Theorem subdird 11754

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdir 11731	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7412  ℂcc 11179   · cmul 11186   − cmin 11522

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11524

This theorem is used by:  mulsubfacd  11758  ltmul1a  12147  xp1d2m1eqxm1d2  12581  div4p1lem1div2  12582  lincmb01cmp  13607  iccf1o  13608  modmul1  14047  remullem  15275  mulcn2  15743  fsumparts  15953  pwdif  16017  geo2sum  16022  fallfacfwd  16182  bpoly4  16205  modprm0  16963  mul4sqlem  17111  vdwapun  17132  icopnfcnv  25243  itgconst  26119  itgmulc2lem2  26133  dvmulbr  26239  dvrec  26255  dvsincos  26281  cmvth  26291  dvcvx  26320  dvfsumlem1  26326  dvfsumlem2  26327  coeeulem  26523  abelthlem6  26745  tangtx  26816  tanarg  26929  logdivlti  26930  logcnlem4  26955  affineequiv  27133  affineequiv2  27134  chordthmlem2  27143  chordthmlem4  27145  mcubic  27157  dquartlem2  27162  quart1lem  27165  quart1  27166  quartlem1  27167  dvatan  27245  atantayl  27247  lgamcvg2  27364  wilthlem2  27378  logfaclbnd  27531  logexprlim  27534  perfectlem2  27539  dchrsum2  27577  sumdchr2  27579  bposlem9  27601  lgsquadlem1  27689  2sqmod  27745  chebbnd1lem3  27780  rpvmasumlem  27796  log2sumbnd  27853  chpdifbndlem1  27862  selberg3lem1  27866  selberg4lem1  27869  selbergr  27877  selberg3r  27878  selberg4r  27879  pntrlog2bndlem3  27888  pntrlog2bndlem5  27890  pntibndlem2  27900  pntlemo  27916  ttgcontlem1  29444  brbtwn2  29465  colinearalglem1  29466  axsegconlem9  29485  axcontlem2  29525  axcontlem7  29530  axcontlem8  29531  constrrtlc1  34346  constrrtcclem  34348  constrrtcc  34349  constrrecl  34383  sinccvglem  36406  bj-bary1lem  38199  bj-bary1lem1  38200  itgmulc2nclem2  38573  bfp  38726  pellexlem6  43794  congmul  43927  areaquad  44176  itgsinexp  46909  stoweidlem13  46967  stoweidlem14  46968  stoweidlem26  46980  fourierdlem6  47067  fourierdlem26  47087  fourierdlem42  47103  fourierdlem65  47125  fourierdlem95  47155  smfmullem1  47745  sigarmf  47808  cevathlem2  47822  sin3t  47861  cos3t  47862  sin5tlem2  47864  sin5tlem4  47866  sin5tlem5  47867  perfectALTVlem2  48764  submuladdmuld  49757  affinecomb2  49759  affineid  49760  rrx2linest  49798  itscnhlinecirc02plem2  49839  inlinecirc02p  49843  joinlmulsubmuld  50814