HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmopnegi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmopnegi 31994
Description: Value of the norm of the negative of a Hilbert space operator. Unlike nmophmi 32060, the operator does not have to be bounded. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nmopneg.1 𝑇: ℋ⟶ ℋ
Assertion
Ref Expression
nmopnegi (normop‘(-1 ·op 𝑇)) = (normop𝑇)

Proof of Theorem nmopnegi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neg1cn 12378 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
2 nmopneg.1 . . . . . . . . . 10 𝑇: ℋ⟶ ℋ
3 homval 31770 . . . . . . . . . 10 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((-1 ·op 𝑇)‘𝑦) = (-1 · (𝑇𝑦)))
41, 2, 3mp3an12 1450 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℋ → ((-1 ·op 𝑇)‘𝑦) = (-1 · (𝑇𝑦)))
54fveq2d 6911 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℋ → (norm‘((-1 ·op 𝑇)‘𝑦)) = (norm‘(-1 · (𝑇𝑦))))
62ffvelcdmi 7103 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑇𝑦) ∈ ℋ)
7 normneg 31173 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝑦) ∈ ℋ → (norm‘(-1 · (𝑇𝑦))) = (norm‘(𝑇𝑦)))
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℋ → (norm‘(-1 · (𝑇𝑦))) = (norm‘(𝑇𝑦)))
95, 8eqtrd 2775 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℋ → (norm‘((-1 ·op 𝑇)‘𝑦)) = (norm‘(𝑇𝑦)))
109eqeq2d 2746 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑥 = (norm‘((-1 ·op 𝑇)‘𝑦)) ↔ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦))))
1110anbi2d 630 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℋ → (((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((-1 ·op 𝑇)‘𝑦))) ↔ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))))
1211rexbiia 3090 . . . 4 (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((-1 ·op 𝑇)‘𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦))))
1312abbii 2807 . . 3 {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((-1 ·op 𝑇)‘𝑦)))} = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))}
1413supeq1i 9485 . 2 sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((-1 ·op 𝑇)‘𝑦)))}, ℝ*, < ) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))}, ℝ*, < )
15 homulcl 31788 . . . 4 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (-1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
161, 2, 15mp2an 692 . . 3 (-1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
17 nmopval 31885 . . 3 ((-1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ → (normop‘(-1 ·op 𝑇)) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((-1 ·op 𝑇)‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
1816, 17ax-mp 5 . 2 (normop‘(-1 ·op 𝑇)) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((-1 ·op 𝑇)‘𝑦)))}, ℝ*, < )
19 nmopval 31885 . . 3 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (normop𝑇) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))}, ℝ*, < ))
202, 19ax-mp 5 . 2 (normop𝑇) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))}, ℝ*, < )
2114, 18, 203eqtr4i 2773 1 (normop‘(-1 ·op 𝑇)) = (normop𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {cab 2712  wrex 3068   class class class wbr 5148  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  supcsup 9478  cc 11151  1c1 11154  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  -cneg 11491  chba 30948   · csm 30950  normcno 30952   ·op chot 30968  normopcnop 30974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hvcom 31030  ax-hv0cl 31032  ax-hvaddid 31033  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035  ax-hvmulass 31036  ax-hvdistr1 31037  ax-hvmul0 31039  ax-hfi 31108  ax-his1 31111  ax-his3 31113  ax-his4 31114
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-hnorm 30997  df-hvsub 31000  df-homul 31760  df-nmop 31868
This theorem is referenced by:  nmoptri2i  32128
  Copyright terms: Public domain W3C validator