Theorem hvmul0 31505

Description: Scalar multiplication with the zero vector. (Contributed by NM, 30-May-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmul0	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)

Proof of Theorem hvmul0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul01 11413	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
2	1	oveq1d 7428	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · 0) ·ℎ 0ℎ) = (0 ·ℎ 0ℎ))
3		ax-hv0cl 31484	. . . . 5 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
4		ax-hvmul0 31491	. . . . 5 ⊢ (0ℎ ∈ ℋ → (0 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ
6	2, 5	eqtrdi 2811	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · 0) ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
7		0cn 11222	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
8		ax-hvmulass 31488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 0ℎ ∈ ℋ) → ((𝐴 · 0) ·ℎ 0ℎ) = (𝐴 ·ℎ (0 ·ℎ 0ℎ)))
9	7, 3, 8	mp3an23 1482	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · 0) ·ℎ 0ℎ) = (𝐴 ·ℎ (0 ·ℎ 0ℎ)))
10	6, 9	eqtr3d 2797	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0ℎ = (𝐴 ·ℎ (0 ·ℎ 0ℎ)))
11	5	oveq2i 7424	. 2 ⊢ (𝐴 ·ℎ (0 ·ℎ 0ℎ)) = (𝐴 ·ℎ 0ℎ)
12	10, 11	eqtr2di 2812	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  0cc0 11124   · cmul 11129   ℋchba 31400   ·_ℎ csm 31402  0_ℎc0v 31405

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-hv0cl 31484  ax-hvmulass 31488  ax-hvmul0 31491

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-ltxr 11272

This theorem is used by:  hvmul0or  31506  hvsub0  31557  hsn0elch  31729  pjssmii  32162