Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ioondisj1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioondisj1 41973
 Description: A condition for two open intervals not to be disjoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
ioondisj1 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) ≠ ∅)

Proof of Theorem ioondisj1
StepHypRef Expression
1 simpll1 1209 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 simpll2 1210 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 simplr1 1212 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
4 simplr2 1213 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℝ*)
5 iooin 12758 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = (if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷)))
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 837 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = (if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷)))
7 simprl 770 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐴𝐶)
87iftrued 4456 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴) = 𝐶)
98oveq1d 7153 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → (if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷)) = (𝐶(,)if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷)))
10 simprr 772 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐶 < 𝐵)
11 simplr3 1214 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐶 < 𝐷)
1210, 11jca 515 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → (𝐶 < 𝐵𝐶 < 𝐷))
13 xrltmin 12561 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → (𝐶 < if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷) ↔ (𝐶 < 𝐵𝐶 < 𝐷)))
143, 2, 4, 13syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → (𝐶 < if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷) ↔ (𝐶 < 𝐵𝐶 < 𝐷)))
1512, 14mpbird 260 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐶 < if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷))
162, 4ifcld 4493 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷) ∈ ℝ*)
17 ioon0 12750 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷) ∈ ℝ*) → ((𝐶(,)if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷)) ≠ ∅ ↔ 𝐶 < if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷)))
183, 16, 17syl2anc 587 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → ((𝐶(,)if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷)) ≠ ∅ ↔ 𝐶 < if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷)))
1915, 18mpbird 260 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → (𝐶(,)if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷)) ≠ ∅)
209, 19eqnetrd 3080 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → (if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷)) ≠ ∅)
216, 20eqnetrd 3080 1 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) ≠ ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3013   ∩ cin 3917  ∅c0 4274  ifcif 4448   class class class wbr 5047  (class class class)co 7138  ℝ*cxr 10659   < clt 10660   ≤ cle 10661  (,)cioo 12724 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-pre-sup 10600 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-q 12335  df-ioo 12728 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator