Theorem subdird 11635

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdir 11612	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℂcc 11066   · cmul 11073   − cmin 11405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-sub 11407

This theorem is referenced by:  mulsubfacd  11639  ltmul1a  12031  xp1d2m1eqxm1d2  12436  div4p1lem1div2  12437  lincmb01cmp  13456  iccf1o  13457  modmul1  13889  remullem  15094  mulcn2  15562  fsumparts  15772  pwdif  15834  geo2sum  15839  fallfacfwd  16002  bpoly4  16025  modprm0  16776  mul4sqlem  16924  vdwapun  16945  icopnfcnv  24840  itgconst  25720  itgmulc2lem2  25734  dvmulbr  25841  dvmulbrOLD  25842  dvrec  25859  dvsincos  25885  cmvth  25895  cmvthOLD  25896  dvcvx  25925  dvfsumlem1  25932  dvfsumlem2  25933  dvfsumlem2OLD  25934  coeeulem  26129  abelthlem6  26346  tangtx  26414  tanarg  26528  logdivlti  26529  logcnlem4  26554  affineequiv  26733  affineequiv2  26734  chordthmlem2  26743  chordthmlem4  26745  mcubic  26757  dquartlem2  26762  quart1lem  26765  quart1  26766  quartlem1  26767  dvatan  26845  atantayl  26847  lgamcvg2  26965  wilthlem2  26979  logfaclbnd  27133  logexprlim  27136  perfectlem2  27141  dchrsum2  27179  sumdchr2  27181  bposlem9  27203  lgsquadlem1  27291  2sqmod  27347  chebbnd1lem3  27382  rpvmasumlem  27398  log2sumbnd  27455  chpdifbndlem1  27464  selberg3lem1  27468  selberg4lem1  27471  selbergr  27479  selberg3r  27480  selberg4r  27481  pntrlog2bndlem3  27490  pntrlog2bndlem5  27492  pntibndlem2  27502  pntlemo  27518  ttgcontlem1  28812  brbtwn2  28832  colinearalglem1  28833  axsegconlem9  28852  axcontlem2  28892  axcontlem7  28897  axcontlem8  28898  constrrtlc1  33722  constrrtcclem  33724  constrrtcc  33725  constrrecl  33759  sinccvglem  35659  bj-bary1lem  37298  bj-bary1lem1  37299  itgmulc2nclem2  37681  bfp  37818  pellexlem6  42822  congmul  42956  areaquad  43205  itgsinexp  45953  stoweidlem13  46011  stoweidlem14  46012  stoweidlem26  46024  fourierdlem6  46111  fourierdlem26  46131  fourierdlem42  46147  fourierdlem65  46169  fourierdlem95  46199  smfmullem1  46789  sigarmf  46852  cevathlem2  46866  perfectALTVlem2  47720  submuladdmuld  48687  affinecomb2  48689  affineid  48690  rrx2linest  48728  itscnhlinecirc02plem2  48769  inlinecirc02p  48773  joinlmulsubmuld  49760