Theorem ioondisj2 42130

Description: A condition for two open intervals not to be disjoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ioondisj2	⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) ≠ ∅)

Proof of Theorem ioondisj2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll1 1209	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		simpll2 1210	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		simplr1 1212	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
4		simplr2 1213	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℝ*)
5		iooin 12760	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = (if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)if(𝐵 ≤ 𝐷, 𝐵, 𝐷)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 837	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = (if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)if(𝐵 ≤ 𝐷, 𝐵, 𝐷)))
7		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → 𝐷 ≤ 𝐵)
8		xrmineq 12561	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≤ 𝐵) → if(𝐵 ≤ 𝐷, 𝐵, 𝐷) = 𝐷)
9	2, 4, 7, 8	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → if(𝐵 ≤ 𝐷, 𝐵, 𝐷) = 𝐷)
10	9	oveq2d 7151	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → (if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)if(𝐵 ≤ 𝐷, 𝐵, 𝐷)) = (if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)𝐷))
11		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶)
12	11	iftrued 4433	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴) = 𝐶)
13		simplr3 1214	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → 𝐶 < 𝐷)
14	13	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → 𝐶 < 𝐷)
15	12, 14	eqbrtrd 5052	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴) < 𝐷)
16		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐶) → ¬ 𝐴 ≤ 𝐶)
17	16	iffalsed 4436	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐶) → if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴) = 𝐴)
18		simplrl 776	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐷)
19	17, 18	eqbrtrd 5052	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐶) → if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴) < 𝐷)
20	15, 19	pm2.61dan 812	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴) < 𝐷)
21	3, 1	ifcld 4470	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴) ∈ ℝ*)
22		ioon0 12752	. . . . 5 ⊢ ((if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴) ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) → ((if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)𝐷) ≠ ∅ ↔ if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴) < 𝐷))
23	21, 4, 22	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → ((if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)𝐷) ≠ ∅ ↔ if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴) < 𝐷))
24	20, 23	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → (if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)𝐷) ≠ ∅)
25	10, 24	eqnetrd 3054	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → (if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)if(𝐵 ≤ 𝐷, 𝐵, 𝐷)) ≠ ∅)
26	6, 25	eqnetrd 3054	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   ∩ cin 3880  ∅c0 4243  ifcif 4425   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  ℝ^*cxr 10663   < clt 10664   ≤ cle 10665  (,)cioo 12726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-ioo 12730

This theorem is referenced by: (None)