Theorem hlim2 31481

Description: The limit of a sequence on a Hilbert space. (Contributed by NM, 16-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hlim2	⊢ ((𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐹 ⇝𝑣 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝐴)) < 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧

Proof of Theorem hlim2

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5114	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝐹 ⇝𝑣 𝑤 ↔ 𝐹 ⇝𝑣 𝐴))
2		oveq2 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝑤) = ((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝐴))
3	2	fveq2d 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝑤)) = (normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝐴)))
4	3	breq1d 5120	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ((normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝑤)) < 𝑥 ↔ (normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝐴)) < 𝑥))
5	4	rexralbidv 3237	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝑤)) < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝐴)) < 𝑥))
6	5	ralbidv 3194	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝑤)) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝐴)) < 𝑥))
7	1, 6	bibi12d 348	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ((𝐹 ⇝𝑣 𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝑤)) < 𝑥) ↔ (𝐹 ⇝𝑣 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝐴)) < 𝑥)))
8	7	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ((𝐹:ℕ⟶ ℋ → (𝐹 ⇝𝑣 𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝑤)) < 𝑥)) ↔ (𝐹:ℕ⟶ ℋ → (𝐹 ⇝𝑣 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝐴)) < 𝑥))))
9		vex 3467	. . . . . 6 ⊢ 𝑤 ∈ V
10	9	hlimi 31477	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝑤 ↔ ((𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝑤)) < 𝑥))
11	10	baib 544	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝐹 ⇝𝑣 𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝑤)) < 𝑥))
12	11	expcom 418	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (𝐹:ℕ⟶ ℋ → (𝐹 ⇝𝑣 𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝑤)) < 𝑥)))
13	8, 12	vtoclga 3550	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐹:ℕ⟶ ℋ → (𝐹 ⇝𝑣 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝐴)) < 𝑥)))
14	13	impcom 412	1 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐹 ⇝𝑣 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝐴)) < 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ∃wrex 3095   class class class wbr 5110  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408   < clt 11239  ℕcn 12229  ℤ_≥cuz 12858  ℝ⁺crp 13012   ℋchba 31208  norm_ℎcno 31212   −_ℎ cmv 31214   ⇝_𝑣 chli 31216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-1cn 11154  ax-addcl 11156

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7411  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-nn 12230  df-hlim 31261

This theorem is referenced by: (None)