Theorem hvmul0or 31112

Description: If a scalar product is zero, one of its factors must be zero. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmul0or	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0ℎ)))

Proof of Theorem hvmul0or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2934	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
2		oveq2 7376	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ → ((1 / 𝐴) ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((1 / 𝐴) ·ℎ 0ℎ))
3	2	ad2antlr 728	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((1 / 𝐴) ·ℎ 0ℎ))
4		recid2 11823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1)
5	4	oveq1d 7383	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) ·ℎ 𝐵) = (1 ·ℎ 𝐵))
6	5	adantlr 716	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) ·ℎ 𝐵) = (1 ·ℎ 𝐵))
7		reccl 11815	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
8	7	adantlr 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
9		simpll 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
10		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℋ)
11		ax-hvmulass 31094	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) ·ℎ 𝐵) = ((1 / 𝐴) ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐵)))
12	8, 9, 10, 11	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) ·ℎ 𝐵) = ((1 / 𝐴) ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐵)))
13		ax-hvmulid 31093	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (1 ·ℎ 𝐵) = 𝐵)
14	13	ad2antlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 ·ℎ 𝐵) = 𝐵)
15	6, 12, 14	3eqtr3d 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐵)) = 𝐵)
16	15	adantlr 716	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐵)) = 𝐵)
17		hvmul0 31111	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 𝐴) ∈ ℂ → ((1 / 𝐴) ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
18	7, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
19	18	adantlr 716	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
20	19	adantlr 716	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
21	3, 16, 20	3eqtr3d 2780	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐵 = 0ℎ)
22	21	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ) → (𝐴 ≠ 0 → 𝐵 = 0ℎ))
23	1, 22	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ) → (¬ 𝐴 = 0 → 𝐵 = 0ℎ))
24	23	orrd 864	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ) → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0ℎ))
25	24	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0ℎ)))
26		ax-hvmul0 31097	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (0 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ)
27		oveq1 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ·ℎ 𝐵) = (0 ·ℎ 𝐵))
28	27	eqeq1d 2739	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ (0 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ))
29	26, 28	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐴 = 0 → (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ))
30	29	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 = 0 → (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ))
31		hvmul0 31111	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
32		oveq2 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0ℎ → (𝐴 ·ℎ 𝐵) = (𝐴 ·ℎ 0ℎ))
33	32	eqeq1d 2739	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 0ℎ → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ (𝐴 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ))
34	31, 33	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐵 = 0ℎ → (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ))
35	34	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐵 = 0ℎ → (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ))
36	30, 35	jaod 860	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0ℎ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ))
37	25, 36	impbid 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0ℎ)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043   / cdiv 11806   ℋchba 31006   ·_ℎ csm 31008  0_ℎc0v 31011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-hv0cl 31090  ax-hvmulid 31093  ax-hvmulass 31094  ax-hvmul0 31097

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807

This theorem is referenced by:  hvmulcan  31159  hvmulcan2  31160  nmlnop0iALT  32082