Theorem adj2 32357

Description: Property of an adjoint Hilbert space operator. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
adj2	⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) = (𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵)))

Proof of Theorem adj2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		adj1 32356	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝑇‘𝐴)) = (((adjℎ‘𝑇)‘𝐵) ·ih 𝐴))
2		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → 𝐵 ∈ ℋ)
3		dmadjop 32311	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
4	3	ffvelcdmda 7083	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ)
5	4	3adant2 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ)
6		ax-his1 31505	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝑇‘𝐴)) = (∗‘((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵)))
7	2, 5, 6	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝑇‘𝐴)) = (∗‘((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵)))
8		adjcl 32355	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℋ)
9	8	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℋ)
10		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → 𝐴 ∈ ℋ)
11		ax-his1 31505	. . . . 5 ⊢ ((((adjℎ‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((adjℎ‘𝑇)‘𝐵) ·ih 𝐴) = (∗‘(𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵))))
12	9, 10, 11	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((adjℎ‘𝑇)‘𝐵) ·ih 𝐴) = (∗‘(𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵))))
13	1, 7, 12	3eqtr3d 2808	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (∗‘((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵)) = (∗‘(𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵))))
14		hicl 31503	. . . . 5 ⊢ (((𝑇‘𝐴) ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
15	5, 2, 14	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
16		hicl 31503	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵)) ∈ ℂ)
17	10, 9, 16	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵)) ∈ ℂ)
18		cj11 15237	. . . 4 ⊢ ((((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵)) ∈ ℂ) → ((∗‘((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵)) = (∗‘(𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵))) ↔ ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) = (𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵))))
19	15, 17, 18	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((∗‘((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵)) = (∗‘(𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵))) ↔ ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) = (𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵))))
20	13, 19	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) = (𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵)))
21	20	3com23 1144	1 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) = (𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  dom cdm 5663  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11113  ∗ccj 15171   ℋchba 31342   ·_ih csp 31345  adj_ℎcado 31378

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-hilex 31422  ax-hfvadd 31423  ax-hvcom 31424  ax-hvass 31425  ax-hv0cl 31426  ax-hvaddid 31427  ax-hfvmul 31428  ax-hvmulid 31429  ax-hvdistr2 31432  ax-hvmul0 31433  ax-hfi 31502  ax-his1 31505  ax-his2 31506  ax-his3 31507  ax-his4 31508

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-hvsub 31394  df-adjh 32272

This theorem is used by:  adjadj  32359  adjvalval  32360  adjlnop  32509  adjmul  32515  adjadd  32516  adjcoi  32523  nmopcoadji  32524