Theorem adj2 31953

Description: Property of an adjoint Hilbert space operator. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
adj2	⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) = (𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵)))

Proof of Theorem adj2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		adj1 31952	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝑇‘𝐴)) = (((adjℎ‘𝑇)‘𝐵) ·ih 𝐴))
2		simp2 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → 𝐵 ∈ ℋ)
3		dmadjop 31907	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
4	3	ffvelcdmda 7104	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ)
5	4	3adant2 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ)
6		ax-his1 31101	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝑇‘𝐴)) = (∗‘((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵)))
7	2, 5, 6	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝑇‘𝐴)) = (∗‘((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵)))
8		adjcl 31951	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℋ)
9	8	3adant3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℋ)
10		simp3 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → 𝐴 ∈ ℋ)
11		ax-his1 31101	. . . . 5 ⊢ ((((adjℎ‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((adjℎ‘𝑇)‘𝐵) ·ih 𝐴) = (∗‘(𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵))))
12	9, 10, 11	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((adjℎ‘𝑇)‘𝐵) ·ih 𝐴) = (∗‘(𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵))))
13	1, 7, 12	3eqtr3d 2785	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (∗‘((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵)) = (∗‘(𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵))))
14		hicl 31099	. . . . 5 ⊢ (((𝑇‘𝐴) ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
15	5, 2, 14	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
16		hicl 31099	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵)) ∈ ℂ)
17	10, 9, 16	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵)) ∈ ℂ)
18		cj11 15201	. . . 4 ⊢ ((((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵)) ∈ ℂ) → ((∗‘((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵)) = (∗‘(𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵))) ↔ ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) = (𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵))))
19	15, 17, 18	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((∗‘((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵)) = (∗‘(𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵))) ↔ ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) = (𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵))))
20	13, 19	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) = (𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵)))
21	20	3com23 1127	1 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) = (𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  dom cdm 5685  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ∗ccj 15135   ℋchba 30938   ·_ih csp 30941  adj_ℎcado 30974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hvcom 31020  ax-hvass 31021  ax-hv0cl 31022  ax-hvaddid 31023  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvdistr2 31028  ax-hvmul0 31029  ax-hfi 31098  ax-his1 31101  ax-his2 31102  ax-his3 31103  ax-his4 31104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-2 12329  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-hvsub 30990  df-adjh 31868

This theorem is referenced by:  adjadj  31955  adjvalval  31956  adjlnop  32105  adjmul  32111  adjadd  32112  adjcoi  32119  nmopcoadji  32120