Theorem hvmul0or 31406

Description: If a scalar product is zero, one of its factors must be zero. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmul0or	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0ℎ)))

Proof of Theorem hvmul0or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2961	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
2		oveq2 7424	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ → ((1 / 𝐴) ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((1 / 𝐴) ·ℎ 0ℎ))
3	2	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((1 / 𝐴) ·ℎ 0ℎ))
4		recid2 11898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1)
5	4	oveq1d 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) ·ℎ 𝐵) = (1 ·ℎ 𝐵))
6	5	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) ·ℎ 𝐵) = (1 ·ℎ 𝐵))
7		reccl 11890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
8	7	adantlr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
9		simpll 779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
10		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℋ)
11		ax-hvmulass 31388	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) ·ℎ 𝐵) = ((1 / 𝐴) ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐵)))
12	8, 9, 10, 11	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) ·ℎ 𝐵) = ((1 / 𝐴) ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐵)))
13		ax-hvmulid 31387	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (1 ·ℎ 𝐵) = 𝐵)
14	13	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 ·ℎ 𝐵) = 𝐵)
15	6, 12, 14	3eqtr3d 2808	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐵)) = 𝐵)
16	15	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐵)) = 𝐵)
17		hvmul0 31405	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 𝐴) ∈ ℂ → ((1 / 𝐴) ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
18	7, 17	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
19	18	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
20	19	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
21	3, 16, 20	3eqtr3d 2808	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐵 = 0ℎ)
22	21	ex 418	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ) → (𝐴 ≠ 0 → 𝐵 = 0ℎ))
23	1, 22	biimtrrid 246	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ) → (¬ 𝐴 = 0 → 𝐵 = 0ℎ))
24	23	orrd 877	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ) → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0ℎ))
25	24	ex 418	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0ℎ)))
26		ax-hvmul0 31391	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (0 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ)
27		oveq1 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ·ℎ 𝐵) = (0 ·ℎ 𝐵))
28	27	eqeq1d 2767	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ (0 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ))
29	26, 28	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐴 = 0 → (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ))
30	29	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 = 0 → (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ))
31		hvmul0 31405	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
32		oveq2 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0ℎ → (𝐴 ·ℎ 𝐵) = (𝐴 ·ℎ 0ℎ))
33	32	eqeq1d 2767	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 0ℎ → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ (𝐴 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ))
34	31, 33	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐵 = 0ℎ → (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ))
35	34	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐵 = 0ℎ → (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ))
36	30, 35	jaod 873	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0ℎ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ))
37	25, 36	impbid 215	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0ℎ)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  0cc0 11111  1c1 11112   · cmul 11116   / cdiv 11882   ℋchba 31300   ·_ℎ csm 31302  0_ℎc0v 31305

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-hv0cl 31384  ax-hvmulid 31387  ax-hvmulass 31388  ax-hvmul0 31391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883

This theorem is used by:  hvmulcan  31453  hvmulcan2  31454  nmlnop0iALT  32376