Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hlim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlim2 28953
 Description: The limit of a sequence on a Hilbert space. (Contributed by NM, 16-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hlim2 ((𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐹𝑣 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧

Proof of Theorem hlim2
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5043 . . . . 5 (𝑤 = 𝐴 → (𝐹𝑣 𝑤𝐹𝑣 𝐴))
2 oveq2 7138 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝐴 → ((𝐹𝑧) − 𝑤) = ((𝐹𝑧) − 𝐴))
32fveq2d 6647 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝐴 → (norm‘((𝐹𝑧) − 𝑤)) = (norm‘((𝐹𝑧) − 𝐴)))
43breq1d 5049 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝐴 → ((norm‘((𝐹𝑧) − 𝑤)) < 𝑥 ↔ (norm‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 𝑥))
54rexralbidv 3287 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐴 → (∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑧) − 𝑤)) < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 𝑥))
65ralbidv 3185 . . . . 5 (𝑤 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑧) − 𝑤)) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 𝑥))
71, 6bibi12d 349 . . . 4 (𝑤 = 𝐴 → ((𝐹𝑣 𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑧) − 𝑤)) < 𝑥) ↔ (𝐹𝑣 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 𝑥)))
87imbi2d 344 . . 3 (𝑤 = 𝐴 → ((𝐹:ℕ⟶ ℋ → (𝐹𝑣 𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑧) − 𝑤)) < 𝑥)) ↔ (𝐹:ℕ⟶ ℋ → (𝐹𝑣 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 𝑥))))
9 vex 3474 . . . . . 6 𝑤 ∈ V
109hlimi 28949 . . . . 5 (𝐹𝑣 𝑤 ↔ ((𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑧) − 𝑤)) < 𝑥))
1110baib 539 . . . 4 ((𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝐹𝑣 𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑧) − 𝑤)) < 𝑥))
1211expcom 417 . . 3 (𝑤 ∈ ℋ → (𝐹:ℕ⟶ ℋ → (𝐹𝑣 𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑧) − 𝑤)) < 𝑥)))
138, 12vtoclga 3551 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐹:ℕ⟶ ℋ → (𝐹𝑣 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 𝑥)))
1413impcom 411 1 ((𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐹𝑣 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 𝑥))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3126  ∃wrex 3127   class class class wbr 5039  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130   < clt 10652  ℕcn 11615  ℤ≥cuz 12221  ℝ+crp 12367   ℋchba 28680  normℎcno 28684   −ℎ cmv 28686   ⇝𝑣 chli 28688 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-1cn 10572  ax-addcl 10574 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7133  df-om 7556  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-nn 11616  df-hlim 28733 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator