Theorem mapfi 8838

Description: Set exponentiation of finite sets is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mapfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ↑m 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem mapfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpfi 8807	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵 × 𝐴) ∈ Fin)
2	1	ancoms 463	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵 × 𝐴) ∈ Fin)
3		pwfi 8837	. . 3 ⊢ ((𝐵 × 𝐴) ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∈ Fin)
4	2, 3	sylib 221	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∈ Fin)
5		mapsspw 8453	. 2 ⊢ (𝐴 ↑m 𝐵) ⊆ 𝒫 (𝐵 × 𝐴)
6		ssfi 8752	. 2 ⊢ ((𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∈ Fin ∧ (𝐴 ↑m 𝐵) ⊆ 𝒫 (𝐵 × 𝐴)) → (𝐴 ↑m 𝐵) ∈ Fin)
7	4, 5, 6	sylancl 590	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ↑m 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2112   ⊆ wss 3854  𝒫 cpw 4487   × cxp 5515  (class class class)co 7143   ↑_m cmap 8409  Fincfn 8520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-int 4832  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-2o 8106  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-pm 8412  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-fin 8524

This theorem is referenced by:  ixpfi  8839  hashmap  13831  hashpw  13832  hashf1lem2  13851  prmreclem2  16293  vdwlem10  16366  efmndbasfi  18093  symgbasfi  18559  aannenlem1  25008  birthdaylem1  25621  dchrfi  25923  reprfi  32100  deranglem  32629  poimirlem9  35331  poimirlem26  35348  poimirlem27  35349  poimirlem28  35350  poimirlem32  35354  dvnprodlem2  42940  etransclem16  43243  etransclem33  43260