Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ioondisj2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioondisj2 40450
Description: A condition for two open intervals not to be disjoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
ioondisj2 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) ≠ ∅)

Proof of Theorem ioondisj2
StepHypRef Expression
1 simpll1 1270 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 simpll2 1272 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 simplr1 1276 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
4 simplr2 1278 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → 𝐷 ∈ ℝ*)
5 iooin 12454 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = (if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷)))
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 868 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = (if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷)))
7 simprr 790 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → 𝐷𝐵)
8 xrmineq 12256 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐷𝐵) → if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷) = 𝐷)
92, 4, 7, 8syl3anc 1491 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷) = 𝐷)
109oveq2d 6892 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → (if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷)) = (if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)𝐷))
11 simpr 478 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐴𝐶)
1211iftrued 4283 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) ∧ 𝐴𝐶) → if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴) = 𝐶)
13 simplr3 1280 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → 𝐶 < 𝐷)
1413adantr 473 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐶 < 𝐷)
1512, 14eqbrtrd 4863 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) ∧ 𝐴𝐶) → if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴) < 𝐷)
16 simpr 478 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) ∧ ¬ 𝐴𝐶) → ¬ 𝐴𝐶)
1716iffalsed 4286 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) ∧ ¬ 𝐴𝐶) → if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴) = 𝐴)
18 simplrl 796 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) ∧ ¬ 𝐴𝐶) → 𝐴 < 𝐷)
1917, 18eqbrtrd 4863 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) ∧ ¬ 𝐴𝐶) → if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴) < 𝐷)
2015, 19pm2.61dan 848 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴) < 𝐷)
213, 1ifcld 4320 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴) ∈ ℝ*)
22 ioon0 12446 . . . . 5 ((if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴) ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → ((if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)𝐷) ≠ ∅ ↔ if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴) < 𝐷))
2321, 4, 22syl2anc 580 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → ((if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)𝐷) ≠ ∅ ↔ if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴) < 𝐷))
2420, 23mpbird 249 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → (if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)𝐷) ≠ ∅)
2510, 24eqnetrd 3036 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → (if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷)) ≠ ∅)
266, 25eqnetrd 3036 1 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2969  cin 3766  c0 4113  ifcif 4275   class class class wbr 4841  (class class class)co 6876  *cxr 10360   < clt 10361  cle 10362  (,)cioo 12420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299  ax-pre-sup 10300
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-sup 8588  df-inf 8589  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10975  df-nn 11311  df-n0 11577  df-z 11663  df-uz 11927  df-q 12030  df-ioo 12424
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator