HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  adjmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem adjmul 30920
Description: The adjoint of the scalar product of an operator. Theorem 3.11(ii) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 21-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjmul ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โ†’ (adjโ„Žโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทop (adjโ„Žโ€˜๐‘‡)))

Proof of Theorem adjmul
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmadjop 30716 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
2 homulcl 30587 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
31, 2sylan2 593 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โ†’ (๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
4 cjcl 14982 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
5 dmadjrn 30723 . . . 4 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ dom adjโ„Ž)
6 dmadjop 30716 . . . 4 ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
75, 6syl 17 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
8 homulcl 30587 . . 3 (((โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทop (adjโ„Žโ€˜๐‘‡)): โ„‹โŸถ โ„‹)
94, 7, 8syl2an 596 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทop (adjโ„Žโ€˜๐‘‡)): โ„‹โŸถ โ„‹)
10 adj2 30762 . . . . . . . 8 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)))
11103expb 1120 . . . . . . 7 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)))
1211adantll 712 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)))
1312oveq2d 7369 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐ด ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) = (๐ด ยท (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))))
141ffvelcdmda 7031 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
15 ax-his3 29912 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ) = (๐ด ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
1614, 15syl3an2 1164 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ) = (๐ด ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
17163exp 1119 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ) = (๐ด ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))))
1817expd 416 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ) = (๐ด ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))))))
1918imp43 428 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ) = (๐ด ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
20 simpll 765 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
21 simprl 769 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
22 adjcl 30760 . . . . . . 7 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
2322ad2ant2l 744 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
24 his52 29915 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))) = (๐ด ยท (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))))
2520, 21, 23, 24syl3anc 1371 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))) = (๐ด ยท (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))))
2613, 19, 253eqtr4d 2786 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))))
27 homval 30569 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
281, 27syl3an2 1164 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
29283expa 1118 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
3029adantrr 715 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
3130oveq1d 7368 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ))
32 id 22 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)
33 homval 30569 . . . . . . . 8 (((โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((โˆ—โ€˜๐ด) ยทop (adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฆ) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)))
344, 7, 32, 33syl3an 1160 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((โˆ—โ€˜๐ด) ยทop (adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฆ) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)))
35343expa 1118 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((โˆ—โ€˜๐ด) ยทop (adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฆ) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)))
3635adantrl 714 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((โˆ—โ€˜๐ด) ยทop (adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฆ) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)))
3736oveq2d 7369 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทih (((โˆ—โ€˜๐ด) ยทop (adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))))
3826, 31, 373eqtr4d 2786 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (((โˆ—โ€˜๐ด) ยทop (adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฆ)))
3938ralrimivva 3195 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (((โˆ—โ€˜๐ด) ยทop (adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฆ)))
40 adjeq 30763 . 2 (((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทop (adjโ„Žโ€˜๐‘‡)): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (((โˆ—โ€˜๐ด) ยทop (adjโ„Žโ€˜๐‘‡))โ€˜๐‘ฆ))) โ†’ (adjโ„Žโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทop (adjโ„Žโ€˜๐‘‡)))
413, 9, 39, 40syl3anc 1371 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž) โ†’ (adjโ„Žโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทop (adjโ„Žโ€˜๐‘‡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3062  dom cdm 5631  โŸถwf 6489  โ€˜cfv 6493  (class class class)co 7353  โ„‚cc 11045   ยท cmul 11052  โˆ—ccj 14973   โ„‹chba 29747   ยทโ„Ž csm 29749   ยทih csp 29750   ยทop chot 29767  adjโ„Žcado 29783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-hilex 29827  ax-hfvadd 29828  ax-hvcom 29829  ax-hvass 29830  ax-hv0cl 29831  ax-hvaddid 29832  ax-hfvmul 29833  ax-hvmulid 29834  ax-hvdistr2 29837  ax-hvmul0 29838  ax-hfi 29907  ax-his1 29910  ax-his2 29911  ax-his3 29912  ax-his4 29913
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8644  df-map 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-2 12212  df-cj 14976  df-re 14977  df-im 14978  df-hvsub 29799  df-homul 30559  df-adjh 30677
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator