HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvmul0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvmul0 28805
Description: Scalar multiplication with the zero vector. (Contributed by NM, 30-May-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvmul0 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)

Proof of Theorem hvmul0
StepHypRef Expression
1 mul01 10808 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
21oveq1d 7155 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · 0) · 0) = (0 · 0))
3 ax-hv0cl 28784 . . . . 5 0 ∈ ℋ
4 ax-hvmul0 28791 . . . . 5 (0 ∈ ℋ → (0 · 0) = 0)
53, 4ax-mp 5 . . . 4 (0 · 0) = 0
62, 5syl6eq 2873 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · 0) · 0) = 0)
7 0cn 10622 . . . 4 0 ∈ ℂ
8 ax-hvmulass 28788 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 0) · 0) = (𝐴 · (0 · 0)))
97, 3, 8mp3an23 1450 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · 0) · 0) = (𝐴 · (0 · 0)))
106, 9eqtr3d 2859 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 0 = (𝐴 · (0 · 0)))
115oveq2i 7151 . 2 (𝐴 · (0 · 0)) = (𝐴 · 0)
1210, 11syl6req 2874 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2114  (class class class)co 7140  cc 10524  0cc0 10526   · cmul 10531  chba 28700   · csm 28702  0c0v 28705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-hv0cl 28784  ax-hvmulass 28788  ax-hvmul0 28791
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-po 5451  df-so 5452  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-ov 7143  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669
This theorem is referenced by:  hvmul0or  28806  hvsub0  28857  hsn0elch  29029  pjssmii  29462
  Copyright terms: Public domain W3C validator