Theorem subdird 11641

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdir 11618	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1389	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7392  ℂcc 11068   · cmul 11075   − cmin 11411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-ltxr 11218  df-sub 11413

This theorem is referenced by:  mulsubfacd  11645  ltmul1a  12037  xp1d2m1eqxm1d2  12472  div4p1lem1div2  12473  lincmb01cmp  13496  iccf1o  13497  modmul1  13934  remullem  15138  mulcn2  15606  fsumparts  15817  pwdif  15881  geo2sum  15886  fallfacfwd  16049  bpoly4  16072  modprm0  16824  mul4sqlem  16972  vdwapun  16993  icopnfcnv  24984  itgconst  25861  itgmulc2lem2  25875  dvmulbr  25981  dvrec  25997  dvsincos  26023  cmvth  26033  dvcvx  26062  dvfsumlem1  26068  dvfsumlem2  26069  coeeulem  26264  abelthlem6  26476  tangtx  26547  tanarg  26661  logdivlti  26662  logcnlem4  26687  affineequiv  26865  affineequiv2  26866  chordthmlem2  26875  chordthmlem4  26877  mcubic  26889  dquartlem2  26894  quart1lem  26897  quart1  26898  quartlem1  26899  dvatan  26977  atantayl  26979  lgamcvg2  27096  wilthlem2  27110  logfaclbnd  27263  logexprlim  27266  perfectlem2  27271  dchrsum2  27309  sumdchr2  27311  bposlem9  27333  lgsquadlem1  27421  2sqmod  27477  chebbnd1lem3  27512  rpvmasumlem  27528  log2sumbnd  27585  chpdifbndlem1  27594  selberg3lem1  27598  selberg4lem1  27601  selbergr  27609  selberg3r  27610  selberg4r  27611  pntrlog2bndlem3  27620  pntrlog2bndlem5  27622  pntibndlem2  27632  pntlemo  27648  ttgcontlem1  29031  brbtwn2  29052  colinearalglem1  29053  axsegconlem9  29072  axcontlem2  29112  axcontlem7  29117  axcontlem8  29118  constrrtlc1  33990  constrrtcclem  33992  constrrtcc  33993  constrrecl  34027  sinccvglem  35986  bj-bary1lem  37766  bj-bary1lem1  37767  itgmulc2nclem2  38150  bfp  38287  pellexlem6  43375  congmul  43508  areaquad  43757  itgsinexp  46493  stoweidlem13  46551  stoweidlem14  46552  stoweidlem26  46564  fourierdlem6  46651  fourierdlem26  46671  fourierdlem42  46687  fourierdlem65  46709  fourierdlem95  46739  smfmullem1  47329  sigarmf  47392  cevathlem2  47406  sin3t  47429  cos3t  47430  sin5tlem2  47432  sin5tlem4  47434  sin5tlem5  47435  perfectALTVlem2  48308  submuladdmuld  49287  affinecomb2  49289  affineid  49290  rrx2linest  49328  itscnhlinecirc02plem2  49369  inlinecirc02p  49373  joinlmulsubmuld  50359