Theorem subdird 11659

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdir 11636	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1394	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7400  ℂcc 11086   · cmul 11093   − cmin 11429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-ltxr 11236  df-sub 11431

This theorem is referenced by:  mulsubfacd  11663  ltmul1a  12055  xp1d2m1eqxm1d2  12489  div4p1lem1div2  12490  lincmb01cmp  13513  iccf1o  13514  modmul1  13951  remullem  15169  mulcn2  15637  fsumparts  15848  pwdif  15912  geo2sum  15917  fallfacfwd  16080  bpoly4  16103  modprm0  16855  mul4sqlem  17003  vdwapun  17024  icopnfcnv  25062  itgconst  25939  itgmulc2lem2  25953  dvmulbr  26059  dvrec  26075  dvsincos  26101  cmvth  26111  dvcvx  26140  dvfsumlem1  26146  dvfsumlem2  26147  coeeulem  26342  abelthlem6  26557  tangtx  26628  tanarg  26742  logdivlti  26743  logcnlem4  26768  affineequiv  26946  affineequiv2  26947  chordthmlem2  26956  chordthmlem4  26958  mcubic  26970  dquartlem2  26975  quart1lem  26978  quart1  26979  quartlem1  26980  dvatan  27058  atantayl  27060  lgamcvg2  27177  wilthlem2  27191  logfaclbnd  27344  logexprlim  27347  perfectlem2  27352  dchrsum2  27390  sumdchr2  27392  bposlem9  27414  lgsquadlem1  27502  2sqmod  27558  chebbnd1lem3  27593  rpvmasumlem  27609  log2sumbnd  27666  chpdifbndlem1  27675  selberg3lem1  27679  selberg4lem1  27682  selbergr  27690  selberg3r  27691  selberg4r  27692  pntrlog2bndlem3  27701  pntrlog2bndlem5  27703  pntibndlem2  27713  pntlemo  27729  ttgcontlem1  29143  brbtwn2  29164  colinearalglem1  29165  axsegconlem9  29184  axcontlem2  29224  axcontlem7  29229  axcontlem8  29230  constrrtlc1  34039  constrrtcclem  34041  constrrtcc  34042  constrrecl  34076  sinccvglem  36035  bj-bary1lem  37814  bj-bary1lem1  37815  itgmulc2nclem2  38198  bfp  38335  pellexlem6  43423  congmul  43556  areaquad  43805  itgsinexp  46527  stoweidlem13  46585  stoweidlem14  46586  stoweidlem26  46598  fourierdlem6  46685  fourierdlem26  46705  fourierdlem42  46721  fourierdlem65  46743  fourierdlem95  46773  smfmullem1  47363  sigarmf  47426  cevathlem2  47440  sin3t  47463  cos3t  47464  sin5tlem2  47466  sin5tlem4  47468  sin5tlem5  47469  perfectALTVlem2  48342  submuladdmuld  49332  affinecomb2  49334  affineid  49335  rrx2linest  49373  itscnhlinecirc02plem2  49414  inlinecirc02p  49418  joinlmulsubmuld  50403