HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvmul0or Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvmul0or 28735
Description: If a scalar product is zero, one of its factors must be zero. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvmul0or ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))

Proof of Theorem hvmul0or
StepHypRef Expression
1 df-ne 3022 . . . . 5 (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
2 oveq2 7158 . . . . . . . 8 ((𝐴 · 𝐵) = 0 → ((1 / 𝐴) · (𝐴 · 𝐵)) = ((1 / 𝐴) · 0))
32ad2antlr 723 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) · (𝐴 · 𝐵)) = ((1 / 𝐴) · 0))
4 recid2 11307 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1)
54oveq1d 7165 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
65adantlr 711 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
7 reccl 11299 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
87adantlr 711 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
9 simpll 763 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
10 simplr 765 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℋ)
11 ax-hvmulass 28717 . . . . . . . . . 10 (((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) · 𝐵) = ((1 / 𝐴) · (𝐴 · 𝐵)))
128, 9, 10, 11syl3anc 1365 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) · 𝐵) = ((1 / 𝐴) · (𝐴 · 𝐵)))
13 ax-hvmulid 28716 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℋ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
1413ad2antlr 723 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
156, 12, 143eqtr3d 2869 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) · (𝐴 · 𝐵)) = 𝐵)
1615adantlr 711 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) · (𝐴 · 𝐵)) = 𝐵)
17 hvmul0 28734 . . . . . . . . . 10 ((1 / 𝐴) ∈ ℂ → ((1 / 𝐴) · 0) = 0)
187, 17syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) · 0) = 0)
1918adantlr 711 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) · 0) = 0)
2019adantlr 711 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) · 0) = 0)
213, 16, 203eqtr3d 2869 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐵 = 0)
2221ex 413 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) → (𝐴 ≠ 0 → 𝐵 = 0))
231, 22syl5bir 244 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) → (¬ 𝐴 = 0 → 𝐵 = 0))
2423orrd 859 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))
2524ex 413 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))
26 ax-hvmul0 28720 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℋ → (0 · 𝐵) = 0)
27 oveq1 7157 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
2827eqeq1d 2828 . . . . 5 (𝐴 = 0 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (0 · 𝐵) = 0))
2926, 28syl5ibrcom 248 . . . 4 (𝐵 ∈ ℋ → (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = 0))
3029adantl 482 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = 0))
31 hvmul0 28734 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
32 oveq2 7158 . . . . . 6 (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 0))
3332eqeq1d 2828 . . . . 5 (𝐵 = 0 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 · 0) = 0))
3431, 33syl5ibrcom 248 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = 0))
3534adantr 481 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = 0))
3630, 35jaod 855 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0) → (𝐴 · 𝐵) = 0))
3725, 36impbid 213 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 843   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  (class class class)co 7150  cc 10529  0cc0 10531  1c1 10532   · cmul 10536   / cdiv 11291  chba 28629   · csm 28631  0c0v 28634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-hv0cl 28713  ax-hvmulid 28716  ax-hvmulass 28717  ax-hvmul0 28720
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292
This theorem is referenced by:  hvmulcan  28782  hvmulcan2  28783  nmlnop0iALT  29705
  Copyright terms: Public domain W3C validator