Theorem subdird 11362

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdir 11339	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1369	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℂcc 10800   · cmul 10807   − cmin 11135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-sub 11137

This theorem is referenced by:  mulsubfacd  11366  ltmul1a  11754  xp1d2m1eqxm1d2  12157  div4p1lem1div2  12158  lincmb01cmp  13156  iccf1o  13157  modmul1  13572  remullem  14767  mulcn2  15233  fsumparts  15446  pwdif  15508  geo2sum  15513  fallfacfwd  15674  bpoly4  15697  modprm0  16434  mul4sqlem  16582  vdwapun  16603  icopnfcnv  24011  itgconst  24888  itgmulc2lem2  24902  dvmulbr  25008  dvrec  25024  dvsincos  25050  cmvth  25060  dvcvx  25089  dvfsumlem1  25095  dvfsumlem2  25096  coeeulem  25290  abelthlem6  25500  tangtx  25567  tanarg  25679  logdivlti  25680  logcnlem4  25705  affineequiv  25878  affineequiv2  25879  chordthmlem2  25888  chordthmlem4  25890  mcubic  25902  dquartlem2  25907  quart1lem  25910  quart1  25911  quartlem1  25912  dvatan  25990  atantayl  25992  lgamcvg2  26109  wilthlem2  26123  logfaclbnd  26275  logexprlim  26278  perfectlem2  26283  dchrsum2  26321  sumdchr2  26323  bposlem9  26345  lgsquadlem1  26433  2sqmod  26489  chebbnd1lem3  26524  rpvmasumlem  26540  log2sumbnd  26597  chpdifbndlem1  26606  selberg3lem1  26610  selberg4lem1  26613  selbergr  26621  selberg3r  26622  selberg4r  26623  pntrlog2bndlem3  26632  pntrlog2bndlem5  26634  pntibndlem2  26644  pntlemo  26660  ttgcontlem1  27155  brbtwn2  27176  colinearalglem1  27177  axsegconlem9  27196  axcontlem2  27236  axcontlem7  27241  axcontlem8  27242  sinccvglem  33530  bj-bary1lem  35408  bj-bary1lem1  35409  itgmulc2nclem2  35771  bfp  35909  pellexlem6  40572  congmul  40705  areaquad  40963  itgsinexp  43386  stoweidlem13  43444  stoweidlem14  43445  stoweidlem26  43457  fourierdlem6  43544  fourierdlem26  43564  fourierdlem42  43580  fourierdlem65  43602  fourierdlem95  43632  smfmullem1  44212  sigarmf  44257  cevathlem2  44271  perfectALTVlem2  45062  submuladdmuld  45935  affinecomb2  45937  affineid  45938  rrx2linest  45976  itscnhlinecirc02plem2  46017  inlinecirc02p  46021  joinlmulsubmuld  46364