HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvmul0or Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvmul0or 30787
Description: If a scalar product is zero, one of its factors must be zero. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvmul0or ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž โ†” (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0โ„Ž)))

Proof of Theorem hvmul0or
StepHypRef Expression
1 df-ne 2935 . . . . 5 (๐ด โ‰  0 โ†” ยฌ ๐ด = 0)
2 oveq2 7413 . . . . . . . 8 ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž โ†’ ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž (๐ด ยทโ„Ž ๐ต)) = ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž 0โ„Ž))
32ad2antlr 724 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž (๐ด ยทโ„Ž ๐ต)) = ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž 0โ„Ž))
4 recid2 11891 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((1 / ๐ด) ยท ๐ด) = 1)
54oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (((1 / ๐ด) ยท ๐ด) ยทโ„Ž ๐ต) = (1 ยทโ„Ž ๐ต))
65adantlr 712 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (((1 / ๐ด) ยท ๐ด) ยทโ„Ž ๐ต) = (1 ยทโ„Ž ๐ต))
7 reccl 11883 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„‚)
87adantlr 712 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„‚)
9 simpll 764 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
10 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‹)
11 ax-hvmulass 30769 . . . . . . . . . 10 (((1 / ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (((1 / ๐ด) ยท ๐ด) ยทโ„Ž ๐ต) = ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž (๐ด ยทโ„Ž ๐ต)))
128, 9, 10, 11syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (((1 / ๐ด) ยท ๐ด) ยทโ„Ž ๐ต) = ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž (๐ด ยทโ„Ž ๐ต)))
13 ax-hvmulid 30768 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ (1 ยทโ„Ž ๐ต) = ๐ต)
1413ad2antlr 724 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 ยทโ„Ž ๐ต) = ๐ต)
156, 12, 143eqtr3d 2774 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž (๐ด ยทโ„Ž ๐ต)) = ๐ต)
1615adantlr 712 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž (๐ด ยทโ„Ž ๐ต)) = ๐ต)
17 hvmul0 30786 . . . . . . . . . 10 ((1 / ๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž 0โ„Ž) = 0โ„Ž)
187, 17syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž 0โ„Ž) = 0โ„Ž)
1918adantlr 712 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž 0โ„Ž) = 0โ„Ž)
2019adantlr 712 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž 0โ„Ž) = 0โ„Ž)
213, 16, 203eqtr3d 2774 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ๐ต = 0โ„Ž)
2221ex 412 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž) โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†’ ๐ต = 0โ„Ž))
231, 22biimtrrid 242 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž) โ†’ (ยฌ ๐ด = 0 โ†’ ๐ต = 0โ„Ž))
2423orrd 860 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž) โ†’ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0โ„Ž))
2524ex 412 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž โ†’ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0โ„Ž)))
26 ax-hvmul0 30772 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ (0 ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž)
27 oveq1 7412 . . . . . 6 (๐ด = 0 โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = (0 ยทโ„Ž ๐ต))
2827eqeq1d 2728 . . . . 5 (๐ด = 0 โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž โ†” (0 ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž))
2926, 28syl5ibrcom 246 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ด = 0 โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž))
3029adantl 481 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด = 0 โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž))
31 hvmul0 30786 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยทโ„Ž 0โ„Ž) = 0โ„Ž)
32 oveq2 7413 . . . . . 6 (๐ต = 0โ„Ž โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = (๐ด ยทโ„Ž 0โ„Ž))
3332eqeq1d 2728 . . . . 5 (๐ต = 0โ„Ž โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž โ†” (๐ด ยทโ„Ž 0โ„Ž) = 0โ„Ž))
3431, 33syl5ibrcom 246 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ต = 0โ„Ž โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž))
3534adantr 480 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ต = 0โ„Ž โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž))
3630, 35jaod 856 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0โ„Ž) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž))
3725, 36impbid 211 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž โ†” (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0โ„Ž)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117   / cdiv 11875   โ„‹chba 30681   ยทโ„Ž csm 30683  0โ„Žc0v 30686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-hv0cl 30765  ax-hvmulid 30768  ax-hvmulass 30769  ax-hvmul0 30772
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876
This theorem is referenced by:  hvmulcan  30834  hvmulcan2  30835  nmlnop0iALT  31757
  Copyright terms: Public domain W3C validator