Theorem itg2gt0cn 36133

Description: itg2gt0 25125 holds on functions continuous on an open interval in the absence of ax-cc 10371. The fourth hypothesis is made unnecessary by the continuity hypothesis. (Contributed by Brendan Leahy, 16-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2gt0cn.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
itg2gt0cn.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2gt0cn.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 0 < (𝐹‘𝑥))
itg2gt0cn.cn	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
itg2gt0cn	⊢ (𝜑 → 0 < (∫2‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg2gt0cn

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11202	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		imassrn 6024	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)) ⊆ ran 𝐹
3		itg2gt0cn.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
4	3	frnd 6676	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (0[,)+∞))
5		icossxr 13349	. . . . . 6 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
6	4, 5	sstrdi 3956	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ*)
7	2, 6	sstrid 3955	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)) ⊆ ℝ*)
8		supxrcl 13234	. . . 4 ⊢ ((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)) ⊆ ℝ* → sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
10		itg2gt0cn.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
11		ltrelxr 11216	. . . . . . . . . 10 ⊢ < ⊆ (ℝ* × ℝ*)
12	11	ssbri 5150	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 < 𝑌 → 𝑋(ℝ* × ℝ*)𝑌)
13	10, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋(ℝ* × ℝ*)𝑌)
14		brxp 5681	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋(ℝ* × ℝ*)𝑌 ↔ (𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑌 ∈ ℝ*))
15	13, 14	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑌 ∈ ℝ*))
16		ioon0 13290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑌 ∈ ℝ*) → ((𝑋(,)𝑌) ≠ ∅ ↔ 𝑋 < 𝑌))
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(,)𝑌) ≠ ∅ ↔ 𝑋 < 𝑌))
18	10, 17	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ≠ ∅)
19		itg2gt0cn.5	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 0 < (𝐹‘𝑥))
20	19	ralrimiva 3143	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < (𝐹‘𝑥))
21		r19.2z 4452	. . . . 5 ⊢ (((𝑋(,)𝑌) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < (𝐹‘𝑥)) → ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < (𝐹‘𝑥))
22	18, 20, 21	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < (𝐹‘𝑥))
23		supxrlub 13244	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)) ⊆ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (0 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑋(,)𝑌))0 < 𝑦))
24	7, 1, 23	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑋(,)𝑌))0 < 𝑦))
25	3	ffnd 6669	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℝ)
26		ioossre 13325	. . . . . 6 ⊢ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℝ
27		breq2 5109	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → (0 < 𝑦 ↔ 0 < (𝐹‘𝑥)))
28	27	rexima 7187	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn ℝ ∧ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℝ) → (∃𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑋(,)𝑌))0 < 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < (𝐹‘𝑥)))
29	25, 26, 28	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑋(,)𝑌))0 < 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < (𝐹‘𝑥)))
30	24, 29	bitrd 278	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < (𝐹‘𝑥)))
31	22, 30	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ))
32		qbtwnxr 13119	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ 0 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → ∃𝑦 ∈ ℚ (0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )))
33	1, 9, 31, 32	mp3an2i 1466	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℚ (0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )))
34		qre 12878	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ → 𝑦 ∈ ℝ)
35	34	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
36		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑦) → 0 < 𝑦)
37	35, 36	elrpd 12954	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ+)
38	37	anim1i 615	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )))
39	38	anasss 467	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ))) → (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )))
40		simplr 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → 𝑦 ∈ ℝ+)
41		rpxr 12924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℝ*)
42		supxrlub 13244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)) ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑋(,)𝑌))𝑦 < 𝑧))
43	7, 41, 42	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑋(,)𝑌))𝑦 < 𝑧))
44		breq2 5109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝐹‘𝑥) → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)))
45	44	rexima 7187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 Fn ℝ ∧ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℝ) → (∃𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑋(,)𝑌))𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)𝑦 < (𝐹‘𝑥)))
46	25, 26, 45	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑋(,)𝑌))𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)𝑦 < (𝐹‘𝑥)))
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑋(,)𝑌))𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)𝑦 < (𝐹‘𝑥)))
48	43, 47	bitrd 278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)𝑦 < (𝐹‘𝑥)))
49	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → 0 ∈ ℝ*)
50		ioorp 13342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0(,)+∞) = ℝ+
51		ioossicc 13350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0(,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
52	50, 51	eqsstrri 3979	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℝ+ ⊆ (0[,]+∞)
53	52	sseli 3940	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ (0[,]+∞))
54		0e0iccpnf 13376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
55		ifcl 4531	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) ∈ (0[,]+∞))
56	53, 54, 55	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) ∈ (0[,]+∞))
57	56	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) ∈ (0[,]+∞))
58	57	fmpttd 7063	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
59		itg2cl 25097	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))) ∈ ℝ*)
60	58, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))) ∈ ℝ*)
61	60	ad5antlr 733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))) ∈ ℝ*)
62		ifcl 4531	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0) ∈ (0[,]+∞))
63	53, 54, 62	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0) ∈ (0[,]+∞))
64	63	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0) ∈ (0[,]+∞))
65	64	fmpttd 7063	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
66		itg2cl 25097	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))) ∈ ℝ*)
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))) ∈ ℝ*)
68	67	ad5antlr 733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))) ∈ ℝ*)
69		rpre 12923	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℝ)
70	69	ad4antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ)
71		ioombl 24929	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))) ∈ dom vol
72		mblvol 24894	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))) ∈ dom vol → (vol‘(if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))) = (vol*‘(if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))))
73	71, 72	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (vol‘(if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))) = (vol*‘(if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))
74		elioore 13294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → 𝑥 ∈ ℝ)
75	74	ad3antlr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
76		rpre 12923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 𝑧 ∈ ℝ)
77	76	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑧 ∈ ℝ)
78	75, 77	resubcld 11583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℝ)
79	78	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧)) → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℝ)
80	78	rexrd 11205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℝ*)
81	80	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ¬ 𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧)) → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℝ*)
82	15	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
83	82	ad5antr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ¬ 𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧)) → 𝑋 ∈ ℝ*)
84	15	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ*)
85	84	ad5antr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ¬ 𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧)) → 𝑌 ∈ ℝ*)
86	82	ad4antr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ*)
87		xrltnle 11222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑥 − 𝑧) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑥 − 𝑧) < 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧)))
88	80, 86, 87	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝑥 − 𝑧) < 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧)))
89	88	biimpar 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ¬ 𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧)) → (𝑥 − 𝑧) < 𝑋)
90	10	ad5antr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ¬ 𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧)) → 𝑋 < 𝑌)
91		xrre2 13089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑥 − 𝑧) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑌 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑥 − 𝑧) < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝑌)) → 𝑋 ∈ ℝ)
92	81, 83, 85, 89, 90, 91	syl32anc 1378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ¬ 𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧)) → 𝑋 ∈ ℝ)
93	79, 92	ifclda 4521	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋) ∈ ℝ)
94	84	ad5antr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥)) → 𝑌 ∈ ℝ*)
95	77, 75	readdcld 11184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑧 + 𝑥) ∈ ℝ)
96	95	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥)) → (𝑧 + 𝑥) ∈ ℝ)
97		mnfxr 11212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
98	97	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
99		mnfle 13055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝑋)
100	82, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → -∞ ≤ 𝑋)
101	98, 82, 84, 100, 10	xrlelttrd 13079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝑌)
102	101	ad5antr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥)) → -∞ < 𝑌)
103		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥)) → 𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥))
104		xrre 13088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑌 ∈ ℝ* ∧ (𝑧 + 𝑥) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥))) → 𝑌 ∈ ℝ)
105	94, 96, 102, 103, 104	syl22anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥)) → 𝑌 ∈ ℝ)
106	95	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ¬ 𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥)) → (𝑧 + 𝑥) ∈ ℝ)
107	105, 106	ifclda 4521	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) ∈ ℝ)
108	75	rexrd 11205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ*)
109	84	ad4antr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑌 ∈ ℝ*)
110		rpgt0 12927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑧)
111	110	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑧)
112	77, 75	ltsubposd 11741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (0 < 𝑧 ↔ (𝑥 − 𝑧) < 𝑥))
113	111, 112	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑥 − 𝑧) < 𝑥)
114		eliooord 13323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → (𝑋 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑌))
115	114	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → 𝑥 < 𝑌)
116	115	ad3antlr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑥 < 𝑌)
117	80, 108, 109, 113, 116	xrlttrd 13078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑥 − 𝑧) < 𝑌)
118	77, 75	ltaddpos2d 11740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (0 < 𝑧 ↔ 𝑥 < (𝑧 + 𝑥)))
119	111, 118	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑥 < (𝑧 + 𝑥))
120	78, 75, 95, 113, 119	lttrd 11316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑥 − 𝑧) < (𝑧 + 𝑥))
121		breq2 5109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑌 = if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) → ((𝑥 − 𝑧) < 𝑌 ↔ (𝑥 − 𝑧) < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))
122		breq2 5109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 + 𝑥) = if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) → ((𝑥 − 𝑧) < (𝑧 + 𝑥) ↔ (𝑥 − 𝑧) < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))
123	121, 122	ifboth 4525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑥 − 𝑧) < 𝑌 ∧ (𝑥 − 𝑧) < (𝑧 + 𝑥)) → (𝑥 − 𝑧) < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))
124	117, 120, 123	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑥 − 𝑧) < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))
125	10	ad4antr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑋 < 𝑌)
126	95	rexrd 11205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑧 + 𝑥) ∈ ℝ*)
127	114	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → 𝑋 < 𝑥)
128	127	ad3antlr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑋 < 𝑥)
129	86, 108, 126, 128, 119	xrlttrd 13078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑋 < (𝑧 + 𝑥))
130		breq2 5109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑌 = if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) → (𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋 < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))
131		breq2 5109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 + 𝑥) = if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) → (𝑋 < (𝑧 + 𝑥) ↔ 𝑋 < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))
132	130, 131	ifboth 4525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑋 < (𝑧 + 𝑥)) → 𝑋 < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))
133	125, 129, 132	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑋 < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))
134		breq1 5108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 − 𝑧) = if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋) → ((𝑥 − 𝑧) < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) ↔ if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋) < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))
135		breq1 5108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑋 = if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋) → (𝑋 < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) ↔ if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋) < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))
136	134, 135	ifboth 4525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥 − 𝑧) < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) ∧ 𝑋 < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))) → if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋) < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))
137	124, 133, 136	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋) < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))
138	93, 107, 137	ltled 11303	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋) ≤ if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))
139		ovolioo 24932	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋) ∈ ℝ ∧ if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) ∈ ℝ ∧ if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋) ≤ if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))) → (vol*‘(if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))) = (if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) − if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)))
140	93, 107, 138, 139	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (vol*‘(if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))) = (if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) − if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)))
141	73, 140	eqtrid 2788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (vol‘(if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))) = (if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) − if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)))
142	107, 93	resubcld 11583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) − if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)) ∈ ℝ)
143	141, 142	eqeltrd 2838	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (vol‘(if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))) ∈ ℝ)
144		rpgt0 12927	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑦)
145	144	ad4antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑦)
146	93, 107	posdifd 11742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋) < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) ↔ 0 < (if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) − if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋))))
147	137, 146	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 0 < (if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) − if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)))
148	147, 141	breqtrrd 5133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 0 < (vol‘(if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))))
149	70, 143, 145, 148	mulgt0d 11310	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 0 < (𝑦 · (vol‘(if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))))
150		iooin 13298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑌 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑥 − 𝑧) ∈ ℝ* ∧ (𝑧 + 𝑥) ∈ ℝ*)) → ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))) = (if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))
151	86, 109, 80, 126, 150	syl22anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))) = (if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))
152	151	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))) ↔ 𝑤 ∈ (if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))))
153	152	ifbid 4509	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) = if(𝑤 ∈ (if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))
154	153	mpteq2dv 5207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ (if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)))
155	154	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))) = (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ (if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))))
156		rpge0 12928	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑦)
157		elrege0 13371	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦))
158	69, 156, 157	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ (0[,)+∞))
159	158	ad4antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ (0[,)+∞))
160		itg2const 25105	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))) ∈ dom vol ∧ (vol‘(if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ (if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))) = (𝑦 · (vol‘(if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))))
161	71, 143, 159, 160	mp3an2i 1466	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ (if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))) = (𝑦 · (vol‘(if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))))
162	155, 161	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))) = (𝑦 · (vol‘(if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))))
163	149, 162	breqtrrd 5133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))))
164	163	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → 0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))))
165	58	ad5antlr 733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
166	65	ad5antlr 733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
167		fvoveq1 7380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (abs‘(𝑢 − 𝑥)) = (abs‘(𝑤 − 𝑥)))
168	167	breq1d 5115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → ((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧))
169	168	imbrov2fvoveq 7382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦)) ↔ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))))
170	169	rspccva 3580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦)))
171		breq1 5108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = if(𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0) → (𝑦 ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0) ↔ if(𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0) ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0)))
172		breq1 5108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (0 = if(𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0) → (0 ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0) ↔ if(𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0) ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0)))
173	69	leidd 11721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ≤ 𝑦)
174	173	ad6antlr 735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))) → 𝑦 ≤ 𝑦)
175	74	ad4antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ)
176	76	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → 𝑧 ∈ ℝ)
177	175, 176	resubcld 11583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℝ)
178	177	rexrd 11205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℝ*)
179	176, 175	readdcld 11184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → (𝑧 + 𝑥) ∈ ℝ)
180	179	rexrd 11205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → (𝑧 + 𝑥) ∈ ℝ*)
181		elioo2 13305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑥 − 𝑧) ∈ ℝ* ∧ (𝑧 + 𝑥) ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝑥 − 𝑧) < 𝑤 ∧ 𝑤 < (𝑧 + 𝑥))))
182	178, 180, 181	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → (𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝑥 − 𝑧) < 𝑤 ∧ 𝑤 < (𝑧 + 𝑥))))
183		3anass 1095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝑥 − 𝑧) < 𝑤 ∧ 𝑤 < (𝑧 + 𝑥)) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ ((𝑥 − 𝑧) < 𝑤 ∧ 𝑤 < (𝑧 + 𝑥))))
184	182, 183	bitrdi 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → (𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ ((𝑥 − 𝑧) < 𝑤 ∧ 𝑤 < (𝑧 + 𝑥)))))
185		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
186	74	ad5antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
187	185, 186	resubcld 11583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 − 𝑥) ∈ ℝ)
188	76	ad3antlr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
189	187, 188	absltd 15314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 ↔ (-𝑧 < (𝑤 − 𝑥) ∧ (𝑤 − 𝑥) < 𝑧)))
190	188	renegcld 11582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → -𝑧 ∈ ℝ)
191	186, 190, 185	ltaddsub2d 11756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((𝑥 + -𝑧) < 𝑤 ↔ -𝑧 < (𝑤 − 𝑥)))
192	186	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
193	188	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
194	192, 193	negsubd 11518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑥 + -𝑧) = (𝑥 − 𝑧))
195	194	breq1d 5115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((𝑥 + -𝑧) < 𝑤 ↔ (𝑥 − 𝑧) < 𝑤))
196	191, 195	bitr3d 280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (-𝑧 < (𝑤 − 𝑥) ↔ (𝑥 − 𝑧) < 𝑤))
197	185, 186, 188	ltsubaddd 11751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((𝑤 − 𝑥) < 𝑧 ↔ 𝑤 < (𝑧 + 𝑥)))
198	196, 197	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((-𝑧 < (𝑤 − 𝑥) ∧ (𝑤 − 𝑥) < 𝑧) ↔ ((𝑥 − 𝑧) < 𝑤 ∧ 𝑤 < (𝑧 + 𝑥))))
199	189, 198	bitrd 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 ↔ ((𝑥 − 𝑧) < 𝑤 ∧ 𝑤 < (𝑧 + 𝑥))))
200	199	pm5.32da 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ ((𝑥 − 𝑧) < 𝑤 ∧ 𝑤 < (𝑧 + 𝑥)))))
201	184, 200	bitr4d 281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → (𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧)))
202	201	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))) → (𝑤 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧))
203		pm3.35 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))
204	203	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦)) ∧ (abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))
205	69	ad6antlr 735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
206		rge0ssre 13373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
207	3	ad4antr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
208	207	ffvelcdmda 7035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑤) ∈ (0[,)+∞))
209	206, 208	sselid 3942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑤) ∈ ℝ)
210	209	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦)) → (𝐹‘𝑤) ∈ ℝ)
211	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
212	211	ffvelcdmda 7035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
213	206, 212	sselid 3942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
214	74, 213	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
215	214	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
216	209, 215	resubcld 11583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
217	69	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑦 ∈ ℝ)
218	214, 217	resubcld 11583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝐹‘𝑥) − 𝑦) ∈ ℝ)
219	218	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) − 𝑦) ∈ ℝ)
220	216, 219	absltd 15314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦) ↔ (-((𝐹‘𝑥) − 𝑦) < ((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥)) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))))
221	214	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
222		rpcn 12925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℂ)
223	222	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑦 ∈ ℂ)
224	221, 223	negsubdi2d 11528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → -((𝐹‘𝑥) − 𝑦) = (𝑦 − (𝐹‘𝑥)))
225	224	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → -((𝐹‘𝑥) − 𝑦) = (𝑦 − (𝐹‘𝑥)))
226	225	breq1d 5115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (-((𝐹‘𝑥) − 𝑦) < ((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑦 − (𝐹‘𝑥)) < ((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))))
227	226	anbi1d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((-((𝐹‘𝑥) − 𝑦) < ((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥)) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦)) ↔ ((𝑦 − (𝐹‘𝑥)) < ((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥)) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))))
228	220, 227	bitrd 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦) ↔ ((𝑦 − (𝐹‘𝑥)) < ((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥)) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))))
229	228	simprbda 499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦)) → (𝑦 − (𝐹‘𝑥)) < ((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥)))
230	214	ad4antr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
231	205, 210, 230	ltsub1d 11764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦)) → (𝑦 < (𝐹‘𝑤) ↔ (𝑦 − (𝐹‘𝑥)) < ((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))))
232	229, 231	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦)) → 𝑦 < (𝐹‘𝑤))
233	205, 210, 232	ltled 11303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦)) → 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤))
234	204, 233	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦)) ∧ (abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧)) → 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤))
235	234	an4s 658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ (𝑤 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧)) → 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤))
236	202, 235	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))) → 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤))
237	236	iftrued 4494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))) → if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0) = 𝑦)
238	174, 237	breqtrrd 5133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))) → 𝑦 ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0))
239		0le0 12254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 0 ≤ 0
240		breq2 5109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0) → (0 ≤ 𝑦 ↔ 0 ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0)))
241		breq2 5109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (0 = if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0)))
242	240, 241	ifboth 4525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((0 ≤ 𝑦 ∧ 0 ≤ 0) → 0 ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0))
243	156, 239, 242	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0))
244	243	ad6antlr 735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))) → 0 ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0))
245	171, 172, 238, 244	ifbothda 4524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → if(𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0) ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0))
246	170, 245	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌))) → if(𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0) ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0))
247	246	anassrs 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → if(𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0) ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0))
248		iftrue 4492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) → if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0), 0) = if(𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0))
249	248	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0), 0) = if(𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0))
250		iftrue 4492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) → if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0), 0) = if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0))
251	250	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0), 0) = if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0))
252	247, 249, 251	3brtr4d 5137	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0), 0) ≤ if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0), 0))
253	252	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → (𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) → if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0), 0) ≤ if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0), 0)))
254	239	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (¬ 𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) → 0 ≤ 0)
255		iffalse 4495	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (¬ 𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) → if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0), 0) = 0)
256		iffalse 4495	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (¬ 𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) → if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0), 0) = 0)
257	254, 255, 256	3brtr4d 5137	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) → if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0), 0) ≤ if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0), 0))
258	253, 257	pm2.61d1 180	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0), 0) ≤ if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0), 0))
259		elin 3926	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))) ↔ (𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))))
260		ifbi 4508	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))) ↔ (𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)))) → if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) = if((𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))
261	259, 260	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) = if((𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)
262		ifan 4539	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ if((𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) = if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0), 0)
263	261, 262	eqtri 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) = if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0), 0)
264		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → (𝐹‘𝑣) = (𝐹‘𝑤))
265	264	breq2d 5117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → (𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣) ↔ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤)))
266	265	elrab 3645	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)} ↔ (𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤)))
267		ifbi 4508	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)} ↔ (𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤))) → if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0) = if((𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤)), 𝑦, 0))
268	266, 267	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0) = if((𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤)), 𝑦, 0)
269		ifan 4539	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ if((𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤)), 𝑦, 0) = if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0), 0)
270	268, 269	eqtri 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0) = if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0), 0)
271	258, 263, 270	3brtr4g 5139	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) ≤ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))
272	271	ralrimivw 3147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → ∀𝑤 ∈ ℝ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) ≤ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))
273		reex 11142	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℝ ∈ V
274	273	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → ℝ ∈ V)
275	56	ad6antlr 735	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) ∈ (0[,]+∞))
276	63	ad6antlr 735	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0) ∈ (0[,]+∞))
277		eqidd 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)))
278		eqidd 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0)))
279	274, 275, 276, 277, 278	ofrfval2 7638	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)) ∘r ≤ (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0)) ↔ ∀𝑤 ∈ ℝ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) ≤ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0)))
280	272, 279	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)) ∘r ≤ (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0)))
281		itg2le 25104	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)) ∘r ≤ (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))) ≤ (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))))
282	165, 166, 280, 281	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))) ≤ (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))))
283	49, 61, 68, 164, 282	xrltletrd 13080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → 0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))))
284		itg2gt0cn.cn	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
285	284	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥)) → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
286		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥)) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌))
287		fssres 6708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℝ) → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)):(𝑋(,)𝑌)⟶(0[,)+∞))
288	26, 287	mpan2 689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)):(𝑋(,)𝑌)⟶(0[,)+∞))
289		fss 6685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)):(𝑋(,)𝑌)⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)):(𝑋(,)𝑌)⟶ℝ)
290	206, 289	mpan2 689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)):(𝑋(,)𝑌)⟶(0[,)+∞) → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)):(𝑋(,)𝑌)⟶ℝ)
291	3, 288, 290	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)):(𝑋(,)𝑌)⟶ℝ)
292	291	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)):(𝑋(,)𝑌)⟶ℝ)
293	292	ffvelcdmda 7035	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) ∈ ℝ)
294	293, 217	resubcld 11583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦) ∈ ℝ)
295	294	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥)) → (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦) ∈ ℝ)
296	217, 293	posdifd 11742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑦 < ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) ↔ 0 < (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦)))
297	296	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥)) → 0 < (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦))
298	295, 297	elrpd 12954	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥)) → (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦) ∈ ℝ+)
299		cncfi 24257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦) ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑢) − ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥))) < (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦)))
300	285, 286, 298, 299	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑢) − ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥))) < (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦)))
301	300	ex 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑦 < ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑢) − ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥))) < (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦))))
302		fvres 6861	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
303	302	breq2d 5117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → (𝑦 < ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) ↔ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)))
304	303	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑦 < ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) ↔ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)))
305		fvres 6861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑢) = (𝐹‘𝑢))
306	305	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑢) = (𝐹‘𝑢))
307	302	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
308	306, 307	oveq12d 7375	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑢) − ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥)))
309	308	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑢) − ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥))) = (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))))
310	302	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦) = ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))
311	310	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦) = ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))
312	309, 311	breq12d 5118	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((abs‘(((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑢) − ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥))) < (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦) ↔ (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦)))
313	312	imbi2d 340	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑢) − ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥))) < (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦)) ↔ ((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))))
314	313	ralbidva 3172	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑢) − ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥))) < (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦)) ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))))
315	314	rexbidv 3175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑢) − ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥))) < (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦)) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))))
316	301, 304, 315	3imtr3d 292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑦 < (𝐹‘𝑥) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))))
317	316	imp 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦)))
318	283, 317	r19.29a 3159	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) → 0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))))
319	318	rexlimdva2 3154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)𝑦 < (𝐹‘𝑥) → 0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0)))))
320	48, 319	sylbid 239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ) → 0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0)))))
321	320	imp 407	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → 0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))))
322	65	ad2antlr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
323		icossicc 13353	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
324		fss 6685	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
325	3, 323, 324	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
326	325	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
327		breq1 5108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0) → (𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤) ↔ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0) ≤ (𝐹‘𝑤)))
328		breq1 5108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 = if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0) → (0 ≤ (𝐹‘𝑤) ↔ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0) ≤ (𝐹‘𝑤)))
329	266	simprbi 497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)} → 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤))
330	329	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}) → 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤))
331	3	ffvelcdmda 7035	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑤) ∈ (0[,)+∞))
332		elrege0 13371	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹‘𝑤) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑤) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑤)))
333	331, 332	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑤) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑤)))
334	333	simprd 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹‘𝑤))
335	334	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}) → 0 ≤ (𝐹‘𝑤))
336	327, 328, 330, 335	ifbothda 4524	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0) ≤ (𝐹‘𝑤))
337	336	ralrimiva 3143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0) ≤ (𝐹‘𝑤))
338	337	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → ∀𝑤 ∈ ℝ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0) ≤ (𝐹‘𝑤))
339	273	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → ℝ ∈ V)
340	63	ad3antlr 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0) ∈ (0[,]+∞))
341		fvexd 6857	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑤) ∈ V)
342		eqidd 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0)))
343	3	feqmptd 6910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑤)))
344	343	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → 𝐹 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑤)))
345	339, 340, 341, 342, 344	ofrfval2 7638	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0)) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑤 ∈ ℝ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0) ≤ (𝐹‘𝑤)))
346	338, 345	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0)) ∘r ≤ 𝐹)
347		itg2le 25104	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0)) ∘r ≤ 𝐹) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))) ≤ (∫2‘𝐹))
348	322, 326, 346, 347	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))) ≤ (∫2‘𝐹))
349	40, 321, 348	jca32 516	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))) ∧ (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))) ≤ (∫2‘𝐹))))
350	349	expl 458	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))) ∧ (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))) ≤ (∫2‘𝐹)))))
351	39, 350	syl5 34	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ))) → (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))) ∧ (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))) ≤ (∫2‘𝐹)))))
352	351	reximdv2 3161	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℚ (0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))) ∧ (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))) ≤ (∫2‘𝐹))))
353	67	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))) ∈ ℝ*)
354		itg2cl 25097	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ*)
355	325, 354	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ*)
356	355	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ*)
357		xrltletr 13076	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))) ∈ ℝ* ∧ (∫2‘𝐹) ∈ ℝ*) → ((0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))) ∧ (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))) ≤ (∫2‘𝐹)) → 0 < (∫2‘𝐹)))
358	1, 353, 356, 357	mp3an2i 1466	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))) ∧ (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))) ≤ (∫2‘𝐹)) → 0 < (∫2‘𝐹)))
359	358	rexlimdva 3152	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ+ (0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))) ∧ (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))) ≤ (∫2‘𝐹)) → 0 < (∫2‘𝐹)))
360	352, 359	syld 47	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℚ (0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → 0 < (∫2‘𝐹)))
361	33, 360	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 0 < (∫2‘𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3073  {crab 3407  Vcvv 3445   ∩ cin 3909   ⊆ wss 3910  ∅c0 4282  ifcif 4486   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188   × cxp 5631  dom cdm 5633  ran crn 5634   ↾ cres 5635   “ cima 5636   Fn wfn 6491  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∘_r cofr 7616  supcsup 9376  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054   · cmul 11056  +∞cpnf 11186  -∞cmnf 11187  ℝ^*cxr 11188   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385  -cneg 11386  ℚcq 12873  ℝ⁺crp 12915  (,)cioo 13264  [,)cico 13266  [,]cicc 13267  abscabs 15119  –cn→ccncf 24239  vol*covol 24826  volcvol 24827  ∫₂citg2 24980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-rest 17304  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-cmp 22738  df-cncf 24241  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985  df-0p 25034

This theorem is referenced by:  itggt0cn  36148