Theorem mapfi 9260

Description: Set exponentiation of finite sets is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mapfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ↑m 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem mapfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpfi 9232	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵 × 𝐴) ∈ Fin)
2	1	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵 × 𝐴) ∈ Fin)
3		pwfi 9231	. . 3 ⊢ ((𝐵 × 𝐴) ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∈ Fin)
4	2, 3	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∈ Fin)
5		mapsspw 8828	. 2 ⊢ (𝐴 ↑m 𝐵) ⊆ 𝒫 (𝐵 × 𝐴)
6		ssfi 9109	. 2 ⊢ ((𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∈ Fin ∧ (𝐴 ↑m 𝐵) ⊆ 𝒫 (𝐵 × 𝐴)) → (𝐴 ↑m 𝐵) ∈ Fin)
7	4, 5, 6	sylancl 587	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ↑m 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  𝒫 cpw 4556   × cxp 5630  (class class class)co 7368   ↑_m cmap 8775  Fincfn 8895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-1o 8407  df-map 8777  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-fin 8899

This theorem is referenced by:  ixpfi  9261  hashmap  14370  hashpw  14371  hashf1lem2  14391  prmreclem2  16857  vdwlem10  16930  efmndbasfi  18814  symgbasfi  19320  aannenlem1  26304  birthdaylem1  26929  dchrfi  27234  reprfi  34794  deranglem  35382  poimirlem9  37880  poimirlem26  37897  poimirlem27  37898  poimirlem28  37899  poimirlem32  37903  dvnprodlem2  46305  etransclem16  46608  etransclem33  46625