Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ioondisj2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioondisj2 44778
Description: A condition for two open intervals not to be disjoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
ioondisj2 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) ≠ ∅)

Proof of Theorem ioondisj2
StepHypRef Expression
1 simpll1 1209 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 simpll2 1210 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 simplr1 1212 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
4 simplr2 1213 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → 𝐷 ∈ ℝ*)
5 iooin 13364 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = (if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷)))
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 836 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = (if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷)))
7 simprr 770 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → 𝐷𝐵)
8 xrmineq 13165 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐷𝐵) → if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷) = 𝐷)
92, 4, 7, 8syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷) = 𝐷)
109oveq2d 7421 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → (if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷)) = (if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)𝐷))
11 simpr 484 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐴𝐶)
1211iftrued 4531 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) ∧ 𝐴𝐶) → if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴) = 𝐶)
13 simplr3 1214 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → 𝐶 < 𝐷)
1413adantr 480 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐶 < 𝐷)
1512, 14eqbrtrd 5163 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) ∧ 𝐴𝐶) → if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴) < 𝐷)
16 simpr 484 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) ∧ ¬ 𝐴𝐶) → ¬ 𝐴𝐶)
1716iffalsed 4534 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) ∧ ¬ 𝐴𝐶) → if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴) = 𝐴)
18 simplrl 774 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) ∧ ¬ 𝐴𝐶) → 𝐴 < 𝐷)
1917, 18eqbrtrd 5163 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) ∧ ¬ 𝐴𝐶) → if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴) < 𝐷)
2015, 19pm2.61dan 810 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴) < 𝐷)
213, 1ifcld 4569 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴) ∈ ℝ*)
22 ioon0 13356 . . . . 5 ((if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴) ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → ((if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)𝐷) ≠ ∅ ↔ if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴) < 𝐷))
2321, 4, 22syl2anc 583 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → ((if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)𝐷) ≠ ∅ ↔ if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴) < 𝐷))
2420, 23mpbird 257 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → (if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)𝐷) ≠ ∅)
2510, 24eqnetrd 3002 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → (if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷)) ≠ ∅)
266, 25eqnetrd 3002 1 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷𝐷𝐵)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  cin 3942  c0 4317  ifcif 4523   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  *cxr 11251   < clt 11252  cle 11253  (,)cioo 13330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-ioo 13334
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator