Theorem subdird 11606

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdir 11583	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  ℂcc 11036   · cmul 11043   − cmin 11376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-sub 11378

This theorem is referenced by:  mulsubfacd  11610  ltmul1a  12002  xp1d2m1eqxm1d2  12407  div4p1lem1div2  12408  lincmb01cmp  13423  iccf1o  13424  modmul1  13859  remullem  15063  mulcn2  15531  fsumparts  15741  pwdif  15803  geo2sum  15808  fallfacfwd  15971  bpoly4  15994  modprm0  16745  mul4sqlem  16893  vdwapun  16914  icopnfcnv  24908  itgconst  25788  itgmulc2lem2  25802  dvmulbr  25909  dvmulbrOLD  25910  dvrec  25927  dvsincos  25953  cmvth  25963  cmvthOLD  25964  dvcvx  25993  dvfsumlem1  26000  dvfsumlem2  26001  dvfsumlem2OLD  26002  coeeulem  26197  abelthlem6  26414  tangtx  26482  tanarg  26596  logdivlti  26597  logcnlem4  26622  affineequiv  26801  affineequiv2  26802  chordthmlem2  26811  chordthmlem4  26813  mcubic  26825  dquartlem2  26830  quart1lem  26833  quart1  26834  quartlem1  26835  dvatan  26913  atantayl  26915  lgamcvg2  27033  wilthlem2  27047  logfaclbnd  27201  logexprlim  27204  perfectlem2  27209  dchrsum2  27247  sumdchr2  27249  bposlem9  27271  lgsquadlem1  27359  2sqmod  27415  chebbnd1lem3  27450  rpvmasumlem  27466  log2sumbnd  27523  chpdifbndlem1  27532  selberg3lem1  27536  selberg4lem1  27539  selbergr  27547  selberg3r  27548  selberg4r  27549  pntrlog2bndlem3  27558  pntrlog2bndlem5  27560  pntibndlem2  27570  pntlemo  27586  ttgcontlem1  28969  brbtwn2  28990  colinearalglem1  28991  axsegconlem9  29010  axcontlem2  29050  axcontlem7  29055  axcontlem8  29056  constrrtlc1  33909  constrrtcclem  33911  constrrtcc  33912  constrrecl  33946  sinccvglem  35885  bj-bary1lem  37559  bj-bary1lem1  37560  itgmulc2nclem2  37932  bfp  38069  pellexlem6  43185  congmul  43318  areaquad  43567  itgsinexp  46307  stoweidlem13  46365  stoweidlem14  46366  stoweidlem26  46378  fourierdlem6  46465  fourierdlem26  46485  fourierdlem42  46501  fourierdlem65  46523  fourierdlem95  46553  smfmullem1  47143  sigarmf  47206  cevathlem2  47220  perfectALTVlem2  48076  submuladdmuld  49055  affinecomb2  49057  affineid  49058  rrx2linest  49096  itscnhlinecirc02plem2  49137  inlinecirc02p  49141  joinlmulsubmuld  50127