Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islln2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islln2 39513
Description: The predicate "is a lattice line". (Contributed by NM, 23-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
islln3.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
islln3.j = (join‘𝐾)
islln3.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
islln3.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
islln2 (𝐾 ∈ HL → (𝑋𝑁 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑋 = (𝑝 𝑞)))))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐴   𝐵,𝑝,𝑞   𝐾,𝑝,𝑞   𝑋,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   (𝑞,𝑝)   𝑁(𝑞,𝑝)

Proof of Theorem islln2
StepHypRef Expression
1 islln3.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 islln3.n . . . 4 𝑁 = (LLines‘𝐾)
31, 2llnbase 39511 . . 3 (𝑋𝑁𝑋𝐵)
43pm4.71ri 560 . 2 (𝑋𝑁 ↔ (𝑋𝐵𝑋𝑁))
5 islln3.j . . . 4 = (join‘𝐾)
6 islln3.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
71, 5, 6, 2islln3 39512 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋𝑁 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑋 = (𝑝 𝑞))))
87pm5.32da 579 . 2 (𝐾 ∈ HL → ((𝑋𝐵𝑋𝑁) ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑋 = (𝑝 𝑞)))))
94, 8bitrid 283 1 (𝐾 ∈ HL → (𝑋𝑁 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑋 = (𝑝 𝑞)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  joincjn 18357  Atomscatm 39264  HLchlt 39351  LLinesclln 39493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-lat 18477  df-clat 18544  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-llines 39500
This theorem is referenced by:  islpln5  39537  lplnnlelln  39545  llncvrlpln2  39559  2llnjN  39569  lvolnlelln  39586
  Copyright terms: Public domain W3C validator