Theorem subdird 11097

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdir 11074	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1367	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7156  ℂcc 10535   · cmul 10542   − cmin 10870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-ltxr 10680  df-sub 10872

This theorem is referenced by:  mulsubfacd  11101  ltmul1a  11489  xp1d2m1eqxm1d2  11892  div4p1lem1div2  11893  lincmb01cmp  12882  iccf1o  12883  modmul1  13293  remullem  14487  mulcn2  14952  fsumparts  15161  pwdif  15223  geo2sum  15229  fallfacfwd  15390  bpoly4  15413  modprm0  16142  mul4sqlem  16289  vdwapun  16310  icopnfcnv  23546  itgconst  24419  itgmulc2lem2  24433  dvmulbr  24536  dvrec  24552  dvsincos  24578  cmvth  24588  dvcvx  24617  dvfsumlem1  24623  dvfsumlem2  24624  coeeulem  24814  abelthlem6  25024  tangtx  25091  tanarg  25202  logdivlti  25203  logcnlem4  25228  affineequiv  25401  affineequiv2  25402  chordthmlem2  25411  chordthmlem4  25413  mcubic  25425  dquartlem2  25430  quart1lem  25433  quart1  25434  quartlem1  25435  dvatan  25513  atantayl  25515  lgamcvg2  25632  wilthlem2  25646  logfaclbnd  25798  logexprlim  25801  perfectlem2  25806  dchrsum2  25844  sumdchr2  25846  bposlem9  25868  lgsquadlem1  25956  2sqmod  26012  chebbnd1lem3  26047  rpvmasumlem  26063  log2sumbnd  26120  chpdifbndlem1  26129  selberg3lem1  26133  selberg4lem1  26136  selbergr  26144  selberg3r  26145  selberg4r  26146  pntrlog2bndlem3  26155  pntrlog2bndlem5  26157  pntibndlem2  26167  pntlemo  26183  ttgcontlem1  26671  brbtwn2  26691  colinearalglem1  26692  axsegconlem9  26711  axcontlem2  26751  axcontlem7  26756  axcontlem8  26757  sinccvglem  32915  bj-bary1lem  34594  bj-bary1lem1  34595  itgmulc2nclem2  34974  bfp  35117  pellexlem6  39480  congmul  39613  areaquad  39872  itgsinexp  42289  stoweidlem13  42347  stoweidlem14  42348  stoweidlem26  42360  fourierdlem6  42447  fourierdlem26  42467  fourierdlem42  42483  fourierdlem65  42505  fourierdlem95  42535  smfmullem1  43115  sigarmf  43160  cevathlem2  43174  perfectALTVlem2  43936  submuladdmuld  44737  affinecomb2  44739  affineid  44740  rrx2linest  44778  itscnhlinecirc02plem2  44819  inlinecirc02p  44823  joinlmulsubmuld  44924