MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lhop2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhop2 24315
Description: L'Hôpital's Rule for limits from the left. If 𝐹 and 𝐺 are differentiable real functions on (𝐴, 𝐵), and 𝐹 and 𝐺 both approach 0 at 𝐵, and 𝐺(𝑥) and 𝐺' (𝑥) are not zero on (𝐴, 𝐵), and the limit of 𝐹' (𝑥) / 𝐺' (𝑥) at 𝐵 is 𝐶, then the limit 𝐹(𝑥) / 𝐺(𝑥) at 𝐵 also exists and equals 𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lhop2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
lhop2.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
lhop2.l (𝜑𝐴 < 𝐵)
lhop2.f (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
lhop2.g (𝜑𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
lhop2.if (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
lhop2.ig (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))
lhop2.f0 (𝜑 → 0 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
lhop2.g0 (𝜑 → 0 ∈ (𝐺 lim 𝐵))
lhop2.gn0 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran 𝐺)
lhop2.gd0 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺))
lhop2.c (𝜑𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) lim 𝐵))
Assertion
Ref Expression
lhop2 (𝜑𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) lim 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐶   𝜑,𝑧   𝑧,𝐹   𝑧,𝐺

Proof of Theorem lhop2
Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qssre 12173 . . 3 ℚ ⊆ ℝ
2 lhop2.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
3 lhop2.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
43rexrd 10490 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
5 lhop2.l . . . 4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
6 qbtwnxr 12410 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ∃𝑎 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))
72, 4, 5, 6syl3anc 1351 . . 3 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))
8 ssrexv 3925 . . 3 (ℚ ⊆ ℝ → (∃𝑎 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵) → ∃𝑎 ∈ ℝ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵)))
91, 7, 8mpsyl 68 . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))
10 simpr 477 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵))
11 simprl 758 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝑎 ∈ ℝ)
1211adantr 473 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵)) → 𝑎 ∈ ℝ)
133ad2antrr 713 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
14 elioore 12584 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
1514adantl 474 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
16 iooneg 12673 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵) ↔ -𝑧 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)))
1712, 13, 15, 16syl3anc 1351 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵)) → (𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵) ↔ -𝑧 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)))
1810, 17mpbid 224 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵)) → -𝑧 ∈ (-𝐵(,)-𝑎))
1918adantrr 704 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵) ∧ -𝑧 ≠ -𝐵)) → -𝑧 ∈ (-𝐵(,)-𝑎))
20 lhop2.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
2120ad2antrr 713 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
22 elioore 12584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) → 𝑥 ∈ ℝ)
2322adantl 474 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → 𝑥 ∈ ℝ)
2423recnd 10468 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → 𝑥 ∈ ℂ)
2524negnegd 10789 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → --𝑥 = 𝑥)
26 simpr 477 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎))
2725, 26eqeltrd 2867 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → --𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎))
2811adantr 473 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → 𝑎 ∈ ℝ)
293ad2antrr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3023renegcld 10868 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → -𝑥 ∈ ℝ)
31 iooneg 12673 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝑥 ∈ ℝ) → (-𝑥 ∈ (𝑎(,)𝐵) ↔ --𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)))
3228, 29, 30, 31syl3anc 1351 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (-𝑥 ∈ (𝑎(,)𝐵) ↔ --𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)))
3327, 32mpbird 249 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → -𝑥 ∈ (𝑎(,)𝐵))
342adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3511rexrd 10490 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝑎 ∈ ℝ*)
36 simprrl 768 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐴 < 𝑎)
3734, 35, 36xrltled 12360 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐴𝑎)
38 iooss1 12589 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝑎) → (𝑎(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
3934, 37, 38syl2anc 576 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝑎(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
4039sselda 3859 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ -𝑥 ∈ (𝑎(,)𝐵)) → -𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
4133, 40syldan 582 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → -𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
4221, 41ffvelrnd 6677 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (𝐹‘-𝑥) ∈ ℝ)
4342recnd 10468 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (𝐹‘-𝑥) ∈ ℂ)
44 lhop2.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
4544ad2antrr 713 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
4645, 41ffvelrnd 6677 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (𝐺‘-𝑥) ∈ ℝ)
4746recnd 10468 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (𝐺‘-𝑥) ∈ ℂ)
48 lhop2.gn0 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran 𝐺)
4948ad2antrr 713 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → ¬ 0 ∈ ran 𝐺)
5044adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
51 ax-resscn 10392 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℂ
52 fss 6357 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
5350, 51, 52sylancl 577 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
5453adantr 473 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
5554ffnd 6345 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → 𝐺 Fn (𝐴(,)𝐵))
56 fnfvelrn 6673 . . . . . . . . 9 ((𝐺 Fn (𝐴(,)𝐵) ∧ -𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺‘-𝑥) ∈ ran 𝐺)
5755, 41, 56syl2anc 576 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (𝐺‘-𝑥) ∈ ran 𝐺)
58 eleq1 2854 . . . . . . . 8 ((𝐺‘-𝑥) = 0 → ((𝐺‘-𝑥) ∈ ran 𝐺 ↔ 0 ∈ ran 𝐺))
5957, 58syl5ibcom 237 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → ((𝐺‘-𝑥) = 0 → 0 ∈ ran 𝐺))
6059necon3bd 2982 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (¬ 0 ∈ ran 𝐺 → (𝐺‘-𝑥) ≠ 0))
6149, 60mpd 15 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (𝐺‘-𝑥) ≠ 0)
6243, 47, 61divcld 11217 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → ((𝐹‘-𝑥) / (𝐺‘-𝑥)) ∈ ℂ)
63 limcresi 24186 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℝ ↦ -𝑧) lim 𝐵) ⊆ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ -𝑧) ↾ (𝑎(,)𝐵)) lim 𝐵)
64 ioossre 12614 . . . . . . . 8 (𝑎(,)𝐵) ⊆ ℝ
65 resmpt 5750 . . . . . . . 8 ((𝑎(,)𝐵) ⊆ ℝ → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ -𝑧) ↾ (𝑎(,)𝐵)) = (𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵) ↦ -𝑧))
6664, 65ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℝ ↦ -𝑧) ↾ (𝑎(,)𝐵)) = (𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵) ↦ -𝑧)
6766oveq1i 6986 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ ℝ ↦ -𝑧) ↾ (𝑎(,)𝐵)) lim 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵) ↦ -𝑧) lim 𝐵)
6863, 67sseqtri 3894 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ ↦ -𝑧) lim 𝐵) ⊆ ((𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵) ↦ -𝑧) lim 𝐵)
69 eqid 2779 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℝ ↦ -𝑧) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ -𝑧)
7069negcncf 23229 . . . . . . 7 (ℝ ⊆ ℂ → (𝑧 ∈ ℝ ↦ -𝑧) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
7151, 70mp1i 13 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ -𝑧) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
723adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
73 negeq 10678 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐵 → -𝑧 = -𝐵)
7471, 72, 73cnmptlimc 24191 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → -𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ -𝑧) lim 𝐵))
7568, 74sseldi 3857 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → -𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵) ↦ -𝑧) lim 𝐵))
7672renegcld 10868 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → -𝐵 ∈ ℝ)
7711renegcld 10868 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → -𝑎 ∈ ℝ)
7877rexrd 10490 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → -𝑎 ∈ ℝ*)
79 simprrr 769 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝑎 < 𝐵)
8011, 72ltnegd 11019 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝑎 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝑎))
8179, 80mpbid 224 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → -𝐵 < -𝑎)
8242fmpttd 6702 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥)):(-𝐵(,)-𝑎)⟶ℝ)
8346fmpttd 6702 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)):(-𝐵(,)-𝑎)⟶ℝ)
84 reelprrecn 10427 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
8584a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
86 neg1cn 11561 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ ℂ
8786a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → -1 ∈ ℂ)
8820adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
8988ffvelrnda 6676 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
9089recnd 10468 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
91 fvexd 6514 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ V)
92 1cnd 10434 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → 1 ∈ ℂ)
93 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
9493recnd 10468 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
95 1cnd 10434 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
9685dvmptid 24257 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 1))
97 ioossre 12614 . . . . . . . . . . . . 13 (-𝐵(,)-𝑎) ⊆ ℝ
9897a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (-𝐵(,)-𝑎) ⊆ ℝ)
99 eqid 2779 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
10099tgioo2 23114 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
101 iooretop 23077 . . . . . . . . . . . . 13 (-𝐵(,)-𝑎) ∈ (topGen‘ran (,))
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (-𝐵(,)-𝑎) ∈ (topGen‘ran (,)))
10385, 94, 95, 96, 98, 100, 99, 102dvmptres 24263 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ 1))
10485, 24, 92, 103dvmptneg 24266 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -𝑥)) = (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -1))
10588feqmptd 6562 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐹 = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑦)))
106105oveq2d 6992 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (ℝ D 𝐹) = (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑦))))
107 dvf 24208 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
108 lhop2.if . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
109108adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
110109feq2d 6330 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
111107, 110mpbii 225 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
112111feqmptd 6562 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (ℝ D 𝐹) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
113106, 112eqtr3d 2817 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
114 fveq2 6499 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = -𝑥 → (𝐹𝑦) = (𝐹‘-𝑥))
115 fveq2 6499 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = -𝑥 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘-𝑥))
11685, 85, 41, 87, 90, 91, 104, 113, 114, 115dvmptco 24272 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥))) = (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘-𝑥) · -1)))
117111adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
118117, 41ffvelrnd 6677 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → ((ℝ D 𝐹)‘-𝑥) ∈ ℂ)
119118, 87mulcomd 10461 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (((ℝ D 𝐹)‘-𝑥) · -1) = (-1 · ((ℝ D 𝐹)‘-𝑥)))
120118mulm1d 10893 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (-1 · ((ℝ D 𝐹)‘-𝑥)) = -((ℝ D 𝐹)‘-𝑥))
121119, 120eqtrd 2815 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (((ℝ D 𝐹)‘-𝑥) · -1) = -((ℝ D 𝐹)‘-𝑥))
122121mpteq2dva 5022 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘-𝑥) · -1)) = (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘-𝑥)))
123116, 122eqtrd 2815 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥))) = (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘-𝑥)))
124123dmeqd 5624 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥))) = dom (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘-𝑥)))
125 negex 10684 . . . . . . . 8 -((ℝ D 𝐹)‘-𝑥) ∈ V
126 eqid 2779 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘-𝑥)) = (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘-𝑥))
127125, 126dmmpti 6322 . . . . . . 7 dom (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘-𝑥)) = (-𝐵(,)-𝑎)
128124, 127syl6eq 2831 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥))) = (-𝐵(,)-𝑎))
12950ffvelrnda 6676 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑦) ∈ ℝ)
130129recnd 10468 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑦) ∈ ℂ)
131 fvexd 6514 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑦) ∈ V)
13250feqmptd 6562 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐺 = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑦)))
133132oveq2d 6992 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (ℝ D 𝐺) = (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑦))))
134 dvf 24208 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)⟶ℂ
135 lhop2.ig . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))
136135adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))
137136feq2d 6330 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ((ℝ D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)⟶ℂ ↔ (ℝ D 𝐺):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
138134, 137mpbii 225 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (ℝ D 𝐺):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
139138feqmptd 6562 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (ℝ D 𝐺) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)))
140133, 139eqtr3d 2817 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)))
141 fveq2 6499 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = -𝑥 → (𝐺𝑦) = (𝐺‘-𝑥))
142 fveq2 6499 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = -𝑥 → ((ℝ D 𝐺)‘𝑦) = ((ℝ D 𝐺)‘-𝑥))
14385, 85, 41, 87, 130, 131, 104, 140, 141, 142dvmptco 24272 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))) = (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (((ℝ D 𝐺)‘-𝑥) · -1)))
144138adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (ℝ D 𝐺):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
145144, 41ffvelrnd 6677 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → ((ℝ D 𝐺)‘-𝑥) ∈ ℂ)
146145, 87mulcomd 10461 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (((ℝ D 𝐺)‘-𝑥) · -1) = (-1 · ((ℝ D 𝐺)‘-𝑥)))
147145mulm1d 10893 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (-1 · ((ℝ D 𝐺)‘-𝑥)) = -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥))
148146, 147eqtrd 2815 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (((ℝ D 𝐺)‘-𝑥) · -1) = -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥))
149148mpteq2dva 5022 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (((ℝ D 𝐺)‘-𝑥) · -1)) = (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥)))
150143, 149eqtrd 2815 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))) = (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥)))
151150dmeqd 5624 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))) = dom (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥)))
152 negex 10684 . . . . . . . 8 -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥) ∈ V
153 eqid 2779 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥)) = (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥))
154152, 153dmmpti 6322 . . . . . . 7 dom (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥)) = (-𝐵(,)-𝑎)
155151, 154syl6eq 2831 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))) = (-𝐵(,)-𝑎))
15641adantrr 704 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ∧ -𝑥𝐵)) → -𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
157 limcresi 24186 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥) lim -𝐵) ⊆ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥) ↾ (-𝐵(,)-𝑎)) lim -𝐵)
158 resmpt 5750 . . . . . . . . . . 11 ((-𝐵(,)-𝑎) ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥) ↾ (-𝐵(,)-𝑎)) = (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -𝑥))
15997, 158ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥) ↾ (-𝐵(,)-𝑎)) = (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -𝑥)
160159oveq1i 6986 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥) ↾ (-𝐵(,)-𝑎)) lim -𝐵) = ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -𝑥) lim -𝐵)
161157, 160sseqtri 3894 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥) lim -𝐵) ⊆ ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -𝑥) lim -𝐵)
16272recnd 10468 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℂ)
163162negnegd 10789 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → --𝐵 = 𝐵)
164 eqid 2779 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥)
165164negcncf 23229 . . . . . . . . . . 11 (ℝ ⊆ ℂ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
16651, 165mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
167 negeq 10678 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -𝐵 → -𝑥 = --𝐵)
168166, 76, 167cnmptlimc 24191 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → --𝐵 ∈ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥) lim -𝐵))
169163, 168eqeltrrd 2868 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐵 ∈ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥) lim -𝐵))
170161, 169sseldi 3857 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐵 ∈ ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -𝑥) lim -𝐵))
171 lhop2.f0 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
172171adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 0 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
173105oveq1d 6991 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝐹 lim 𝐵) = ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑦)) lim 𝐵))
174172, 173eleqtrd 2869 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑦)) lim 𝐵))
175 eliooord 12612 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) → (-𝐵 < 𝑥𝑥 < -𝑎))
176175adantl 474 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (-𝐵 < 𝑥𝑥 < -𝑎))
177176simpld 487 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → -𝐵 < 𝑥)
17829, 23, 177ltnegcon1d 11021 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → -𝑥 < 𝐵)
17930, 178ltned 10576 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → -𝑥𝐵)
180179neneqd 2973 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → ¬ -𝑥 = 𝐵)
181180pm2.21d 119 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (-𝑥 = 𝐵 → (𝐹‘-𝑥) = 0))
182181impr 447 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ∧ -𝑥 = 𝐵)) → (𝐹‘-𝑥) = 0)
183156, 90, 170, 174, 114, 182limcco 24194 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥)) lim -𝐵))
184 lhop2.g0 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ (𝐺 lim 𝐵))
185184adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 0 ∈ (𝐺 lim 𝐵))
186132oveq1d 6991 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝐺 lim 𝐵) = ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑦)) lim 𝐵))
187185, 186eleqtrd 2869 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑦)) lim 𝐵))
188180pm2.21d 119 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (-𝑥 = 𝐵 → (𝐺‘-𝑥) = 0))
189188impr 447 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ∧ -𝑥 = 𝐵)) → (𝐺‘-𝑥) = 0)
190156, 130, 170, 187, 141, 189limcco 24194 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)) lim -𝐵))
19157fmpttd 6702 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)):(-𝐵(,)-𝑎)⟶ran 𝐺)
192191frnd 6351 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ran (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)) ⊆ ran 𝐺)
19348adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ¬ 0 ∈ ran 𝐺)
194192, 193ssneldd 3862 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ¬ 0 ∈ ran (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)))
195 lhop2.gd0 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺))
196195adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺))
197150rneqd 5651 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ran (ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))) = ran (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥)))
198197eleq2d 2852 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (0 ∈ ran (ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))) ↔ 0 ∈ ran (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥))))
199153, 152elrnmpti 5675 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ran (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥)) ↔ ∃𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)0 = -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥))
200 eqcom 2786 . . . . . . . . . . 11 (0 = -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥) ↔ -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥) = 0)
201145negeq0d 10790 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (((ℝ D 𝐺)‘-𝑥) = 0 ↔ -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥) = 0))
202144ffnd 6345 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (ℝ D 𝐺) Fn (𝐴(,)𝐵))
203 fnfvelrn 6673 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℝ D 𝐺) Fn (𝐴(,)𝐵) ∧ -𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘-𝑥) ∈ ran (ℝ D 𝐺))
204202, 41, 203syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → ((ℝ D 𝐺)‘-𝑥) ∈ ran (ℝ D 𝐺))
205 eleq1 2854 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ D 𝐺)‘-𝑥) = 0 → (((ℝ D 𝐺)‘-𝑥) ∈ ran (ℝ D 𝐺) ↔ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺)))
206204, 205syl5ibcom 237 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (((ℝ D 𝐺)‘-𝑥) = 0 → 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺)))
207201, 206sylbird 252 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (-((ℝ D 𝐺)‘-𝑥) = 0 → 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺)))
208200, 207syl5bi 234 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (0 = -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥) → 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺)))
209208rexlimdva 3230 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (∃𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)0 = -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥) → 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺)))
210199, 209syl5bi 234 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (0 ∈ ran (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥)) → 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺)))
211198, 210sylbid 232 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (0 ∈ ran (ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))) → 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺)))
212196, 211mtod 190 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))))
213111ffvelrnda 6676 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) ∈ ℂ)
214138ffvelrnda 6676 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) ∈ ℂ)
215195ad2antrr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺))
216138ffnd 6345 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (ℝ D 𝐺) Fn (𝐴(,)𝐵))
217 fnfvelrn 6673 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ D 𝐺) Fn (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) ∈ ran (ℝ D 𝐺))
218216, 217sylan 572 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) ∈ ran (ℝ D 𝐺))
219 eleq1 2854 . . . . . . . . . . . 12 (((ℝ D 𝐺)‘𝑧) = 0 → (((ℝ D 𝐺)‘𝑧) ∈ ran (ℝ D 𝐺) ↔ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺)))
220218, 219syl5ibcom 237 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D 𝐺)‘𝑧) = 0 → 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺)))
221220necon3bd 2982 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) ≠ 0))
222215, 221mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) ≠ 0)
223213, 214, 222divcld 11217 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) ∈ ℂ)
224 lhop2.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) lim 𝐵))
225224adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) lim 𝐵))
226 fveq2 6499 . . . . . . . . 9 (𝑧 = -𝑥 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) = ((ℝ D 𝐹)‘-𝑥))
227 fveq2 6499 . . . . . . . . 9 (𝑧 = -𝑥 → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) = ((ℝ D 𝐺)‘-𝑥))
228226, 227oveq12d 6994 . . . . . . . 8 (𝑧 = -𝑥 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) = (((ℝ D 𝐹)‘-𝑥) / ((ℝ D 𝐺)‘-𝑥)))
229180pm2.21d 119 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (-𝑥 = 𝐵 → (((ℝ D 𝐹)‘-𝑥) / ((ℝ D 𝐺)‘-𝑥)) = 𝐶))
230229impr 447 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ∧ -𝑥 = 𝐵)) → (((ℝ D 𝐹)‘-𝑥) / ((ℝ D 𝐺)‘-𝑥)) = 𝐶)
231156, 223, 170, 225, 228, 230limcco 24194 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐶 ∈ ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘-𝑥) / ((ℝ D 𝐺)‘-𝑥))) lim -𝐵))
232 nfcv 2933 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥
233 nfcv 2933 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 D
234 nfmpt1 5025 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥))
235232, 233, 234nfov 7006 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥)))
236 nfcv 2933 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑦
237235, 236nffv 6509 . . . . . . . . . . 11 𝑥((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥)))‘𝑦)
238 nfcv 2933 . . . . . . . . . . 11 𝑥 /
239 nfmpt1 5025 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))
240232, 233, 239nfov 7006 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)))
241240, 236nffv 6509 . . . . . . . . . . 11 𝑥((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)))‘𝑦)
242237, 238, 241nfov 7006 . . . . . . . . . 10 𝑥(((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥)))‘𝑦) / ((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)))‘𝑦))
243 nfcv 2933 . . . . . . . . . 10 𝑦(((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥)))‘𝑥) / ((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)))‘𝑥))
244 fveq2 6499 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥)))‘𝑦) = ((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥)))‘𝑥))
245 fveq2 6499 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)))‘𝑦) = ((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)))‘𝑥))
246244, 245oveq12d 6994 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → (((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥)))‘𝑦) / ((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)))‘𝑦)) = (((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥)))‘𝑥) / ((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)))‘𝑥)))
247242, 243, 246cbvmpt 5027 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥)))‘𝑦) / ((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)))‘𝑦))) = (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥)))‘𝑥) / ((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)))‘𝑥)))
248123fveq1d 6501 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥)))‘𝑥) = ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘-𝑥))‘𝑥))
249126fvmpt2 6605 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ∧ -((ℝ D 𝐹)‘-𝑥) ∈ V) → ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘-𝑥))‘𝑥) = -((ℝ D 𝐹)‘-𝑥))
250125, 249mpan2 678 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) → ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘-𝑥))‘𝑥) = -((ℝ D 𝐹)‘-𝑥))
251248, 250sylan9eq 2835 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥)))‘𝑥) = -((ℝ D 𝐹)‘-𝑥))
252150fveq1d 6501 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)))‘𝑥) = ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥))‘𝑥))
253153fvmpt2 6605 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ∧ -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥) ∈ V) → ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥))‘𝑥) = -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥))
254152, 253mpan2 678 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) → ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥))‘𝑥) = -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥))
255252, 254sylan9eq 2835 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)))‘𝑥) = -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥))
256251, 255oveq12d 6994 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥)))‘𝑥) / ((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)))‘𝑥)) = (-((ℝ D 𝐹)‘-𝑥) / -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥)))
257195ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺))
258206necon3bd 2982 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺) → ((ℝ D 𝐺)‘-𝑥) ≠ 0))
259257, 258mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → ((ℝ D 𝐺)‘-𝑥) ≠ 0)
260118, 145, 259div2negd 11232 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (-((ℝ D 𝐹)‘-𝑥) / -((ℝ D 𝐺)‘-𝑥)) = (((ℝ D 𝐹)‘-𝑥) / ((ℝ D 𝐺)‘-𝑥)))
261256, 260eqtrd 2815 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥)))‘𝑥) / ((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)))‘𝑥)) = (((ℝ D 𝐹)‘-𝑥) / ((ℝ D 𝐺)‘-𝑥)))
262261mpteq2dva 5022 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥)))‘𝑥) / ((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)))‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘-𝑥) / ((ℝ D 𝐺)‘-𝑥))))
263247, 262syl5eq 2827 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝑦 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥)))‘𝑦) / ((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)))‘𝑦))) = (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘-𝑥) / ((ℝ D 𝐺)‘-𝑥))))
264263oveq1d 6991 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ((𝑦 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥)))‘𝑦) / ((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)))‘𝑦))) lim -𝐵) = ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘-𝑥) / ((ℝ D 𝐺)‘-𝑥))) lim -𝐵))
265231, 264eleqtrrd 2870 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐶 ∈ ((𝑦 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥)))‘𝑦) / ((ℝ D (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)))‘𝑦))) lim -𝐵))
26676, 78, 81, 82, 83, 128, 155, 183, 190, 194, 212, 265lhop1 24314 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐶 ∈ ((𝑦 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥))‘𝑦) / ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))‘𝑦))) lim -𝐵))
267 nffvmpt1 6510 . . . . . . . . 9 𝑥((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥))‘𝑦)
268 nffvmpt1 6510 . . . . . . . . 9 𝑥((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))‘𝑦)
269267, 238, 268nfov 7006 . . . . . . . 8 𝑥(((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥))‘𝑦) / ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))‘𝑦))
270 nfcv 2933 . . . . . . . 8 𝑦(((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥))‘𝑥) / ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))‘𝑥))
271 fveq2 6499 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥))‘𝑥))
272 fveq2 6499 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))‘𝑥))
273271, 272oveq12d 6994 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥))‘𝑦) / ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))‘𝑦)) = (((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥))‘𝑥) / ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))‘𝑥)))
274269, 270, 273cbvmpt 5027 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥))‘𝑦) / ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))‘𝑦))) = (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥))‘𝑥) / ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))‘𝑥)))
275 fvex 6512 . . . . . . . . . 10 (𝐹‘-𝑥) ∈ V
276 eqid 2779 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥)) = (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥))
277276fvmpt2 6605 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ∧ (𝐹‘-𝑥) ∈ V) → ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥))‘𝑥) = (𝐹‘-𝑥))
27826, 275, 277sylancl 577 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥))‘𝑥) = (𝐹‘-𝑥))
279 fvex 6512 . . . . . . . . . 10 (𝐺‘-𝑥) ∈ V
280 eqid 2779 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥)) = (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))
281280fvmpt2 6605 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ∧ (𝐺‘-𝑥) ∈ V) → ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))‘𝑥) = (𝐺‘-𝑥))
28226, 279, 281sylancl 577 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))‘𝑥) = (𝐺‘-𝑥))
283278, 282oveq12d 6994 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎)) → (((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥))‘𝑥) / ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))‘𝑥)) = ((𝐹‘-𝑥) / (𝐺‘-𝑥)))
284283mpteq2dva 5022 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥))‘𝑥) / ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ ((𝐹‘-𝑥) / (𝐺‘-𝑥))))
285274, 284syl5eq 2827 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝑦 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥))‘𝑦) / ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))‘𝑦))) = (𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ ((𝐹‘-𝑥) / (𝐺‘-𝑥))))
286285oveq1d 6991 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ((𝑦 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐹‘-𝑥))‘𝑦) / ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ (𝐺‘-𝑥))‘𝑦))) lim -𝐵) = ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ ((𝐹‘-𝑥) / (𝐺‘-𝑥))) lim -𝐵))
287266, 286eleqtrd 2869 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐶 ∈ ((𝑥 ∈ (-𝐵(,)-𝑎) ↦ ((𝐹‘-𝑥) / (𝐺‘-𝑥))) lim -𝐵))
288 negeq 10678 . . . . . 6 (𝑥 = -𝑧 → -𝑥 = --𝑧)
289288fveq2d 6503 . . . . 5 (𝑥 = -𝑧 → (𝐹‘-𝑥) = (𝐹‘--𝑧))
290288fveq2d 6503 . . . . 5 (𝑥 = -𝑧 → (𝐺‘-𝑥) = (𝐺‘--𝑧))
291289, 290oveq12d 6994 . . . 4 (𝑥 = -𝑧 → ((𝐹‘-𝑥) / (𝐺‘-𝑥)) = ((𝐹‘--𝑧) / (𝐺‘--𝑧)))
29276adantr 473 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵)) → -𝐵 ∈ ℝ)
293 eliooord 12612 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵) → (𝑎 < 𝑧𝑧 < 𝐵))
294293adantl 474 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵)) → (𝑎 < 𝑧𝑧 < 𝐵))
295294simprd 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵)) → 𝑧 < 𝐵)
29615, 13ltnegd 11019 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵)) → (𝑧 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝑧))
297295, 296mpbid 224 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵)) → -𝐵 < -𝑧)
298292, 297gtned 10575 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵)) → -𝑧 ≠ -𝐵)
299298neneqd 2973 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵)) → ¬ -𝑧 = -𝐵)
300299pm2.21d 119 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵)) → (-𝑧 = -𝐵 → ((𝐹‘--𝑧) / (𝐺‘--𝑧)) = 𝐶))
301300impr 447 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵) ∧ -𝑧 = -𝐵)) → ((𝐹‘--𝑧) / (𝐺‘--𝑧)) = 𝐶)
30219, 62, 75, 287, 291, 301limcco 24194 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘--𝑧) / (𝐺‘--𝑧))) lim 𝐵))
30315recnd 10468 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ ℂ)
304303negnegd 10789 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵)) → --𝑧 = 𝑧)
305304fveq2d 6503 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵)) → (𝐹‘--𝑧) = (𝐹𝑧))
306304fveq2d 6503 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵)) → (𝐺‘--𝑧) = (𝐺𝑧))
307305, 306oveq12d 6994 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵)) → ((𝐹‘--𝑧) / (𝐺‘--𝑧)) = ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))
308307mpteq2dva 5022 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘--𝑧) / (𝐺‘--𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))))
309308oveq1d 6991 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ((𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘--𝑧) / (𝐺‘--𝑧))) lim 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) lim 𝐵))
31039resmptd 5753 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) ↾ (𝑎(,)𝐵)) = (𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))))
311310oveq1d 6991 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) ↾ (𝑎(,)𝐵)) lim 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) lim 𝐵))
312 fss 6357 . . . . . . . . 9 ((𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
31388, 51, 312sylancl 577 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
314313ffvelrnda 6676 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
31553ffvelrnda 6676 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
31648ad2antrr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 0 ∈ ran 𝐺)
31750ffnd 6345 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐺 Fn (𝐴(,)𝐵))
318 fnfvelrn 6673 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 Fn (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ ran 𝐺)
319317, 318sylan 572 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ ran 𝐺)
320 eleq1 2854 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝑧) = 0 → ((𝐺𝑧) ∈ ran 𝐺 ↔ 0 ∈ ran 𝐺))
321319, 320syl5ibcom 237 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐺𝑧) = 0 → 0 ∈ ran 𝐺))
322321necon3bd 2982 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (¬ 0 ∈ ran 𝐺 → (𝐺𝑧) ≠ 0))
323316, 322mpd 15 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑧) ≠ 0)
324314, 315, 323divcld 11217 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
325324fmpttd 6702 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
326 ioossre 12614 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
327326, 51sstri 3868 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
328327a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
329 eqid 2779 . . . . 5 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
330 ssun2 4039 . . . . . . 7 {𝐵} ⊆ ((𝑎(,)𝐵) ∪ {𝐵})
331 snssg 4591 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ((𝑎(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ↔ {𝐵} ⊆ ((𝑎(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
33272, 331syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝐵 ∈ ((𝑎(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ↔ {𝐵} ⊆ ((𝑎(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
333330, 332mpbiri 250 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐵 ∈ ((𝑎(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
33499cnfldtopon 23094 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
335326a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
33672snssd 4616 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → {𝐵} ⊆ ℝ)
337335, 336unssd 4051 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ⊆ ℝ)
338337, 51syl6ss 3871 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ)
339 resttopon 21473 . . . . . . . . 9 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) ∈ (TopOn‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
340334, 338, 339sylancr 578 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) ∈ (TopOn‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
341 topontop 21225 . . . . . . . 8 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) ∈ (TopOn‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) ∈ Top)
342340, 341syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) ∈ Top)
343 indi 4138 . . . . . . . . . 10 ((𝑎(,)+∞) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) = (((𝑎(,)+∞) ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∪ ((𝑎(,)+∞) ∩ {𝐵}))
344 pnfxr 10494 . . . . . . . . . . . . . 14 +∞ ∈ ℝ*
345344a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → +∞ ∈ ℝ*)
3464adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
347 iooin 12588 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*)) → ((𝑎(,)+∞) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = (if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(+∞ ≤ 𝐵, +∞, 𝐵)))
34835, 345, 34, 346, 347syl22anc 826 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ((𝑎(,)+∞) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = (if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(+∞ ≤ 𝐵, +∞, 𝐵)))
349 xrltnle 10508 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑎 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑎 ↔ ¬ 𝑎𝐴))
35034, 35, 349syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝐴 < 𝑎 ↔ ¬ 𝑎𝐴))
35136, 350mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ¬ 𝑎𝐴)
352351iffalsed 4361 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) = 𝑎)
35372ltpnfd 12333 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐵 < +∞)
354 xrltnle 10508 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵 < +∞ ↔ ¬ +∞ ≤ 𝐵))
355346, 344, 354sylancl 577 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝐵 < +∞ ↔ ¬ +∞ ≤ 𝐵))
356353, 355mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ¬ +∞ ≤ 𝐵)
357356iffalsed 4361 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → if(+∞ ≤ 𝐵, +∞, 𝐵) = 𝐵)
358352, 357oveq12d 6994 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(+∞ ≤ 𝐵, +∞, 𝐵)) = (𝑎(,)𝐵))
359348, 358eqtrd 2815 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ((𝑎(,)+∞) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑎(,)𝐵))
360 elioopnf 12647 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (𝑎(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝐵)))
36135, 360syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝐵 ∈ (𝑎(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝐵)))
36272, 79, 361mpbir2and 700 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐵 ∈ (𝑎(,)+∞))
363362snssd 4616 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → {𝐵} ⊆ (𝑎(,)+∞))
364 sseqin2 4080 . . . . . . . . . . . 12 ({𝐵} ⊆ (𝑎(,)+∞) ↔ ((𝑎(,)+∞) ∩ {𝐵}) = {𝐵})
365363, 364sylib 210 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ((𝑎(,)+∞) ∩ {𝐵}) = {𝐵})
366359, 365uneq12d 4030 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (((𝑎(,)+∞) ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∪ ((𝑎(,)+∞) ∩ {𝐵})) = ((𝑎(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
367343, 366syl5eq 2827 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ((𝑎(,)+∞) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) = ((𝑎(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
368 retop 23073 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
369 reex 10426 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ∈ V
370369ssex 5081 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ⊆ ℝ → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∈ V)
371337, 370syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∈ V)
372 iooretop 23077 . . . . . . . . . . 11 (𝑎(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
373372a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (𝑎(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,)))
374 elrestr 16558 . . . . . . . . . 10 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∈ V ∧ (𝑎(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((𝑎(,)+∞) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
375368, 371, 373, 374mp3an2i 1445 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ((𝑎(,)+∞) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
376367, 375eqeltrrd 2868 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ((𝑎(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
377 eqid 2779 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
37899, 377rerest 23115 . . . . . . . . 9 (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
379337, 378syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
380376, 379eleqtrrd 2870 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ((𝑎(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
381 isopn3i 21394 . . . . . . 7 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) ∈ Top ∧ ((𝑎(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))‘((𝑎(,)𝐵) ∪ {𝐵})) = ((𝑎(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
382342, 380, 381syl2anc 576 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))‘((𝑎(,)𝐵) ∪ {𝐵})) = ((𝑎(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
383333, 382eleqtrrd 2870 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐵 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))‘((𝑎(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
384325, 39, 328, 99, 329, 383limcres 24187 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) ↾ (𝑎(,)𝐵)) lim 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) lim 𝐵))
385309, 311, 3843eqtr2d 2821 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → ((𝑧 ∈ (𝑎(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘--𝑧) / (𝐺‘--𝑧))) lim 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) lim 𝐵))
386302, 385eleqtrd 2869 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝑎𝑎 < 𝐵))) → 𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) lim 𝐵))
3879, 386rexlimddv 3237 1 (𝜑𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) lim 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2968  wrex 3090  Vcvv 3416  cun 3828  cin 3829  wss 3830  ifcif 4350  {csn 4441  {cpr 4443   class class class wbr 4929  cmpt 5008  dom cdm 5407  ran crn 5408  cres 5409   Fn wfn 6183  wf 6184  cfv 6188  (class class class)co 6976  cc 10333  cr 10334  0cc0 10335  1c1 10336   · cmul 10340  +∞cpnf 10471  *cxr 10473   < clt 10474  cle 10475  -cneg 10671   / cdiv 11098  cq 12162  (,)cioo 12554  t crest 16550  TopOpenctopn 16551  topGenctg 16567  fldccnfld 20247  Topctop 21205  TopOnctopon 21222  intcnt 21329  cnccncf 23187   lim climc 24163   D cdv 24164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413  ax-addf 10414  ax-mulf 10415
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-supp 7634  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-pm 8209  df-ixp 8260  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-fsupp 8629  df-fi 8670  df-sup 8701  df-inf 8702  df-oi 8769  df-card 9162  df-cda 9388  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-q 12163  df-rp 12205  df-xneg 12324  df-xadd 12325  df-xmul 12326  df-ioo 12558  df-ioc 12559  df-ico 12560  df-icc 12561  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-seq 13185  df-exp 13245  df-hash 13506  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-starv 16436  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-ip 16439  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-unif 16444  df-hom 16445  df-cco 16446  df-rest 16552  df-topn 16553  df-0g 16571  df-gsum 16572  df-topgen 16573  df-pt 16574  df-prds 16577  df-xrs 16631  df-qtop 16636  df-imas 16637  df-xps 16639  df-mre 16715  df-mrc 16716  df-acs 16718  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-submnd 17804  df-mulg 18012  df-cntz 18218  df-cmn 18668  df-psmet 20239  df-xmet 20240  df-met 20241  df-bl 20242  df-mopn 20243  df-fbas 20244  df-fg 20245  df-cnfld 20248  df-top 21206  df-topon 21223  df-topsp 21245  df-bases 21258  df-cld 21331  df-ntr 21332  df-cls 21333  df-nei 21410  df-lp 21448  df-perf 21449  df-cn 21539  df-cnp 21540  df-haus 21627  df-cmp 21699  df-tx 21874  df-hmeo 22067  df-fil 22158  df-fm 22250  df-flim 22251  df-flf 22252  df-xms 22633  df-ms 22634  df-tms 22635  df-cncf 23189  df-limc 24167  df-dv 24168
This theorem is referenced by:  lhop  24316  fourierdlem60  41880
  Copyright terms: Public domain W3C validator