Theorem subdird 11721

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdir 11698	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1372	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7432  ℂcc 11154   · cmul 11161   − cmin 11493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-ltxr 11301  df-sub 11495

This theorem is referenced by:  mulsubfacd  11725  ltmul1a  12117  xp1d2m1eqxm1d2  12522  div4p1lem1div2  12523  lincmb01cmp  13536  iccf1o  13537  modmul1  13966  remullem  15168  mulcn2  15633  fsumparts  15843  pwdif  15905  geo2sum  15910  fallfacfwd  16073  bpoly4  16096  modprm0  16844  mul4sqlem  16992  vdwapun  17013  icopnfcnv  24974  itgconst  25855  itgmulc2lem2  25869  dvmulbr  25976  dvmulbrOLD  25977  dvrec  25994  dvsincos  26020  cmvth  26030  cmvthOLD  26031  dvcvx  26060  dvfsumlem1  26067  dvfsumlem2  26068  dvfsumlem2OLD  26069  coeeulem  26264  abelthlem6  26481  tangtx  26548  tanarg  26662  logdivlti  26663  logcnlem4  26688  affineequiv  26867  affineequiv2  26868  chordthmlem2  26877  chordthmlem4  26879  mcubic  26891  dquartlem2  26896  quart1lem  26899  quart1  26900  quartlem1  26901  dvatan  26979  atantayl  26981  lgamcvg2  27099  wilthlem2  27113  logfaclbnd  27267  logexprlim  27270  perfectlem2  27275  dchrsum2  27313  sumdchr2  27315  bposlem9  27337  lgsquadlem1  27425  2sqmod  27481  chebbnd1lem3  27516  rpvmasumlem  27532  log2sumbnd  27589  chpdifbndlem1  27598  selberg3lem1  27602  selberg4lem1  27605  selbergr  27613  selberg3r  27614  selberg4r  27615  pntrlog2bndlem3  27624  pntrlog2bndlem5  27626  pntibndlem2  27636  pntlemo  27652  ttgcontlem1  28900  brbtwn2  28921  colinearalglem1  28922  axsegconlem9  28941  axcontlem2  28981  axcontlem7  28986  axcontlem8  28987  constrrtlc1  33774  constrrtcclem  33776  constrrtcc  33777  sinccvglem  35678  bj-bary1lem  37312  bj-bary1lem1  37313  itgmulc2nclem2  37695  bfp  37832  pellexlem6  42850  congmul  42984  areaquad  43233  itgsinexp  45975  stoweidlem13  46033  stoweidlem14  46034  stoweidlem26  46046  fourierdlem6  46133  fourierdlem26  46153  fourierdlem42  46169  fourierdlem65  46191  fourierdlem95  46221  smfmullem1  46811  sigarmf  46874  cevathlem2  46888  perfectALTVlem2  47714  submuladdmuld  48627  affinecomb2  48629  affineid  48630  rrx2linest  48668  itscnhlinecirc02plem2  48709  inlinecirc02p  48713  joinlmulsubmuld  49348