HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  his2sub2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem his2sub2 28803
Description: Distributive law for inner product of vector subtraction. (Contributed by NM, 13-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
his2sub2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐵 𝐶)) = ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐴 ·ih 𝐶)))

Proof of Theorem his2sub2
StepHypRef Expression
1 his2sub 28802 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝐵 𝐶) ·ih 𝐴) = ((𝐵 ·ih 𝐴) − (𝐶 ·ih 𝐴)))
21fveq2d 6673 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (∗‘((𝐵 𝐶) ·ih 𝐴)) = (∗‘((𝐵 ·ih 𝐴) − (𝐶 ·ih 𝐴))))
3 hicl 28790 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
4 hicl 28790 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐶 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
5 cjsub 14503 . . . . . 6 (((𝐵 ·ih 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐶 ·ih 𝐴) ∈ ℂ) → (∗‘((𝐵 ·ih 𝐴) − (𝐶 ·ih 𝐴))) = ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)) − (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴))))
63, 4, 5syl2an 595 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ)) → (∗‘((𝐵 ·ih 𝐴) − (𝐶 ·ih 𝐴))) = ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)) − (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴))))
763impdir 1345 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (∗‘((𝐵 ·ih 𝐴) − (𝐶 ·ih 𝐴))) = ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)) − (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴))))
82, 7eqtrd 2861 . . 3 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (∗‘((𝐵 𝐶) ·ih 𝐴)) = ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)) − (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴))))
983comr 1119 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (∗‘((𝐵 𝐶) ·ih 𝐴)) = ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)) − (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴))))
10 hvsubcl 28727 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 𝐶) ∈ ℋ)
11 ax-his1 28792 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝐵 𝐶) ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐵 𝐶)) = (∗‘((𝐵 𝐶) ·ih 𝐴)))
1210, 11sylan2 592 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ)) → (𝐴 ·ih (𝐵 𝐶)) = (∗‘((𝐵 𝐶) ·ih 𝐴)))
13123impb 1109 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐵 𝐶)) = (∗‘((𝐵 𝐶) ·ih 𝐴)))
14 ax-his1 28792 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) = (∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)))
15143adant3 1126 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) = (∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)))
16 ax-his1 28792 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐶) = (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴)))
17163adant2 1125 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐶) = (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴)))
1815, 17oveq12d 7168 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐴 ·ih 𝐶)) = ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)) − (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴))))
199, 13, 183eqtr4d 2871 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐵 𝐶)) = ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐴 ·ih 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  cfv 6354  (class class class)co 7150  cc 10529  cmin 10864  ccj 14450  chba 28629   ·ih csp 28632   cmv 28635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-hfvadd 28710  ax-hfvmul 28715  ax-hfi 28789  ax-his1 28792  ax-his2 28793  ax-his3 28794
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-2 11694  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-hvsub 28681
This theorem is referenced by:  pjhthlem1  29101  riesz4i  29773
  Copyright terms: Public domain W3C validator