Theorem mapfi 9275

Description: Set exponentiation of finite sets is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mapfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ↑m 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem mapfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpfi 9245	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵 × 𝐴) ∈ Fin)
2	1	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵 × 𝐴) ∈ Fin)
3		pwfi 9244	. . 3 ⊢ ((𝐵 × 𝐴) ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∈ Fin)
4	2, 3	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∈ Fin)
5		mapsspw 8828	. 2 ⊢ (𝐴 ↑m 𝐵) ⊆ 𝒫 (𝐵 × 𝐴)
6		ssfi 9114	. 2 ⊢ ((𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∈ Fin ∧ (𝐴 ↑m 𝐵) ⊆ 𝒫 (𝐵 × 𝐴)) → (𝐴 ↑m 𝐵) ∈ Fin)
7	4, 5, 6	sylancl 586	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ↑m 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911  𝒫 cpw 4559   × cxp 5629  (class class class)co 7369   ↑_m cmap 8776  Fincfn 8895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-1o 8411  df-map 8778  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-fin 8899

This theorem is referenced by:  ixpfi  9276  hashmap  14376  hashpw  14377  hashf1lem2  14397  prmreclem2  16864  vdwlem10  16937  efmndbasfi  18780  symgbasfi  19285  aannenlem1  26212  birthdaylem1  26837  dchrfi  27142  reprfi  34580  deranglem  35126  poimirlem9  37596  poimirlem26  37613  poimirlem27  37614  poimirlem28  37615  poimirlem32  37619  dvnprodlem2  45918  etransclem16  46221  etransclem33  46238