HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hlimconvi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlimconvi 29841
Description: Convergence of a sequence on a Hilbert space. (Contributed by NM, 16-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hlim.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
hlimconvi ((𝐹𝑣 𝐴𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐹   𝑦,𝐴,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧

Proof of Theorem hlimconvi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlim.1 . . . 4 𝐴 ∈ V
21hlimi 29838 . . 3 (𝐹𝑣 𝐴 ↔ ((𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 𝑥))
32simprbi 497 . 2 (𝐹𝑣 𝐴 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 𝑥)
4 breq2 5096 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → ((norm‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (norm‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 𝐵))
54rexralbidv 3210 . . 3 (𝑥 = 𝐵 → (∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 𝐵))
65rspccva 3569 . 2 ((∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 𝑥𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 𝐵)
73, 6sylan 580 1 ((𝐹𝑣 𝐴𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3441   class class class wbr 5092  wf 6475  cfv 6479  (class class class)co 7337   < clt 11110  cn 12074  cuz 12683  +crp 12831  chba 29569  normcno 29573   cmv 29575  𝑣 chli 29577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-1cn 11030  ax-addcl 11032
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-ov 7340  df-om 7781  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-nn 12075  df-hlim 29622
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator