Theorem subdird 11621

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdir 11598	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1371	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7362  ℂcc 11058   · cmul 11065   − cmin 11394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-ltxr 11203  df-sub 11396

This theorem is referenced by:  mulsubfacd  11625  ltmul1a  12013  xp1d2m1eqxm1d2  12416  div4p1lem1div2  12417  lincmb01cmp  13422  iccf1o  13423  modmul1  13839  remullem  15025  mulcn2  15490  fsumparts  15702  pwdif  15764  geo2sum  15769  fallfacfwd  15930  bpoly4  15953  modprm0  16688  mul4sqlem  16836  vdwapun  16857  icopnfcnv  24342  itgconst  25220  itgmulc2lem2  25234  dvmulbr  25340  dvrec  25356  dvsincos  25382  cmvth  25392  dvcvx  25421  dvfsumlem1  25427  dvfsumlem2  25428  coeeulem  25622  abelthlem6  25832  tangtx  25899  tanarg  26011  logdivlti  26012  logcnlem4  26037  affineequiv  26210  affineequiv2  26211  chordthmlem2  26220  chordthmlem4  26222  mcubic  26234  dquartlem2  26239  quart1lem  26242  quart1  26243  quartlem1  26244  dvatan  26322  atantayl  26324  lgamcvg2  26441  wilthlem2  26455  logfaclbnd  26607  logexprlim  26610  perfectlem2  26615  dchrsum2  26653  sumdchr2  26655  bposlem9  26677  lgsquadlem1  26765  2sqmod  26821  chebbnd1lem3  26856  rpvmasumlem  26872  log2sumbnd  26929  chpdifbndlem1  26938  selberg3lem1  26942  selberg4lem1  26945  selbergr  26953  selberg3r  26954  selberg4r  26955  pntrlog2bndlem3  26964  pntrlog2bndlem5  26966  pntibndlem2  26976  pntlemo  26992  ttgcontlem1  27896  brbtwn2  27917  colinearalglem1  27918  axsegconlem9  27937  axcontlem2  27977  axcontlem7  27982  axcontlem8  27983  sinccvglem  34347  bj-bary1lem  35854  bj-bary1lem1  35855  itgmulc2nclem2  36218  bfp  36356  pellexlem6  41215  congmul  41349  areaquad  41608  itgsinexp  44316  stoweidlem13  44374  stoweidlem14  44375  stoweidlem26  44387  fourierdlem6  44474  fourierdlem26  44494  fourierdlem42  44510  fourierdlem65  44532  fourierdlem95  44562  smfmullem1  45152  sigarmf  45215  cevathlem2  45229  perfectALTVlem2  46034  submuladdmuld  46907  affinecomb2  46909  affineid  46910  rrx2linest  46948  itscnhlinecirc02plem2  46989  inlinecirc02p  46993  joinlmulsubmuld  47341