Theorem nmopnegi 31946

Description: Value of the norm of the negative of a Hilbert space operator. Unlike nmophmi 32012, the operator does not have to be bounded. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
nmopneg.1	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Assertion

Ref	Expression
nmopnegi	⊢ (normop‘(-1 ·op 𝑇)) = (normop‘𝑇)

Proof of Theorem nmopnegi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12354	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		nmopneg.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
3		homval 31722	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((-1 ·op 𝑇)‘𝑦) = (-1 ·ℎ (𝑇‘𝑦)))
4	1, 2, 3	mp3an12 1453	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((-1 ·op 𝑇)‘𝑦) = (-1 ·ℎ (𝑇‘𝑦)))
5	4	fveq2d 6880	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘((-1 ·op 𝑇)‘𝑦)) = (normℎ‘(-1 ·ℎ (𝑇‘𝑦))))
6	2	ffvelcdmi 7073	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
7		normneg 31125	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇‘𝑦) ∈ ℋ → (normℎ‘(-1 ·ℎ (𝑇‘𝑦))) = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘(-1 ·ℎ (𝑇‘𝑦))) = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))
9	5, 8	eqtrd 2770	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘((-1 ·op 𝑇)‘𝑦)) = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))
10	9	eqeq2d 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑥 = (normℎ‘((-1 ·op 𝑇)‘𝑦)) ↔ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦))))
11	10	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((-1 ·op 𝑇)‘𝑦))) ↔ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))))
12	11	rexbiia 3081	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((-1 ·op 𝑇)‘𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦))))
13	12	abbii 2802	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((-1 ·op 𝑇)‘𝑦)))} = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))}
14	13	supeq1i 9459	. 2 ⊢ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((-1 ·op 𝑇)‘𝑦)))}, ℝ*, < ) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))}, ℝ*, < )
15		homulcl 31740	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (-1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
16	1, 2, 15	mp2an 692	. . 3 ⊢ (-1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
17		nmopval 31837	. . 3 ⊢ ((-1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ → (normop‘(-1 ·op 𝑇)) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((-1 ·op 𝑇)‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
18	16, 17	ax-mp 5	. 2 ⊢ (normop‘(-1 ·op 𝑇)) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((-1 ·op 𝑇)‘𝑦)))}, ℝ*, < )
19		nmopval 31837	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (normop‘𝑇) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
20	2, 19	ax-mp 5	. 2 ⊢ (normop‘𝑇) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))}, ℝ*, < )
21	14, 18, 20	3eqtr4i 2768	1 ⊢ (normop‘(-1 ·op 𝑇)) = (normop‘𝑇)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {cab 2713  ∃wrex 3060   class class class wbr 5119  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  supcsup 9452  ℂcc 11127  1c1 11130  ℝ^*cxr 11268   < clt 11269   ≤ cle 11270  -cneg 11467   ℋchba 30900   ·_ℎ csm 30902  norm_ℎcno 30904   ·_op chot 30920  norm_opcnop 30926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207  ax-hilex 30980  ax-hfvadd 30981  ax-hvcom 30982  ax-hv0cl 30984  ax-hvaddid 30985  ax-hfvmul 30986  ax-hvmulid 30987  ax-hvmulass 30988  ax-hvdistr1 30989  ax-hvmul0 30991  ax-hfi 31060  ax-his1 31063  ax-his3 31065  ax-his4 31066

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-hnorm 30949  df-hvsub 30952  df-homul 31712  df-nmop 31820

This theorem is referenced by:  nmoptri2i  32080