Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itg2gt0cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2gt0cn 33771
Description: itg2gt0 23735 holds on functions continuous on an open interval in the absence of ax-cc 9536. The fourth hypothesis is made unnecessary by the continuity hypothesis. (Contributed by Brendan Leahy, 16-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2gt0cn.2 (𝜑𝑋 < 𝑌)
itg2gt0cn.3 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2gt0cn.5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 0 < (𝐹𝑥))
itg2gt0cn.cn (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
Assertion
Ref Expression
itg2gt0cn (𝜑 → 0 < (∫2𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg2gt0cn
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0xr 10365 . . 3 0 ∈ ℝ*
2 imassrn 5681 . . . . 5 (𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)) ⊆ ran 𝐹
3 itg2gt0cn.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
43frnd 6257 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (0[,)+∞))
5 icossxr 12470 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
64, 5syl6ss 3804 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ*)
72, 6syl5ss 3803 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)) ⊆ ℝ*)
8 supxrcl 12357 . . . 4 ((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)) ⊆ ℝ* → sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
97, 8syl 17 . . 3 (𝜑 → sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
10 itg2gt0cn.2 . . . . . 6 (𝜑𝑋 < 𝑌)
11 ltrelxr 10378 . . . . . . . . . 10 < ⊆ (ℝ* × ℝ*)
1211ssbri 4882 . . . . . . . . 9 (𝑋 < 𝑌𝑋(ℝ* × ℝ*)𝑌)
1310, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋(ℝ* × ℝ*)𝑌)
14 brxp 5341 . . . . . . . 8 (𝑋(ℝ* × ℝ*)𝑌 ↔ (𝑋 ∈ ℝ*𝑌 ∈ ℝ*))
1513, 14sylib 209 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ*𝑌 ∈ ℝ*))
16 ioon0 12413 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑌 ∈ ℝ*) → ((𝑋(,)𝑌) ≠ ∅ ↔ 𝑋 < 𝑌))
1715, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋(,)𝑌) ≠ ∅ ↔ 𝑋 < 𝑌))
1810, 17mpbird 248 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ≠ ∅)
19 itg2gt0cn.5 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 0 < (𝐹𝑥))
2019ralrimiva 3150 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < (𝐹𝑥))
21 r19.2z 4249 . . . . 5 (((𝑋(,)𝑌) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < (𝐹𝑥)) → ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < (𝐹𝑥))
2218, 20, 21syl2anc 575 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < (𝐹𝑥))
23 supxrlub 12367 . . . . . 6 (((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)) ⊆ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (0 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑋(,)𝑌))0 < 𝑦))
247, 1, 23sylancl 576 . . . . 5 (𝜑 → (0 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑋(,)𝑌))0 < 𝑦))
253ffnd 6251 . . . . . 6 (𝜑𝐹 Fn ℝ)
26 ioossre 12447 . . . . . 6 (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℝ
27 breq2 4841 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐹𝑥) → (0 < 𝑦 ↔ 0 < (𝐹𝑥)))
2827rexima 6716 . . . . . 6 ((𝐹 Fn ℝ ∧ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℝ) → (∃𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑋(,)𝑌))0 < 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < (𝐹𝑥)))
2925, 26, 28sylancl 576 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑋(,)𝑌))0 < 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < (𝐹𝑥)))
3024, 29bitrd 270 . . . 4 (𝜑 → (0 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < (𝐹𝑥)))
3122, 30mpbird 248 . . 3 (𝜑 → 0 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ))
32 qbtwnxr 12243 . . 3 ((0 ∈ ℝ* ∧ sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ 0 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → ∃𝑦 ∈ ℚ (0 < 𝑦𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )))
331, 9, 31, 32mp3an2i 1583 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℚ (0 < 𝑦𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )))
34 qre 12006 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℚ → 𝑦 ∈ ℝ)
3534adantr 468 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
36 simpr 473 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑦) → 0 < 𝑦)
3735, 36elrpd 12077 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ+)
3837anim1i 604 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )))
3938anasss 454 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑦𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ))) → (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )))
40 simplr 776 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → 𝑦 ∈ ℝ+)
41 rpxr 12048 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ*)
42 supxrlub 12367 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)) ⊆ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑋(,)𝑌))𝑦 < 𝑧))
437, 41, 42syl2an 585 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑋(,)𝑌))𝑦 < 𝑧))
44 breq2 4841 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝐹𝑥) → (𝑦 < 𝑧𝑦 < (𝐹𝑥)))
4544rexima 6716 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 Fn ℝ ∧ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℝ) → (∃𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑋(,)𝑌))𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)𝑦 < (𝐹𝑥)))
4625, 26, 45sylancl 576 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑋(,)𝑌))𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)𝑦 < (𝐹𝑥)))
4746adantr 468 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑋(,)𝑌))𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)𝑦 < (𝐹𝑥)))
4843, 47bitrd 270 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)𝑦 < (𝐹𝑥)))
491a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → 0 ∈ ℝ*)
50 ioorp 12463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0(,)+∞) = ℝ+
51 ioossicc 12471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0(,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
5250, 51eqsstr3i 3827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 + ⊆ (0[,]+∞)
5352sseli 3788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (0[,]+∞))
54 0e0iccpnf 12497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ (0[,]+∞)
55 ifcl 4317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) ∈ (0[,]+∞))
5653, 54, 55sylancl 576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℝ+ → if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) ∈ (0[,]+∞))
5756adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ) → if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) ∈ (0[,]+∞))
5857fmpttd 6601 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
59 itg2cl 23707 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))) ∈ ℝ*)
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ+ → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))) ∈ ℝ*)
6160ad5antlr 721 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))) ∈ ℝ*)
62 ifcl 4317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0) ∈ (0[,]+∞))
6353, 54, 62sylancl 576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℝ+ → if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0) ∈ (0[,]+∞))
6463adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ) → if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0) ∈ (0[,]+∞))
6564fmpttd 6601 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
66 itg2cl 23707 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))) ∈ ℝ*)
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ+ → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))) ∈ ℝ*)
6867ad5antlr 721 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))) ∈ ℝ*)
69 rpre 12047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)
7069ad4antlr 717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ)
71 ioombl 23540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))) ∈ dom vol
72 mblvol 23505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))) ∈ dom vol → (vol‘(if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))) = (vol*‘(if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))))
7371, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (vol‘(if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))) = (vol*‘(if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))
74 elioore 12417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → 𝑥 ∈ ℝ)
7574ad3antlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
76 rpre 12047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ)
7776adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑧 ∈ ℝ)
7875, 77resubcld 10737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑧) ∈ ℝ)
7978adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 ≤ (𝑥𝑧)) → (𝑥𝑧) ∈ ℝ)
8078rexrd 10368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑧) ∈ ℝ*)
8180adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ¬ 𝑋 ≤ (𝑥𝑧)) → (𝑥𝑧) ∈ ℝ*)
8215simpld 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
8382ad5antr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ¬ 𝑋 ≤ (𝑥𝑧)) → 𝑋 ∈ ℝ*)
8415simprd 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑌 ∈ ℝ*)
8584ad5antr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ¬ 𝑋 ≤ (𝑥𝑧)) → 𝑌 ∈ ℝ*)
8682ad4antr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ*)
87 xrltnle 10384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑥𝑧) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝑧) < 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 ≤ (𝑥𝑧)))
8880, 86, 87syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝑥𝑧) < 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 ≤ (𝑥𝑧)))
8988biimpar 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ¬ 𝑋 ≤ (𝑥𝑧)) → (𝑥𝑧) < 𝑋)
9010ad5antr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ¬ 𝑋 ≤ (𝑥𝑧)) → 𝑋 < 𝑌)
91 xrre2 12213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑥𝑧) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*𝑌 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑥𝑧) < 𝑋𝑋 < 𝑌)) → 𝑋 ∈ ℝ)
9281, 83, 85, 89, 90, 91syl32anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ¬ 𝑋 ≤ (𝑥𝑧)) → 𝑋 ∈ ℝ)
9379, 92ifclda 4307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋) ∈ ℝ)
9484ad5antr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥)) → 𝑌 ∈ ℝ*)
9577, 75readdcld 10348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑧 + 𝑥) ∈ ℝ)
9695adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥)) → (𝑧 + 𝑥) ∈ ℝ)
97 mnfxr 10375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 -∞ ∈ ℝ*
9897a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
99 mnfle 12179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑋 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝑋)
10082, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → -∞ ≤ 𝑋)
10198, 82, 84, 100, 10xrlelttrd 12203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → -∞ < 𝑌)
102101ad5antr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥)) → -∞ < 𝑌)
103 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥)) → 𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥))
104 xrre 12212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑌 ∈ ℝ* ∧ (𝑧 + 𝑥) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝑌𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥))) → 𝑌 ∈ ℝ)
10594, 96, 102, 103, 104syl22anc 858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥)) → 𝑌 ∈ ℝ)
10695adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ¬ 𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥)) → (𝑧 + 𝑥) ∈ ℝ)
107105, 106ifclda 4307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) ∈ ℝ)
10875rexrd 10368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ*)
10984ad4antr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑌 ∈ ℝ*)
110 rpgt0 12052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑧)
111110adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑧)
11277, 75ltsubposd 10892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (0 < 𝑧 ↔ (𝑥𝑧) < 𝑥))
113111, 112mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑧) < 𝑥)
114 eliooord 12445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → (𝑋 < 𝑥𝑥 < 𝑌))
115114simprd 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → 𝑥 < 𝑌)
116115ad3antlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑥 < 𝑌)
11780, 108, 109, 113, 116xrlttrd 12202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑧) < 𝑌)
11877, 75ltaddpos2d 10891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (0 < 𝑧𝑥 < (𝑧 + 𝑥)))
119111, 118mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑥 < (𝑧 + 𝑥))
12078, 75, 95, 113, 119lttrd 10477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑧) < (𝑧 + 𝑥))
121 breq2 4841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑌 = if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) → ((𝑥𝑧) < 𝑌 ↔ (𝑥𝑧) < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))
122 breq2 4841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧 + 𝑥) = if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) → ((𝑥𝑧) < (𝑧 + 𝑥) ↔ (𝑥𝑧) < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))
123121, 122ifboth 4311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥𝑧) < 𝑌 ∧ (𝑥𝑧) < (𝑧 + 𝑥)) → (𝑥𝑧) < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))
124117, 120, 123syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑧) < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))
12510ad4antr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑋 < 𝑌)
12695rexrd 10368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑧 + 𝑥) ∈ ℝ*)
127114simpld 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → 𝑋 < 𝑥)
128127ad3antlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑋 < 𝑥)
12986, 108, 126, 128, 119xrlttrd 12202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑋 < (𝑧 + 𝑥))
130 breq2 4841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑌 = if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) → (𝑋 < 𝑌𝑋 < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))
131 breq2 4841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧 + 𝑥) = if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) → (𝑋 < (𝑧 + 𝑥) ↔ 𝑋 < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))
132130, 131ifboth 4311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 < 𝑌𝑋 < (𝑧 + 𝑥)) → 𝑋 < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))
133125, 129, 132syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑋 < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))
134 breq1 4840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥𝑧) = if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋) → ((𝑥𝑧) < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) ↔ if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋) < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))
135 breq1 4840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 = if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋) → (𝑋 < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) ↔ if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋) < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))
136134, 135ifboth 4311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥𝑧) < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) ∧ 𝑋 < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))) → if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋) < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))
137124, 133, 136syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋) < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))
13893, 107, 137ltled 10464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋) ≤ if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))
139 ovolioo 23543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋) ∈ ℝ ∧ if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) ∈ ℝ ∧ if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋) ≤ if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))) → (vol*‘(if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))) = (if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) − if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)))
14093, 107, 138, 139syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (vol*‘(if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))) = (if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) − if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)))
14173, 140syl5eq 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (vol‘(if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))) = (if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) − if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)))
142107, 93resubcld 10737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) − if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)) ∈ ℝ)
143141, 142eqeltrd 2881 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (vol‘(if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))) ∈ ℝ)
144 rpgt0 12052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑦)
145144ad4antlr 717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑦)
14693, 107posdifd 10893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋) < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) ↔ 0 < (if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) − if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋))))
147137, 146mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 0 < (if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) − if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)))
148147, 141breqtrrd 4865 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 0 < (vol‘(if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))))
14970, 143, 145, 148mulgt0d 10471 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 0 < (𝑦 · (vol‘(if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))))
150 iooin 12421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑋 ∈ ℝ*𝑌 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑥𝑧) ∈ ℝ* ∧ (𝑧 + 𝑥) ∈ ℝ*)) → ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))) = (if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))
15186, 109, 80, 126, 150syl22anc 858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))) = (if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))
152151eleq2d 2867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))) ↔ 𝑤 ∈ (if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))))
153152ifbid 4295 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) = if(𝑤 ∈ (if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))
154153mpteq2dv 4932 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ (if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)))
155154fveq2d 6406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))) = (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ (if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))))
156 rpge0 12053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑦)
157 elrege0 12492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦))
15869, 156, 157sylanbrc 574 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (0[,)+∞))
159158ad4antlr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ (0[,)+∞))
160 itg2const 23715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))) ∈ dom vol ∧ (vol‘(if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ (if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))) = (𝑦 · (vol‘(if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))))
16171, 143, 159, 160mp3an2i 1583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ (if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))) = (𝑦 · (vol‘(if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))))
162155, 161eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))) = (𝑦 · (vol‘(if(𝑋 ≤ (𝑥𝑧), (𝑥𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))))
163149, 162breqtrrd 4865 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))))
164163adantr 468 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → 0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))))
16558ad5antlr 721 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
16665ad5antlr 721 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
167 fvoveq1 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑢 = 𝑤 → (abs‘(𝑢𝑥)) = (abs‘(𝑤𝑥)))
168167breq1d 4847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑢 = 𝑤 → ((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧))
169168imbrov2fvoveq 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑢 = 𝑤 → (((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦)) ↔ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))))
170169rspccva 3497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦)))
171 breq1 4840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = if(𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0) → (𝑦 ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0) ↔ if(𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0) ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0)))
172 breq1 4840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0 = if(𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0) → (0 ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0) ↔ if(𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0) ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0)))
17369leidd 10873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦𝑦)
174173ad6antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))) → 𝑦𝑦)
17574ad4antlr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ)
17676ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → 𝑧 ∈ ℝ)
177175, 176resubcld 10737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → (𝑥𝑧) ∈ ℝ)
178177rexrd 10368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → (𝑥𝑧) ∈ ℝ*)
179176, 175readdcld 10348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → (𝑧 + 𝑥) ∈ ℝ)
180179rexrd 10368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → (𝑧 + 𝑥) ∈ ℝ*)
181 elioo2 12428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑥𝑧) ∈ ℝ* ∧ (𝑧 + 𝑥) ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧) < 𝑤𝑤 < (𝑧 + 𝑥))))
182178, 180, 181syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → (𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧) < 𝑤𝑤 < (𝑧 + 𝑥))))
183 3anass 1109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧) < 𝑤𝑤 < (𝑧 + 𝑥)) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ ((𝑥𝑧) < 𝑤𝑤 < (𝑧 + 𝑥))))
184182, 183syl6bb 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → (𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ ((𝑥𝑧) < 𝑤𝑤 < (𝑧 + 𝑥)))))
185 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
18674ad5antlr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
187185, 186resubcld 10737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤𝑥) ∈ ℝ)
18876ad3antlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
189187, 188absltd 14385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 ↔ (-𝑧 < (𝑤𝑥) ∧ (𝑤𝑥) < 𝑧)))
190188renegcld 10736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → -𝑧 ∈ ℝ)
191186, 190, 185ltaddsub2d 10907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((𝑥 + -𝑧) < 𝑤 ↔ -𝑧 < (𝑤𝑥)))
192186recnd 10347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
193188recnd 10347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
194192, 193negsubd 10677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑥 + -𝑧) = (𝑥𝑧))
195194breq1d 4847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((𝑥 + -𝑧) < 𝑤 ↔ (𝑥𝑧) < 𝑤))
196191, 195bitr3d 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (-𝑧 < (𝑤𝑥) ↔ (𝑥𝑧) < 𝑤))
197185, 186, 188ltsubaddd 10902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((𝑤𝑥) < 𝑧𝑤 < (𝑧 + 𝑥)))
198196, 197anbi12d 618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((-𝑧 < (𝑤𝑥) ∧ (𝑤𝑥) < 𝑧) ↔ ((𝑥𝑧) < 𝑤𝑤 < (𝑧 + 𝑥))))
199189, 198bitrd 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 ↔ ((𝑥𝑧) < 𝑤𝑤 < (𝑧 + 𝑥))))
200199pm5.32da 570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ ((𝑥𝑧) < 𝑤𝑤 < (𝑧 + 𝑥)))))
201184, 200bitr4d 273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → (𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧)))
202201biimpa 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))) → (𝑤 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧))
203 pm3.35 828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))
204203ancoms 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦)) ∧ (abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))
20569ad6antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
206 rge0ssre 12494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2073ad4antr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
208207ffvelrnda 6575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝐹𝑤) ∈ (0[,)+∞))
209206, 208sseldi 3790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝐹𝑤) ∈ ℝ)
210209adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦)) → (𝐹𝑤) ∈ ℝ)
2113adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
212211ffvelrnda 6575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))
213206, 212sseldi 3790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
21474, 213sylan2 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
215214ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
216209, 215resubcld 10737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
21769ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑦 ∈ ℝ)
218214, 217resubcld 10737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝐹𝑥) − 𝑦) ∈ ℝ)
219218ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) − 𝑦) ∈ ℝ)
220216, 219absltd 14385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦) ↔ (-((𝐹𝑥) − 𝑦) < ((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥)) ∧ ((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥)) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))))
221214recnd 10347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
222 rpcn 12049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℂ)
223222ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑦 ∈ ℂ)
224221, 223negsubdi2d 10687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → -((𝐹𝑥) − 𝑦) = (𝑦 − (𝐹𝑥)))
225224ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → -((𝐹𝑥) − 𝑦) = (𝑦 − (𝐹𝑥)))
226225breq1d 4847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (-((𝐹𝑥) − 𝑦) < ((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥)) ↔ (𝑦 − (𝐹𝑥)) < ((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))))
227226anbi1d 617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((-((𝐹𝑥) − 𝑦) < ((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥)) ∧ ((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥)) < ((𝐹𝑥) − 𝑦)) ↔ ((𝑦 − (𝐹𝑥)) < ((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥)) ∧ ((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥)) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))))
228220, 227bitrd 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦) ↔ ((𝑦 − (𝐹𝑥)) < ((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥)) ∧ ((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥)) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))))
229228simprbda 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦)) → (𝑦 − (𝐹𝑥)) < ((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥)))
230214ad4antr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
231205, 210, 230ltsub1d 10915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦)) → (𝑦 < (𝐹𝑤) ↔ (𝑦 − (𝐹𝑥)) < ((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))))
232229, 231mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦)) → 𝑦 < (𝐹𝑤))
233205, 210, 232ltled 10464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦)) → 𝑦 ≤ (𝐹𝑤))
234204, 233sylan2 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦)) ∧ (abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧)) → 𝑦 ≤ (𝐹𝑤))
235234an4s 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ (𝑤 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧)) → 𝑦 ≤ (𝐹𝑤))
236202, 235syldan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))) → 𝑦 ≤ (𝐹𝑤))
237236iftrued 4281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))) → if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0) = 𝑦)
238174, 237breqtrrd 4865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))) → 𝑦 ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0))
239 0le0 11387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 ≤ 0
240 breq2 4841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 = if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0) → (0 ≤ 𝑦 ↔ 0 ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0)))
241 breq2 4841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (0 = if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0)))
242240, 241ifboth 4311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((0 ≤ 𝑦 ∧ 0 ≤ 0) → 0 ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0))
243156, 239, 242sylancl 576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0))
244243ad6antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))) → 0 ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0))
245171, 172, 238, 244ifbothda 4310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → if(𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0) ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0))
246170, 245sylan2 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌))) → if(𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0) ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0))
247246anassrs 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → if(𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0) ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0))
248 iftrue 4279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) → if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0), 0) = if(𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0))
249248adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0), 0) = if(𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0))
250 iftrue 4279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) → if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0), 0) = if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0))
251250adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0), 0) = if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0))
252247, 249, 2513brtr4d 4869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0), 0) ≤ if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0), 0))
253252ex 399 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → (𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) → if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0), 0) ≤ if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0), 0)))
254239a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) → 0 ≤ 0)
255 iffalse 4282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) → if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0), 0) = 0)
256 iffalse 4282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) → if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0), 0) = 0)
257254, 255, 2563brtr4d 4869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) → if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0), 0) ≤ if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0), 0))
258253, 257pm2.61d1 172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0), 0) ≤ if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0), 0))
259 elin 3989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))) ↔ (𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))))
260 ifbi 4294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))) ↔ (𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)))) → if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) = if((𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))
261259, 260ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) = if((𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)
262 ifan 4324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 if((𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) = if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0), 0)
263261, 262eqtri 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) = if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑤 ∈ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0), 0)
264 fveq2 6402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 = 𝑤 → (𝐹𝑣) = (𝐹𝑤))
265264breq2d 4849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣 = 𝑤 → (𝑦 ≤ (𝐹𝑣) ↔ 𝑦 ≤ (𝐹𝑤)))
266265elrab 3555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)} ↔ (𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ 𝑦 ≤ (𝐹𝑤)))
267 ifbi 4294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)} ↔ (𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ 𝑦 ≤ (𝐹𝑤))) → if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0) = if((𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ 𝑦 ≤ (𝐹𝑤)), 𝑦, 0))
268266, 267ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0) = if((𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ 𝑦 ≤ (𝐹𝑤)), 𝑦, 0)
269 ifan 4324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 if((𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ 𝑦 ≤ (𝐹𝑤)), 𝑦, 0) = if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0), 0)
270268, 269eqtri 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0) = if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑦 ≤ (𝐹𝑤), 𝑦, 0), 0)
271258, 263, 2703brtr4g 4871 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) ≤ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))
272271ralrimivw 3151 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → ∀𝑤 ∈ ℝ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) ≤ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))
273 reex 10306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℝ ∈ V
274273a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → ℝ ∈ V)
27556ad6antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) ∈ (0[,]+∞))
27663ad6antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0) ∈ (0[,]+∞))
277 eqidd 2803 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)))
278 eqidd 2803 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0)))
279274, 275, 276, 277, 278ofrfval2 7139 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0)) ↔ ∀𝑤 ∈ ℝ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) ≤ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0)))
280272, 279mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0)))
281 itg2le 23714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))) ≤ (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))))
282165, 166, 280, 281syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))) ≤ (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))))
28349, 61, 68, 164, 282xrltletrd 12204 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))) → 0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))))
284 itg2gt0cn.cn . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
285284ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥)) → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
286 simplr 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥)) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌))
287 fssres 6279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℝ) → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)):(𝑋(,)𝑌)⟶(0[,)+∞))
28826, 287mpan2 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)):(𝑋(,)𝑌)⟶(0[,)+∞))
289 fss 6263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)):(𝑋(,)𝑌)⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)):(𝑋(,)𝑌)⟶ℝ)
290206, 289mpan2 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)):(𝑋(,)𝑌)⟶(0[,)+∞) → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)):(𝑋(,)𝑌)⟶ℝ)
2913, 288, 2903syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)):(𝑋(,)𝑌)⟶ℝ)
292291adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)):(𝑋(,)𝑌)⟶ℝ)
293292ffvelrnda 6575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) ∈ ℝ)
294293, 217resubcld 10737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦) ∈ ℝ)
295294adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥)) → (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦) ∈ ℝ)
296217, 293posdifd 10893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑦 < ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) ↔ 0 < (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦)))
297296biimpa 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥)) → 0 < (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦))
298295, 297elrpd 12077 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥)) → (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦) ∈ ℝ+)
299 cncfi 22904 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦) ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑢) − ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥))) < (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦)))
300285, 286, 298, 299syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑢) − ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥))) < (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦)))
301300ex 399 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑦 < ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑢) − ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥))) < (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦))))
302 fvres 6421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
303302breq2d 4849 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → (𝑦 < ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) ↔ 𝑦 < (𝐹𝑥)))
304303adantl 469 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑦 < ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) ↔ 𝑦 < (𝐹𝑥)))
305 fvres 6421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑢) = (𝐹𝑢))
306305adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑢) = (𝐹𝑢))
307302ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
308306, 307oveq12d 6886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑢) − ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥)) = ((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥)))
309308fveq2d 6406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑢) − ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥))) = (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))))
310302oveq1d 6883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦) = ((𝐹𝑥) − 𝑦))
311310ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦) = ((𝐹𝑥) − 𝑦))
312309, 311breq12d 4850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((abs‘(((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑢) − ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥))) < (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦) ↔ (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦)))
313312imbi2d 331 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑢) − ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥))) < (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦)) ↔ ((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))))
314313ralbidva 3169 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑢) − ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥))) < (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦)) ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))))
315314rexbidv 3236 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑢) − ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥))) < (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦)) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))))
316301, 304, 3153imtr3d 284 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑦 < (𝐹𝑥) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦))))
317316imp 395 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑥))) < ((𝐹𝑥) − 𝑦)))
318283, 317r19.29a 3262 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹𝑥)) → 0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))))
319318ex 399 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑦 < (𝐹𝑥) → 0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0)))))
320319rexlimdva 3215 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)𝑦 < (𝐹𝑥) → 0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0)))))
32148, 320sylbid 231 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ) → 0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0)))))
322321imp 395 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → 0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))))
32365ad2antlr 709 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
324 icossicc 12473 . . . . . . . . . 10 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
325 fss 6263 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
3263, 324, 325sylancl 576 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
327326ad2antrr 708 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
328 breq1 4840 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0) → (𝑦 ≤ (𝐹𝑤) ↔ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0) ≤ (𝐹𝑤)))
329 breq1 4840 . . . . . . . . . . . 12 (0 = if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0) → (0 ≤ (𝐹𝑤) ↔ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0) ≤ (𝐹𝑤)))
330266simprbi 486 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)} → 𝑦 ≤ (𝐹𝑤))
331330adantl 469 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}) → 𝑦 ≤ (𝐹𝑤))
3323ffvelrnda 6575 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → (𝐹𝑤) ∈ (0[,)+∞))
333 elrege0 12492 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑤) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑤) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑤)))
334332, 333sylib 209 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑤) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑤)))
335334simprd 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹𝑤))
336335adantr 468 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}) → 0 ≤ (𝐹𝑤))
337328, 329, 331, 336ifbothda 4310 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0) ≤ (𝐹𝑤))
338337ralrimiva 3150 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0) ≤ (𝐹𝑤))
339338ad2antrr 708 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → ∀𝑤 ∈ ℝ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0) ≤ (𝐹𝑤))
340273a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → ℝ ∈ V)
34163ad3antlr 713 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0) ∈ (0[,]+∞))
342 fvexd 6417 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝐹𝑤) ∈ V)
343 eqidd 2803 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0)))
3443feqmptd 6464 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑤)))
345344ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → 𝐹 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑤)))
346340, 341, 342, 343, 345ofrfval2 7139 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0)) ∘𝑟𝐹 ↔ ∀𝑤 ∈ ℝ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0) ≤ (𝐹𝑤)))
347339, 346mpbird 248 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0)) ∘𝑟𝐹)
348 itg2le 23714 . . . . . . . 8 (((𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0)) ∘𝑟𝐹) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))) ≤ (∫2𝐹))
349323, 327, 347, 348syl3anc 1483 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))) ≤ (∫2𝐹))
35040, 322, 349jca32 507 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))) ∧ (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))) ≤ (∫2𝐹))))
351350expl 447 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ+𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))) ∧ (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))) ≤ (∫2𝐹)))))
35239, 351syl5 34 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑦𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ))) → (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))) ∧ (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))) ≤ (∫2𝐹)))))
353352reximdv2 3197 . . 3 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℚ (0 < 𝑦𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))) ∧ (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))) ≤ (∫2𝐹))))
35467adantl 469 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))) ∈ ℝ*)
355 itg2cl 23707 . . . . . . 7 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
356326, 355syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
357356adantr 468 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
358 xrltletr 12200 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))) ∈ ℝ* ∧ (∫2𝐹) ∈ ℝ*) → ((0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))) ∧ (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))) ≤ (∫2𝐹)) → 0 < (∫2𝐹)))
3591, 354, 357, 358mp3an2i 1583 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ((0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))) ∧ (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))) ≤ (∫2𝐹)) → 0 < (∫2𝐹)))
360359rexlimdva 3215 . . 3 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ+ (0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))) ∧ (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹𝑣)}, 𝑦, 0))) ≤ (∫2𝐹)) → 0 < (∫2𝐹)))
361353, 360syld 47 . 2 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℚ (0 < 𝑦𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → 0 < (∫2𝐹)))
36233, 361mpd 15 1 (𝜑 → 0 < (∫2𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2155  wne 2974  wral 3092  wrex 3093  {crab 3096  Vcvv 3387  cin 3762  wss 3763  c0 4110  ifcif 4273   class class class wbr 4837  cmpt 4916   × cxp 5303  dom cdm 5305  ran crn 5306  cres 5307  cima 5308   Fn wfn 6090  wf 6091  cfv 6095  (class class class)co 6868  𝑟 cofr 7120  supcsup 8579  cc 10213  cr 10214  0cc0 10215   + caddc 10218   · cmul 10220  +∞cpnf 10350  -∞cmnf 10351  *cxr 10352   < clt 10353  cle 10354  cmin 10545  -cneg 10546  cq 12001  +crp 12040  (,)cioo 12387  [,)cico 12389  [,]cicc 12390  abscabs 14191  cnccncf 22886  vol*covol 23437  volcvol 23438  2citg2 23591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2067  ax-7 2103  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2184  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2419  ax-ext 2781  ax-rep 4957  ax-sep 4968  ax-nul 4977  ax-pow 5029  ax-pr 5090  ax-un 7173  ax-inf2 8779  ax-cnex 10271  ax-resscn 10272  ax-1cn 10273  ax-icn 10274  ax-addcl 10275  ax-addrcl 10276  ax-mulcl 10277  ax-mulrcl 10278  ax-mulcom 10279  ax-addass 10280  ax-mulass 10281  ax-distr 10282  ax-i2m1 10283  ax-1ne0 10284  ax-1rid 10285  ax-rnegex 10286  ax-rrecex 10287  ax-cnre 10288  ax-pre-lttri 10289  ax-pre-lttrn 10290  ax-pre-ltadd 10291  ax-pre-mulgt0 10292  ax-pre-sup 10293  ax-addf 10294
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2060  df-eu 2633  df-mo 2634  df-clab 2789  df-cleq 2795  df-clel 2798  df-nfc 2933  df-ne 2975  df-nel 3078  df-ral 3097  df-rex 3098  df-reu 3099  df-rmo 3100  df-rab 3101  df-v 3389  df-sbc 3628  df-csb 3723  df-dif 3766  df-un 3768  df-in 3770  df-ss 3777  df-pss 3779  df-nul 4111  df-if 4274  df-pw 4347  df-sn 4365  df-pr 4367  df-tp 4369  df-op 4371  df-uni 4624  df-int 4663  df-iun 4707  df-disj 4806  df-br 4838  df-opab 4900  df-mpt 4917  df-tr 4940  df-id 5213  df-eprel 5218  df-po 5226  df-so 5227  df-fr 5264  df-se 5265  df-we 5266  df-xp 5311  df-rel 5312  df-cnv 5313  df-co 5314  df-dm 5315  df-rn 5316  df-res 5317  df-ima 5318  df-pred 5887  df-ord 5933  df-on 5934  df-lim 5935  df-suc 5936  df-iota 6058  df-fun 6097  df-fn 6098  df-f 6099  df-f1 6100  df-fo 6101  df-f1o 6102  df-fv 6103  df-isom 6104  df-riota 6829  df-ov 6871  df-oprab 6872  df-mpt2 6873  df-of 7121  df-ofr 7122  df-om 7290  df-1st 7392  df-2nd 7393  df-wrecs 7636  df-recs 7698  df-rdg 7736  df-1o 7790  df-2o 7791  df-oadd 7794  df-er 7973  df-map 8088  df-pm 8089  df-en 8187  df-dom 8188  df-sdom 8189  df-fin 8190  df-fi 8550  df-sup 8581  df-inf 8582  df-oi 8648  df-card 9042  df-cda 9269  df-pnf 10355  df-mnf 10356  df-xr 10357  df-ltxr 10358  df-le 10359  df-sub 10547  df-neg 10548  df-div 10964  df-nn 11300  df-2 11358  df-3 11359  df-n0 11554  df-z 11638  df-uz 11899  df-q 12002  df-rp 12041  df-xneg 12156  df-xadd 12157  df-xmul 12158  df-ioo 12391  df-ico 12393  df-icc 12394  df-fz 12544  df-fzo 12684  df-fl 12811  df-seq 13019  df-exp 13078  df-hash 13332  df-cj 14056  df-re 14057  df-im 14058  df-sqrt 14192  df-abs 14193  df-clim 14436  df-rlim 14437  df-sum 14634  df-rest 16282  df-topgen 16303  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-top 20906  df-topon 20923  df-bases 20958  df-cmp 21398  df-cncf 22888  df-ovol 23439  df-vol 23440  df-mbf 23594  df-itg1 23595  df-itg2 23596  df-0p 23645
This theorem is referenced by:  itggt0cn  33788
  Copyright terms: Public domain W3C validator