Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ioondisj1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioondisj1 43739
Description: A condition for two open intervals not to be disjoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
ioondisj1 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) ≠ ∅)

Proof of Theorem ioondisj1
StepHypRef Expression
1 simpll1 1213 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 simpll2 1214 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 simplr1 1216 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
4 simplr2 1217 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℝ*)
5 iooin 13299 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = (if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷)))
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 838 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = (if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷)))
7 simprl 770 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐴𝐶)
87iftrued 4495 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴) = 𝐶)
98oveq1d 7373 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → (if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷)) = (𝐶(,)if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷)))
10 simprr 772 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐶 < 𝐵)
11 simplr3 1218 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐶 < 𝐷)
1210, 11jca 513 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → (𝐶 < 𝐵𝐶 < 𝐷))
13 xrltmin 13102 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → (𝐶 < if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷) ↔ (𝐶 < 𝐵𝐶 < 𝐷)))
143, 2, 4, 13syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → (𝐶 < if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷) ↔ (𝐶 < 𝐵𝐶 < 𝐷)))
1512, 14mpbird 257 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐶 < if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷))
162, 4ifcld 4533 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷) ∈ ℝ*)
17 ioon0 13291 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷) ∈ ℝ*) → ((𝐶(,)if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷)) ≠ ∅ ↔ 𝐶 < if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷)))
183, 16, 17syl2anc 585 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → ((𝐶(,)if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷)) ≠ ∅ ↔ 𝐶 < if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷)))
1915, 18mpbird 257 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → (𝐶(,)if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷)) ≠ ∅)
209, 19eqnetrd 3012 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → (if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷)) ≠ ∅)
216, 20eqnetrd 3012 1 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  cin 3910  c0 4283  ifcif 4487   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  *cxr 11189   < clt 11190  cle 11191  (,)cioo 13265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-q 12875  df-ioo 13269
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator