HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  adjmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem adjmul 31345
Description: The adjoint of the scalar product of an operator. Theorem 3.11(ii) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 21-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjmul ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โ†’ (adjโ„Žโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทop (adjโ„Žโ€˜๐‘‡)))

Proof of Theorem adjmul
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmadjop 31141 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
2 homulcl 31012 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
31, 2sylan2 594 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โ†’ (๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
4 cjcl 15052 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
5 dmadjrn 31148 . . . 4 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ dom adjโ„Ž)
6 dmadjop 31141 . . . 4 ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
75, 6syl 17 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
8 homulcl 31012 . . 3 (((โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทop (adjโ„Žโ€˜๐‘‡)): โ„‹โŸถ โ„‹)
94, 7, 8syl2an 597 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทop (adjโ„Žโ€˜๐‘‡)): โ„‹โŸถ โ„‹)
10 adj2 31187 . . . . . . . 8 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)))
11103expb 1121 . . . . . . 7 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)))
1211adantll 713 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)))
1312oveq2d 7425 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐ด ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) = (๐ด ยท (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))))
141ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
15 ax-his3 30337 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ) = (๐ด ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
1614, 15syl3an2 1165 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ) = (๐ด ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
17163exp 1120 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ) = (๐ด ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))))
1817expd 417 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ) = (๐ด ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))))))
1918imp43 429 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ) = (๐ด ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
20 simpll 766 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
21 simprl 770 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
22 adjcl 31185 . . . . . . 7 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
2322ad2ant2l 745 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
24 his52 30340 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))) = (๐ด ยท (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))))
2520, 21, 23, 24syl3anc 1372 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))) = (๐ด ยท (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))))
2613, 19, 253eqtr4d 2783 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))))
27 homval 30994 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
281, 27syl3an2 1165 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
29283expa 1119 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
3029adantrr 716 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
3130oveq1d 7424 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ))
32 id 22 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)
33 homval 30994 . . . . . . . 8 (((โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((โˆ—โ€˜๐ด) ยทop (adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฆ) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)))
344, 7, 32, 33syl3an 1161 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((โˆ—โ€˜๐ด) ยทop (adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฆ) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)))
35343expa 1119 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((โˆ—โ€˜๐ด) ยทop (adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฆ) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)))
3635adantrl 715 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((โˆ—โ€˜๐ด) ยทop (adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฆ) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)))
3736oveq2d 7425 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทih (((โˆ—โ€˜๐ด) ยทop (adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))))
3826, 31, 373eqtr4d 2783 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (((โˆ—โ€˜๐ด) ยทop (adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฆ)))
3938ralrimivva 3201 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (((โˆ—โ€˜๐ด) ยทop (adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฆ)))
40 adjeq 31188 . 2 (((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทop (adjโ„Žโ€˜๐‘‡)): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (((โˆ—โ€˜๐ด) ยทop (adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฆ))) โ†’ (adjโ„Žโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทop (adjโ„Žโ€˜๐‘‡)))
413, 9, 39, 40syl3anc 1372 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โ†’ (adjโ„Žโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทop (adjโ„Žโ€˜๐‘‡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062  dom cdm 5677  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108   ยท cmul 11115  โˆ—ccj 15043   โ„‹chba 30172   ยทโ„Ž csm 30174   ยทih csp 30175   ยทop chot 30192  adjโ„Žcado 30208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-hilex 30252  ax-hfvadd 30253  ax-hvcom 30254  ax-hvass 30255  ax-hv0cl 30256  ax-hvaddid 30257  ax-hfvmul 30258  ax-hvmulid 30259  ax-hvdistr2 30262  ax-hvmul0 30263  ax-hfi 30332  ax-his1 30335  ax-his2 30336  ax-his3 30337  ax-his4 30338
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-2 12275  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-hvsub 30224  df-homul 30984  df-adjh 31102
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator