Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islln2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islln2 38377
Description: The predicate "is a lattice line". (Contributed by NM, 23-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
islln3.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
islln3.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
islln3.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
islln3.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
islln2 (𝐾 ∈ HL β†’ (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ π‘ž)))))
Distinct variable groups:   π‘ž,𝑝,𝐴   𝐡,𝑝,π‘ž   𝐾,𝑝,π‘ž   𝑋,𝑝,π‘ž
Allowed substitution hints:   ∨ (π‘ž,𝑝)   𝑁(π‘ž,𝑝)

Proof of Theorem islln2
StepHypRef Expression
1 islln3.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 islln3.n . . . 4 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
31, 2llnbase 38375 . . 3 (𝑋 ∈ 𝑁 β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
43pm4.71ri 561 . 2 (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁))
5 islln3.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
6 islln3.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
71, 5, 6, 2islln3 38376 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ π‘ž))))
87pm5.32da 579 . 2 (𝐾 ∈ HL β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ π‘ž)))))
94, 8bitrid 282 1 (𝐾 ∈ HL β†’ (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ π‘ž)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  joincjn 18263  Atomscatm 38128  HLchlt 38215  LLinesclln 38357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-lat 18384  df-clat 18451  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216  df-llines 38364
This theorem is referenced by:  islpln5  38401  lplnnlelln  38409  llncvrlpln2  38423  2llnjN  38433  lvolnlelln  38450
  Copyright terms: Public domain W3C validator