HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  adjmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem adjmul 32120
Description: The adjoint of the scalar product of an operator. Theorem 3.11(ii) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 21-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjmul ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) → (adj‘(𝐴 ·op 𝑇)) = ((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇)))

Proof of Theorem adjmul
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmadjop 31916 . . 3 (𝑇 ∈ dom adj𝑇: ℋ⟶ ℋ)
2 homulcl 31787 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
31, 2sylan2 593 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) → (𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
4 cjcl 15140 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
5 dmadjrn 31923 . . . 4 (𝑇 ∈ dom adj → (adj𝑇) ∈ dom adj)
6 dmadjop 31916 . . . 4 ((adj𝑇) ∈ dom adj → (adj𝑇): ℋ⟶ ℋ)
75, 6syl 17 . . 3 (𝑇 ∈ dom adj → (adj𝑇): ℋ⟶ ℋ)
8 homulcl 31787 . . 3 (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (adj𝑇): ℋ⟶ ℋ) → ((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇)): ℋ⟶ ℋ)
94, 7, 8syl2an 596 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) → ((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇)): ℋ⟶ ℋ)
10 adj2 31962 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ dom adj𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘𝑦)))
11103expb 1119 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘𝑦)))
1211adantll 714 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘𝑦)))
1312oveq2d 7446 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦)) = (𝐴 · (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘𝑦))))
141ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ dom adj𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
15 ax-his3 31112 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝐴 · (𝑇𝑥)) ·ih 𝑦) = (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦)))
1614, 15syl3an2 1163 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇 ∈ dom adj𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝐴 · (𝑇𝑥)) ·ih 𝑦) = (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦)))
17163exp 1118 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑇 ∈ dom adj𝑥 ∈ ℋ) → (𝑦 ∈ ℋ → ((𝐴 · (𝑇𝑥)) ·ih 𝑦) = (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦)))))
1817expd 415 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑇 ∈ dom adj → (𝑥 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ ℋ → ((𝐴 · (𝑇𝑥)) ·ih 𝑦) = (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦))))))
1918imp43 427 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝐴 · (𝑇𝑥)) ·ih 𝑦) = (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦)))
20 simpll 767 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
21 simprl 771 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝑥 ∈ ℋ)
22 adjcl 31960 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ dom adj𝑦 ∈ ℋ) → ((adj𝑇)‘𝑦) ∈ ℋ)
2322ad2ant2l 746 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((adj𝑇)‘𝑦) ∈ ℋ)
24 his52 31115 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ ((adj𝑇)‘𝑦) ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih ((∗‘𝐴) · ((adj𝑇)‘𝑦))) = (𝐴 · (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘𝑦))))
2520, 21, 23, 24syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih ((∗‘𝐴) · ((adj𝑇)‘𝑦))) = (𝐴 · (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘𝑦))))
2613, 19, 253eqtr4d 2784 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝐴 · (𝑇𝑥)) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((∗‘𝐴) · ((adj𝑇)‘𝑦))))
27 homval 31769 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 · (𝑇𝑥)))
281, 27syl3an2 1163 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 · (𝑇𝑥)))
29283expa 1117 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 · (𝑇𝑥)))
3029adantrr 717 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 · (𝑇𝑥)))
3130oveq1d 7445 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝐴 · (𝑇𝑥)) ·ih 𝑦))
32 id 22 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℋ → 𝑦 ∈ ℋ)
33 homval 31769 . . . . . . . 8 (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (adj𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇))‘𝑦) = ((∗‘𝐴) · ((adj𝑇)‘𝑦)))
344, 7, 32, 33syl3an 1159 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj𝑦 ∈ ℋ) → (((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇))‘𝑦) = ((∗‘𝐴) · ((adj𝑇)‘𝑦)))
35343expa 1117 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇))‘𝑦) = ((∗‘𝐴) · ((adj𝑇)‘𝑦)))
3635adantrl 716 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇))‘𝑦) = ((∗‘𝐴) · ((adj𝑇)‘𝑦)))
3736oveq2d 7446 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih (((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((∗‘𝐴) · ((adj𝑇)‘𝑦))))
3826, 31, 373eqtr4d 2784 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇))‘𝑦)))
3938ralrimivva 3199 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇))‘𝑦)))
40 adjeq 31963 . 2 (((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ ((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇)): ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇))‘𝑦))) → (adj‘(𝐴 ·op 𝑇)) = ((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇)))
413, 9, 39, 40syl3anc 1370 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) → (adj‘(𝐴 ·op 𝑇)) = ((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  dom cdm 5688  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150   · cmul 11157  ccj 15131  chba 30947   · csm 30949   ·ih csp 30950   ·op chot 30967  adjcado 30983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-hilex 31027  ax-hfvadd 31028  ax-hvcom 31029  ax-hvass 31030  ax-hv0cl 31031  ax-hvaddid 31032  ax-hfvmul 31033  ax-hvmulid 31034  ax-hvdistr2 31037  ax-hvmul0 31038  ax-hfi 31107  ax-his1 31110  ax-his2 31111  ax-his3 31112  ax-his4 31113
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-2 12326  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-hvsub 30999  df-homul 31759  df-adjh 31877
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator