Theorem subdird 11432

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdir 11409	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1370	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  ℂcc 10869   · cmul 10876   − cmin 11205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-sub 11207

This theorem is referenced by:  mulsubfacd  11436  ltmul1a  11824  xp1d2m1eqxm1d2  12227  div4p1lem1div2  12228  lincmb01cmp  13227  iccf1o  13228  modmul1  13644  remullem  14839  mulcn2  15305  fsumparts  15518  pwdif  15580  geo2sum  15585  fallfacfwd  15746  bpoly4  15769  modprm0  16506  mul4sqlem  16654  vdwapun  16675  icopnfcnv  24105  itgconst  24983  itgmulc2lem2  24997  dvmulbr  25103  dvrec  25119  dvsincos  25145  cmvth  25155  dvcvx  25184  dvfsumlem1  25190  dvfsumlem2  25191  coeeulem  25385  abelthlem6  25595  tangtx  25662  tanarg  25774  logdivlti  25775  logcnlem4  25800  affineequiv  25973  affineequiv2  25974  chordthmlem2  25983  chordthmlem4  25985  mcubic  25997  dquartlem2  26002  quart1lem  26005  quart1  26006  quartlem1  26007  dvatan  26085  atantayl  26087  lgamcvg2  26204  wilthlem2  26218  logfaclbnd  26370  logexprlim  26373  perfectlem2  26378  dchrsum2  26416  sumdchr2  26418  bposlem9  26440  lgsquadlem1  26528  2sqmod  26584  chebbnd1lem3  26619  rpvmasumlem  26635  log2sumbnd  26692  chpdifbndlem1  26701  selberg3lem1  26705  selberg4lem1  26708  selbergr  26716  selberg3r  26717  selberg4r  26718  pntrlog2bndlem3  26727  pntrlog2bndlem5  26729  pntibndlem2  26739  pntlemo  26755  ttgcontlem1  27252  brbtwn2  27273  colinearalglem1  27274  axsegconlem9  27293  axcontlem2  27333  axcontlem7  27338  axcontlem8  27339  sinccvglem  33630  bj-bary1lem  35481  bj-bary1lem1  35482  itgmulc2nclem2  35844  bfp  35982  pellexlem6  40656  congmul  40789  areaquad  41047  itgsinexp  43496  stoweidlem13  43554  stoweidlem14  43555  stoweidlem26  43567  fourierdlem6  43654  fourierdlem26  43674  fourierdlem42  43690  fourierdlem65  43712  fourierdlem95  43742  smfmullem1  44325  sigarmf  44370  cevathlem2  44384  perfectALTVlem2  45174  submuladdmuld  46047  affinecomb2  46049  affineid  46050  rrx2linest  46088  itscnhlinecirc02plem2  46129  inlinecirc02p  46133  joinlmulsubmuld  46478