HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvmul0or Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvmul0or 28398
Description: If a scalar product is zero, one of its factors must be zero. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvmul0or ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))

Proof of Theorem hvmul0or
StepHypRef Expression
1 df-ne 2970 . . . . 5 (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
2 oveq2 6884 . . . . . . . 8 ((𝐴 · 𝐵) = 0 → ((1 / 𝐴) · (𝐴 · 𝐵)) = ((1 / 𝐴) · 0))
32ad2antlr 719 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) · (𝐴 · 𝐵)) = ((1 / 𝐴) · 0))
4 recid2 10990 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1)
54oveq1d 6891 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
65adantlr 707 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
7 reccl 10982 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
87adantlr 707 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
9 simpll 784 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
10 simplr 786 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℋ)
11 ax-hvmulass 28380 . . . . . . . . . 10 (((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) · 𝐵) = ((1 / 𝐴) · (𝐴 · 𝐵)))
128, 9, 10, 11syl3anc 1491 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) · 𝐵) = ((1 / 𝐴) · (𝐴 · 𝐵)))
13 ax-hvmulid 28379 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℋ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
1413ad2antlr 719 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
156, 12, 143eqtr3d 2839 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) · (𝐴 · 𝐵)) = 𝐵)
1615adantlr 707 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) · (𝐴 · 𝐵)) = 𝐵)
17 hvmul0 28397 . . . . . . . . . 10 ((1 / 𝐴) ∈ ℂ → ((1 / 𝐴) · 0) = 0)
187, 17syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) · 0) = 0)
1918adantlr 707 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) · 0) = 0)
2019adantlr 707 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) · 0) = 0)
213, 16, 203eqtr3d 2839 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐵 = 0)
2221ex 402 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) → (𝐴 ≠ 0 → 𝐵 = 0))
231, 22syl5bir 235 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) → (¬ 𝐴 = 0 → 𝐵 = 0))
2423orrd 890 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))
2524ex 402 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))
26 ax-hvmul0 28383 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℋ → (0 · 𝐵) = 0)
27 oveq1 6883 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
2827eqeq1d 2799 . . . . 5 (𝐴 = 0 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (0 · 𝐵) = 0))
2926, 28syl5ibrcom 239 . . . 4 (𝐵 ∈ ℋ → (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = 0))
3029adantl 474 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = 0))
31 hvmul0 28397 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
32 oveq2 6884 . . . . . 6 (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 0))
3332eqeq1d 2799 . . . . 5 (𝐵 = 0 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 · 0) = 0))
3431, 33syl5ibrcom 239 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = 0))
3534adantr 473 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = 0))
3630, 35jaod 886 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0) → (𝐴 · 𝐵) = 0))
3725, 36impbid 204 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 385  wo 874   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2969  (class class class)co 6876  cc 10220  0cc0 10222  1c1 10223   · cmul 10227   / cdiv 10974  chba 28292   · csm 28294  0c0v 28297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2375  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299  ax-hv0cl 28376  ax-hvmulid 28379  ax-hvmulass 28380  ax-hvmul0 28383
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-op 4373  df-uni 4627  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-id 5218  df-po 5231  df-so 5232  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10975
This theorem is referenced by:  hvmulcan  28445  hvmulcan2  28446  nmlnop0iALT  29370
  Copyright terms: Public domain W3C validator