Theorem hvmul0or 28808

Description: If a scalar product is zero, one of its factors must be zero. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmul0or	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0ℎ)))

Proof of Theorem hvmul0or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2988	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
2		oveq2 7143	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ → ((1 / 𝐴) ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((1 / 𝐴) ·ℎ 0ℎ))
3	2	ad2antlr 726	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((1 / 𝐴) ·ℎ 0ℎ))
4		recid2 11302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1)
5	4	oveq1d 7150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) ·ℎ 𝐵) = (1 ·ℎ 𝐵))
6	5	adantlr 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) ·ℎ 𝐵) = (1 ·ℎ 𝐵))
7		reccl 11294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
8	7	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
9		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
10		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℋ)
11		ax-hvmulass 28790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) ·ℎ 𝐵) = ((1 / 𝐴) ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐵)))
12	8, 9, 10, 11	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) ·ℎ 𝐵) = ((1 / 𝐴) ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐵)))
13		ax-hvmulid 28789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (1 ·ℎ 𝐵) = 𝐵)
14	13	ad2antlr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 ·ℎ 𝐵) = 𝐵)
15	6, 12, 14	3eqtr3d 2841	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐵)) = 𝐵)
16	15	adantlr 714	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐵)) = 𝐵)
17		hvmul0 28807	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 𝐴) ∈ ℂ → ((1 / 𝐴) ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
18	7, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
19	18	adantlr 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
20	19	adantlr 714	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
21	3, 16, 20	3eqtr3d 2841	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐵 = 0ℎ)
22	21	ex 416	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ) → (𝐴 ≠ 0 → 𝐵 = 0ℎ))
23	1, 22	syl5bir 246	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ) → (¬ 𝐴 = 0 → 𝐵 = 0ℎ))
24	23	orrd 860	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ) → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0ℎ))
25	24	ex 416	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0ℎ)))
26		ax-hvmul0 28793	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (0 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ)
27		oveq1 7142	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ·ℎ 𝐵) = (0 ·ℎ 𝐵))
28	27	eqeq1d 2800	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ (0 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ))
29	26, 28	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐴 = 0 → (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ))
30	29	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 = 0 → (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ))
31		hvmul0 28807	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
32		oveq2 7143	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0ℎ → (𝐴 ·ℎ 𝐵) = (𝐴 ·ℎ 0ℎ))
33	32	eqeq1d 2800	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 0ℎ → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ (𝐴 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ))
34	31, 33	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐵 = 0ℎ → (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ))
35	34	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐵 = 0ℎ → (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ))
36	30, 35	jaod 856	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0ℎ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ))
37	25, 36	impbid 215	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0ℎ)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   · cmul 10531   / cdiv 11286   ℋchba 28702   ·_ℎ csm 28704  0_ℎc0v 28707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-hv0cl 28786  ax-hvmulid 28789  ax-hvmulass 28790  ax-hvmul0 28793

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287

This theorem is referenced by:  hvmulcan  28855  hvmulcan2  28856  nmlnop0iALT  29778