Theorem hvmul0 28435

Description: Scalar multiplication with the zero vector. (Contributed by NM, 30-May-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmul0	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)

Proof of Theorem hvmul0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul01 10533	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
2	1	oveq1d 6919	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · 0) ·ℎ 0ℎ) = (0 ·ℎ 0ℎ))
3		ax-hv0cl 28414	. . . . 5 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
4		ax-hvmul0 28421	. . . . 5 ⊢ (0ℎ ∈ ℋ → (0 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ
6	2, 5	syl6eq 2876	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · 0) ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
7		0cn 10347	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
8		ax-hvmulass 28418	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 0ℎ ∈ ℋ) → ((𝐴 · 0) ·ℎ 0ℎ) = (𝐴 ·ℎ (0 ·ℎ 0ℎ)))
9	7, 3, 8	mp3an23 1583	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · 0) ·ℎ 0ℎ) = (𝐴 ·ℎ (0 ·ℎ 0ℎ)))
10	6, 9	eqtr3d 2862	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0ℎ = (𝐴 ·ℎ (0 ·ℎ 0ℎ)))
11	5	oveq2i 6915	. 2 ⊢ (𝐴 ·ℎ (0 ·ℎ 0ℎ)) = (𝐴 ·ℎ 0ℎ)
12	10, 11	syl6req 2877	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  (class class class)co 6904  ℂcc 10249  0cc0 10251   · cmul 10256   ℋchba 28330   ·_ℎ csm 28332  0_ℎc0v 28335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-hv0cl 28414  ax-hvmulass 28418  ax-hvmul0 28421

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-op 4403  df-uni 4658  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-id 5249  df-po 5262  df-so 5263  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-ov 6907  df-er 8008  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-ltxr 10395

This theorem is referenced by:  hvmul0or  28436  hvsub0  28487  hsn0elch  28659  pjssmii  29094