Theorem itg2gt0cn 37676

Description: itg2gt0 25668 holds on functions continuous on an open interval in the absence of ax-cc 10395. The fourth hypothesis is made unnecessary by the continuity hypothesis. (Contributed by Brendan Leahy, 16-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2gt0cn.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
itg2gt0cn.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2gt0cn.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 0 < (𝐹‘𝑥))
itg2gt0cn.cn	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
itg2gt0cn	⊢ (𝜑 → 0 < (∫2‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg2gt0cn

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11228	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		imassrn 6045	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)) ⊆ ran 𝐹
3		itg2gt0cn.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
4	3	frnd 6699	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (0[,)+∞))
5		icossxr 13400	. . . . . 6 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
6	4, 5	sstrdi 3962	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ*)
7	2, 6	sstrid 3961	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)) ⊆ ℝ*)
8		supxrcl 13282	. . . 4 ⊢ ((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)) ⊆ ℝ* → sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
10		itg2gt0cn.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
11		ltrelxr 11242	. . . . . . . . . 10 ⊢ < ⊆ (ℝ* × ℝ*)
12	11	ssbri 5155	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 < 𝑌 → 𝑋(ℝ* × ℝ*)𝑌)
13	10, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋(ℝ* × ℝ*)𝑌)
14		brxp 5690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋(ℝ* × ℝ*)𝑌 ↔ (𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑌 ∈ ℝ*))
15	13, 14	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑌 ∈ ℝ*))
16		ioon0 13339	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑌 ∈ ℝ*) → ((𝑋(,)𝑌) ≠ ∅ ↔ 𝑋 < 𝑌))
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(,)𝑌) ≠ ∅ ↔ 𝑋 < 𝑌))
18	10, 17	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ≠ ∅)
19		itg2gt0cn.5	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 0 < (𝐹‘𝑥))
20	19	ralrimiva 3126	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < (𝐹‘𝑥))
21		r19.2z 4461	. . . . 5 ⊢ (((𝑋(,)𝑌) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < (𝐹‘𝑥)) → ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < (𝐹‘𝑥))
22	18, 20, 21	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < (𝐹‘𝑥))
23		supxrlub 13292	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)) ⊆ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (0 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑋(,)𝑌))0 < 𝑦))
24	7, 1, 23	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑋(,)𝑌))0 < 𝑦))
25	3	ffnd 6692	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℝ)
26		ioossre 13375	. . . . . 6 ⊢ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℝ
27		breq2 5114	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → (0 < 𝑦 ↔ 0 < (𝐹‘𝑥)))
28	27	rexima 7215	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn ℝ ∧ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℝ) → (∃𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑋(,)𝑌))0 < 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < (𝐹‘𝑥)))
29	25, 26, 28	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑋(,)𝑌))0 < 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < (𝐹‘𝑥)))
30	24, 29	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < (𝐹‘𝑥)))
31	22, 30	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ))
32		qbtwnxr 13167	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ 0 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → ∃𝑦 ∈ ℚ (0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )))
33	1, 9, 31, 32	mp3an2i 1468	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℚ (0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )))
34		qre 12919	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ → 𝑦 ∈ ℝ)
35	34	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
36		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑦) → 0 < 𝑦)
37	35, 36	elrpd 12999	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ+)
38	37	anim1i 615	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )))
39	38	anasss 466	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ))) → (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )))
40		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → 𝑦 ∈ ℝ+)
41		rpxr 12968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℝ*)
42		supxrlub 13292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)) ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑋(,)𝑌))𝑦 < 𝑧))
43	7, 41, 42	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑋(,)𝑌))𝑦 < 𝑧))
44		breq2 5114	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝐹‘𝑥) → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)))
45	44	rexima 7215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 Fn ℝ ∧ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℝ) → (∃𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑋(,)𝑌))𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)𝑦 < (𝐹‘𝑥)))
46	25, 26, 45	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑋(,)𝑌))𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)𝑦 < (𝐹‘𝑥)))
47	46	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑋(,)𝑌))𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)𝑦 < (𝐹‘𝑥)))
48	43, 47	bitrd 279	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)𝑦 < (𝐹‘𝑥)))
49	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → 0 ∈ ℝ*)
50		ioorp 13393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0(,)+∞) = ℝ+
51		ioossicc 13401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0(,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
52	50, 51	eqsstrri 3997	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℝ+ ⊆ (0[,]+∞)
53	52	sseli 3945	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ (0[,]+∞))
54		0e0iccpnf 13427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
55		ifcl 4537	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) ∈ (0[,]+∞))
56	53, 54, 55	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) ∈ (0[,]+∞))
57	56	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) ∈ (0[,]+∞))
58	57	fmpttd 7090	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
59		itg2cl 25640	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))) ∈ ℝ*)
60	58, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))) ∈ ℝ*)
61	60	ad5antlr 735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))) ∈ ℝ*)
62		ifcl 4537	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0) ∈ (0[,]+∞))
63	53, 54, 62	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0) ∈ (0[,]+∞))
64	63	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0) ∈ (0[,]+∞))
65	64	fmpttd 7090	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
66		itg2cl 25640	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))) ∈ ℝ*)
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))) ∈ ℝ*)
68	67	ad5antlr 735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))) ∈ ℝ*)
69		rpre 12967	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℝ)
70	69	ad4antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ)
71		ioombl 25473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))) ∈ dom vol
72		mblvol 25438	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))) ∈ dom vol → (vol‘(if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))) = (vol*‘(if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))))
73	71, 72	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (vol‘(if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))) = (vol*‘(if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))
74		elioore 13343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → 𝑥 ∈ ℝ)
75	74	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
76		rpre 12967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 𝑧 ∈ ℝ)
77	76	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑧 ∈ ℝ)
78	75, 77	resubcld 11613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℝ)
79	78	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧)) → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℝ)
80	78	rexrd 11231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℝ*)
81	80	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ¬ 𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧)) → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℝ*)
82	15	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
83	82	ad5antr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ¬ 𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧)) → 𝑋 ∈ ℝ*)
84	15	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ*)
85	84	ad5antr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ¬ 𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧)) → 𝑌 ∈ ℝ*)
86	82	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ*)
87		xrltnle 11248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑥 − 𝑧) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑥 − 𝑧) < 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧)))
88	80, 86, 87	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝑥 − 𝑧) < 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧)))
89	88	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ¬ 𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧)) → (𝑥 − 𝑧) < 𝑋)
90	10	ad5antr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ¬ 𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧)) → 𝑋 < 𝑌)
91		xrre2 13137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑥 − 𝑧) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑌 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑥 − 𝑧) < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝑌)) → 𝑋 ∈ ℝ)
92	81, 83, 85, 89, 90, 91	syl32anc 1380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ¬ 𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧)) → 𝑋 ∈ ℝ)
93	79, 92	ifclda 4527	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋) ∈ ℝ)
94	84	ad5antr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥)) → 𝑌 ∈ ℝ*)
95	77, 75	readdcld 11210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑧 + 𝑥) ∈ ℝ)
96	95	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥)) → (𝑧 + 𝑥) ∈ ℝ)
97		mnfxr 11238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
98	97	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
99		mnfle 13102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝑋)
100	82, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → -∞ ≤ 𝑋)
101	98, 82, 84, 100, 10	xrlelttrd 13127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝑌)
102	101	ad5antr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥)) → -∞ < 𝑌)
103		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥)) → 𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥))
104		xrre 13136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑌 ∈ ℝ* ∧ (𝑧 + 𝑥) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥))) → 𝑌 ∈ ℝ)
105	94, 96, 102, 103, 104	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥)) → 𝑌 ∈ ℝ)
106	95	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ¬ 𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥)) → (𝑧 + 𝑥) ∈ ℝ)
107	105, 106	ifclda 4527	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) ∈ ℝ)
108	75	rexrd 11231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ*)
109	84	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑌 ∈ ℝ*)
110		rpgt0 12971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑧)
111	110	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑧)
112	77, 75	ltsubposd 11771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (0 < 𝑧 ↔ (𝑥 − 𝑧) < 𝑥))
113	111, 112	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑥 − 𝑧) < 𝑥)
114		eliooord 13373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → (𝑋 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑌))
115	114	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → 𝑥 < 𝑌)
116	115	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑥 < 𝑌)
117	80, 108, 109, 113, 116	xrlttrd 13126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑥 − 𝑧) < 𝑌)
118	77, 75	ltaddpos2d 11770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (0 < 𝑧 ↔ 𝑥 < (𝑧 + 𝑥)))
119	111, 118	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑥 < (𝑧 + 𝑥))
120	78, 75, 95, 113, 119	lttrd 11342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑥 − 𝑧) < (𝑧 + 𝑥))
121		breq2 5114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑌 = if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) → ((𝑥 − 𝑧) < 𝑌 ↔ (𝑥 − 𝑧) < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))
122		breq2 5114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 + 𝑥) = if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) → ((𝑥 − 𝑧) < (𝑧 + 𝑥) ↔ (𝑥 − 𝑧) < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))
123	121, 122	ifboth 4531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑥 − 𝑧) < 𝑌 ∧ (𝑥 − 𝑧) < (𝑧 + 𝑥)) → (𝑥 − 𝑧) < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))
124	117, 120, 123	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑥 − 𝑧) < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))
125	10	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑋 < 𝑌)
126	95	rexrd 11231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑧 + 𝑥) ∈ ℝ*)
127	114	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → 𝑋 < 𝑥)
128	127	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑋 < 𝑥)
129	86, 108, 126, 128, 119	xrlttrd 13126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑋 < (𝑧 + 𝑥))
130		breq2 5114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑌 = if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) → (𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋 < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))
131		breq2 5114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 + 𝑥) = if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) → (𝑋 < (𝑧 + 𝑥) ↔ 𝑋 < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))
132	130, 131	ifboth 4531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑋 < (𝑧 + 𝑥)) → 𝑋 < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))
133	125, 129, 132	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑋 < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))
134		breq1 5113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 − 𝑧) = if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋) → ((𝑥 − 𝑧) < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) ↔ if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋) < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))
135		breq1 5113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑋 = if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋) → (𝑋 < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) ↔ if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋) < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))
136	134, 135	ifboth 4531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥 − 𝑧) < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) ∧ 𝑋 < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))) → if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋) < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))
137	124, 133, 136	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋) < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))
138	93, 107, 137	ltled 11329	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋) ≤ if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))
139		ovolioo 25476	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋) ∈ ℝ ∧ if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) ∈ ℝ ∧ if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋) ≤ if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))) → (vol*‘(if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))) = (if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) − if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)))
140	93, 107, 138, 139	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (vol*‘(if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))) = (if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) − if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)))
141	73, 140	eqtrid 2777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (vol‘(if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))) = (if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) − if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)))
142	107, 93	resubcld 11613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) − if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)) ∈ ℝ)
143	141, 142	eqeltrd 2829	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (vol‘(if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))) ∈ ℝ)
144		rpgt0 12971	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑦)
145	144	ad4antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑦)
146	93, 107	posdifd 11772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋) < if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) ↔ 0 < (if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) − if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋))))
147	137, 146	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 0 < (if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)) − if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)))
148	147, 141	breqtrrd 5138	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 0 < (vol‘(if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))))
149	70, 143, 145, 148	mulgt0d 11336	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 0 < (𝑦 · (vol‘(if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))))
150		iooin 13347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑌 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑥 − 𝑧) ∈ ℝ* ∧ (𝑧 + 𝑥) ∈ ℝ*)) → ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))) = (if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))
151	86, 109, 80, 126, 150	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))) = (if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))
152	151	eleq2d 2815	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))) ↔ 𝑤 ∈ (if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))))
153	152	ifbid 4515	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) = if(𝑤 ∈ (if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))
154	153	mpteq2dv 5204	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ (if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)))
155	154	fveq2d 6865	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))) = (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ (if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))))
156		rpge0 12972	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑦)
157		elrege0 13422	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦))
158	69, 156, 157	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ (0[,)+∞))
159	158	ad4antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ (0[,)+∞))
160		itg2const 25648	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))) ∈ dom vol ∧ (vol‘(if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥)))) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ (if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))) = (𝑦 · (vol‘(if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))))
161	71, 143, 159, 160	mp3an2i 1468	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ (if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))) = (𝑦 · (vol‘(if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))))
162	155, 161	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))) = (𝑦 · (vol‘(if(𝑋 ≤ (𝑥 − 𝑧), (𝑥 − 𝑧), 𝑋)(,)if(𝑌 ≤ (𝑧 + 𝑥), 𝑌, (𝑧 + 𝑥))))))
163	149, 162	breqtrrd 5138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))))
164	163	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → 0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))))
165	58	ad5antlr 735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
166	65	ad5antlr 735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
167		fvoveq1 7413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (abs‘(𝑢 − 𝑥)) = (abs‘(𝑤 − 𝑥)))
168	167	breq1d 5120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → ((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧))
169	168	imbrov2fvoveq 7415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦)) ↔ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))))
170	169	rspccva 3590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦)))
171		breq1 5113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = if(𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0) → (𝑦 ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0) ↔ if(𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0) ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0)))
172		breq1 5113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (0 = if(𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0) → (0 ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0) ↔ if(𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0) ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0)))
173	69	leidd 11751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ≤ 𝑦)
174	173	ad6antlr 737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))) → 𝑦 ≤ 𝑦)
175	74	ad4antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ)
176	76	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → 𝑧 ∈ ℝ)
177	175, 176	resubcld 11613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℝ)
178	177	rexrd 11231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℝ*)
179	176, 175	readdcld 11210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → (𝑧 + 𝑥) ∈ ℝ)
180	179	rexrd 11231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → (𝑧 + 𝑥) ∈ ℝ*)
181		elioo2 13354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑥 − 𝑧) ∈ ℝ* ∧ (𝑧 + 𝑥) ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝑥 − 𝑧) < 𝑤 ∧ 𝑤 < (𝑧 + 𝑥))))
182	178, 180, 181	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → (𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝑥 − 𝑧) < 𝑤 ∧ 𝑤 < (𝑧 + 𝑥))))
183		3anass 1094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝑥 − 𝑧) < 𝑤 ∧ 𝑤 < (𝑧 + 𝑥)) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ ((𝑥 − 𝑧) < 𝑤 ∧ 𝑤 < (𝑧 + 𝑥))))
184	182, 183	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → (𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ ((𝑥 − 𝑧) < 𝑤 ∧ 𝑤 < (𝑧 + 𝑥)))))
185		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
186	74	ad5antlr 735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
187	185, 186	resubcld 11613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 − 𝑥) ∈ ℝ)
188	76	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
189	187, 188	absltd 15405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 ↔ (-𝑧 < (𝑤 − 𝑥) ∧ (𝑤 − 𝑥) < 𝑧)))
190	188	renegcld 11612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → -𝑧 ∈ ℝ)
191	186, 190, 185	ltaddsub2d 11786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((𝑥 + -𝑧) < 𝑤 ↔ -𝑧 < (𝑤 − 𝑥)))
192	186	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
193	188	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
194	192, 193	negsubd 11546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑥 + -𝑧) = (𝑥 − 𝑧))
195	194	breq1d 5120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((𝑥 + -𝑧) < 𝑤 ↔ (𝑥 − 𝑧) < 𝑤))
196	191, 195	bitr3d 281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (-𝑧 < (𝑤 − 𝑥) ↔ (𝑥 − 𝑧) < 𝑤))
197	185, 186, 188	ltsubaddd 11781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((𝑤 − 𝑥) < 𝑧 ↔ 𝑤 < (𝑧 + 𝑥)))
198	196, 197	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((-𝑧 < (𝑤 − 𝑥) ∧ (𝑤 − 𝑥) < 𝑧) ↔ ((𝑥 − 𝑧) < 𝑤 ∧ 𝑤 < (𝑧 + 𝑥))))
199	189, 198	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 ↔ ((𝑥 − 𝑧) < 𝑤 ∧ 𝑤 < (𝑧 + 𝑥))))
200	199	pm5.32da 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ ((𝑥 − 𝑧) < 𝑤 ∧ 𝑤 < (𝑧 + 𝑥)))))
201	184, 200	bitr4d 282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → (𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧)))
202	201	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))) → (𝑤 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧))
203		pm3.35 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))
204	203	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦)) ∧ (abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))
205	69	ad6antlr 737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
206		rge0ssre 13424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
207	3	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
208	207	ffvelcdmda 7059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑤) ∈ (0[,)+∞))
209	206, 208	sselid 3947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑤) ∈ ℝ)
210	209	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦)) → (𝐹‘𝑤) ∈ ℝ)
211	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
212	211	ffvelcdmda 7059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
213	206, 212	sselid 3947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
214	74, 213	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
215	214	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
216	209, 215	resubcld 11613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
217	69	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑦 ∈ ℝ)
218	214, 217	resubcld 11613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝐹‘𝑥) − 𝑦) ∈ ℝ)
219	218	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) − 𝑦) ∈ ℝ)
220	216, 219	absltd 15405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦) ↔ (-((𝐹‘𝑥) − 𝑦) < ((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥)) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))))
221	214	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
222		rpcn 12969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℂ)
223	222	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑦 ∈ ℂ)
224	221, 223	negsubdi2d 11556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → -((𝐹‘𝑥) − 𝑦) = (𝑦 − (𝐹‘𝑥)))
225	224	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → -((𝐹‘𝑥) − 𝑦) = (𝑦 − (𝐹‘𝑥)))
226	225	breq1d 5120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (-((𝐹‘𝑥) − 𝑦) < ((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑦 − (𝐹‘𝑥)) < ((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))))
227	226	anbi1d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((-((𝐹‘𝑥) − 𝑦) < ((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥)) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦)) ↔ ((𝑦 − (𝐹‘𝑥)) < ((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥)) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))))
228	220, 227	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦) ↔ ((𝑦 − (𝐹‘𝑥)) < ((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥)) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))))
229	228	simprbda 498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦)) → (𝑦 − (𝐹‘𝑥)) < ((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥)))
230	214	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
231	205, 210, 230	ltsub1d 11794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦)) → (𝑦 < (𝐹‘𝑤) ↔ (𝑦 − (𝐹‘𝑥)) < ((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))))
232	229, 231	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦)) → 𝑦 < (𝐹‘𝑤))
233	205, 210, 232	ltled 11329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦)) → 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤))
234	204, 233	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦)) ∧ (abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧)) → 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤))
235	234	an4s 660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ (𝑤 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧)) → 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤))
236	202, 235	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))) → 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤))
237	236	iftrued 4499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))) → if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0) = 𝑦)
238	174, 237	breqtrrd 5138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))) → 𝑦 ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0))
239		0le0 12294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 0 ≤ 0
240		breq2 5114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0) → (0 ≤ 𝑦 ↔ 0 ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0)))
241		breq2 5114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (0 = if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0)))
242	240, 241	ifboth 4531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((0 ≤ 𝑦 ∧ 0 ≤ 0) → 0 ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0))
243	156, 239, 242	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0))
244	243	ad6antlr 737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))) → 0 ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0))
245	171, 172, 238, 244	ifbothda 4530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → if(𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0) ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0))
246	170, 245	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌))) → if(𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0) ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0))
247	246	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → if(𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0) ≤ if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0))
248		iftrue 4497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) → if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0), 0) = if(𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0))
249	248	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0), 0) = if(𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0))
250		iftrue 4497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) → if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0), 0) = if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0))
251	250	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0), 0) = if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0))
252	247, 249, 251	3brtr4d 5142	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0), 0) ≤ if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0), 0))
253	252	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → (𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) → if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0), 0) ≤ if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0), 0)))
254	239	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (¬ 𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) → 0 ≤ 0)
255		iffalse 4500	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (¬ 𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) → if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0), 0) = 0)
256		iffalse 4500	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (¬ 𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) → if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0), 0) = 0)
257	254, 255, 256	3brtr4d 5142	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) → if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0), 0) ≤ if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0), 0))
258	253, 257	pm2.61d1 180	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0), 0) ≤ if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0), 0))
259		elin 3933	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))) ↔ (𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))))
260		ifbi 4514	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))) ↔ (𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)))) → if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) = if((𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))
261	259, 260	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) = if((𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)
262		ifan 4545	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ if((𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) = if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0), 0)
263	261, 262	eqtri 2753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) = if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑤 ∈ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥)), 𝑦, 0), 0)
264		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → (𝐹‘𝑣) = (𝐹‘𝑤))
265	264	breq2d 5122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → (𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣) ↔ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤)))
266	265	elrab 3662	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)} ↔ (𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤)))
267		ifbi 4514	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)} ↔ (𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤))) → if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0) = if((𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤)), 𝑦, 0))
268	266, 267	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0) = if((𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤)), 𝑦, 0)
269		ifan 4545	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ if((𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤)), 𝑦, 0) = if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0), 0)
270	268, 269	eqtri 2753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0) = if(𝑤 ∈ (𝑋(,)𝑌), if(𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤), 𝑦, 0), 0)
271	258, 263, 270	3brtr4g 5144	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) ≤ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))
272	271	ralrimivw 3130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → ∀𝑤 ∈ ℝ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) ≤ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))
273		reex 11166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℝ ∈ V
274	273	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → ℝ ∈ V)
275	56	ad6antlr 737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) ∈ (0[,]+∞))
276	63	ad6antlr 737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0) ∈ (0[,]+∞))
277		eqidd 2731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)))
278		eqidd 2731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0)))
279	274, 275, 276, 277, 278	ofrfval2 7677	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)) ∘r ≤ (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0)) ↔ ∀𝑤 ∈ ℝ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0) ≤ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0)))
280	272, 279	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)) ∘r ≤ (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0)))
281		itg2le 25647	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0)) ∘r ≤ (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))) ≤ (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))))
282	165, 166, 280, 281	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ ((𝑋(,)𝑌) ∩ ((𝑥 − 𝑧)(,)(𝑧 + 𝑥))), 𝑦, 0))) ≤ (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))))
283	49, 61, 68, 164, 282	xrltletrd 13128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))) → 0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))))
284		itg2gt0cn.cn	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
285	284	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥)) → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
286		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥)) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌))
287		fssres 6729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℝ) → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)):(𝑋(,)𝑌)⟶(0[,)+∞))
288	26, 287	mpan2 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)):(𝑋(,)𝑌)⟶(0[,)+∞))
289		fss 6707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)):(𝑋(,)𝑌)⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)):(𝑋(,)𝑌)⟶ℝ)
290	206, 289	mpan2 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)):(𝑋(,)𝑌)⟶(0[,)+∞) → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)):(𝑋(,)𝑌)⟶ℝ)
291	3, 288, 290	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)):(𝑋(,)𝑌)⟶ℝ)
292	291	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)):(𝑋(,)𝑌)⟶ℝ)
293	292	ffvelcdmda 7059	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) ∈ ℝ)
294	293, 217	resubcld 11613	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦) ∈ ℝ)
295	294	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥)) → (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦) ∈ ℝ)
296	217, 293	posdifd 11772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑦 < ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) ↔ 0 < (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦)))
297	296	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥)) → 0 < (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦))
298	295, 297	elrpd 12999	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥)) → (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦) ∈ ℝ+)
299		cncfi 24794	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦) ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑢) − ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥))) < (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦)))
300	285, 286, 298, 299	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑢) − ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥))) < (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦)))
301	300	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑦 < ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑢) − ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥))) < (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦))))
302		fvres 6880	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
303	302	breq2d 5122	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → (𝑦 < ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) ↔ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)))
304	303	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑦 < ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) ↔ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)))
305		fvres 6880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑢) = (𝐹‘𝑢))
306	305	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑢) = (𝐹‘𝑢))
307	302	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
308	306, 307	oveq12d 7408	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑢) − ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥)))
309	308	fveq2d 6865	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑢) − ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥))) = (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))))
310	302	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦) = ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))
311	310	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦) = ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))
312	309, 311	breq12d 5123	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((abs‘(((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑢) − ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥))) < (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦) ↔ (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦)))
313	312	imbi2d 340	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑢) − ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥))) < (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦)) ↔ ((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))))
314	313	ralbidva 3155	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑢) − ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥))) < (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦)) ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))))
315	314	rexbidv 3158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑢) − ((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥))) < (((𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑥) − 𝑦)) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))))
316	301, 304, 315	3imtr3d 293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑦 < (𝐹‘𝑥) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦))))
317	316	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ (𝑋(,)𝑌)((abs‘(𝑢 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑥))) < ((𝐹‘𝑥) − 𝑦)))
318	283, 317	r19.29a 3142	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) ∧ 𝑦 < (𝐹‘𝑥)) → 0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))))
319	318	rexlimdva2 3137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)𝑦 < (𝐹‘𝑥) → 0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0)))))
320	48, 319	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ) → 0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0)))))
321	320	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → 0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))))
322	65	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
323		icossicc 13404	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
324		fss 6707	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
325	3, 323, 324	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
326	325	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
327		breq1 5113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0) → (𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤) ↔ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0) ≤ (𝐹‘𝑤)))
328		breq1 5113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 = if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0) → (0 ≤ (𝐹‘𝑤) ↔ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0) ≤ (𝐹‘𝑤)))
329	266	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)} → 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤))
330	329	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}) → 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑤))
331	3	ffvelcdmda 7059	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑤) ∈ (0[,)+∞))
332		elrege0 13422	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹‘𝑤) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑤) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑤)))
333	331, 332	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑤) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑤)))
334	333	simprd 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹‘𝑤))
335	334	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}) → 0 ≤ (𝐹‘𝑤))
336	327, 328, 330, 335	ifbothda 4530	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0) ≤ (𝐹‘𝑤))
337	336	ralrimiva 3126	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0) ≤ (𝐹‘𝑤))
338	337	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → ∀𝑤 ∈ ℝ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0) ≤ (𝐹‘𝑤))
339	273	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → ℝ ∈ V)
340	63	ad3antlr 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0) ∈ (0[,]+∞))
341		fvexd 6876	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑤) ∈ V)
342		eqidd 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0)))
343	3	feqmptd 6932	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑤)))
344	343	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → 𝐹 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑤)))
345	339, 340, 341, 342, 344	ofrfval2 7677	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0)) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑤 ∈ ℝ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0) ≤ (𝐹‘𝑤)))
346	338, 345	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0)) ∘r ≤ 𝐹)
347		itg2le 25647	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0)) ∘r ≤ 𝐹) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))) ≤ (∫2‘𝐹))
348	322, 326, 346, 347	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))) ≤ (∫2‘𝐹))
349	40, 321, 348	jca32 515	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))) ∧ (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))) ≤ (∫2‘𝐹))))
350	349	expl 457	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))) ∧ (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))) ≤ (∫2‘𝐹)))))
351	39, 350	syl5 34	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < ))) → (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))) ∧ (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))) ≤ (∫2‘𝐹)))))
352	351	reximdv2 3144	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℚ (0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))) ∧ (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))) ≤ (∫2‘𝐹))))
353	67	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))) ∈ ℝ*)
354		itg2cl 25640	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ*)
355	325, 354	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ*)
356	355	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ*)
357		xrltletr 13124	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))) ∈ ℝ* ∧ (∫2‘𝐹) ∈ ℝ*) → ((0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))) ∧ (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))) ≤ (∫2‘𝐹)) → 0 < (∫2‘𝐹)))
358	1, 353, 356, 357	mp3an2i 1468	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))) ∧ (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))) ≤ (∫2‘𝐹)) → 0 < (∫2‘𝐹)))
359	358	rexlimdva 3135	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ+ (0 < (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))) ∧ (∫2‘(𝑤 ∈ ℝ ↦ if(𝑤 ∈ {𝑣 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∣ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑣)}, 𝑦, 0))) ≤ (∫2‘𝐹)) → 0 < (∫2‘𝐹)))
360	352, 359	syld 47	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℚ (0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < sup((𝐹 “ (𝑋(,)𝑌)), ℝ*, < )) → 0 < (∫2‘𝐹)))
361	33, 360	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 0 < (∫2‘𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  {crab 3408  Vcvv 3450   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  ifcif 4491   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191   × cxp 5639  dom cdm 5641  ran crn 5642   ↾ cres 5643   “ cima 5644   Fn wfn 6509  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∘_r cofr 7655  supcsup 9398  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075   + caddc 11078   · cmul 11080  +∞cpnf 11212  -∞cmnf 11213  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412  -cneg 11413  ℚcq 12914  ℝ⁺crp 12958  (,)cioo 13313  [,)cico 13315  [,]cicc 13316  abscabs 15207  –cn→ccncf 24776  vol*covol 25370  volcvol 25371  ∫₂citg2 25524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-disj 5078  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-ofr 7657  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-rest 17392  df-topgen 17413  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-top 22788  df-topon 22805  df-bases 22840  df-cmp 23281  df-cncf 24778  df-ovol 25372  df-vol 25373  df-mbf 25527  df-itg1 25528  df-itg2 25529  df-0p 25578

This theorem is referenced by:  itggt0cn  37691