Theorem hvmul0 30710

Description: Scalar multiplication with the zero vector. (Contributed by NM, 30-May-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmul0	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)

Proof of Theorem hvmul0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul01 11400	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
2	1	oveq1d 7427	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · 0) ·ℎ 0ℎ) = (0 ·ℎ 0ℎ))
3		ax-hv0cl 30689	. . . . 5 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
4		ax-hvmul0 30696	. . . . 5 ⊢ (0ℎ ∈ ℋ → (0 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ
6	2, 5	eqtrdi 2787	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · 0) ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
7		0cn 11213	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
8		ax-hvmulass 30693	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 0ℎ ∈ ℋ) → ((𝐴 · 0) ·ℎ 0ℎ) = (𝐴 ·ℎ (0 ·ℎ 0ℎ)))
9	7, 3, 8	mp3an23 1452	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · 0) ·ℎ 0ℎ) = (𝐴 ·ℎ (0 ·ℎ 0ℎ)))
10	6, 9	eqtr3d 2773	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0ℎ = (𝐴 ·ℎ (0 ·ℎ 0ℎ)))
11	5	oveq2i 7423	. 2 ⊢ (𝐴 ·ℎ (0 ·ℎ 0ℎ)) = (𝐴 ·ℎ 0ℎ)
12	10, 11	eqtr2di 2788	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7412  ℂcc 11114  0cc0 11116   · cmul 11121   ℋchba 30605   ·_ℎ csm 30607  0_ℎc0v 30610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-hv0cl 30689  ax-hvmulass 30693  ax-hvmul0 30696

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-ltxr 11260

This theorem is referenced by:  hvmul0or  30711  hvsub0  30762  hsn0elch  30934  pjssmii  31367