HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvmul0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvmul0 28435
Description: Scalar multiplication with the zero vector. (Contributed by NM, 30-May-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvmul0 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)

Proof of Theorem hvmul0
StepHypRef Expression
1 mul01 10533 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
21oveq1d 6919 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · 0) · 0) = (0 · 0))
3 ax-hv0cl 28414 . . . . 5 0 ∈ ℋ
4 ax-hvmul0 28421 . . . . 5 (0 ∈ ℋ → (0 · 0) = 0)
53, 4ax-mp 5 . . . 4 (0 · 0) = 0
62, 5syl6eq 2876 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · 0) · 0) = 0)
7 0cn 10347 . . . 4 0 ∈ ℂ
8 ax-hvmulass 28418 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 0) · 0) = (𝐴 · (0 · 0)))
97, 3, 8mp3an23 1583 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · 0) · 0) = (𝐴 · (0 · 0)))
106, 9eqtr3d 2862 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 0 = (𝐴 · (0 · 0)))
115oveq2i 6915 . 2 (𝐴 · (0 · 0)) = (𝐴 · 0)
1210, 11syl6req 2877 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1658  wcel 2166  (class class class)co 6904  cc 10249  0cc0 10251   · cmul 10256  chba 28330   · csm 28332  0c0v 28335
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-hv0cl 28414  ax-hvmulass 28418  ax-hvmul0 28421
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-op 4403  df-uni 4658  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-id 5249  df-po 5262  df-so 5263  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-ov 6907  df-er 8008  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-ltxr 10395
This theorem is referenced by:  hvmul0or  28436  hvsub0  28487  hsn0elch  28659  pjssmii  29094
  Copyright terms: Public domain W3C validator