HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  adjmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem adjmul 30839
Description: The adjoint of the scalar product of an operator. Theorem 3.11(ii) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 21-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjmul ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โ†’ (adjโ„Žโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทop (adjโ„Žโ€˜๐‘‡)))

Proof of Theorem adjmul
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmadjop 30635 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
2 homulcl 30506 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
31, 2sylan2 594 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โ†’ (๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
4 cjcl 14925 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
5 dmadjrn 30642 . . . 4 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ dom adjโ„Ž)
6 dmadjop 30635 . . . 4 ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
75, 6syl 17 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
8 homulcl 30506 . . 3 (((โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทop (adjโ„Žโ€˜๐‘‡)): โ„‹โŸถ โ„‹)
94, 7, 8syl2an 597 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทop (adjโ„Žโ€˜๐‘‡)): โ„‹โŸถ โ„‹)
10 adj2 30681 . . . . . . . 8 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)))
11103expb 1121 . . . . . . 7 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)))
1211adantll 713 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)))
1312oveq2d 7366 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐ด ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) = (๐ด ยท (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))))
141ffvelcdmda 7030 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
15 ax-his3 29831 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ) = (๐ด ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
1614, 15syl3an2 1165 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ) = (๐ด ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
17163exp 1120 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ) = (๐ด ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))))
1817expd 417 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ) = (๐ด ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))))))
1918imp43 429 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ) = (๐ด ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
20 simpll 766 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
21 simprl 770 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
22 adjcl 30679 . . . . . . 7 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
2322ad2ant2l 745 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
24 his52 29834 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))) = (๐ด ยท (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))))
2520, 21, 23, 24syl3anc 1372 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))) = (๐ด ยท (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))))
2613, 19, 253eqtr4d 2788 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))))
27 homval 30488 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
281, 27syl3an2 1165 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
29283expa 1119 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
3029adantrr 716 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
3130oveq1d 7365 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ))
32 id 22 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)
33 homval 30488 . . . . . . . 8 (((โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((โˆ—โ€˜๐ด) ยทop (adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฆ) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)))
344, 7, 32, 33syl3an 1161 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((โˆ—โ€˜๐ด) ยทop (adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฆ) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)))
35343expa 1119 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((โˆ—โ€˜๐ด) ยทop (adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฆ) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)))
3635adantrl 715 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((โˆ—โ€˜๐ด) ยทop (adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฆ) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)))
3736oveq2d 7366 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทih (((โˆ—โ€˜๐ด) ยทop (adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))))
3826, 31, 373eqtr4d 2788 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (((โˆ—โ€˜๐ด) ยทop (adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฆ)))
3938ralrimivva 3196 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (((โˆ—โ€˜๐ด) ยทop (adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฆ)))
40 adjeq 30682 . 2 (((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทop (adjโ„Žโ€˜๐‘‡)): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (((โˆ—โ€˜๐ด) ยทop (adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฆ))) โ†’ (adjโ„Žโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทop (adjโ„Žโ€˜๐‘‡)))
413, 9, 39, 40syl3anc 1372 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โ†’ (adjโ„Žโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทop (adjโ„Žโ€˜๐‘‡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3063  dom cdm 5631  โŸถwf 6488  โ€˜cfv 6492  (class class class)co 7350  โ„‚cc 10983   ยท cmul 10990  โˆ—ccj 14916   โ„‹chba 29666   ยทโ„Ž csm 29668   ยทih csp 29669   ยทop chot 29686  adjโ„Žcado 29702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-hilex 29746  ax-hfvadd 29747  ax-hvcom 29748  ax-hvass 29749  ax-hv0cl 29750  ax-hvaddid 29751  ax-hfvmul 29752  ax-hvmulid 29753  ax-hvdistr2 29756  ax-hvmul0 29757  ax-hfi 29826  ax-his1 29829  ax-his2 29830  ax-his3 29831  ax-his4 29832
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-er 8582  df-map 8701  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-2 12150  df-cj 14919  df-re 14920  df-im 14921  df-hvsub 29718  df-homul 30478  df-adjh 30596
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator