HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvmul0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvmul0 28221
Description: Scalar multiplication with the zero vector. (Contributed by NM, 30-May-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvmul0 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)

Proof of Theorem hvmul0
StepHypRef Expression
1 mul01 10417 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
21oveq1d 6808 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · 0) · 0) = (0 · 0))
3 ax-hv0cl 28200 . . . . 5 0 ∈ ℋ
4 ax-hvmul0 28207 . . . . 5 (0 ∈ ℋ → (0 · 0) = 0)
53, 4ax-mp 5 . . . 4 (0 · 0) = 0
62, 5syl6eq 2821 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · 0) · 0) = 0)
7 0cn 10234 . . . 4 0 ∈ ℂ
8 ax-hvmulass 28204 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 0) · 0) = (𝐴 · (0 · 0)))
97, 3, 8mp3an23 1564 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · 0) · 0) = (𝐴 · (0 · 0)))
106, 9eqtr3d 2807 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 0 = (𝐴 · (0 · 0)))
115oveq2i 6804 . 2 (𝐴 · (0 · 0)) = (𝐴 · 0)
1210, 11syl6req 2822 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  (class class class)co 6793  cc 10136  0cc0 10138   · cmul 10143  chil 28116   · csm 28118  0c0v 28121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-hv0cl 28200  ax-hvmulass 28204  ax-hvmul0 28207
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-ltxr 10281
This theorem is referenced by:  hvmul0or  28222  hvsub0  28273  hsn0elch  28445  pjssmii  28880
  Copyright terms: Public domain W3C validator