Theorem hvmul0or 29288

Description: If a scalar product is zero, one of its factors must be zero. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmul0or	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0ℎ)))

Proof of Theorem hvmul0or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2943	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
2		oveq2 7263	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ → ((1 / 𝐴) ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((1 / 𝐴) ·ℎ 0ℎ))
3	2	ad2antlr 723	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((1 / 𝐴) ·ℎ 0ℎ))
4		recid2 11578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1)
5	4	oveq1d 7270	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) ·ℎ 𝐵) = (1 ·ℎ 𝐵))
6	5	adantlr 711	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) ·ℎ 𝐵) = (1 ·ℎ 𝐵))
7		reccl 11570	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
8	7	adantlr 711	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
9		simpll 763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
10		simplr 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℋ)
11		ax-hvmulass 29270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) ·ℎ 𝐵) = ((1 / 𝐴) ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐵)))
12	8, 9, 10, 11	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) ·ℎ 𝐵) = ((1 / 𝐴) ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐵)))
13		ax-hvmulid 29269	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (1 ·ℎ 𝐵) = 𝐵)
14	13	ad2antlr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 ·ℎ 𝐵) = 𝐵)
15	6, 12, 14	3eqtr3d 2786	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐵)) = 𝐵)
16	15	adantlr 711	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐵)) = 𝐵)
17		hvmul0 29287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 𝐴) ∈ ℂ → ((1 / 𝐴) ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
18	7, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
19	18	adantlr 711	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
20	19	adantlr 711	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
21	3, 16, 20	3eqtr3d 2786	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐵 = 0ℎ)
22	21	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ) → (𝐴 ≠ 0 → 𝐵 = 0ℎ))
23	1, 22	syl5bir 242	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ) → (¬ 𝐴 = 0 → 𝐵 = 0ℎ))
24	23	orrd 859	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ) → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0ℎ))
25	24	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0ℎ)))
26		ax-hvmul0 29273	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (0 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ)
27		oveq1 7262	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ·ℎ 𝐵) = (0 ·ℎ 𝐵))
28	27	eqeq1d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ (0 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ))
29	26, 28	syl5ibrcom 246	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐴 = 0 → (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ))
30	29	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 = 0 → (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ))
31		hvmul0 29287	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
32		oveq2 7263	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0ℎ → (𝐴 ·ℎ 𝐵) = (𝐴 ·ℎ 0ℎ))
33	32	eqeq1d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 0ℎ → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ (𝐴 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ))
34	31, 33	syl5ibrcom 246	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐵 = 0ℎ → (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ))
35	34	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐵 = 0ℎ → (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ))
36	30, 35	jaod 855	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0ℎ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ))
37	25, 36	impbid 211	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0ℎ)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802  1c1 10803   · cmul 10807   / cdiv 11562   ℋchba 29182   ·_ℎ csm 29184  0_ℎc0v 29187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-hv0cl 29266  ax-hvmulid 29269  ax-hvmulass 29270  ax-hvmul0 29273

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563

This theorem is referenced by:  hvmulcan  29335  hvmulcan2  29336  nmlnop0iALT  30258