Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atlrelat1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atlrelat1 37322
Description: An atomistic lattice with 0 is relatively atomic. Part of Lemma 7.2 of [MaedaMaeda] p. 30. (chpssati 30712, with swapped, analog.) (Contributed by NM, 4-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
atlrelat1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atlrelat1.l = (le‘𝐾)
atlrelat1.s < = (lt‘𝐾)
atlrelat1.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atlrelat1 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝
Allowed substitution hint:   < (𝑝)

Proof of Theorem atlrelat1
StepHypRef Expression
1 simp13 1204 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ AtLat)
2 atlpos 37302 . . . 4 (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
31, 2syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
4 atlrelat1.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 atlrelat1.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
6 atlrelat1.s . . . . 5 < = (lt‘𝐾)
74, 5, 6pltnle 18045 . . . 4 (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ¬ 𝑌 𝑋)
87ex 413 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → ¬ 𝑌 𝑋))
93, 8syld3an1 1409 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → ¬ 𝑌 𝑋))
10 iman 402 . . . . . . 7 ((𝑝 𝑌𝑝 𝑋) ↔ ¬ (𝑝 𝑌 ∧ ¬ 𝑝 𝑋))
11 ancom 461 . . . . . . 7 ((𝑝 𝑌 ∧ ¬ 𝑝 𝑋) ↔ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌))
1210, 11xchbinx 334 . . . . . 6 ((𝑝 𝑌𝑝 𝑋) ↔ ¬ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌))
1312ralbii 3092 . . . . 5 (∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑌𝑝 𝑋) ↔ ∀𝑝𝐴 ¬ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌))
14 atlrelat1.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
154, 5, 14atlatle 37321 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (𝑌 𝑋 ↔ ∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑌𝑝 𝑋)))
16153com23 1125 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑌 𝑋 ↔ ∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑌𝑝 𝑋)))
1716biimprd 247 . . . . 5 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑌𝑝 𝑋) → 𝑌 𝑋))
1813, 17syl5bir 242 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (∀𝑝𝐴 ¬ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌) → 𝑌 𝑋))
1918con3d 152 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (¬ 𝑌 𝑋 → ¬ ∀𝑝𝐴 ¬ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
20 dfrex2 3169 . . 3 (∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌) ↔ ¬ ∀𝑝𝐴 ¬ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌))
2119, 20syl6ibr 251 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (¬ 𝑌 𝑋 → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
229, 21syld 47 1 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wral 3064  wrex 3065   class class class wbr 5075  cfv 6428  Basecbs 16901  lecple 16958  Posetcpo 18014  ltcplt 18015  CLatccla 18205  OMLcoml 37176  Atomscatm 37264  AtLatcal 37265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5210  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7580
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-id 5486  df-xp 5592  df-rel 5593  df-cnv 5594  df-co 5595  df-dm 5596  df-rn 5597  df-res 5598  df-ima 5599  df-iota 6386  df-fun 6430  df-fn 6431  df-f 6432  df-f1 6433  df-fo 6434  df-f1o 6435  df-fv 6436  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-proset 18002  df-poset 18020  df-plt 18037  df-lub 18053  df-glb 18054  df-join 18055  df-meet 18056  df-p0 18132  df-lat 18139  df-clat 18206  df-oposet 37177  df-ol 37179  df-oml 37180  df-covers 37267  df-ats 37268  df-atl 37299
This theorem is referenced by:  cvlcvr1  37340  hlrelat1  37401
  Copyright terms: Public domain W3C validator