HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  adjmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem adjmul 29873
Description: The adjoint of the scalar product of an operator. Theorem 3.11(ii) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 21-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjmul ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) → (adj‘(𝐴 ·op 𝑇)) = ((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇)))

Proof of Theorem adjmul
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmadjop 29669 . . 3 (𝑇 ∈ dom adj𝑇: ℋ⟶ ℋ)
2 homulcl 29540 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
31, 2sylan2 595 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) → (𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
4 cjcl 14462 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
5 dmadjrn 29676 . . . 4 (𝑇 ∈ dom adj → (adj𝑇) ∈ dom adj)
6 dmadjop 29669 . . . 4 ((adj𝑇) ∈ dom adj → (adj𝑇): ℋ⟶ ℋ)
75, 6syl 17 . . 3 (𝑇 ∈ dom adj → (adj𝑇): ℋ⟶ ℋ)
8 homulcl 29540 . . 3 (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (adj𝑇): ℋ⟶ ℋ) → ((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇)): ℋ⟶ ℋ)
94, 7, 8syl2an 598 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) → ((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇)): ℋ⟶ ℋ)
10 adj2 29715 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ dom adj𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘𝑦)))
11103expb 1117 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘𝑦)))
1211adantll 713 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘𝑦)))
1312oveq2d 7162 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦)) = (𝐴 · (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘𝑦))))
141ffvelrnda 6840 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ dom adj𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
15 ax-his3 28865 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝐴 · (𝑇𝑥)) ·ih 𝑦) = (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦)))
1614, 15syl3an2 1161 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇 ∈ dom adj𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝐴 · (𝑇𝑥)) ·ih 𝑦) = (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦)))
17163exp 1116 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑇 ∈ dom adj𝑥 ∈ ℋ) → (𝑦 ∈ ℋ → ((𝐴 · (𝑇𝑥)) ·ih 𝑦) = (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦)))))
1817expd 419 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑇 ∈ dom adj → (𝑥 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ ℋ → ((𝐴 · (𝑇𝑥)) ·ih 𝑦) = (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦))))))
1918imp43 431 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝐴 · (𝑇𝑥)) ·ih 𝑦) = (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦)))
20 simpll 766 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
21 simprl 770 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝑥 ∈ ℋ)
22 adjcl 29713 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ dom adj𝑦 ∈ ℋ) → ((adj𝑇)‘𝑦) ∈ ℋ)
2322ad2ant2l 745 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((adj𝑇)‘𝑦) ∈ ℋ)
24 his52 28868 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ ((adj𝑇)‘𝑦) ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih ((∗‘𝐴) · ((adj𝑇)‘𝑦))) = (𝐴 · (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘𝑦))))
2520, 21, 23, 24syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih ((∗‘𝐴) · ((adj𝑇)‘𝑦))) = (𝐴 · (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘𝑦))))
2613, 19, 253eqtr4d 2869 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝐴 · (𝑇𝑥)) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((∗‘𝐴) · ((adj𝑇)‘𝑦))))
27 homval 29522 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 · (𝑇𝑥)))
281, 27syl3an2 1161 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 · (𝑇𝑥)))
29283expa 1115 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 · (𝑇𝑥)))
3029adantrr 716 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 · (𝑇𝑥)))
3130oveq1d 7161 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝐴 · (𝑇𝑥)) ·ih 𝑦))
32 id 22 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℋ → 𝑦 ∈ ℋ)
33 homval 29522 . . . . . . . 8 (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (adj𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇))‘𝑦) = ((∗‘𝐴) · ((adj𝑇)‘𝑦)))
344, 7, 32, 33syl3an 1157 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj𝑦 ∈ ℋ) → (((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇))‘𝑦) = ((∗‘𝐴) · ((adj𝑇)‘𝑦)))
35343expa 1115 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇))‘𝑦) = ((∗‘𝐴) · ((adj𝑇)‘𝑦)))
3635adantrl 715 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇))‘𝑦) = ((∗‘𝐴) · ((adj𝑇)‘𝑦)))
3736oveq2d 7162 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih (((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((∗‘𝐴) · ((adj𝑇)‘𝑦))))
3826, 31, 373eqtr4d 2869 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇))‘𝑦)))
3938ralrimivva 3186 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇))‘𝑦)))
40 adjeq 29716 . 2 (((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ ((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇)): ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇))‘𝑦))) → (adj‘(𝐴 ·op 𝑇)) = ((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇)))
413, 9, 39, 40syl3anc 1368 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) → (adj‘(𝐴 ·op 𝑇)) = ((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133  dom cdm 5543  wf 6340  cfv 6344  (class class class)co 7146  cc 10529   · cmul 10536  ccj 14453  chba 28700   · csm 28702   ·ih csp 28703   ·op chot 28720  adjcado 28736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-hilex 28780  ax-hfvadd 28781  ax-hvcom 28782  ax-hvass 28783  ax-hv0cl 28784  ax-hvaddid 28785  ax-hfvmul 28786  ax-hvmulid 28787  ax-hvdistr2 28790  ax-hvmul0 28791  ax-hfi 28860  ax-his1 28863  ax-his2 28864  ax-his3 28865  ax-his4 28866
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-po 5462  df-so 5463  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-2 11695  df-cj 14456  df-re 14457  df-im 14458  df-hvsub 28752  df-homul 29512  df-adjh 29630
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator