Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itg2gt0cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2gt0cn 36133
Description: itg2gt0 25125 holds on functions continuous on an open interval in the absence of ax-cc 10371. The fourth hypothesis is made unnecessary by the continuity hypothesis. (Contributed by Brendan Leahy, 16-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2gt0cn.2 (𝜑𝑋 < 𝑌)
itg2gt0cn.3 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2gt0cn.5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 0 < (𝐹𝑥))
itg2gt0cn.cn (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
Assertion
Ref Expression
itg2gt0cn (𝜑 → 0 < (∫2𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg2gt0cn
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0xr 11202 . . 3 0 ∈ ℝ*
2 imassrn 6024 . . . . 5 (𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)) ⊆ ran 𝐹
3 itg2gt0cn.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
43frnd 6676 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (0[,)+∞))
5 icossxr 13349 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
64, 5sstrdi 3956 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ*)
72, 6sstrid 3955 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)) ⊆ ℝ*)
8 supxrcl 13234 . . . 4 ((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)) ⊆ ℝ* → sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
97, 8syl 17 . . 3 (𝜑 → sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
10 itg2gt0cn.2 . . . . . 6 (𝜑𝑋 < 𝑌)
11 ltrelxr 11216 . . . . . . . . . 10 < ⊆ (ℝ* × ℝ*)
1211ssbri 5150 . . . . . . . . 9 (𝑋 < 𝑌𝑋(ℝ* × ℝ*)𝑌)
1310, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋(ℝ* × ℝ*)𝑌)
14 brxp 5681 . . . . . . . 8 (𝑋(ℝ* × ℝ*)𝑌 ↔ (𝑋 ∈ ℝ*𝑌 ∈ ℝ*))
1513, 14sylib 217 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ*𝑌 ∈ ℝ*))
16 ioon0 13290 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑌 ∈ ℝ*) → ((𝑋(,)𝑌) ≠ ∅ ↔ 𝑋 < 𝑌))
1715, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋(,)𝑌) ≠ ∅ ↔ 𝑋 < 𝑌))
1810, 17mpbird 256 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ≠ ∅)
19 itg2gt0cn.5 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 0 < (𝐹𝑥))
2019ralrimiva 3143 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < (𝐹𝑥))
21 r19.2z 4452 . . . . 5 (((𝑋(,)𝑌) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < (𝐹𝑥)) → ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < (𝐹𝑥))
2218, 20, 21syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < (𝐹𝑥))
23 supxrlub 13244 . . . . . 6 (((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)) ⊆ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (0 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑋(,)𝑌))0 < 𝑦))
247, 1, 23sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → (0 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑋(,)𝑌))0 < 𝑦))
253ffnd 6669 . . . . . 6 (𝜑𝐹 Fn ℝ)
26 ioossre 13325 . . . . . 6 (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℝ
27 breq2 5109 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐹𝑥) → (0 < 𝑦 ↔ 0 < (𝐹𝑥)))
2827rexima 7187 . . . . . 6 ((𝐹 Fn ℝ ∧ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℝ) → (∃𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑋(,)𝑌))0 < 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < (𝐹𝑥)))
2925, 26, 28sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑋(,)𝑌))0 < 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < (𝐹𝑥)))
3024, 29bitrd 278 . . . 4 (𝜑 → (0 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < (𝐹𝑥)))
3122, 30mpbird 256 . . 3 (𝜑 → 0 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ))
32 qbtwnxr 13119 . . 3 ((0 ∈ ℝ* ∧ sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ 0 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → ∃𝑦 ∈ ℚ (0 < 𝑦𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )))
331, 9, 31, 32mp3an2i 1466 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℚ (0 < 𝑦𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )))
34 qre 12878 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℚ → 𝑦 ∈ ℝ)
3534adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
36 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑦) → 0 < 𝑦)
3735, 36elrpd 12954 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ+)
3837anim1i 615 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )))
3938anasss 467 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑦𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ))) → (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )))
40 simplr 767 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → 𝑦 ∈ ℝ+)
41 rpxr 12924 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ*)
42 supxrlub 13244 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)) ⊆ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑋(,)𝑌))𝑦 < 𝑧))
437, 41, 42syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑋(,)𝑌))𝑦 < 𝑧))
44 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝐹𝑥) → (𝑦 < 𝑧𝑦 < (𝐹𝑥)))
4544rexima 7187 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 Fn ℝ ∧ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℝ) → (∃𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑋(,)𝑌))𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)𝑦 < (𝐹𝑥)))
4625, 26, 45sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑋(,)𝑌))𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)𝑦 < (𝐹𝑥)))
4746adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑋(,)𝑌))𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)𝑦 < (𝐹𝑥)))
4843, 47bitrd 278 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)𝑦 < (𝐹𝑥)))
491a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → 0 ∈ ℝ*)
50 ioorp 13342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0(,)+∞) = ℝ+
51 ioossicc 13350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0(,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
5250, 51eqsstrri 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 + ⊆ (0[,]+∞)
5352sseli 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (0[,]+∞))
54 0e0iccpnf 13376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ (0[,]+∞)
55 ifcl 4531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) ∈ (0[,]+∞))
5653, 54, 55sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ+ → if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) ∈ (0[,]+∞))
5756adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ) → if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) ∈ (0[,]+∞))
5857fmpttd 7063 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
59 itg2cl 25097 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))) ∈ ℝ*)
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ+ → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))) ∈ ℝ*)
6160ad5antlr 733 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))) ∈ ℝ*)
62 ifcl 4531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0) ∈ (0[,]+∞))
6353, 54, 62sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ+ → if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0) ∈ (0[,]+∞))
6463adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ) → if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0) ∈ (0[,]+∞))
6564fmpttd 7063 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
66 itg2cl 25097 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))) ∈ ℝ*)
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ+ → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))) ∈ ℝ*)
6867ad5antlr 733 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))) ∈ ℝ*)
69 rpre 12923 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)
7069ad4antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ)
71 ioombl 24929 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))) ∈ dom vol
72 mblvol 24894 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))) ∈ dom vol → (vol‘(if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))) = (vol*‘(if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))))
7371, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (vol‘(if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))) = (vol*‘(if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))
74 elioore 13294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → 𝑥 ∈ ℝ)
7574ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
76 rpre 12923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ)
7776adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑧 ∈ ℝ)
7875, 77resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑧) ∈ ℝ)
7978adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 ≤ (𝑥𝑧)) → (𝑥𝑧) ∈ ℝ)
8078rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑧) ∈ ℝ*)
8180adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ¬ 𝑋 ≤ (𝑥𝑧)) → (𝑥𝑧) ∈ ℝ*)
8215simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
8382ad5antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ¬ 𝑋 ≤ (𝑥𝑧)) → 𝑋 ∈ ℝ*)
8415simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑌 ∈ ℝ*)
8584ad5antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ¬ 𝑋 ≤ (𝑥𝑧)) → 𝑌 ∈ ℝ*)
8682ad4antr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ*)
87 xrltnle 11222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥𝑧) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝑧) < 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 ≤ (𝑥𝑧)))
8880, 86, 87syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝑥𝑧) < 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 ≤ (𝑥𝑧)))
8988biimpar 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ¬ 𝑋 ≤ (𝑥𝑧)) → (𝑥𝑧) < 𝑋)
9010ad5antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ¬ 𝑋 ≤ (𝑥𝑧)) → 𝑋 < 𝑌)
91 xrre2 13089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑥𝑧) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*𝑌 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑥𝑧) < 𝑋𝑋 < 𝑌)) → 𝑋 ∈ ℝ)
9281, 83, 85, 89, 90, 91syl32anc 1378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ¬ 𝑋 ≤ (𝑥𝑧)) → 𝑋 ∈ ℝ)
9379, 92ifclda 4521 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋) ∈ ℝ)
9484ad5antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥)) → 𝑌 ∈ ℝ*)
9577, 75readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑧 + 𝑥) ∈ ℝ)
9695adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥)) → (𝑧 + 𝑥) ∈ ℝ)
97 mnfxr 11212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 -∞ ∈ ℝ*
9897a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
99 mnfle 13055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑋 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝑋)
10082, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → -∞ ≤ 𝑋)
10198, 82, 84, 100, 10xrlelttrd 13079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → -∞ < 𝑌)
102101ad5antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥)) → -∞ < 𝑌)
103 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥)) → 𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥))
104 xrre 13088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑌 ∈ ℝ* ∧ (𝑧 + 𝑥) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝑌𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥))) → 𝑌 ∈ ℝ)
10594, 96, 102, 103, 104syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥)) → 𝑌 ∈ ℝ)
10695adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ¬ 𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥)) → (𝑧 + 𝑥) ∈ ℝ)
107105, 106ifclda 4521 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) ∈ ℝ)
10875rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ*)
10984ad4antr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑌 ∈ ℝ*)
110 rpgt0 12927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑧)
111110adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑧)
11277, 75ltsubposd 11741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (0 < 𝑧 ↔ (𝑥𝑧) < 𝑥))
113111, 112mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑧) < 𝑥)
114 eliooord 13323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → (𝑋 < 𝑥𝑥 < 𝑌))
115114simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → 𝑥 < 𝑌)
116115ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑥 < 𝑌)
11780, 108, 109, 113, 116xrlttrd 13078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑧) < 𝑌)
11877, 75ltaddpos2d 11740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (0 < 𝑧𝑥 < (𝑧 + 𝑥)))
119111, 118mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑥 < (𝑧 + 𝑥))
12078, 75, 95, 113, 119lttrd 11316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑧) < (𝑧 + 𝑥))
121 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑌 = if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) → ((𝑥𝑧) < 𝑌 ↔ (𝑥𝑧) < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))
122 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 + 𝑥) = if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) → ((𝑥𝑧) < (𝑧 + 𝑥) ↔ (𝑥𝑧) < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))
123121, 122ifboth 4525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥𝑧) < 𝑌 ∧ (𝑥𝑧) < (𝑧 + 𝑥)) → (𝑥𝑧) < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))
124117, 120, 123syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑧) < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))
12510ad4antr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑋 < 𝑌)
12695rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑧 + 𝑥) ∈ ℝ*)
127114simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → 𝑋 < 𝑥)
128127ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑋 < 𝑥)
12986, 108, 126, 128, 119xrlttrd 13078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑋 < (𝑧 + 𝑥))
130 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑌 = if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) → (𝑋 < 𝑌𝑋 < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))
131 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 + 𝑥) = if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) → (𝑋 < (𝑧 + 𝑥) ↔ 𝑋 < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))
132130, 131ifboth 4525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 < 𝑌𝑋 < (𝑧 + 𝑥)) → 𝑋 < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))
133125, 129, 132syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑋 < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))
134 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥𝑧) = if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋) → ((𝑥𝑧) < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) ↔ if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋) < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))
135 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑋 = if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋) → (𝑋 < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) ↔ if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋) < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))
136134, 135ifboth 4525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥𝑧) < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) ∧ 𝑋 < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))) → if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋) < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))
137124, 133, 136syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋) < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))
13893, 107, 137ltled 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋) ≤ if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))
139 ovolioo 24932 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋) ∈ ℝ ∧ if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) ∈ ℝ ∧ if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋) ≤ if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))) → (vol*‘(if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))) = (if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) − if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)))
14093, 107, 138, 139syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (vol*‘(if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))) = (if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) − if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)))
14173, 140eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (vol‘(if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))) = (if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) − if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)))
142107, 93resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) − if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)) ∈ ℝ)
143141, 142eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (vol‘(if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))) ∈ ℝ)
144 rpgt0 12927 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑦)
145144ad4antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑦)
14693, 107posdifd 11742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋) < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) ↔ 0 < (if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) − if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋))))
147137, 146mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 0 < (if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) − if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)))
148147, 141breqtrrd 5133 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 0 < (vol‘(if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))))
14970, 143, 145, 148mulgt0d 11310 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 0 < (𝑦 · (vol‘(if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))))
150 iooin 13298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑋 ∈ ℝ*𝑌 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑥𝑧) ∈ ℝ* ∧ (𝑧 + 𝑥) ∈ ℝ*)) → ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))) = (if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))
15186, 109, 80, 126, 150syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))) = (if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))
152151eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))) ↔ 𝑤 ∈ (if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))))
153152ifbid 4509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) = if(𝑤 ∈ (if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))
154153mpteq2dv 5207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ (if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)))
155154fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))) = (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ (if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))))
156 rpge0 12928 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑦)
157 elrege0 13371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦))
15869, 156, 157sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (0[,)+∞))
159158ad4antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ (0[,)+∞))
160 itg2const 25105 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))) ∈ dom vol ∧ (vol‘(if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ (if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))) = (𝑦 · (vol‘(if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))))
16171, 143, 159, 160mp3an2i 1466 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ (if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))) = (𝑦 · (vol‘(if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))))
162155, 161eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))) = (𝑦 · (vol‘(if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))))
163149, 162breqtrrd 5133 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))))
164163adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → 0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))))
16558ad5antlr 733 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
16665ad5antlr 733 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
167 fvoveq1 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑢 = 𝑤 → (abs‘(𝑢𝑥)) = (abs‘(𝑤𝑥)))
168167breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑢 = 𝑤 → ((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧))
169168imbrov2fvoveq 7382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑢 = 𝑤 → (((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦)) ↔ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))))
170169rspccva 3580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦)))
171 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = if(𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0) → (𝑦 ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0) ↔ if(𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0) ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0)))
172 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0 = if(𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0) → (0 ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0) ↔ if(𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0) ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0)))
17369leidd 11721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦𝑦)
174173ad6antlr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))) → 𝑦𝑦)
17574ad4antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ)
17676ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → 𝑧 ∈ ℝ)
177175, 176resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → (𝑥𝑧) ∈ ℝ)
178177rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → (𝑥𝑧) ∈ ℝ*)
179176, 175readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → (𝑧 + 𝑥) ∈ ℝ)
180179rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → (𝑧 + 𝑥) ∈ ℝ*)
181 elioo2 13305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑥𝑧) ∈ ℝ* ∧ (𝑧 + 𝑥) ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧) < 𝑤𝑤 < (𝑧 + 𝑥))))
182178, 180, 181syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → (𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧) < 𝑤𝑤 < (𝑧 + 𝑥))))
183 3anass 1095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧) < 𝑤𝑤 < (𝑧 + 𝑥)) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ ((𝑥𝑧) < 𝑤𝑤 < (𝑧 + 𝑥))))
184182, 183bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → (𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ ((𝑥𝑧) < 𝑤𝑤 < (𝑧 + 𝑥)))))
185 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
18674ad5antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
187185, 186resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤𝑥) ∈ ℝ)
18876ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
189187, 188absltd 15314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 ↔ (-𝑧 < (𝑤𝑥) ∧ (𝑤𝑥) < 𝑧)))
190188renegcld 11582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → -𝑧 ∈ ℝ)
191186, 190, 185ltaddsub2d 11756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((𝑥 + -𝑧) < 𝑤 ↔ -𝑧 < (𝑤𝑥)))
192186recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
193188recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
194192, 193negsubd 11518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑥 + -𝑧) = (𝑥𝑧))
195194breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((𝑥 + -𝑧) < 𝑤 ↔ (𝑥𝑧) < 𝑤))
196191, 195bitr3d 280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (-𝑧 < (𝑤𝑥) ↔ (𝑥𝑧) < 𝑤))
197185, 186, 188ltsubaddd 11751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((𝑤𝑥) < 𝑧𝑤 < (𝑧 + 𝑥)))
198196, 197anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((-𝑧 < (𝑤𝑥) ∧ (𝑤𝑥) < 𝑧) ↔ ((𝑥𝑧) < 𝑤𝑤 < (𝑧 + 𝑥))))
199189, 198bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 ↔ ((𝑥𝑧) < 𝑤𝑤 < (𝑧 + 𝑥))))
200199pm5.32da 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ ((𝑥𝑧) < 𝑤𝑤 < (𝑧 + 𝑥)))))
201184, 200bitr4d 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → (𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧)))
202201biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))) → (𝑤 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧))
203 pm3.35 801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))
204203ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦)) ∧ (abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))
20569ad6antlr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
206 rge0ssre 13373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2073ad4antr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
208207ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝐹𝑤) ∈ (0[,)+∞))
209206, 208sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝐹𝑤) ∈ ℝ)
210209adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦)) → (𝐹𝑤) ∈ ℝ)
2113adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
212211ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))
213206, 212sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
21474, 213sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
215214ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
216209, 215resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
21769ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑦 ∈ ℝ)
218214, 217resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝐹𝑥) − 𝑦) ∈ ℝ)
219218ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) − 𝑦) ∈ ℝ)
220216, 219absltd 15314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦) ↔ (-((𝐹𝑥) − 𝑦) < ((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥)) ∧ ((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥)) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))))
221214recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
222 rpcn 12925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℂ)
223222ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑦 ∈ ℂ)
224221, 223negsubdi2d 11528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → -((𝐹𝑥) − 𝑦) = (𝑦 − (𝐹𝑥)))
225224ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → -((𝐹𝑥) − 𝑦) = (𝑦 − (𝐹𝑥)))
226225breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (-((𝐹𝑥) − 𝑦) < ((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥)) ↔ (𝑦 − (𝐹𝑥)) < ((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))))
227226anbi1d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((-((𝐹𝑥) − 𝑦) < ((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥)) ∧ ((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥)) < ((𝐹𝑥) − 𝑦)) ↔ ((𝑦 − (𝐹𝑥)) < ((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥)) ∧ ((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥)) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))))
228220, 227bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦) ↔ ((𝑦 − (𝐹𝑥)) < ((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥)) ∧ ((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥)) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))))
229228simprbda 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦)) → (𝑦 − (𝐹𝑥)) < ((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥)))
230214ad4antr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
231205, 210, 230ltsub1d 11764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦)) → (𝑦 < (𝐹𝑤) ↔ (𝑦 − (𝐹𝑥)) < ((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))))
232229, 231mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦)) → 𝑦 < (𝐹𝑤))
233205, 210, 232ltled 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦)) → 𝑦 ≤ (𝐹𝑤))
234204, 233sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦)) ∧ (abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧)) → 𝑦 ≤ (𝐹𝑤))
235234an4s 658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ (𝑤 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧)) → 𝑦 ≤ (𝐹𝑤))
236202, 235syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))) → 𝑦 ≤ (𝐹𝑤))
237236iftrued 4494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))) → if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0) = 𝑦)
238174, 237breqtrrd 5133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))) → 𝑦 ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0))
239 0le0 12254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 0 ≤ 0
240 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 = if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0) → (0 ≤ 𝑦 ↔ 0 ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0)))
241 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0 = if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0)))
242240, 241ifboth 4525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((0 ≤ 𝑦 ∧ 0 ≤ 0) → 0 ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0))
243156, 239, 242sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0))
244243ad6antlr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))) → 0 ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0))
245171, 172, 238, 244ifbothda 4524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → if(𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0) ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0))
246170, 245sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌))) → if(𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0) ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0))
247246anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → if(𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0) ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0))
248 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) → if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0), 0) = if(𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0))
249248adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0), 0) = if(𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0))
250 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) → if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0), 0) = if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0))
251250adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0), 0) = if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0))
252247, 249, 2513brtr4d 5137 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0), 0) ≤ if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0), 0))
253252ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → (𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) → if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0), 0) ≤ if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0), 0)))
254239a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) → 0 ≤ 0)
255 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) → if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0), 0) = 0)
256 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) → if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0), 0) = 0)
257254, 255, 2563brtr4d 5137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) → if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0), 0) ≤ if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0), 0))
258253, 257pm2.61d1 180 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0), 0) ≤ if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0), 0))
259 elin 3926 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))) ↔ (𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))))
260 ifbi 4508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))) ↔ (𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)))) → if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) = if((𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))
261259, 260ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) = if((𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)
262 ifan 4539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 if((𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) = if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0), 0)
263261, 262eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) = if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0), 0)
264 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣 = 𝑤 → (𝐹𝑣) = (𝐹𝑤))
265264breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣 = 𝑤 → (𝑦 ≤ (𝐹𝑣) ↔ 𝑦 ≤ (𝐹𝑤)))
266265elrab 3645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)} ↔ (𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ 𝑦 ≤ (𝐹𝑤)))
267 ifbi 4508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)} ↔ (𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ 𝑦 ≤ (𝐹𝑤))) → if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0) = if((𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ 𝑦 ≤ (𝐹𝑤)), 𝑦, 0))
268266, 267ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0) = if((𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ 𝑦 ≤ (𝐹𝑤)), 𝑦, 0)
269 ifan 4539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 if((𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ 𝑦 ≤ (𝐹𝑤)), 𝑦, 0) = if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0), 0)
270268, 269eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0) = if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0), 0)
271258, 263, 2703brtr4g 5139 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) ≤ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))
272271ralrimivw 3147 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → ∀𝑤 ∈ ℝ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) ≤ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))
273 reex 11142 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ ∈ V
274273a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → ℝ ∈ V)
27556ad6antlr 735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) ∈ (0[,]+∞))
27663ad6antlr 735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0) ∈ (0[,]+∞))
277 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)))
278 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0)))
279274, 275, 276, 277, 278ofrfval2 7638 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)) ∘r ≤ (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0)) ↔ ∀𝑤 ∈ ℝ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) ≤ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0)))
280272, 279mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)) ∘r ≤ (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0)))
281 itg2le 25104 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)) ∘r ≤ (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))) ≤ (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))))
282165, 166, 280, 281syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))) ≤ (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))))
28349, 61, 68, 164, 282xrltletrd 13080 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → 0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))))
284 itg2gt0cn.cn . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
285284ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥)) → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
286 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥)) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌))
287 fssres 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℝ) → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)):(𝑋(,)𝑌)⟶(0[,)+∞))
28826, 287mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)):(𝑋(,)𝑌)⟶(0[,)+∞))
289 fss 6685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)):(𝑋(,)𝑌)⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)):(𝑋(,)𝑌)⟶ℝ)
290206, 289mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)):(𝑋(,)𝑌)⟶(0[,)+∞) → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)):(𝑋(,)𝑌)⟶ℝ)
2913, 288, 2903syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)):(𝑋(,)𝑌)⟶ℝ)
292291adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)):(𝑋(,)𝑌)⟶ℝ)
293292ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) ∈ ℝ)
294293, 217resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦) ∈ ℝ)
295294adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥)) → (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦) ∈ ℝ)
296217, 293posdifd 11742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑦 < ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) ↔ 0 < (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦)))
297296biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥)) → 0 < (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦))
298295, 297elrpd 12954 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥)) → (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦) ∈ ℝ+)
299 cncfi 24257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦) ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑢) − ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥))) < (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦)))
300285, 286, 298, 299syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑢) − ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥))) < (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦)))
301300ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑦 < ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑢) − ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥))) < (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦))))
302 fvres 6861 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
303302breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → (𝑦 < ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) ↔ 𝑦 < (𝐹𝑥)))
304303adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑦 < ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) ↔ 𝑦 < (𝐹𝑥)))
305 fvres 6861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑢) = (𝐹𝑢))
306305adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑢) = (𝐹𝑢))
307302ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
308306, 307oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑢) − ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥)) = ((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥)))
309308fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑢) − ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥))) = (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))))
310302oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦) = ((𝐹𝑥) − 𝑦))
311310ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦) = ((𝐹𝑥) − 𝑦))
312309, 311breq12d 5118 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((abs‘(((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑢) − ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥))) < (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦) ↔ (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦)))
313312imbi2d 340 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑢) − ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥))) < (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦)) ↔ ((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))))
314313ralbidva 3172 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑢) − ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥))) < (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦)) ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))))
315314rexbidv 3175 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑢) − ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥))) < (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦)) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))))
316301, 304, 3153imtr3d 292 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑦 < (𝐹𝑥) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))))
317316imp 407 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦)))
318283, 317r19.29a 3159 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) → 0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))))
319318rexlimdva2 3154 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)𝑦 < (𝐹𝑥) → 0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0)))))
32048, 319sylbid 239 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ) → 0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0)))))
321320imp 407 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → 0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))))
32265ad2antlr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
323 icossicc 13353 . . . . . . . . . 10 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
324 fss 6685 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
3253, 323, 324sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
326325ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
327 breq1 5108 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0) → (𝑦 ≤ (𝐹𝑤) ↔ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0) ≤ (𝐹𝑤)))
328 breq1 5108 . . . . . . . . . . . 12 (0 = if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0) → (0 ≤ (𝐹𝑤) ↔ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0) ≤ (𝐹𝑤)))
329266simprbi 497 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)} → 𝑦 ≤ (𝐹𝑤))
330329adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}) → 𝑦 ≤ (𝐹𝑤))
3313ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → (𝐹𝑤) ∈ (0[,)+∞))
332 elrege0 13371 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑤) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑤) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑤)))
333331, 332sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑤) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑤)))
334333simprd 496 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹𝑤))
335334adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}) → 0 ≤ (𝐹𝑤))
336327, 328, 330, 335ifbothda 4524 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0) ≤ (𝐹𝑤))
337336ralrimiva 3143 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0) ≤ (𝐹𝑤))
338337ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → ∀𝑤 ∈ ℝ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0) ≤ (𝐹𝑤))
339273a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → ℝ ∈ V)
34063ad3antlr 729 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0) ∈ (0[,]+∞))
341 fvexd 6857 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝐹𝑤) ∈ V)
342 eqidd 2737 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0)))
3433feqmptd 6910 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑤)))
344343ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → 𝐹 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑤)))
345339, 340, 341, 342, 344ofrfval2 7638 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0)) ∘r𝐹 ↔ ∀𝑤 ∈ ℝ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0) ≤ (𝐹𝑤)))
346338, 345mpbird 256 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0)) ∘r𝐹)
347 itg2le 25104 . . . . . . . 8 (((𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0)) ∘r𝐹) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))) ≤ (∫2𝐹))
348322, 326, 346, 347syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))) ≤ (∫2𝐹))
34940, 321, 348jca32 516 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))) ∧ (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))) ≤ (∫2𝐹))))
350349expl 458 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ+𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))) ∧ (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))) ≤ (∫2𝐹)))))
35139, 350syl5 34 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑦𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ))) → (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))) ∧ (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))) ≤ (∫2𝐹)))))
352351reximdv2 3161 . . 3 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℚ (0 < 𝑦𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))) ∧ (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))) ≤ (∫2𝐹))))
35367adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))) ∈ ℝ*)
354 itg2cl 25097 . . . . . . 7 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
355325, 354syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
356355adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
357 xrltletr 13076 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))) ∈ ℝ* ∧ (∫2𝐹) ∈ ℝ*) → ((0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))) ∧ (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))) ≤ (∫2𝐹)) → 0 < (∫2𝐹)))
3581, 353, 356, 357mp3an2i 1466 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ((0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))) ∧ (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))) ≤ (∫2𝐹)) → 0 < (∫2𝐹)))
359358rexlimdva 3152 . . 3 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ+ (0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))) ∧ (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))) ≤ (∫2𝐹)) → 0 < (∫2𝐹)))
360352, 359syld 47 . 2 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℚ (0 < 𝑦𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → 0 < (∫2𝐹)))
36133, 360mpd 15 1 (𝜑 → 0 < (∫2𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  Vcvv 3445  cin 3909  wss 3910  c0 4282  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631  dom cdm 5633  ran crn 5634  cres 5635  cima 5636   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  r cofr 7616  supcsup 9376  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054   · cmul 11056  +∞cpnf 11186  -∞cmnf 11187  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386  cq 12873  +crp 12915  (,)cioo 13264  [,)cico 13266  [,]cicc 13267  abscabs 15119  cnccncf 24239  vol*covol 24826  volcvol 24827  2citg2 24980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-rest 17304  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-cmp 22738  df-cncf 24241  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985  df-0p 25034
This theorem is referenced by:  itggt0cn  36148
  Copyright terms: Public domain W3C validator