HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvmul0or Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvmul0or 30863
Description: If a scalar product is zero, one of its factors must be zero. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvmul0or ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž โ†” (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0โ„Ž)))

Proof of Theorem hvmul0or
StepHypRef Expression
1 df-ne 2938 . . . . 5 (๐ด โ‰  0 โ†” ยฌ ๐ด = 0)
2 oveq2 7434 . . . . . . . 8 ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž โ†’ ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž (๐ด ยทโ„Ž ๐ต)) = ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž 0โ„Ž))
32ad2antlr 725 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž (๐ด ยทโ„Ž ๐ต)) = ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž 0โ„Ž))
4 recid2 11927 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((1 / ๐ด) ยท ๐ด) = 1)
54oveq1d 7441 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (((1 / ๐ด) ยท ๐ด) ยทโ„Ž ๐ต) = (1 ยทโ„Ž ๐ต))
65adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (((1 / ๐ด) ยท ๐ด) ยทโ„Ž ๐ต) = (1 ยทโ„Ž ๐ต))
7 reccl 11919 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„‚)
87adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„‚)
9 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
10 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‹)
11 ax-hvmulass 30845 . . . . . . . . . 10 (((1 / ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (((1 / ๐ด) ยท ๐ด) ยทโ„Ž ๐ต) = ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž (๐ด ยทโ„Ž ๐ต)))
128, 9, 10, 11syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (((1 / ๐ด) ยท ๐ด) ยทโ„Ž ๐ต) = ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž (๐ด ยทโ„Ž ๐ต)))
13 ax-hvmulid 30844 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ (1 ยทโ„Ž ๐ต) = ๐ต)
1413ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 ยทโ„Ž ๐ต) = ๐ต)
156, 12, 143eqtr3d 2776 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž (๐ด ยทโ„Ž ๐ต)) = ๐ต)
1615adantlr 713 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž (๐ด ยทโ„Ž ๐ต)) = ๐ต)
17 hvmul0 30862 . . . . . . . . . 10 ((1 / ๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž 0โ„Ž) = 0โ„Ž)
187, 17syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž 0โ„Ž) = 0โ„Ž)
1918adantlr 713 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž 0โ„Ž) = 0โ„Ž)
2019adantlr 713 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((1 / ๐ด) ยทโ„Ž 0โ„Ž) = 0โ„Ž)
213, 16, 203eqtr3d 2776 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ๐ต = 0โ„Ž)
2221ex 411 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž) โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†’ ๐ต = 0โ„Ž))
231, 22biimtrrid 242 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž) โ†’ (ยฌ ๐ด = 0 โ†’ ๐ต = 0โ„Ž))
2423orrd 861 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž) โ†’ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0โ„Ž))
2524ex 411 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž โ†’ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0โ„Ž)))
26 ax-hvmul0 30848 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ (0 ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž)
27 oveq1 7433 . . . . . 6 (๐ด = 0 โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = (0 ยทโ„Ž ๐ต))
2827eqeq1d 2730 . . . . 5 (๐ด = 0 โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž โ†” (0 ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž))
2926, 28syl5ibrcom 246 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ด = 0 โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž))
3029adantl 480 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด = 0 โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž))
31 hvmul0 30862 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยทโ„Ž 0โ„Ž) = 0โ„Ž)
32 oveq2 7434 . . . . . 6 (๐ต = 0โ„Ž โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = (๐ด ยทโ„Ž 0โ„Ž))
3332eqeq1d 2730 . . . . 5 (๐ต = 0โ„Ž โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž โ†” (๐ด ยทโ„Ž 0โ„Ž) = 0โ„Ž))
3431, 33syl5ibrcom 246 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ต = 0โ„Ž โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž))
3534adantr 479 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ต = 0โ„Ž โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž))
3630, 35jaod 857 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0โ„Ž) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž))
3725, 36impbid 211 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž โ†” (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0โ„Ž)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11146  0cc0 11148  1c1 11149   ยท cmul 11153   / cdiv 11911   โ„‹chba 30757   ยทโ„Ž csm 30759  0โ„Žc0v 30762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-hv0cl 30841  ax-hvmulid 30844  ax-hvmulass 30845  ax-hvmul0 30848
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912
This theorem is referenced by:  hvmulcan  30910  hvmulcan2  30911  nmlnop0iALT  31833
  Copyright terms: Public domain W3C validator