Theorem atlrelat1 39320

Description: An atomistic lattice with 0 is relatively atomic. Part of Lemma 7.2 of [MaedaMaeda] p. 30. (chpssati 32311, with ∧ swapped, analog.) (Contributed by NM, 4-Dec-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
atlrelat1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atlrelat1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atlrelat1.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
atlrelat1.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atlrelat1	⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   ≤ ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝

Allowed substitution hint:   < (𝑝)

Proof of Theorem atlrelat1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp13 1206	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ AtLat)
2		atlpos 39300	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
4		atlrelat1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		atlrelat1.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
6		atlrelat1.s	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝐾)
7	4, 5, 6	pltnle 18242	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ¬ 𝑌 ≤ 𝑋)
8	7	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → ¬ 𝑌 ≤ 𝑋))
9	3, 8	syld3an1 1412	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → ¬ 𝑌 ≤ 𝑋))
10		iman 401	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑌 → 𝑝 ≤ 𝑋) ↔ ¬ (𝑝 ≤ 𝑌 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋))
11		ancom 460	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑌 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋) ↔ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌))
12	10, 11	xchbinx 334	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑌 → 𝑝 ≤ 𝑋) ↔ ¬ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌))
13	12	ralbii 3075	. . . . 5 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑌 → 𝑝 ≤ 𝑋) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ¬ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌))
14		atlrelat1.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
15	4, 5, 14	atlatle 39319	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 ≤ 𝑋 ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑌 → 𝑝 ≤ 𝑋)))
16	15	3com23 1126	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 ≤ 𝑋 ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑌 → 𝑝 ≤ 𝑋)))
17	16	biimprd 248	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑌 → 𝑝 ≤ 𝑋) → 𝑌 ≤ 𝑋))
18	13, 17	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 ¬ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) → 𝑌 ≤ 𝑋))
19	18	con3d 152	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑌 ≤ 𝑋 → ¬ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ¬ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)))
20		dfrex2 3056	. . 3 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ¬ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌))
21	19, 20	imbitrrdi 252	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑌 ≤ 𝑋 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)))
22	9, 21	syld 47	1 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  Basecbs 17120  lecple 17168  Posetcpo 18213  ltcplt 18214  CLatccla 18404  OMLcoml 39174  Atomscatm 39262  AtLatcal 39263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-proset 18200  df-poset 18219  df-plt 18234  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-p0 18329  df-lat 18338  df-clat 18405  df-oposet 39175  df-ol 39177  df-oml 39178  df-covers 39265  df-ats 39266  df-atl 39297

This theorem is referenced by:  cvlcvr1  39338  hlrelat1  39399