HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvmul0or Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvmul0or 31054
Description: If a scalar product is zero, one of its factors must be zero. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvmul0or ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))

Proof of Theorem hvmul0or
StepHypRef Expression
1 df-ne 2939 . . . . 5 (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
2 oveq2 7439 . . . . . . . 8 ((𝐴 · 𝐵) = 0 → ((1 / 𝐴) · (𝐴 · 𝐵)) = ((1 / 𝐴) · 0))
32ad2antlr 727 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) · (𝐴 · 𝐵)) = ((1 / 𝐴) · 0))
4 recid2 11935 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1)
54oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
65adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
7 reccl 11927 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
87adantlr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
9 simpll 767 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
10 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℋ)
11 ax-hvmulass 31036 . . . . . . . . . 10 (((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) · 𝐵) = ((1 / 𝐴) · (𝐴 · 𝐵)))
128, 9, 10, 11syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) · 𝐵) = ((1 / 𝐴) · (𝐴 · 𝐵)))
13 ax-hvmulid 31035 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℋ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
1413ad2antlr 727 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
156, 12, 143eqtr3d 2783 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) · (𝐴 · 𝐵)) = 𝐵)
1615adantlr 715 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) · (𝐴 · 𝐵)) = 𝐵)
17 hvmul0 31053 . . . . . . . . . 10 ((1 / 𝐴) ∈ ℂ → ((1 / 𝐴) · 0) = 0)
187, 17syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) · 0) = 0)
1918adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) · 0) = 0)
2019adantlr 715 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) · 0) = 0)
213, 16, 203eqtr3d 2783 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐵 = 0)
2221ex 412 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) → (𝐴 ≠ 0 → 𝐵 = 0))
231, 22biimtrrid 243 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) → (¬ 𝐴 = 0 → 𝐵 = 0))
2423orrd 863 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))
2524ex 412 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))
26 ax-hvmul0 31039 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℋ → (0 · 𝐵) = 0)
27 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
2827eqeq1d 2737 . . . . 5 (𝐴 = 0 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (0 · 𝐵) = 0))
2926, 28syl5ibrcom 247 . . . 4 (𝐵 ∈ ℋ → (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = 0))
3029adantl 481 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = 0))
31 hvmul0 31053 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
32 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 0))
3332eqeq1d 2737 . . . . 5 (𝐵 = 0 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 · 0) = 0))
3431, 33syl5ibrcom 247 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = 0))
3534adantr 480 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = 0))
3630, 35jaod 859 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0) → (𝐴 · 𝐵) = 0))
3725, 36impbid 212 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158   / cdiv 11918  chba 30948   · csm 30950  0c0v 30953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-hv0cl 31032  ax-hvmulid 31035  ax-hvmulass 31036  ax-hvmul0 31039
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919
This theorem is referenced by:  hvmulcan  31101  hvmulcan2  31102  nmlnop0iALT  32024
  Copyright terms: Public domain W3C validator