HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  adjmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem adjmul 30863
Description: The adjoint of the scalar product of an operator. Theorem 3.11(ii) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 21-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjmul ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) → (adj‘(𝐴 ·op 𝑇)) = ((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇)))

Proof of Theorem adjmul
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmadjop 30659 . . 3 (𝑇 ∈ dom adj𝑇: ℋ⟶ ℋ)
2 homulcl 30530 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
31, 2sylan2 593 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) → (𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
4 cjcl 14950 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
5 dmadjrn 30666 . . . 4 (𝑇 ∈ dom adj → (adj𝑇) ∈ dom adj)
6 dmadjop 30659 . . . 4 ((adj𝑇) ∈ dom adj → (adj𝑇): ℋ⟶ ℋ)
75, 6syl 17 . . 3 (𝑇 ∈ dom adj → (adj𝑇): ℋ⟶ ℋ)
8 homulcl 30530 . . 3 (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (adj𝑇): ℋ⟶ ℋ) → ((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇)): ℋ⟶ ℋ)
94, 7, 8syl2an 596 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) → ((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇)): ℋ⟶ ℋ)
10 adj2 30705 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ dom adj𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘𝑦)))
11103expb 1120 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘𝑦)))
1211adantll 712 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘𝑦)))
1312oveq2d 7367 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦)) = (𝐴 · (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘𝑦))))
141ffvelcdmda 7031 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ dom adj𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
15 ax-his3 29855 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝐴 · (𝑇𝑥)) ·ih 𝑦) = (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦)))
1614, 15syl3an2 1164 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇 ∈ dom adj𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝐴 · (𝑇𝑥)) ·ih 𝑦) = (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦)))
17163exp 1119 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑇 ∈ dom adj𝑥 ∈ ℋ) → (𝑦 ∈ ℋ → ((𝐴 · (𝑇𝑥)) ·ih 𝑦) = (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦)))))
1817expd 416 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑇 ∈ dom adj → (𝑥 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ ℋ → ((𝐴 · (𝑇𝑥)) ·ih 𝑦) = (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦))))))
1918imp43 428 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝐴 · (𝑇𝑥)) ·ih 𝑦) = (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦)))
20 simpll 765 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
21 simprl 769 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝑥 ∈ ℋ)
22 adjcl 30703 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ dom adj𝑦 ∈ ℋ) → ((adj𝑇)‘𝑦) ∈ ℋ)
2322ad2ant2l 744 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((adj𝑇)‘𝑦) ∈ ℋ)
24 his52 29858 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ ((adj𝑇)‘𝑦) ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih ((∗‘𝐴) · ((adj𝑇)‘𝑦))) = (𝐴 · (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘𝑦))))
2520, 21, 23, 24syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih ((∗‘𝐴) · ((adj𝑇)‘𝑦))) = (𝐴 · (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘𝑦))))
2613, 19, 253eqtr4d 2787 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝐴 · (𝑇𝑥)) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((∗‘𝐴) · ((adj𝑇)‘𝑦))))
27 homval 30512 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 · (𝑇𝑥)))
281, 27syl3an2 1164 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 · (𝑇𝑥)))
29283expa 1118 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 · (𝑇𝑥)))
3029adantrr 715 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 · (𝑇𝑥)))
3130oveq1d 7366 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝐴 · (𝑇𝑥)) ·ih 𝑦))
32 id 22 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℋ → 𝑦 ∈ ℋ)
33 homval 30512 . . . . . . . 8 (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (adj𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇))‘𝑦) = ((∗‘𝐴) · ((adj𝑇)‘𝑦)))
344, 7, 32, 33syl3an 1160 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj𝑦 ∈ ℋ) → (((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇))‘𝑦) = ((∗‘𝐴) · ((adj𝑇)‘𝑦)))
35343expa 1118 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇))‘𝑦) = ((∗‘𝐴) · ((adj𝑇)‘𝑦)))
3635adantrl 714 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇))‘𝑦) = ((∗‘𝐴) · ((adj𝑇)‘𝑦)))
3736oveq2d 7367 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih (((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((∗‘𝐴) · ((adj𝑇)‘𝑦))))
3826, 31, 373eqtr4d 2787 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇))‘𝑦)))
3938ralrimivva 3195 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇))‘𝑦)))
40 adjeq 30706 . 2 (((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ ((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇)): ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇))‘𝑦))) → (adj‘(𝐴 ·op 𝑇)) = ((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇)))
413, 9, 39, 40syl3anc 1371 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ dom adj) → (adj‘(𝐴 ·op 𝑇)) = ((∗‘𝐴) ·op (adj𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  dom cdm 5631  wf 6489  cfv 6493  (class class class)co 7351  cc 11007   · cmul 11014  ccj 14941  chba 29690   · csm 29692   ·ih csp 29693   ·op chot 29710  adjcado 29726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-hilex 29770  ax-hfvadd 29771  ax-hvcom 29772  ax-hvass 29773  ax-hv0cl 29774  ax-hvaddid 29775  ax-hfvmul 29776  ax-hvmulid 29777  ax-hvdistr2 29780  ax-hvmul0 29781  ax-hfi 29850  ax-his1 29853  ax-his2 29854  ax-his3 29855  ax-his4 29856
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-er 8606  df-map 8725  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-2 12174  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-hvsub 29742  df-homul 30502  df-adjh 30620
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator