Theorem hlimconvi 31616

Description: Convergence of a sequence on a Hilbert space. (Contributed by NM, 16-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hlim.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
hlimconvi	⊢ ((𝐹 ⇝𝑣 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝐴)) < 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐹   𝑦,𝐴,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧

Proof of Theorem hlimconvi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlim.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	hlimi 31613	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝐴 ↔ ((𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝐴)) < 𝑥))
3	2	simprbi 503	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝐴 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝐴)) < 𝑥)
4		breq2 5115	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝐴)) < 𝑥 ↔ (normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝐴)) < 𝐵))
5	4	rexralbidv 3233	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝐴)) < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝐴)) < 𝐵))
6	5	rspccva 3582	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝐴)) < 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝐴)) < 𝐵)
7	3, 6	sylan 592	1 ⊢ ((𝐹 ⇝𝑣 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝐴)) < 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  Vcvv 3457   class class class wbr 5111  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   < clt 11260  ℕcn 12250  ℤ_≥cuz 12880  ℝ⁺crp 13034   ℋchba 31344  norm_ℎcno 31348   −_ℎ cmv 31350   ⇝_𝑣 chli 31352

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-1cn 11175  ax-addcl 11177

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-nn 12251  df-hlim 31397

This theorem is used by: (None)