Theorem subdird 11699

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdir 11676	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7410  ℂcc 11132   · cmul 11139   − cmin 11471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-ltxr 11279  df-sub 11473

This theorem is referenced by:  mulsubfacd  11703  ltmul1a  12095  xp1d2m1eqxm1d2  12500  div4p1lem1div2  12501  lincmb01cmp  13517  iccf1o  13518  modmul1  13947  remullem  15152  mulcn2  15617  fsumparts  15827  pwdif  15889  geo2sum  15894  fallfacfwd  16057  bpoly4  16080  modprm0  16830  mul4sqlem  16978  vdwapun  16999  icopnfcnv  24896  itgconst  25777  itgmulc2lem2  25791  dvmulbr  25898  dvmulbrOLD  25899  dvrec  25916  dvsincos  25942  cmvth  25952  cmvthOLD  25953  dvcvx  25982  dvfsumlem1  25989  dvfsumlem2  25990  dvfsumlem2OLD  25991  coeeulem  26186  abelthlem6  26403  tangtx  26471  tanarg  26585  logdivlti  26586  logcnlem4  26611  affineequiv  26790  affineequiv2  26791  chordthmlem2  26800  chordthmlem4  26802  mcubic  26814  dquartlem2  26819  quart1lem  26822  quart1  26823  quartlem1  26824  dvatan  26902  atantayl  26904  lgamcvg2  27022  wilthlem2  27036  logfaclbnd  27190  logexprlim  27193  perfectlem2  27198  dchrsum2  27236  sumdchr2  27238  bposlem9  27260  lgsquadlem1  27348  2sqmod  27404  chebbnd1lem3  27439  rpvmasumlem  27455  log2sumbnd  27512  chpdifbndlem1  27521  selberg3lem1  27525  selberg4lem1  27528  selbergr  27536  selberg3r  27537  selberg4r  27538  pntrlog2bndlem3  27547  pntrlog2bndlem5  27549  pntibndlem2  27559  pntlemo  27575  ttgcontlem1  28869  brbtwn2  28889  colinearalglem1  28890  axsegconlem9  28909  axcontlem2  28949  axcontlem7  28954  axcontlem8  28955  constrrtlc1  33771  constrrtcclem  33773  constrrtcc  33774  constrrecl  33808  sinccvglem  35699  bj-bary1lem  37333  bj-bary1lem1  37334  itgmulc2nclem2  37716  bfp  37853  pellexlem6  42824  congmul  42958  areaquad  43207  itgsinexp  45951  stoweidlem13  46009  stoweidlem14  46010  stoweidlem26  46022  fourierdlem6  46109  fourierdlem26  46129  fourierdlem42  46145  fourierdlem65  46167  fourierdlem95  46197  smfmullem1  46787  sigarmf  46850  cevathlem2  46864  perfectALTVlem2  47703  submuladdmuld  48648  affinecomb2  48650  affineid  48651  rrx2linest  48689  itscnhlinecirc02plem2  48730  inlinecirc02p  48734  joinlmulsubmuld  49605