HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  his2sub2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem his2sub2 30975
Description: Distributive law for inner product of vector subtraction. (Contributed by NM, 13-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
his2sub2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐵 𝐶)) = ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐴 ·ih 𝐶)))

Proof of Theorem his2sub2
StepHypRef Expression
1 his2sub 30974 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝐵 𝐶) ·ih 𝐴) = ((𝐵 ·ih 𝐴) − (𝐶 ·ih 𝐴)))
21fveq2d 6900 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (∗‘((𝐵 𝐶) ·ih 𝐴)) = (∗‘((𝐵 ·ih 𝐴) − (𝐶 ·ih 𝐴))))
3 hicl 30962 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
4 hicl 30962 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐶 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
5 cjsub 15132 . . . . . 6 (((𝐵 ·ih 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐶 ·ih 𝐴) ∈ ℂ) → (∗‘((𝐵 ·ih 𝐴) − (𝐶 ·ih 𝐴))) = ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)) − (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴))))
63, 4, 5syl2an 594 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ)) → (∗‘((𝐵 ·ih 𝐴) − (𝐶 ·ih 𝐴))) = ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)) − (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴))))
763impdir 1348 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (∗‘((𝐵 ·ih 𝐴) − (𝐶 ·ih 𝐴))) = ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)) − (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴))))
82, 7eqtrd 2765 . . 3 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (∗‘((𝐵 𝐶) ·ih 𝐴)) = ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)) − (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴))))
983comr 1122 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (∗‘((𝐵 𝐶) ·ih 𝐴)) = ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)) − (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴))))
10 hvsubcl 30899 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 𝐶) ∈ ℋ)
11 ax-his1 30964 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝐵 𝐶) ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐵 𝐶)) = (∗‘((𝐵 𝐶) ·ih 𝐴)))
1210, 11sylan2 591 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ)) → (𝐴 ·ih (𝐵 𝐶)) = (∗‘((𝐵 𝐶) ·ih 𝐴)))
13123impb 1112 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐵 𝐶)) = (∗‘((𝐵 𝐶) ·ih 𝐴)))
14 ax-his1 30964 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) = (∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)))
15143adant3 1129 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) = (∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)))
16 ax-his1 30964 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐶) = (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴)))
17163adant2 1128 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐶) = (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴)))
1815, 17oveq12d 7437 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐴 ·ih 𝐶)) = ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)) − (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴))))
199, 13, 183eqtr4d 2775 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐵 𝐶)) = ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐴 ·ih 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11138  cmin 11476  ccj 15079  chba 30801   ·ih csp 30804   cmv 30807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-hfvadd 30882  ax-hfvmul 30887  ax-hfi 30961  ax-his1 30964  ax-his2 30965  ax-his3 30966
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-2 12308  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-hvsub 30853
This theorem is referenced by:  pjhthlem1  31273  riesz4i  31945
  Copyright terms: Public domain W3C validator