Theorem hvmul0 30953

Description: Scalar multiplication with the zero vector. (Contributed by NM, 30-May-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmul0	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)

Proof of Theorem hvmul0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul01 11353	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
2	1	oveq1d 7402	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · 0) ·ℎ 0ℎ) = (0 ·ℎ 0ℎ))
3		ax-hv0cl 30932	. . . . 5 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
4		ax-hvmul0 30939	. . . . 5 ⊢ (0ℎ ∈ ℋ → (0 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ
6	2, 5	eqtrdi 2780	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · 0) ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
7		0cn 11166	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
8		ax-hvmulass 30936	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 0ℎ ∈ ℋ) → ((𝐴 · 0) ·ℎ 0ℎ) = (𝐴 ·ℎ (0 ·ℎ 0ℎ)))
9	7, 3, 8	mp3an23 1455	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · 0) ·ℎ 0ℎ) = (𝐴 ·ℎ (0 ·ℎ 0ℎ)))
10	6, 9	eqtr3d 2766	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0ℎ = (𝐴 ·ℎ (0 ·ℎ 0ℎ)))
11	5	oveq2i 7398	. 2 ⊢ (𝐴 ·ℎ (0 ·ℎ 0ℎ)) = (𝐴 ·ℎ 0ℎ)
12	10, 11	eqtr2di 2781	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068   · cmul 11073   ℋchba 30848   ·_ℎ csm 30850  0_ℎc0v 30853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-hv0cl 30932  ax-hvmulass 30936  ax-hvmul0 30939

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213

This theorem is referenced by:  hvmul0or  30954  hvsub0  31005  hsn0elch  31177  pjssmii  31610