Theorem subdird 11598

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdir 11575	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℂcc 11027   · cmul 11034   − cmin 11368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370

This theorem is referenced by:  mulsubfacd  11602  ltmul1a  11995  xp1d2m1eqxm1d2  12422  div4p1lem1div2  12423  lincmb01cmp  13439  iccf1o  13440  modmul1  13877  remullem  15081  mulcn2  15549  fsumparts  15760  pwdif  15824  geo2sum  15829  fallfacfwd  15992  bpoly4  16015  modprm0  16767  mul4sqlem  16915  vdwapun  16936  icopnfcnv  24919  itgconst  25796  itgmulc2lem2  25810  dvmulbr  25916  dvrec  25932  dvsincos  25958  cmvth  25968  dvcvx  25997  dvfsumlem1  26003  dvfsumlem2  26004  coeeulem  26199  abelthlem6  26414  tangtx  26482  tanarg  26596  logdivlti  26597  logcnlem4  26622  affineequiv  26800  affineequiv2  26801  chordthmlem2  26810  chordthmlem4  26812  mcubic  26824  dquartlem2  26829  quart1lem  26832  quart1  26833  quartlem1  26834  dvatan  26912  atantayl  26914  lgamcvg2  27032  wilthlem2  27046  logfaclbnd  27199  logexprlim  27202  perfectlem2  27207  dchrsum2  27245  sumdchr2  27247  bposlem9  27269  lgsquadlem1  27357  2sqmod  27413  chebbnd1lem3  27448  rpvmasumlem  27464  log2sumbnd  27521  chpdifbndlem1  27530  selberg3lem1  27534  selberg4lem1  27537  selbergr  27545  selberg3r  27546  selberg4r  27547  pntrlog2bndlem3  27556  pntrlog2bndlem5  27558  pntibndlem2  27568  pntlemo  27584  ttgcontlem1  28967  brbtwn2  28988  colinearalglem1  28989  axsegconlem9  29008  axcontlem2  29048  axcontlem7  29053  axcontlem8  29054  constrrtlc1  33892  constrrtcclem  33894  constrrtcc  33895  constrrecl  33929  sinccvglem  35870  bj-bary1lem  37640  bj-bary1lem1  37641  itgmulc2nclem2  38022  bfp  38159  pellexlem6  43280  congmul  43413  areaquad  43662  itgsinexp  46401  stoweidlem13  46459  stoweidlem14  46460  stoweidlem26  46472  fourierdlem6  46559  fourierdlem26  46579  fourierdlem42  46595  fourierdlem65  46617  fourierdlem95  46647  smfmullem1  47237  sigarmf  47300  cevathlem2  47314  sin3t  47335  cos3t  47336  sin5tlem2  47338  sin5tlem4  47340  sin5tlem5  47341  perfectALTVlem2  48210  submuladdmuld  49189  affinecomb2  49191  affineid  49192  rrx2linest  49230  itscnhlinecirc02plem2  49271  inlinecirc02p  49275  joinlmulsubmuld  50261