955  rmxdiophlem  39956  jm3.1lem1  39958  jm3.1  39961  expdiophlem1  39962