Theorem subdird 11699

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdir 11676	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7417  ℂcc 11126   · cmul 11133   − cmin 11469

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-ltxr 11276  df-sub 11471

This theorem is used by:  mulsubfacd  11703  ltmul1a  12092  xp1d2m1eqxm1d2  12526  div4p1lem1div2  12527  lincmb01cmp  13552  iccf1o  13553  modmul1  13992  remullem  15219  mulcn2  15687  fsumparts  15897  pwdif  15961  geo2sum  15966  fallfacfwd  16128  bpoly4  16151  modprm0  16903  mul4sqlem  17051  vdwapun  17072  icopnfcnv  25176  itgconst  26053  itgmulc2lem2  26067  dvmulbr  26173  dvrec  26189  dvsincos  26215  cmvth  26225  dvcvx  26254  dvfsumlem1  26260  dvfsumlem2  26261  coeeulem  26457  abelthlem6  26679  tangtx  26750  tanarg  26864  logdivlti  26865  logcnlem4  26890  affineequiv  27068  affineequiv2  27069  chordthmlem2  27078  chordthmlem4  27080  mcubic  27092  dquartlem2  27097  quart1lem  27100  quart1  27101  quartlem1  27102  dvatan  27180  atantayl  27182  lgamcvg2  27299  wilthlem2  27313  logfaclbnd  27466  logexprlim  27469  perfectlem2  27474  dchrsum2  27512  sumdchr2  27514  bposlem9  27536  lgsquadlem1  27624  2sqmod  27680  chebbnd1lem3  27715  rpvmasumlem  27731  log2sumbnd  27788  chpdifbndlem1  27797  selberg3lem1  27801  selberg4lem1  27804  selbergr  27812  selberg3r  27813  selberg4r  27814  pntrlog2bndlem3  27823  pntrlog2bndlem5  27825  pntibndlem2  27835  pntlemo  27851  ttgcontlem1  29349  brbtwn2  29370  colinearalglem1  29371  axsegconlem9  29390  axcontlem2  29430  axcontlem7  29435  axcontlem8  29436  constrrtlc1  34250  constrrtcclem  34252  constrrtcc  34253  constrrecl  34287  sinccvglem  36259  bj-bary1lem  38070  bj-bary1lem1  38071  itgmulc2nclem2  38444  bfp  38582  pellexlem6  43683  congmul  43816  areaquad  44065  itgsinexp  46791  stoweidlem13  46849  stoweidlem14  46850  stoweidlem26  46862  fourierdlem6  46949  fourierdlem26  46969  fourierdlem42  46985  fourierdlem65  47007  fourierdlem95  47037  smfmullem1  47627  sigarmf  47690  cevathlem2  47704  sin3t  47743  cos3t  47744  sin5tlem2  47746  sin5tlem4  47748  sin5tlem5  47749  perfectALTVlem2  48646  submuladdmuld  49639  affinecomb2  49641  affineid  49642  rrx2linest  49680  itscnhlinecirc02plem2  49721  inlinecirc02p  49725  joinlmulsubmuld  50711