HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvmul0or Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvmul0or 30273
Description: If a scalar product is zero, one of its factors must be zero. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvmul0or ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž โ†” (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0โ„Ž)))

Proof of Theorem hvmul0or
StepHypRef Expression
1 df-ne 2941 . . . . 5 (๐ด โ‰  0 โ†” ยฌ ๐ด = 0)
2 oveq2 7416 . . . . . . . 8 ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž โ†’ ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž (๐ด ยทโ„Ž ๐ต)) = ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž 0โ„Ž))
32ad2antlr 725 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž (๐ด ยทโ„Ž ๐ต)) = ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž 0โ„Ž))
4 recid2 11886 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((1 / ๐ด) ยท ๐ด) = 1)
54oveq1d 7423 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (((1 / ๐ด) ยท ๐ด) ยทโ„Ž ๐ต) = (1 ยทโ„Ž ๐ต))
65adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (((1 / ๐ด) ยท ๐ด) ยทโ„Ž ๐ต) = (1 ยทโ„Ž ๐ต))
7 reccl 11878 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„‚)
87adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„‚)
9 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
10 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‹)
11 ax-hvmulass 30255 . . . . . . . . . 10 (((1 / ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (((1 / ๐ด) ยท ๐ด) ยทโ„Ž ๐ต) = ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž (๐ด ยทโ„Ž ๐ต)))
128, 9, 10, 11syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (((1 / ๐ด) ยท ๐ด) ยทโ„Ž ๐ต) = ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž (๐ด ยทโ„Ž ๐ต)))
13 ax-hvmulid 30254 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ (1 ยทโ„Ž ๐ต) = ๐ต)
1413ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 ยทโ„Ž ๐ต) = ๐ต)
156, 12, 143eqtr3d 2780 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž (๐ด ยทโ„Ž ๐ต)) = ๐ต)
1615adantlr 713 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž (๐ด ยทโ„Ž ๐ต)) = ๐ต)
17 hvmul0 30272 . . . . . . . . . 10 ((1 / ๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž 0โ„Ž) = 0โ„Ž)
187, 17syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž 0โ„Ž) = 0โ„Ž)
1918adantlr 713 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž 0โ„Ž) = 0โ„Ž)
2019adantlr 713 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž 0โ„Ž) = 0โ„Ž)
213, 16, 203eqtr3d 2780 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ๐ต = 0โ„Ž)
2221ex 413 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž) โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†’ ๐ต = 0โ„Ž))
231, 22biimtrrid 242 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž) โ†’ (ยฌ ๐ด = 0 โ†’ ๐ต = 0โ„Ž))
2423orrd 861 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž) โ†’ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0โ„Ž))
2524ex 413 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž โ†’ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0โ„Ž)))
26 ax-hvmul0 30258 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ (0 ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž)
27 oveq1 7415 . . . . . 6 (๐ด = 0 โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = (0 ยทโ„Ž ๐ต))
2827eqeq1d 2734 . . . . 5 (๐ด = 0 โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž โ†” (0 ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž))
2926, 28syl5ibrcom 246 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ด = 0 โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž))
3029adantl 482 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด = 0 โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž))
31 hvmul0 30272 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยทโ„Ž 0โ„Ž) = 0โ„Ž)
32 oveq2 7416 . . . . . 6 (๐ต = 0โ„Ž โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = (๐ด ยทโ„Ž 0โ„Ž))
3332eqeq1d 2734 . . . . 5 (๐ต = 0โ„Ž โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž โ†” (๐ด ยทโ„Ž 0โ„Ž) = 0โ„Ž))
3431, 33syl5ibrcom 246 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ต = 0โ„Ž โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž))
3534adantr 481 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ต = 0โ„Ž โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž))
3630, 35jaod 857 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0โ„Ž) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž))
3725, 36impbid 211 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž โ†” (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0โ„Ž)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   ยท cmul 11114   / cdiv 11870   โ„‹chba 30167   ยทโ„Ž csm 30169  0โ„Žc0v 30172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-hv0cl 30251  ax-hvmulid 30254  ax-hvmulass 30255  ax-hvmul0 30258
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871
This theorem is referenced by:  hvmulcan  30320  hvmulcan2  30321  nmlnop0iALT  31243
  Copyright terms: Public domain W3C validator