Theorem atlrelat1 35395

Description: An atomistic lattice with 0 is relatively atomic. Part of Lemma 7.2 of [MaedaMaeda] p. 30. (chpssati 29773, with ∧ swapped, analog.) (Contributed by NM, 4-Dec-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
atlrelat1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atlrelat1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atlrelat1.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
atlrelat1.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atlrelat1	⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   ≤ ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝

Allowed substitution hint:   < (𝑝)

Proof of Theorem atlrelat1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp13 1266	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ AtLat)
2		atlpos 35375	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
4		atlrelat1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		atlrelat1.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
6		atlrelat1.s	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝐾)
7	4, 5, 6	pltnle 17326	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ¬ 𝑌 ≤ 𝑋)
8	7	ex 403	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → ¬ 𝑌 ≤ 𝑋))
9	3, 8	syld3an1 1533	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → ¬ 𝑌 ≤ 𝑋))
10		iman 392	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑌 → 𝑝 ≤ 𝑋) ↔ ¬ (𝑝 ≤ 𝑌 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋))
11		ancom 454	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑌 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋) ↔ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌))
12	10, 11	xchbinx 326	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑌 → 𝑝 ≤ 𝑋) ↔ ¬ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌))
13	12	ralbii 3189	. . . . 5 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑌 → 𝑝 ≤ 𝑋) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ¬ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌))
14		atlrelat1.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
15	4, 5, 14	atlatle 35394	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 ≤ 𝑋 ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑌 → 𝑝 ≤ 𝑋)))
16	15	3com23 1160	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 ≤ 𝑋 ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑌 → 𝑝 ≤ 𝑋)))
17	16	biimprd 240	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑌 → 𝑝 ≤ 𝑋) → 𝑌 ≤ 𝑋))
18	13, 17	syl5bir 235	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 ¬ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) → 𝑌 ≤ 𝑋))
19	18	con3d 150	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑌 ≤ 𝑋 → ¬ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ¬ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)))
20		dfrex2 3204	. . 3 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ¬ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌))
21	19, 20	syl6ibr 244	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑌 ≤ 𝑋 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)))
22	9, 21	syld 47	1 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ∀wral 3117  ∃wrex 3118   class class class wbr 4875  ‘cfv 6127  Basecbs 16229  lecple 16319  Posetcpo 17300  ltcplt 17301  CLatccla 17467  OMLcoml 35249  Atomscatm 35337  AtLatcal 35338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-proset 17288  df-poset 17306  df-plt 17318  df-lub 17334  df-glb 17335  df-join 17336  df-meet 17337  df-p0 17399  df-lat 17406  df-clat 17468  df-oposet 35250  df-ol 35252  df-oml 35253  df-covers 35340  df-ats 35341  df-atl 35372

This theorem is referenced by:  cvlcvr1  35413  hlrelat1  35474