Theorem hvmul0 30955

Description: Scalar multiplication with the zero vector. (Contributed by NM, 30-May-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmul0	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)

Proof of Theorem hvmul0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul01 11283	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
2	1	oveq1d 7355	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · 0) ·ℎ 0ℎ) = (0 ·ℎ 0ℎ))
3		ax-hv0cl 30934	. . . . 5 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
4		ax-hvmul0 30941	. . . . 5 ⊢ (0ℎ ∈ ℋ → (0 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ
6	2, 5	eqtrdi 2780	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · 0) ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
7		0cn 11095	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
8		ax-hvmulass 30938	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 0ℎ ∈ ℋ) → ((𝐴 · 0) ·ℎ 0ℎ) = (𝐴 ·ℎ (0 ·ℎ 0ℎ)))
9	7, 3, 8	mp3an23 1455	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · 0) ·ℎ 0ℎ) = (𝐴 ·ℎ (0 ·ℎ 0ℎ)))
10	6, 9	eqtr3d 2766	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0ℎ = (𝐴 ·ℎ (0 ·ℎ 0ℎ)))
11	5	oveq2i 7351	. 2 ⊢ (𝐴 ·ℎ (0 ·ℎ 0ℎ)) = (𝐴 ·ℎ 0ℎ)
12	10, 11	eqtr2di 2781	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7340  ℂcc 10995  0cc0 10997   · cmul 11002   ℋchba 30850   ·_ℎ csm 30852  0_ℎc0v 30855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-hv0cl 30934  ax-hvmulass 30938  ax-hvmul0 30941

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-id 5508  df-po 5521  df-so 5522  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-ov 7343  df-er 8616  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-ltxr 11142

This theorem is referenced by:  hvmul0or  30956  hvsub0  31007  hsn0elch  31179  pjssmii  31612