Theorem fovcl 7524

Description: Closure law for an operation. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.) (Proof shortened by AV, 9-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
fovcl.1	⊢ 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶

Assertion

Ref	Expression
fovcl	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fovcl.1	. . . 4 ⊢ 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑅 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
3	2	fovcld 7523	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
4	3	3anidm12 1438	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2142   × cxp 5645  ⟶wf 6517  (class class class)co 7396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-fv 6529  df-ov 7399

This theorem is referenced by:  addclnq  10903  mulclnq  10905  adderpq  10914  mulerpq  10915  distrnq  10919  axaddcl  11109  axmulcl  11111  xaddcl  13242  xmulcl  13276  elfzoelz  13664  cncrng  21445  addcnlem  24925  sgmcl  27210  hvaddcl  31215  hvmulcl  31216  hicl  31283  hhssabloilem  31464  rmxynorm  43495  rmxyneg  43497  rmxy1  43499  rmxy0  43500  rmxp1  43509  rmyp1  43510  rmxm1  43511  rmym1  43512  rmxluc  43513  rmyluc  43514  rmyluc2  43515  rmxdbl  43516  rmydbl  43517  rmxypos  43524  ltrmynn0  43525  ltrmxnn0  43526  lermxnn0  43527  rmxnn  43528  ltrmy  43529  rmyeq0  43530  rmyeq  43531  lermy  43532  rmynn  43533  rmynn0  43534  rmyabs  43535  jm2.24nn  43536  jm2.17a  43537  jm2.17b  43538  jm2.17c  43539  jm2.24  43540  rmygeid  43541  jm2.18  43565  jm2.19lem1  43566  jm2.19lem2  43567  jm2.19  43570  jm2.22  43572  jm2.23  43573  jm2.20nn  43574  jm2.25  43576  jm2.26a  43577  jm2.26lem3  43578  jm2.26  43579  jm2.15nn0  43580  jm2.16nn0  43581  jm2.27a  43582  jm2.27c  43584  rmydioph  43591  rmxdiophlem  43592  jm3.1lem1  43594  jm3.1  43597  expdiophlem1  43598