HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvmul0or Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvmul0or 30009
Description: If a scalar product is zero, one of its factors must be zero. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvmul0or ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž โ†” (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0โ„Ž)))

Proof of Theorem hvmul0or
StepHypRef Expression
1 df-ne 2941 . . . . 5 (๐ด โ‰  0 โ†” ยฌ ๐ด = 0)
2 oveq2 7366 . . . . . . . 8 ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž โ†’ ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž (๐ด ยทโ„Ž ๐ต)) = ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž 0โ„Ž))
32ad2antlr 726 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž (๐ด ยทโ„Ž ๐ต)) = ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž 0โ„Ž))
4 recid2 11833 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((1 / ๐ด) ยท ๐ด) = 1)
54oveq1d 7373 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (((1 / ๐ด) ยท ๐ด) ยทโ„Ž ๐ต) = (1 ยทโ„Ž ๐ต))
65adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (((1 / ๐ด) ยท ๐ด) ยทโ„Ž ๐ต) = (1 ยทโ„Ž ๐ต))
7 reccl 11825 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„‚)
87adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„‚)
9 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
10 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‹)
11 ax-hvmulass 29991 . . . . . . . . . 10 (((1 / ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (((1 / ๐ด) ยท ๐ด) ยทโ„Ž ๐ต) = ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž (๐ด ยทโ„Ž ๐ต)))
128, 9, 10, 11syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (((1 / ๐ด) ยท ๐ด) ยทโ„Ž ๐ต) = ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž (๐ด ยทโ„Ž ๐ต)))
13 ax-hvmulid 29990 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ (1 ยทโ„Ž ๐ต) = ๐ต)
1413ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 ยทโ„Ž ๐ต) = ๐ต)
156, 12, 143eqtr3d 2781 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž (๐ด ยทโ„Ž ๐ต)) = ๐ต)
1615adantlr 714 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž (๐ด ยทโ„Ž ๐ต)) = ๐ต)
17 hvmul0 30008 . . . . . . . . . 10 ((1 / ๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž 0โ„Ž) = 0โ„Ž)
187, 17syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž 0โ„Ž) = 0โ„Ž)
1918adantlr 714 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž 0โ„Ž) = 0โ„Ž)
2019adantlr 714 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž 0โ„Ž) = 0โ„Ž)
213, 16, 203eqtr3d 2781 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ๐ต = 0โ„Ž)
2221ex 414 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž) โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†’ ๐ต = 0โ„Ž))
231, 22biimtrrid 242 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž) โ†’ (ยฌ ๐ด = 0 โ†’ ๐ต = 0โ„Ž))
2423orrd 862 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž) โ†’ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0โ„Ž))
2524ex 414 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž โ†’ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0โ„Ž)))
26 ax-hvmul0 29994 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ (0 ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž)
27 oveq1 7365 . . . . . 6 (๐ด = 0 โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = (0 ยทโ„Ž ๐ต))
2827eqeq1d 2735 . . . . 5 (๐ด = 0 โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž โ†” (0 ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž))
2926, 28syl5ibrcom 247 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ด = 0 โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž))
3029adantl 483 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด = 0 โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž))
31 hvmul0 30008 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยทโ„Ž 0โ„Ž) = 0โ„Ž)
32 oveq2 7366 . . . . . 6 (๐ต = 0โ„Ž โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = (๐ด ยทโ„Ž 0โ„Ž))
3332eqeq1d 2735 . . . . 5 (๐ต = 0โ„Ž โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž โ†” (๐ด ยทโ„Ž 0โ„Ž) = 0โ„Ž))
3431, 33syl5ibrcom 247 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ต = 0โ„Ž โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž))
3534adantr 482 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ต = 0โ„Ž โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž))
3630, 35jaod 858 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0โ„Ž) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž))
3725, 36impbid 211 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž โ†” (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0โ„Ž)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  0cc0 11056  1c1 11057   ยท cmul 11061   / cdiv 11817   โ„‹chba 29903   ยทโ„Ž csm 29905  0โ„Žc0v 29908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-hv0cl 29987  ax-hvmulid 29990  ax-hvmulass 29991  ax-hvmul0 29994
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818
This theorem is referenced by:  hvmulcan  30056  hvmulcan2  30057  nmlnop0iALT  30979
  Copyright terms: Public domain W3C validator