HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  adj2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem adj2 31165
Description: Property of an adjoint Hilbert space operator. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adj2 ((𝑇 ∈ dom adj𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) = (𝐴 ·ih ((adj𝑇)‘𝐵)))

Proof of Theorem adj2
StepHypRef Expression
1 adj1 31164 . . . 4 ((𝑇 ∈ dom adj𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝑇𝐴)) = (((adj𝑇)‘𝐵) ·ih 𝐴))
2 simp2 1138 . . . . 5 ((𝑇 ∈ dom adj𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → 𝐵 ∈ ℋ)
3 dmadjop 31119 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ dom adj𝑇: ℋ⟶ ℋ)
43ffvelcdmda 7082 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ dom adj𝐴 ∈ ℋ) → (𝑇𝐴) ∈ ℋ)
543adant2 1132 . . . . 5 ((𝑇 ∈ dom adj𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑇𝐴) ∈ ℋ)
6 ax-his1 30313 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝐴) ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝑇𝐴)) = (∗‘((𝑇𝐴) ·ih 𝐵)))
72, 5, 6syl2anc 585 . . . 4 ((𝑇 ∈ dom adj𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝑇𝐴)) = (∗‘((𝑇𝐴) ·ih 𝐵)))
8 adjcl 31163 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ dom adj𝐵 ∈ ℋ) → ((adj𝑇)‘𝐵) ∈ ℋ)
983adant3 1133 . . . . 5 ((𝑇 ∈ dom adj𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((adj𝑇)‘𝐵) ∈ ℋ)
10 simp3 1139 . . . . 5 ((𝑇 ∈ dom adj𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → 𝐴 ∈ ℋ)
11 ax-his1 30313 . . . . 5 ((((adj𝑇)‘𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((adj𝑇)‘𝐵) ·ih 𝐴) = (∗‘(𝐴 ·ih ((adj𝑇)‘𝐵))))
129, 10, 11syl2anc 585 . . . 4 ((𝑇 ∈ dom adj𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((adj𝑇)‘𝐵) ·ih 𝐴) = (∗‘(𝐴 ·ih ((adj𝑇)‘𝐵))))
131, 7, 123eqtr3d 2781 . . 3 ((𝑇 ∈ dom adj𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (∗‘((𝑇𝐴) ·ih 𝐵)) = (∗‘(𝐴 ·ih ((adj𝑇)‘𝐵))))
14 hicl 30311 . . . . 5 (((𝑇𝐴) ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
155, 2, 14syl2anc 585 . . . 4 ((𝑇 ∈ dom adj𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
16 hicl 30311 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ ((adj𝑇)‘𝐵) ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih ((adj𝑇)‘𝐵)) ∈ ℂ)
1710, 9, 16syl2anc 585 . . . 4 ((𝑇 ∈ dom adj𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih ((adj𝑇)‘𝐵)) ∈ ℂ)
18 cj11 15105 . . . 4 ((((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 ·ih ((adj𝑇)‘𝐵)) ∈ ℂ) → ((∗‘((𝑇𝐴) ·ih 𝐵)) = (∗‘(𝐴 ·ih ((adj𝑇)‘𝐵))) ↔ ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) = (𝐴 ·ih ((adj𝑇)‘𝐵))))
1915, 17, 18syl2anc 585 . . 3 ((𝑇 ∈ dom adj𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((∗‘((𝑇𝐴) ·ih 𝐵)) = (∗‘(𝐴 ·ih ((adj𝑇)‘𝐵))) ↔ ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) = (𝐴 ·ih ((adj𝑇)‘𝐵))))
2013, 19mpbid 231 . 2 ((𝑇 ∈ dom adj𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) = (𝐴 ·ih ((adj𝑇)‘𝐵)))
21203com23 1127 1 ((𝑇 ∈ dom adj𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) = (𝐴 ·ih ((adj𝑇)‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  dom cdm 5675  cfv 6540  (class class class)co 7404  cc 11104  ccj 15039  chba 30150   ·ih csp 30153  adjcado 30186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-hilex 30230  ax-hfvadd 30231  ax-hvcom 30232  ax-hvass 30233  ax-hv0cl 30234  ax-hvaddid 30235  ax-hfvmul 30236  ax-hvmulid 30237  ax-hvdistr2 30240  ax-hvmul0 30241  ax-hfi 30310  ax-his1 30313  ax-his2 30314  ax-his3 30315  ax-his4 30316
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-2 12271  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-hvsub 30202  df-adjh 31080
This theorem is referenced by:  adjadj  31167  adjvalval  31168  adjlnop  31317  adjmul  31323  adjadd  31324  adjcoi  31331  nmopcoadji  31332
  Copyright terms: Public domain W3C validator