Theorem i2linesd 48308

Description: Solve for the intersection of two lines expressed in Y = MX+B form (note that the lines cannot be vertical). Here we use deduction form. We just solve for X, since Y can be trivially found by using X. This is an example of how to use the algebra helpers. Notice that because this proof uses algebra helpers, the main steps of the proof are higher level and easier to follow by a human reader. (Contributed by David A. Wheeler, 15-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
i2linesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
i2linesd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
i2linesd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
i2linesd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
i2linesd.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
i2linesd.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 = ((𝐴 · 𝑋) + 𝐵))
i2linesd.7	⊢ (𝜑 → 𝑌 = ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷))
i2linesd.8	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
i2linesd	⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((𝐷 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐶)))

Proof of Theorem i2linesd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i2linesd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		i2linesd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
3	1, 2	subcld 11611	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
4		i2linesd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
5		i2linesd.8	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≠ 0)
6	2, 4	mulcld 11274	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑋) ∈ ℂ)
7		i2linesd.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
8		i2linesd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
9	7, 8	subcld 11611	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ)
10	1, 4	mulcld 11274	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ ℂ)
11		i2linesd.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = ((𝐴 · 𝑋) + 𝐵))
12		i2linesd.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷))
13	11, 12	eqtr3d 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) = ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷))
14	10, 8, 13	mvlraddd 11664	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) = (((𝐶 · 𝑋) + 𝐷) − 𝐵))
15	6, 7, 8, 14	assraddsubd 11668	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) = ((𝐶 · 𝑋) + (𝐷 − 𝐵)))
16	6, 9, 15	mvrladdd 11667	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) − (𝐶 · 𝑋)) = (𝐷 − 𝐵))
17	1, 4, 2, 16	joinlmulsubmuld 48303	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶) · 𝑋) = (𝐷 − 𝐵))
18	3, 4, 5, 17	mvllmuld 12086	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((𝐷 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  (class class class)co 7426  ℂcc 11146  0cc0 11148   + caddc 11151   · cmul 11153   − cmin 11484   / cdiv 11911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912

This theorem is referenced by: (None)