Theorem nmopnegi 32582

Description: Value of the norm of the negative of a Hilbert space operator. Unlike nmophmi 32648, the operator does not have to be bounded. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
nmopneg.1	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Assertion

Ref	Expression
nmopnegi	⊢ (normop‘( -1 ·op 𝑇)) = (normop‘𝑇)

Proof of Theorem nmopnegi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12318	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		nmopneg.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
3		homval 32358	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( -1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (( -1 ·op 𝑇)‘𝑦) = ( -1 ·ℎ (𝑇‘𝑦)))
4	1, 2, 3	mp3an12 1480	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (( -1 ·op 𝑇)‘𝑦) = ( -1 ·ℎ (𝑇‘𝑦)))
5	4	fveq2d 6900	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘(( -1 ·op 𝑇)‘𝑦)) = (normℎ‘( -1 ·ℎ (𝑇‘𝑦))))
6	2	ffvelcdmi 7094	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
7		normneg 31761	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇‘𝑦) ∈ ℋ → (normℎ‘( -1 ·ℎ (𝑇‘𝑦))) = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))
8	6, 7	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘( -1 ·ℎ (𝑇‘𝑦))) = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))
9	5, 8	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘(( -1 ·op 𝑇)‘𝑦)) = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))
10	9	eqeq2d 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑥 = (normℎ‘(( -1 ·op 𝑇)‘𝑦)) ↔ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦))))
11	10	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(( -1 ·op 𝑇)‘𝑦))) ↔ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))))
12	11	rexbiia 3111	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(( -1 ·op 𝑇)‘𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦))))
13	12	abbii 2830	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(( -1 ·op 𝑇)‘𝑦)))} = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))}
14	13	supeq1i 9452	. 2 ⊢ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(( -1 ·op 𝑇)‘𝑦)))}, ℝ*, < ) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))}, ℝ*, < )
15		homulcl 32376	. . . 4 ⊢ (( -1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ( -1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
16	1, 2, 15	mp2an 705	. . 3 ⊢ ( -1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
17		nmopval 32473	. . 3 ⊢ (( -1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ → (normop‘( -1 ·op 𝑇)) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(( -1 ·op 𝑇)‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
18	16, 17	ax-mp 5	. 2 ⊢ (normop‘( -1 ·op 𝑇)) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(( -1 ·op 𝑇)‘𝑦)))}, ℝ*, < )
19		nmopval 32473	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (normop‘𝑇) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
20	2, 19	ax-mp 5	. 2 ⊢ (normop‘𝑇) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))}, ℝ*, < )
21	14, 18, 20	3eqtr4i 2796	1 ⊢ (normop‘( -1 ·op 𝑇)) = (normop‘𝑇)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  {cab 2741  ∃wrex 3090   class class class wbr 5106  ⟶wf 6543  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  supcsup 9445  ℂcc 11211  1c1 11214  ℝ^*cxr 11355   < clt 11356   ≤ cle 11357   -cneg 11555   ℋchba 31536   ·_ℎ csm 31538  norm_ℎcno 31540   ·_op chot 31556  norm_opcnop 31562

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291  ax-hilex 31616  ax-hfvadd 31617  ax-hvcom 31618  ax-hv0cl 31620  ax-hvaddid 31621  ax-hfvmul 31622  ax-hvmulid 31623  ax-hvmulass 31624  ax-hvdistr1 31625  ax-hvmul0 31627  ax-hfi 31696  ax-his1 31699  ax-his3 31701  ax-his4 31702

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8731  df-map 8863  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-sup 9447  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-rp 13134  df-seq 14158  df-exp 14218  df-cj 15281  df-re 15282  df-im 15283  df-sqrt 15417  df-abs 15418  df-hnorm 31585  df-hvsub 31588  df-homul 32348  df-nmop 32456

This theorem is used by:  nmoptri2i  32716