Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atlrelat1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atlrelat1 37829
Description: An atomistic lattice with 0 is relatively atomic. Part of Lemma 7.2 of [MaedaMaeda] p. 30. (chpssati 31347, with ∧ swapped, analog.) (Contributed by NM, 4-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
atlrelat1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
atlrelat1.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
atlrelat1.s < = (ltβ€˜πΎ)
atlrelat1.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
atlrelat1 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < π‘Œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐡,𝑝   𝐾,𝑝   ≀ ,𝑝   𝑋,𝑝   π‘Œ,𝑝
Allowed substitution hint:   < (𝑝)

Proof of Theorem atlrelat1
StepHypRef Expression
1 simp13 1206 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
2 atlpos 37809 . . . 4 (𝐾 ∈ AtLat β†’ 𝐾 ∈ Poset)
31, 2syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
4 atlrelat1.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
5 atlrelat1.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
6 atlrelat1.s . . . . 5 < = (ltβ€˜πΎ)
74, 5, 6pltnle 18232 . . . 4 (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋)
87ex 414 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < π‘Œ β†’ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋))
93, 8syld3an1 1411 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < π‘Œ β†’ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋))
10 iman 403 . . . . . . 7 ((𝑝 ≀ π‘Œ β†’ 𝑝 ≀ 𝑋) ↔ Β¬ (𝑝 ≀ π‘Œ ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋))
11 ancom 462 . . . . . . 7 ((𝑝 ≀ π‘Œ ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋) ↔ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ))
1210, 11xchbinx 334 . . . . . 6 ((𝑝 ≀ π‘Œ β†’ 𝑝 ≀ 𝑋) ↔ Β¬ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ))
1312ralbii 3093 . . . . 5 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Œ β†’ 𝑝 ≀ 𝑋) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 Β¬ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ))
14 atlrelat1.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
154, 5, 14atlatle 37828 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ≀ 𝑋 ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Œ β†’ 𝑝 ≀ 𝑋)))
16153com23 1127 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ≀ 𝑋 ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Œ β†’ 𝑝 ≀ 𝑋)))
1716biimprd 248 . . . . 5 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Œ β†’ 𝑝 ≀ 𝑋) β†’ π‘Œ ≀ 𝑋))
1813, 17biimtrrid 242 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 Β¬ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ) β†’ π‘Œ ≀ 𝑋))
1918con3d 152 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋 β†’ Β¬ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 Β¬ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
20 dfrex2 3073 . . 3 (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ) ↔ Β¬ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 Β¬ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ))
2119, 20syl6ibr 252 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋 β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
229, 21syld 47 1 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < π‘Œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  Basecbs 17088  lecple 17145  Posetcpo 18201  ltcplt 18202  CLatccla 18392  OMLcoml 37683  Atomscatm 37771  AtLatcal 37772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-lub 18240  df-glb 18241  df-join 18242  df-meet 18243  df-p0 18319  df-lat 18326  df-clat 18393  df-oposet 37684  df-ol 37686  df-oml 37687  df-covers 37774  df-ats 37775  df-atl 37806
This theorem is referenced by:  cvlcvr1  37847  hlrelat1  37909
  Copyright terms: Public domain W3C validator