Theorem adj2 32545

Description: Property of an adjoint Hilbert space operator. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
adj2	⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) = (𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵)))

Proof of Theorem adj2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		adj1 32544	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝑇‘𝐴)) = (((adjℎ‘𝑇)‘𝐵) ·ih 𝐴))
2		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → 𝐵 ∈ ℋ)
3		dmadjop 32499	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
4	3	ffvelcdmda 7089	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ)
5	4	3adant2 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ)
6		ax-his1 31693	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝑇‘𝐴)) = (∗‘((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵)))
7	2, 5, 6	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝑇‘𝐴)) = (∗‘((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵)))
8		adjcl 32543	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℋ)
9	8	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℋ)
10		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → 𝐴 ∈ ℋ)
11		ax-his1 31693	. . . . 5 ⊢ ((((adjℎ‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((adjℎ‘𝑇)‘𝐵) ·ih 𝐴) = (∗‘(𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵))))
12	9, 10, 11	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((adjℎ‘𝑇)‘𝐵) ·ih 𝐴) = (∗‘(𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵))))
13	1, 7, 12	3eqtr3d 2803	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (∗‘((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵)) = (∗‘(𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵))))
14		hicl 31691	. . . . 5 ⊢ (((𝑇‘𝐴) ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
15	5, 2, 14	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
16		hicl 31691	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵)) ∈ ℂ)
17	10, 9, 16	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵)) ∈ ℂ)
18		cj11 15338	. . . 4 ⊢ ((((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵)) ∈ ℂ) → ((∗‘((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵)) = (∗‘(𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵))) ↔ ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) = (𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵))))
19	15, 17, 18	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((∗‘((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵)) = (∗‘(𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵))) ↔ ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) = (𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵))))
20	13, 19	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) = (𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵)))
21	20	3com23 1144	1 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) = (𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  dom cdm 5651  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℂcc 11205  ∗ccj 15272   ℋchba 31530   ·_ih csp 31533  adj_ℎcado 31566

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-hilex 31610  ax-hfvadd 31611  ax-hvcom 31612  ax-hvass 31613  ax-hv0cl 31614  ax-hvaddid 31615  ax-hfvmul 31616  ax-hvmulid 31617  ax-hvdistr2 31620  ax-hvmul0 31621  ax-hfi 31690  ax-his1 31693  ax-his2 31694  ax-his3 31695  ax-his4 31696

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8724  df-map 8856  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-hvsub 31582  df-adjh 32460

This theorem is used by:  adjadj  32547  adjvalval  32548  adjlnop  32697  adjmul  32703  adjadd  32704  adjcoi  32711  nmopcoadji  32712