MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lhop2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhop2 25379
Description: L'Hôpital's Rule for limits from the left. If 𝐹 and 𝐺 are differentiable real functions on (𝐴, 𝐵), and 𝐹 and 𝐺 both approach 0 at 𝐵, and 𝐺(𝑥) and 𝐺' (𝑥) are not zero on (𝐴, 𝐵), and the limit of 𝐹' (𝑥) / 𝐺' (𝑥) at 𝐵 is 𝐶, then the limit 𝐹(𝑥) / 𝐺(𝑥) at 𝐵 also exists and equals 𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lhop2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
lhop2.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
lhop2.l (𝜑𝐴 < 𝐵)
lhop2.f (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
lhop2.g (𝜑𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
lhop2.if (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
lhop2.ig (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))
lhop2.f0 (𝜑 → 0 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
lhop2.g0 (𝜑 → 0 ∈ (𝐺 lim 𝐵))
lhop2.gn0 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran 𝐺)
lhop2.gd0 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺))
lhop2.c (𝜑𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) lim 𝐵))
Assertion
Ref Expression
lhop2 (𝜑𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) lim 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐶   𝜑,𝑧   𝑧,𝐹   𝑧,𝐺

Proof of Theorem lhop2
Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qssre 12884 . . 3 ℚ ⊆ ℝ
2 lhop2.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
3 lhop2.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
43rexrd 11205 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
5 lhop2.l . . . 4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
6 qbtwnxr 13119 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ∃𝑎 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))
72, 4, 5, 6syl3anc 1371 . . 3 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))
8 ssrexv 4011 . . 3 (ℚ ⊆ ℝ → (∃𝑎 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵) → ∃𝑎 ∈ ℝ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵)))
91, 7, 8mpsyl 68 . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))
10 simpr 485 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵))
11 simprl 769 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝑎 ∈ ℝ)
1211adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵)) → 𝑎 ∈ ℝ)
133ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
14 elioore 13294 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
1514adantl 482 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
16 iooneg 13388 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵) ↔ -𝑧 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)))
1712, 13, 15, 16syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵)) → (𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵) ↔ -𝑧 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)))
1810, 17mpbid 231 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵)) → -𝑧 ∈ (-𝐵(,)-𝑎))
1918adantrr 715 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵) ∧ -𝑧 ≠ -𝐵)) → -𝑧 ∈ (-𝐵(,)-𝑎))
20 lhop2.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
2120ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
22 elioore 13294 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) → 𝑥 ∈ ℝ)
2322adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → 𝑥 ∈ ℝ)
2423recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → 𝑥 ∈ ℂ)
2524negnegd 11503 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → --𝑥 = 𝑥)
26 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎))
2725, 26eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → --𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎))
2811adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → 𝑎 ∈ ℝ)
293ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3023renegcld 11582 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → -𝑥 ∈ ℝ)
31 iooneg 13388 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝑥 ∈ ℝ) → (-𝑥 ∈ (𝑎(,)𝐵) ↔ --𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)))
3228, 29, 30, 31syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (-𝑥 ∈ (𝑎(,)𝐵) ↔ --𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)))
3327, 32mpbird 256 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → -𝑥 ∈ (𝑎(,)𝐵))
342adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3511rexrd 11205 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝑎 ∈ ℝ*)
36 simprrl 779 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐴 < 𝑎)
3734, 35, 36xrltled 13069 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐴𝑎)
38 iooss1 13299 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝑎) → (𝑎(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
3934, 37, 38syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝑎(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
4039sselda 3944 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ -𝑥 ∈ (𝑎(,)𝐵)) → -𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
4133, 40syldan 591 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → -𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
4221, 41ffvelcdmd 7036 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (𝐹‘-𝑥) ∈ ℝ)
4342recnd 11183 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (𝐹‘-𝑥) ∈ ℂ)
44 lhop2.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
4544ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
4645, 41ffvelcdmd 7036 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (𝐺‘-𝑥) ∈ ℝ)
4746recnd 11183 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (𝐺‘-𝑥) ∈ ℂ)
48 lhop2.gn0 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran 𝐺)
4948ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → ¬ 0 ∈ ran 𝐺)
5044adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
51 ax-resscn 11108 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℂ
52 fss 6685 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
5350, 51, 52sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
5453adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
5554ffnd 6669 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → 𝐺 Fn (𝐴(,)𝐵))
56 fnfvelrn 7031 . . . . . . . . 9 ((𝐺 Fn (𝐴(,)𝐵) ∧ -𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺‘-𝑥) ∈ ran 𝐺)
5755, 41, 56syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (𝐺‘-𝑥) ∈ ran 𝐺)
58 eleq1 2825 . . . . . . . 8 ((𝐺‘-𝑥) = 0 → ((𝐺‘-𝑥) ∈ ran 𝐺 ↔ 0 ∈ ran 𝐺))
5957, 58syl5ibcom 244 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → ((𝐺‘-𝑥) = 0 → 0 ∈ ran 𝐺))
6059necon3bd 2957 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (¬ 0 ∈ ran 𝐺 → (𝐺‘-𝑥) ≠ 0))
6149, 60mpd 15 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (𝐺‘-𝑥) ≠ 0)
6243, 47, 61divcld 11931 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → ((𝐹‘-𝑥) / (𝐺‘-𝑥)) ∈ ℂ)
63 limcresi 25249 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℝ ↦ -𝑧) lim 𝐵) ⊆ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ -𝑧) ↾ (𝑎(,)𝐵)) lim 𝐵)
64 ioossre 13325 . . . . . . . 8 (𝑎(,)𝐵) ⊆ ℝ
65 resmpt 5991 . . . . . . . 8 ((𝑎(,)𝐵) ⊆ ℝ → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ -𝑧) ↾ (𝑎(,)𝐵)) = (𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵) ↦ -𝑧))
6664, 65ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℝ ↦ -𝑧) ↾ (𝑎(,)𝐵)) = (𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵) ↦ -𝑧)
6766oveq1i 7367 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ ℝ ↦ -𝑧) ↾ (𝑎(,)𝐵)) lim 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵) ↦ -𝑧) lim 𝐵)
6863, 67sseqtri 3980 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ ↦ -𝑧) lim 𝐵) ⊆ ((𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵) ↦ -𝑧) lim 𝐵)
69 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℝ ↦ -𝑧) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ -𝑧)
7069negcncf 24285 . . . . . . 7 (ℝ ⊆ ℂ → (𝑧 ∈ ℝ ↦ -𝑧) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
7151, 70mp1i 13 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ -𝑧) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
723adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
73 negeq 11393 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐵 → -𝑧 = -𝐵)
7471, 72, 73cnmptlimc 25254 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → -𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ -𝑧) lim 𝐵))
7568, 74sselid 3942 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → -𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵) ↦ -𝑧) lim 𝐵))
7672renegcld 11582 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → -𝐵 ∈ ℝ)
7711renegcld 11582 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → -𝑎 ∈ ℝ)
7877rexrd 11205 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → -𝑎 ∈ ℝ*)
79 simprrr 780 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝑎 < 𝐵)
8011, 72ltnegd 11733 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝑎 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝑎))
8179, 80mpbid 231 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → -𝐵 < -𝑎)
8242fmpttd 7063 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥)):(-𝐵(,)-𝑎)⟶ℝ)
8346fmpttd 7063 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)):(-𝐵(,)-𝑎)⟶ℝ)
84 reelprrecn 11143 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
8584a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
86 neg1cn 12267 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ ℂ
8786a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → -1 ∈ ℂ)
8820adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
8988ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
9089recnd 11183 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
91 fvexd 6857 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ V)
92 1cnd 11150 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → 1 ∈ ℂ)
93 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
9493recnd 11183 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
95 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
9685dvmptid 25321 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 1))
97 ioossre 13325 . . . . . . . . . . . . 13 (-𝐵(,)-𝑎) ⊆ ℝ
9897a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (-𝐵(,)-𝑎) ⊆ ℝ)
99 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
10099tgioo2 24166 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
101 iooretop 24129 . . . . . . . . . . . . 13 (-𝐵(,)-𝑎) ∈ (topGen‘ran (,))
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (-𝐵(,)-𝑎) ∈ (topGen‘ran (,)))
10385, 94, 95, 96, 98, 100, 99, 102dvmptres 25327 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ 1))
10485, 24, 92, 103dvmptneg 25330 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -𝑥)) = (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -1))
10588feqmptd 6910 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐹 = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑦)))
106105oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (ℝ D 𝐹) = (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑦))))
107 dvf 25271 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
108 lhop2.if . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
109108adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
110109feq2d 6654 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
111107, 110mpbii 232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
112111feqmptd 6910 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (ℝ D 𝐹) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
113106, 112eqtr3d 2778 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
114 fveq2 6842 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = -𝑥 → (𝐹𝑦) = (𝐹‘-𝑥))
115 fveq2 6842 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = -𝑥 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘-𝑥))
11685, 85, 41, 87, 90, 91, 104, 113, 114, 115dvmptco 25336 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥))) = (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘-𝑥) · -1)))
117111adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
118117, 41ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → ((ℝ D 𝐹)‘-𝑥) ∈ ℂ)
119118, 87mulcomd 11176 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (((ℝ D 𝐹)‘-𝑥) · -1) = (-1 · ((ℝ D 𝐹)‘-𝑥)))
120118mulm1d 11607 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (-1 · ((ℝ D 𝐹)‘-𝑥)) = -((ℝ D 𝐹)‘-𝑥))
121119, 120eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (((ℝ D 𝐹)‘-𝑥) · -1) = -((ℝ D 𝐹)‘-𝑥))
122121mpteq2dva 5205 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘-𝑥) · -1)) = (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘-𝑥)))
123116, 122eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥))) = (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘-𝑥)))
124123dmeqd 5861 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥))) = dom (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘-𝑥)))
125 negex 11399 . . . . . . . 8 -((ℝ D 𝐹)‘-𝑥) ∈ V
126 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘-𝑥)) = (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘-𝑥))
127125, 126dmmpti 6645 . . . . . . 7 dom (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘-𝑥)) = (-𝐵(,)-𝑎)
128124, 127eqtrdi 2792 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥))) = (-𝐵(,)-𝑎))
12950ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑦) ∈ ℝ)
130129recnd 11183 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑦) ∈ ℂ)
131 fvexd 6857 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑦) ∈ V)
13250feqmptd 6910 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐺 = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑦)))
133132oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (ℝ D 𝐺) = (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑦))))
134 dvf 25271 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)⟶ℂ
135 lhop2.ig . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))
136135adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))
137136feq2d 6654 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ((ℝ D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)⟶ℂ ↔ (ℝ D 𝐺):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
138134, 137mpbii 232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (ℝ D 𝐺):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
139138feqmptd 6910 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (ℝ D 𝐺) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)))
140133, 139eqtr3d 2778 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)))
141 fveq2 6842 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = -𝑥 → (𝐺𝑦) = (𝐺‘-𝑥))
142 fveq2 6842 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = -𝑥 → ((ℝ D 𝐺)‘𝑦) = ((ℝ D 𝐺)‘-𝑥))
14385, 85, 41, 87, 130, 131, 104, 140, 141, 142dvmptco 25336 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))) = (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (((ℝ D 𝐺)‘-𝑥) · -1)))
144138adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (ℝ D 𝐺):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
145144, 41ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → ((ℝ D 𝐺)‘-𝑥) ∈ ℂ)
146145, 87mulcomd 11176 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (((ℝ D 𝐺)‘-𝑥) · -1) = (-1 · ((ℝ D 𝐺)‘-𝑥)))
147145mulm1d 11607 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (-1 · ((ℝ D 𝐺)‘-𝑥)) = -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥))
148146, 147eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (((ℝ D 𝐺)‘-𝑥) · -1) = -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥))
149148mpteq2dva 5205 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (((ℝ D 𝐺)‘-𝑥) · -1)) = (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥)))
150143, 149eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))) = (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥)))
151150dmeqd 5861 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))) = dom (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥)))
152 negex 11399 . . . . . . . 8 -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥) ∈ V
153 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥)) = (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥))
154152, 153dmmpti 6645 . . . . . . 7 dom (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥)) = (-𝐵(,)-𝑎)
155151, 154eqtrdi 2792 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))) = (-𝐵(,)-𝑎))
15641adantrr 715 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ∧ -𝑥𝐵)) → -𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
157 limcresi 25249 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥) lim -𝐵) ⊆ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥) ↾ (-𝐵(,)-𝑎)) lim -𝐵)
158 resmpt 5991 . . . . . . . . . . 11 ((-𝐵(,)-𝑎) ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥) ↾ (-𝐵(,)-𝑎)) = (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -𝑥))
15997, 158ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥) ↾ (-𝐵(,)-𝑎)) = (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -𝑥)
160159oveq1i 7367 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥) ↾ (-𝐵(,)-𝑎)) lim -𝐵) = ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -𝑥) lim -𝐵)
161157, 160sseqtri 3980 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥) lim -𝐵) ⊆ ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -𝑥) lim -𝐵)
16272recnd 11183 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℂ)
163162negnegd 11503 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → --𝐵 = 𝐵)
164 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥)
165164negcncf 24285 . . . . . . . . . . 11 (ℝ ⊆ ℂ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
16651, 165mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
167 negeq 11393 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -𝐵 → -𝑥 = --𝐵)
168166, 76, 167cnmptlimc 25254 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → --𝐵 ∈ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥) lim -𝐵))
169163, 168eqeltrrd 2839 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐵 ∈ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥) lim -𝐵))
170161, 169sselid 3942 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐵 ∈ ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -𝑥) lim -𝐵))
171 lhop2.f0 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
172171adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 0 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
173105oveq1d 7372 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝐹 lim 𝐵) = ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑦)) lim 𝐵))
174172, 173eleqtrd 2840 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑦)) lim 𝐵))
175 eliooord 13323 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) → (-𝐵 < 𝑥𝑥 < -𝑎))
176175adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (-𝐵 < 𝑥𝑥 < -𝑎))
177176simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → -𝐵 < 𝑥)
17829, 23, 177ltnegcon1d 11735 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → -𝑥 < 𝐵)
17930, 178ltned 11291 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → -𝑥𝐵)
180179neneqd 2948 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → ¬ -𝑥 = 𝐵)
181180pm2.21d 121 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (-𝑥 = 𝐵 → (𝐹‘-𝑥) = 0))
182181impr 455 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ∧ -𝑥 = 𝐵)) → (𝐹‘-𝑥) = 0)
183156, 90, 170, 174, 114, 182limcco 25257 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥)) lim -𝐵))
184 lhop2.g0 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ (𝐺 lim 𝐵))
185184adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 0 ∈ (𝐺 lim 𝐵))
186132oveq1d 7372 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝐺 lim 𝐵) = ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑦)) lim 𝐵))
187185, 186eleqtrd 2840 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑦)) lim 𝐵))
188180pm2.21d 121 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (-𝑥 = 𝐵 → (𝐺‘-𝑥) = 0))
189188impr 455 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ∧ -𝑥 = 𝐵)) → (𝐺‘-𝑥) = 0)
190156, 130, 170, 187, 141, 189limcco 25257 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)) lim -𝐵))
19157fmpttd 7063 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)):(-𝐵(,)-𝑎)⟶ran 𝐺)
192191frnd 6676 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ran (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)) ⊆ ran 𝐺)
19348adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ¬ 0 ∈ ran 𝐺)
194192, 193ssneldd 3947 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ¬ 0 ∈ ran (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)))
195 lhop2.gd0 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺))
196195adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺))
197150rneqd 5893 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ran (ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))) = ran (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥)))
198197eleq2d 2823 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (0 ∈ ran (ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))) ↔ 0 ∈ ran (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥))))
199153, 152elrnmpti 5915 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ran (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥)) ↔ ∃𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)0 = -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥))
200 eqcom 2743 . . . . . . . . . . 11 (0 = -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥) ↔ -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥) = 0)
201145negeq0d 11504 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (((ℝ D 𝐺)‘-𝑥) = 0 ↔ -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥) = 0))
202144ffnd 6669 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (ℝ D 𝐺) Fn (𝐴(,)𝐵))
203 fnfvelrn 7031 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℝ D 𝐺) Fn (𝐴(,)𝐵) ∧ -𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘-𝑥) ∈ ran (ℝ D 𝐺))
204202, 41, 203syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → ((ℝ D 𝐺)‘-𝑥) ∈ ran (ℝ D 𝐺))
205 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ D 𝐺)‘-𝑥) = 0 → (((ℝ D 𝐺)‘-𝑥) ∈ ran (ℝ D 𝐺) ↔ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺)))
206204, 205syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (((ℝ D 𝐺)‘-𝑥) = 0 → 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺)))
207201, 206sylbird 259 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (-((ℝ D 𝐺)‘-𝑥) = 0 → 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺)))
208200, 207biimtrid 241 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (0 = -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥) → 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺)))
209208rexlimdva 3152 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (∃𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)0 = -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥) → 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺)))
210199, 209biimtrid 241 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (0 ∈ ran (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥)) → 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺)))
211198, 210sylbid 239 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (0 ∈ ran (ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))) → 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺)))
212196, 211mtod 197 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))))
213111ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) ∈ ℂ)
214138ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) ∈ ℂ)
215195ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺))
216138ffnd 6669 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (ℝ D 𝐺) Fn (𝐴(,)𝐵))
217 fnfvelrn 7031 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ D 𝐺) Fn (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) ∈ ran (ℝ D 𝐺))
218216, 217sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) ∈ ran (ℝ D 𝐺))
219 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . 12 (((ℝ D 𝐺)‘𝑧) = 0 → (((ℝ D 𝐺)‘𝑧) ∈ ran (ℝ D 𝐺) ↔ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺)))
220218, 219syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D 𝐺)‘𝑧) = 0 → 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺)))
221220necon3bd 2957 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) ≠ 0))
222215, 221mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) ≠ 0)
223213, 214, 222divcld 11931 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) ∈ ℂ)
224 lhop2.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) lim 𝐵))
225224adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) lim 𝐵))
226 fveq2 6842 . . . . . . . . 9 (𝑧 = -𝑥 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) = ((ℝ D 𝐹)‘-𝑥))
227 fveq2 6842 . . . . . . . . 9 (𝑧 = -𝑥 → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) = ((ℝ D 𝐺)‘-𝑥))
228226, 227oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (𝑧 = -𝑥 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) = (((ℝ D 𝐹)‘-𝑥) / ((ℝ D 𝐺)‘-𝑥)))
229180pm2.21d 121 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (-𝑥 = 𝐵 → (((ℝ D 𝐹)‘-𝑥) / ((ℝ D 𝐺)‘-𝑥)) = 𝐶))
230229impr 455 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ∧ -𝑥 = 𝐵)) → (((ℝ D 𝐹)‘-𝑥) / ((ℝ D 𝐺)‘-𝑥)) = 𝐶)
231156, 223, 170, 225, 228, 230limcco 25257 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐶 ∈ ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘-𝑥) / ((ℝ D 𝐺)‘-𝑥))) lim -𝐵))
232 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥
233 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 D
234 nfmpt1 5213 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥))
235232, 233, 234nfov 7387 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥)))
236 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑦
237235, 236nffv 6852 . . . . . . . . . . 11 𝑥((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥)))‘𝑦)
238 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑥 /
239 nfmpt1 5213 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))
240232, 233, 239nfov 7387 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)))
241240, 236nffv 6852 . . . . . . . . . . 11 𝑥((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)))‘𝑦)
242237, 238, 241nfov 7387 . . . . . . . . . 10 𝑥(((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥)))‘𝑦) / ((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)))‘𝑦))
243 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑦(((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥)))‘𝑥) / ((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)))‘𝑥))
244 fveq2 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥)))‘𝑦) = ((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥)))‘𝑥))
245 fveq2 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)))‘𝑦) = ((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)))‘𝑥))
246244, 245oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → (((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥)))‘𝑦) / ((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)))‘𝑦)) = (((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥)))‘𝑥) / ((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)))‘𝑥)))
247242, 243, 246cbvmpt 5216 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥)))‘𝑦) / ((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)))‘𝑦))) = (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥)))‘𝑥) / ((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)))‘𝑥)))
248123fveq1d 6844 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥)))‘𝑥) = ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘-𝑥))‘𝑥))
249126fvmpt2 6959 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ∧ -((ℝ D 𝐹)‘-𝑥) ∈ V) → ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘-𝑥))‘𝑥) = -((ℝ D 𝐹)‘-𝑥))
250125, 249mpan2 689 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) → ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘-𝑥))‘𝑥) = -((ℝ D 𝐹)‘-𝑥))
251248, 250sylan9eq 2796 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥)))‘𝑥) = -((ℝ D 𝐹)‘-𝑥))
252150fveq1d 6844 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)))‘𝑥) = ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥))‘𝑥))
253153fvmpt2 6959 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ∧ -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥) ∈ V) → ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥))‘𝑥) = -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥))
254152, 253mpan2 689 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) → ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥))‘𝑥) = -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥))
255252, 254sylan9eq 2796 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)))‘𝑥) = -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥))
256251, 255oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥)))‘𝑥) / ((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)))‘𝑥)) = (-((ℝ D 𝐹)‘-𝑥) / -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥)))
257195ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺))
258206necon3bd 2957 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺) → ((ℝ D 𝐺)‘-𝑥) ≠ 0))
259257, 258mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → ((ℝ D 𝐺)‘-𝑥) ≠ 0)
260118, 145, 259div2negd 11946 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (-((ℝ D 𝐹)‘-𝑥) / -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥)) = (((ℝ D 𝐹)‘-𝑥) / ((ℝ D 𝐺)‘-𝑥)))
261256, 260eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥)))‘𝑥) / ((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)))‘𝑥)) = (((ℝ D 𝐹)‘-𝑥) / ((ℝ D 𝐺)‘-𝑥)))
262261mpteq2dva 5205 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥)))‘𝑥) / ((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)))‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘-𝑥) / ((ℝ D 𝐺)‘-𝑥))))
263247, 262eqtrid 2788 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝑦 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥)))‘𝑦) / ((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)))‘𝑦))) = (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘-𝑥) / ((ℝ D 𝐺)‘-𝑥))))
264263oveq1d 7372 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ((𝑦 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥)))‘𝑦) / ((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)))‘𝑦))) lim -𝐵) = ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘-𝑥) / ((ℝ D 𝐺)‘-𝑥))) lim -𝐵))
265231, 264eleqtrrd 2841 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐶 ∈ ((𝑦 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥)))‘𝑦) / ((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)))‘𝑦))) lim -𝐵))
26676, 78, 81, 82, 83, 128, 155, 183, 190, 194, 212, 265lhop1 25378 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐶 ∈ ((𝑦 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥))‘𝑦) / ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))‘𝑦))) lim -𝐵))
267 nffvmpt1 6853 . . . . . . . . 9 𝑥((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥))‘𝑦)
268 nffvmpt1 6853 . . . . . . . . 9 𝑥((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))‘𝑦)
269267, 238, 268nfov 7387 . . . . . . . 8 𝑥(((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥))‘𝑦) / ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))‘𝑦))
270 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑦(((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥))‘𝑥) / ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))‘𝑥))
271 fveq2 6842 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥))‘𝑥))
272 fveq2 6842 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))‘𝑥))
273271, 272oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥))‘𝑦) / ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))‘𝑦)) = (((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥))‘𝑥) / ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))‘𝑥)))
274269, 270, 273cbvmpt 5216 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥))‘𝑦) / ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))‘𝑦))) = (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥))‘𝑥) / ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))‘𝑥)))
275 fvex 6855 . . . . . . . . . 10 (𝐹‘-𝑥) ∈ V
276 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥)) = (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥))
277276fvmpt2 6959 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ∧ (𝐹‘-𝑥) ∈ V) → ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥))‘𝑥) = (𝐹‘-𝑥))
27826, 275, 277sylancl 586 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥))‘𝑥) = (𝐹‘-𝑥))
279 fvex 6855 . . . . . . . . . 10 (𝐺‘-𝑥) ∈ V
280 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)) = (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))
281280fvmpt2 6959 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ∧ (𝐺‘-𝑥) ∈ V) → ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))‘𝑥) = (𝐺‘-𝑥))
28226, 279, 281sylancl 586 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))‘𝑥) = (𝐺‘-𝑥))
283278, 282oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥))‘𝑥) / ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))‘𝑥)) = ((𝐹‘-𝑥) / (𝐺‘-𝑥)))
284283mpteq2dva 5205 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥))‘𝑥) / ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ ((𝐹‘-𝑥) / (𝐺‘-𝑥))))
285274, 284eqtrid 2788 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝑦 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥))‘𝑦) / ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))‘𝑦))) = (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ ((𝐹‘-𝑥) / (𝐺‘-𝑥))))
286285oveq1d 7372 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ((𝑦 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥))‘𝑦) / ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))‘𝑦))) lim -𝐵) = ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ ((𝐹‘-𝑥) / (𝐺‘-𝑥))) lim -𝐵))
287266, 286eleqtrd 2840 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐶 ∈ ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ ((𝐹‘-𝑥) / (𝐺‘-𝑥))) lim -𝐵))
288 negeq 11393 . . . . . 6 (𝑥 = -𝑧 → -𝑥 = --𝑧)
289288fveq2d 6846 . . . . 5 (𝑥 = -𝑧 → (𝐹‘-𝑥) = (𝐹‘--𝑧))
290288fveq2d 6846 . . . . 5 (𝑥 = -𝑧 → (𝐺‘-𝑥) = (𝐺‘--𝑧))
291289, 290oveq12d 7375 . . . 4 (𝑥 = -𝑧 → ((𝐹‘-𝑥) / (𝐺‘-𝑥)) = ((𝐹‘--𝑧) / (𝐺‘--𝑧)))
29276adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵)) → -𝐵 ∈ ℝ)
293 eliooord 13323 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵) → (𝑎 < 𝑧𝑧 < 𝐵))
294293adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵)) → (𝑎 < 𝑧𝑧 < 𝐵))
295294simprd 496 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵)) → 𝑧 < 𝐵)
29615, 13ltnegd 11733 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵)) → (𝑧 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝑧))
297295, 296mpbid 231 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵)) → -𝐵 < -𝑧)
298292, 297gtned 11290 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵)) → -𝑧 ≠ -𝐵)
299298neneqd 2948 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵)) → ¬ -𝑧 = -𝐵)
300299pm2.21d 121 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵)) → (-𝑧 = -𝐵 → ((𝐹‘--𝑧) / (𝐺‘--𝑧)) = 𝐶))
301300impr 455 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵) ∧ -𝑧 = -𝐵)) → ((𝐹‘--𝑧) / (𝐺‘--𝑧)) = 𝐶)
30219, 62, 75, 287, 291, 301limcco 25257 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘--𝑧) / (𝐺‘--𝑧))) lim 𝐵))
30315recnd 11183 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ ℂ)
304303negnegd 11503 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵)) → --𝑧 = 𝑧)
305304fveq2d 6846 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵)) → (𝐹‘--𝑧) = (𝐹𝑧))
306304fveq2d 6846 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵)) → (𝐺‘--𝑧) = (𝐺𝑧))
307305, 306oveq12d 7375 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵)) → ((𝐹‘--𝑧) / (𝐺‘--𝑧)) = ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))
308307mpteq2dva 5205 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘--𝑧) / (𝐺‘--𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))))
309308oveq1d 7372 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ((𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘--𝑧) / (𝐺‘--𝑧))) lim 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) lim 𝐵))
31039resmptd 5994 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) ↾ (𝑎(,)𝐵)) = (𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))))
311310oveq1d 7372 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) ↾ (𝑎(,)𝐵)) lim 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) lim 𝐵))
312 fss 6685 . . . . . . . . 9 ((𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
31388, 51, 312sylancl 586 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
314313ffvelcdmda 7035 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
31553ffvelcdmda 7035 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
31648ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 0 ∈ ran 𝐺)
31750ffnd 6669 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐺 Fn (𝐴(,)𝐵))
318 fnfvelrn 7031 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 Fn (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ ran 𝐺)
319317, 318sylan 580 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ ran 𝐺)
320 eleq1 2825 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝑧) = 0 → ((𝐺𝑧) ∈ ran 𝐺 ↔ 0 ∈ ran 𝐺))
321319, 320syl5ibcom 244 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐺𝑧) = 0 → 0 ∈ ran 𝐺))
322321necon3bd 2957 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (¬ 0 ∈ ran 𝐺 → (𝐺𝑧) ≠ 0))
323316, 322mpd 15 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑧) ≠ 0)
324314, 315, 323divcld 11931 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
325324fmpttd 7063 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
326 ioossre 13325 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
327326, 51sstri 3953 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
328327a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
329 eqid 2736 . . . . 5 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
330 ssun2 4133 . . . . . . 7 {𝐵} ⊆ ((𝑎(,)𝐵) ∪ {𝐵})
331 snssg 4744 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ((𝑎(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ↔ {𝐵} ⊆ ((𝑎(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
33272, 331syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝐵 ∈ ((𝑎(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ↔ {𝐵} ⊆ ((𝑎(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
333330, 332mpbiri 257 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐵 ∈ ((𝑎(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
33499cnfldtopon 24146 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
335326a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
33672snssd 4769 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → {𝐵} ⊆ ℝ)
337335, 336unssd 4146 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ⊆ ℝ)
338337, 51sstrdi 3956 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ)
339 resttopon 22512 . . . . . . . . 9 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) ∈ (TopOn‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
340334, 338, 339sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) ∈ (TopOn‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
341 topontop 22262 . . . . . . . 8 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) ∈ (TopOn‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) ∈ Top)
342340, 341syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) ∈ Top)
343 indi 4233 . . . . . . . . . 10 ((𝑎(,)+∞) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) = (((𝑎(,)+∞) ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∪ ((𝑎(,)+∞) ∩ {𝐵}))
344 pnfxr 11209 . . . . . . . . . . . . . 14 +∞ ∈ ℝ*
345344a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → +∞ ∈ ℝ*)
3464adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
347 iooin 13298 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*)) → ((𝑎(,)+∞) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = (if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(+∞ ≤ 𝐵, +∞, 𝐵)))
34835, 345, 34, 346, 347syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ((𝑎(,)+∞) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = (if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(+∞ ≤ 𝐵, +∞, 𝐵)))
349 xrltnle 11222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑎 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑎 ↔ ¬ 𝑎𝐴))
35034, 35, 349syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝐴 < 𝑎 ↔ ¬ 𝑎𝐴))
35136, 350mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ¬ 𝑎𝐴)
352351iffalsed 4497 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) = 𝑎)
35372ltpnfd 13042 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐵 < +∞)
354 xrltnle 11222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵 < +∞ ↔ ¬ +∞ ≤ 𝐵))
355346, 344, 354sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝐵 < +∞ ↔ ¬ +∞ ≤ 𝐵))
356353, 355mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ¬ +∞ ≤ 𝐵)
357356iffalsed 4497 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → if(+∞ ≤ 𝐵, +∞, 𝐵) = 𝐵)
358352, 357oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(+∞ ≤ 𝐵, +∞, 𝐵)) = (𝑎(,)𝐵))
359348, 358eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ((𝑎(,)+∞) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑎(,)𝐵))
360 elioopnf 13360 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (𝑎(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝐵)))
36135, 360syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝐵 ∈ (𝑎(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝐵)))
36272, 79, 361mpbir2and 711 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐵 ∈ (𝑎(,)+∞))
363362snssd 4769 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → {𝐵} ⊆ (𝑎(,)+∞))
364 sseqin2 4175 . . . . . . . . . . . 12 ({𝐵} ⊆ (𝑎(,)+∞) ↔ ((𝑎(,)+∞) ∩ {𝐵}) = {𝐵})
365363, 364sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ((𝑎(,)+∞) ∩ {𝐵}) = {𝐵})
366359, 365uneq12d 4124 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (((𝑎(,)+∞) ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∪ ((𝑎(,)+∞) ∩ {𝐵})) = ((𝑎(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
367343, 366eqtrid 2788 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ((𝑎(,)+∞) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) = ((𝑎(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
368 retop 24125 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
369 reex 11142 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ∈ V
370369ssex 5278 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ⊆ ℝ → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∈ V)
371337, 370syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∈ V)
372 iooretop 24129 . . . . . . . . . . 11 (𝑎(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
373372a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝑎(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,)))
374 elrestr 17310 . . . . . . . . . 10 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∈ V ∧ (𝑎(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((𝑎(,)+∞) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
375368, 371, 373, 374mp3an2i 1466 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ((𝑎(,)+∞) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
376367, 375eqeltrrd 2839 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ((𝑎(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
377 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
37899, 377rerest 24167 . . . . . . . . 9 (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
379337, 378syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
380376, 379eleqtrrd 2841 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ((𝑎(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
381 isopn3i 22433 . . . . . . 7 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) ∈ Top ∧ ((𝑎(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))‘((𝑎(,)𝐵) ∪ {𝐵})) = ((𝑎(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
382342, 380, 381syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))‘((𝑎(,)𝐵) ∪ {𝐵})) = ((𝑎(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
383333, 382eleqtrrd 2841 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐵 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))‘((𝑎(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
384325, 39, 328, 99, 329, 383limcres 25250 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) ↾ (𝑎(,)𝐵)) lim 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) lim 𝐵))
385309, 311, 3843eqtr2d 2782 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ((𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘--𝑧) / (𝐺‘--𝑧))) lim 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) lim 𝐵))
386302, 385eleqtrd 2840 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) lim 𝐵))
3879, 386rexlimddv 3158 1 (𝜑𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) lim 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073  Vcvv 3445  cun 3908  cin 3909  wss 3910  ifcif 4486  {csn 4586  {cpr 4588   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  ran crn 5634  cres 5635   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056  +∞cpnf 11186  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  -cneg 11386   / cdiv 11812  cq 12873  (,)cioo 13264  t crest 17302  TopOpenctopn 17303  topGenctg 17319  fldccnfld 20796  Topctop 22242  TopOnctopon 22259  intcnt 22368  cnccncf 24239   lim climc 25226   D cdv 25227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231
This theorem is referenced by:  lhop  25380  fourierdlem60  44397
  Copyright terms: Public domain W3C validator