Theorem atlrelat1 39814

Description: An atomistic lattice with 0 is relatively atomic. Part of Lemma 7.2 of [MaedaMaeda] p. 30. (chpssati 32459, with ∧ swapped, analog.) (Contributed by NM, 4-Dec-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
atlrelat1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atlrelat1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atlrelat1.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
atlrelat1.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atlrelat1	⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   ≤ ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝

Allowed substitution hint:   < (𝑝)

Proof of Theorem atlrelat1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp13 1212	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ AtLat)
2		atlpos 39794	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
4		atlrelat1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		atlrelat1.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
6		atlrelat1.s	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝐾)
7	4, 5, 6	pltnle 18300	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ¬ 𝑌 ≤ 𝑋)
8	7	ex 413	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → ¬ 𝑌 ≤ 𝑋))
9	3, 8	syld3an1 1418	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → ¬ 𝑌 ≤ 𝑋))
10		iman 402	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑌 → 𝑝 ≤ 𝑋) ↔ ¬ (𝑝 ≤ 𝑌 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋))
11		ancom 461	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑌 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋) ↔ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌))
12	10, 11	xchbinx 335	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑌 → 𝑝 ≤ 𝑋) ↔ ¬ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌))
13	12	ralbii 3086	. . . . 5 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑌 → 𝑝 ≤ 𝑋) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ¬ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌))
14		atlrelat1.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
15	4, 5, 14	atlatle 39813	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 ≤ 𝑋 ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑌 → 𝑝 ≤ 𝑋)))
16	15	3com23 1132	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 ≤ 𝑋 ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑌 → 𝑝 ≤ 𝑋)))
17	16	biimprd 249	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑌 → 𝑝 ≤ 𝑋) → 𝑌 ≤ 𝑋))
18	13, 17	biimtrrid 244	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 ¬ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) → 𝑌 ≤ 𝑋))
19	18	con3d 152	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑌 ≤ 𝑋 → ¬ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ¬ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)))
20		dfrex2 3067	. . 3 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ¬ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌))
21	19, 20	imbitrrdi 253	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑌 ≤ 𝑋 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)))
22	9, 21	syld 47	1 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  ∃wrex 3064   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  Basecbs 17177  lecple 17225  Posetcpo 18271  ltcplt 18272  CLatccla 18462  OMLcoml 39668  Atomscatm 39756  AtLatcal 39757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-proset 18258  df-poset 18277  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-lat 18396  df-clat 18463  df-oposet 39669  df-ol 39671  df-oml 39672  df-covers 39759  df-ats 39760  df-atl 39791

This theorem is referenced by:  cvlcvr1  39832  hlrelat1  39893