Theorem adj2 31966

Description: Property of an adjoint Hilbert space operator. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
adj2	⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) = (𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵)))

Proof of Theorem adj2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		adj1 31965	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝑇‘𝐴)) = (((adjℎ‘𝑇)‘𝐵) ·ih 𝐴))
2		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → 𝐵 ∈ ℋ)
3		dmadjop 31920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
4	3	ffvelcdmda 7118	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ)
5	4	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ)
6		ax-his1 31114	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝑇‘𝐴)) = (∗‘((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵)))
7	2, 5, 6	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝑇‘𝐴)) = (∗‘((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵)))
8		adjcl 31964	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℋ)
9	8	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℋ)
10		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → 𝐴 ∈ ℋ)
11		ax-his1 31114	. . . . 5 ⊢ ((((adjℎ‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((adjℎ‘𝑇)‘𝐵) ·ih 𝐴) = (∗‘(𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵))))
12	9, 10, 11	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((adjℎ‘𝑇)‘𝐵) ·ih 𝐴) = (∗‘(𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵))))
13	1, 7, 12	3eqtr3d 2788	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (∗‘((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵)) = (∗‘(𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵))))
14		hicl 31112	. . . . 5 ⊢ (((𝑇‘𝐴) ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
15	5, 2, 14	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
16		hicl 31112	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵) ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵)) ∈ ℂ)
17	10, 9, 16	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵)) ∈ ℂ)
18		cj11 15211	. . . 4 ⊢ ((((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵)) ∈ ℂ) → ((∗‘((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵)) = (∗‘(𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵))) ↔ ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) = (𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵))))
19	15, 17, 18	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((∗‘((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵)) = (∗‘(𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵))) ↔ ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) = (𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵))))
20	13, 19	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) = (𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵)))
21	20	3com23 1126	1 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) = (𝐴 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  dom cdm 5700  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ∗ccj 15145   ℋchba 30951   ·_ih csp 30954  adj_ℎcado 30987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-hilex 31031  ax-hfvadd 31032  ax-hvcom 31033  ax-hvass 31034  ax-hv0cl 31035  ax-hvaddid 31036  ax-hfvmul 31037  ax-hvmulid 31038  ax-hvdistr2 31041  ax-hvmul0 31042  ax-hfi 31111  ax-his1 31114  ax-his2 31115  ax-his3 31116  ax-his4 31117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-2 12356  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-hvsub 31003  df-adjh 31881

This theorem is referenced by:  adjadj  31968  adjvalval  31969  adjlnop  32118  adjmul  32124  adjadd  32125  adjcoi  32132  nmopcoadji  32133