Theorem ioondisj2 45446

Description: A condition for two open intervals not to be disjoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ioondisj2	⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) ≠ ∅)

Proof of Theorem ioondisj2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll1 1211	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		simpll2 1212	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		simplr1 1214	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
4		simplr2 1215	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℝ*)
5		iooin 13418	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = (if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)if(𝐵 ≤ 𝐷, 𝐵, 𝐷)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 839	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = (if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)if(𝐵 ≤ 𝐷, 𝐵, 𝐷)))
7		simprr 773	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → 𝐷 ≤ 𝐵)
8		xrmineq 13219	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≤ 𝐵) → if(𝐵 ≤ 𝐷, 𝐵, 𝐷) = 𝐷)
9	2, 4, 7, 8	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → if(𝐵 ≤ 𝐷, 𝐵, 𝐷) = 𝐷)
10	9	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → (if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)if(𝐵 ≤ 𝐷, 𝐵, 𝐷)) = (if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)𝐷))
11		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶)
12	11	iftrued 4539	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴) = 𝐶)
13		simplr3 1216	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → 𝐶 < 𝐷)
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → 𝐶 < 𝐷)
15	12, 14	eqbrtrd 5170	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴) < 𝐷)
16		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐶) → ¬ 𝐴 ≤ 𝐶)
17	16	iffalsed 4542	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐶) → if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴) = 𝐴)
18		simplrl 777	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐷)
19	17, 18	eqbrtrd 5170	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐶) → if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴) < 𝐷)
20	15, 19	pm2.61dan 813	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴) < 𝐷)
21	3, 1	ifcld 4577	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴) ∈ ℝ*)
22		ioon0 13410	. . . . 5 ⊢ ((if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴) ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) → ((if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)𝐷) ≠ ∅ ↔ if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴) < 𝐷))
23	21, 4, 22	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → ((if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)𝐷) ≠ ∅ ↔ if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴) < 𝐷))
24	20, 23	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → (if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)𝐷) ≠ ∅)
25	10, 24	eqnetrd 3006	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → (if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)if(𝐵 ≤ 𝐷, 𝐵, 𝐷)) ≠ ∅)
26	6, 25	eqnetrd 3006	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   ∩ cin 3962  ∅c0 4339  ifcif 4531   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293   ≤ cle 11294  (,)cioo 13384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-ioo 13388

This theorem is referenced by: (None)