Theorem hlim2 31128

Description: The limit of a sequence on a Hilbert space. (Contributed by NM, 16-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hlim2	⊢ ((𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐹 ⇝𝑣 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝐴)) < 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧

Proof of Theorem hlim2

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5114	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝐹 ⇝𝑣 𝑤 ↔ 𝐹 ⇝𝑣 𝐴))
2		oveq2 7398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝑤) = ((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝐴))
3	2	fveq2d 6865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝑤)) = (normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝐴)))
4	3	breq1d 5120	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ((normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝑤)) < 𝑥 ↔ (normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝐴)) < 𝑥))
5	4	rexralbidv 3204	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝑤)) < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝐴)) < 𝑥))
6	5	ralbidv 3157	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝑤)) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝐴)) < 𝑥))
7	1, 6	bibi12d 345	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ((𝐹 ⇝𝑣 𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝑤)) < 𝑥) ↔ (𝐹 ⇝𝑣 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝐴)) < 𝑥)))
8	7	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ((𝐹:ℕ⟶ ℋ → (𝐹 ⇝𝑣 𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝑤)) < 𝑥)) ↔ (𝐹:ℕ⟶ ℋ → (𝐹 ⇝𝑣 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝐴)) < 𝑥))))
9		vex 3454	. . . . . 6 ⊢ 𝑤 ∈ V
10	9	hlimi 31124	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝑤 ↔ ((𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝑤)) < 𝑥))
11	10	baib 535	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝐹 ⇝𝑣 𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝑤)) < 𝑥))
12	11	expcom 413	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (𝐹:ℕ⟶ ℋ → (𝐹 ⇝𝑣 𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝑤)) < 𝑥)))
13	8, 12	vtoclga 3546	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐹:ℕ⟶ ℋ → (𝐹 ⇝𝑣 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝐴)) < 𝑥)))
14	13	impcom 407	1 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐹 ⇝𝑣 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑧) −ℎ 𝐴)) < 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   class class class wbr 5110  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   < clt 11215  ℕcn 12193  ℤ_≥cuz 12800  ℝ⁺crp 12958   ℋchba 30855  norm_ℎcno 30859   −_ℎ cmv 30861   ⇝_𝑣 chli 30863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-1cn 11133  ax-addcl 11135

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-nn 12194  df-hlim 30908

This theorem is referenced by: (None)