Theorem i2linesd 48097

Description: Solve for the intersection of two lines expressed in Y = MX+B form (note that the lines cannot be vertical). Here we use deduction form. We just solve for X, since Y can be trivially found by using X. This is an example of how to use the algebra helpers. Notice that because this proof uses algebra helpers, the main steps of the proof are higher level and easier to follow by a human reader. (Contributed by David A. Wheeler, 15-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
i2linesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
i2linesd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
i2linesd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
i2linesd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
i2linesd.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
i2linesd.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 = ((𝐴 · 𝑋) + 𝐵))
i2linesd.7	⊢ (𝜑 → 𝑌 = ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷))
i2linesd.8	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
i2linesd	⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((𝐷 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐶)))

Proof of Theorem i2linesd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i2linesd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		i2linesd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
3	1, 2	subcld 11575	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
4		i2linesd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
5		i2linesd.8	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≠ 0)
6	2, 4	mulcld 11238	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑋) ∈ ℂ)
7		i2linesd.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
8		i2linesd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
9	7, 8	subcld 11575	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ)
10	1, 4	mulcld 11238	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ ℂ)
11		i2linesd.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = ((𝐴 · 𝑋) + 𝐵))
12		i2linesd.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷))
13	11, 12	eqtr3d 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) = ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷))
14	10, 8, 13	mvlraddd 11628	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) = (((𝐶 · 𝑋) + 𝐷) − 𝐵))
15	6, 7, 8, 14	assraddsubd 11632	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) = ((𝐶 · 𝑋) + (𝐷 − 𝐵)))
16	6, 9, 15	mvrladdd 11631	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) − (𝐶 · 𝑋)) = (𝐷 − 𝐵))
17	1, 4, 2, 16	joinlmulsubmuld 48092	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶) · 𝑋) = (𝐷 − 𝐵))
18	3, 4, 5, 17	mvllmuld 12050	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((𝐷 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  (class class class)co 7405  ℂcc 11110  0cc0 11112   + caddc 11115   · cmul 11117   − cmin 11448   / cdiv 11875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876

This theorem is referenced by: (None)