Theorem nmopnegi 30327

Description: Value of the norm of the negative of a Hilbert space operator. Unlike nmophmi 30393, the operator does not have to be bounded. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
nmopneg.1	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Assertion

Ref	Expression
nmopnegi	⊢ (normop‘(-1 ·op 𝑇)) = (normop‘𝑇)

Proof of Theorem nmopnegi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12087	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		nmopneg.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
3		homval 30103	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((-1 ·op 𝑇)‘𝑦) = (-1 ·ℎ (𝑇‘𝑦)))
4	1, 2, 3	mp3an12 1450	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((-1 ·op 𝑇)‘𝑦) = (-1 ·ℎ (𝑇‘𝑦)))
5	4	fveq2d 6778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘((-1 ·op 𝑇)‘𝑦)) = (normℎ‘(-1 ·ℎ (𝑇‘𝑦))))
6	2	ffvelrni 6960	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
7		normneg 29506	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇‘𝑦) ∈ ℋ → (normℎ‘(-1 ·ℎ (𝑇‘𝑦))) = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘(-1 ·ℎ (𝑇‘𝑦))) = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))
9	5, 8	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘((-1 ·op 𝑇)‘𝑦)) = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))
10	9	eqeq2d 2749	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑥 = (normℎ‘((-1 ·op 𝑇)‘𝑦)) ↔ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦))))
11	10	anbi2d 629	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((-1 ·op 𝑇)‘𝑦))) ↔ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))))
12	11	rexbiia 3180	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((-1 ·op 𝑇)‘𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦))))
13	12	abbii 2808	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((-1 ·op 𝑇)‘𝑦)))} = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))}
14	13	supeq1i 9206	. 2 ⊢ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((-1 ·op 𝑇)‘𝑦)))}, ℝ*, < ) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))}, ℝ*, < )
15		homulcl 30121	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (-1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
16	1, 2, 15	mp2an 689	. . 3 ⊢ (-1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
17		nmopval 30218	. . 3 ⊢ ((-1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ → (normop‘(-1 ·op 𝑇)) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((-1 ·op 𝑇)‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
18	16, 17	ax-mp 5	. 2 ⊢ (normop‘(-1 ·op 𝑇)) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((-1 ·op 𝑇)‘𝑦)))}, ℝ*, < )
19		nmopval 30218	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (normop‘𝑇) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
20	2, 19	ax-mp 5	. 2 ⊢ (normop‘𝑇) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))}, ℝ*, < )
21	14, 18, 20	3eqtr4i 2776	1 ⊢ (normop‘(-1 ·op 𝑇)) = (normop‘𝑇)

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {cab 2715  ∃wrex 3065   class class class wbr 5074  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  supcsup 9199  ℂcc 10869  1c1 10872  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010  -cneg 11206   ℋchba 29281   ·_ℎ csm 29283  norm_ℎcno 29285   ·_op chot 29301  norm_opcnop 29307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-hilex 29361  ax-hfvadd 29362  ax-hvcom 29363  ax-hv0cl 29365  ax-hvaddid 29366  ax-hfvmul 29367  ax-hvmulid 29368  ax-hvmulass 29369  ax-hvdistr1 29370  ax-hvmul0 29372  ax-hfi 29441  ax-his1 29444  ax-his3 29446  ax-his4 29447

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-hnorm 29330  df-hvsub 29333  df-homul 30093  df-nmop 30201

This theorem is referenced by:  nmoptri2i  30461