Theorem subdird 11289

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdir 11266	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7213  ℂcc 10727   · cmul 10734   − cmin 11062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-ltxr 10872  df-sub 11064

This theorem is referenced by:  mulsubfacd  11293  ltmul1a  11681  xp1d2m1eqxm1d2  12084  div4p1lem1div2  12085  lincmb01cmp  13083  iccf1o  13084  modmul1  13497  remullem  14691  mulcn2  15157  fsumparts  15370  pwdif  15432  geo2sum  15437  fallfacfwd  15598  bpoly4  15621  modprm0  16358  mul4sqlem  16506  vdwapun  16527  icopnfcnv  23839  itgconst  24716  itgmulc2lem2  24730  dvmulbr  24836  dvrec  24852  dvsincos  24878  cmvth  24888  dvcvx  24917  dvfsumlem1  24923  dvfsumlem2  24924  coeeulem  25118  abelthlem6  25328  tangtx  25395  tanarg  25507  logdivlti  25508  logcnlem4  25533  affineequiv  25706  affineequiv2  25707  chordthmlem2  25716  chordthmlem4  25718  mcubic  25730  dquartlem2  25735  quart1lem  25738  quart1  25739  quartlem1  25740  dvatan  25818  atantayl  25820  lgamcvg2  25937  wilthlem2  25951  logfaclbnd  26103  logexprlim  26106  perfectlem2  26111  dchrsum2  26149  sumdchr2  26151  bposlem9  26173  lgsquadlem1  26261  2sqmod  26317  chebbnd1lem3  26352  rpvmasumlem  26368  log2sumbnd  26425  chpdifbndlem1  26434  selberg3lem1  26438  selberg4lem1  26441  selbergr  26449  selberg3r  26450  selberg4r  26451  pntrlog2bndlem3  26460  pntrlog2bndlem5  26462  pntibndlem2  26472  pntlemo  26488  ttgcontlem1  26976  brbtwn2  26996  colinearalglem1  26997  axsegconlem9  27016  axcontlem2  27056  axcontlem7  27061  axcontlem8  27062  sinccvglem  33343  bj-bary1lem  35215  bj-bary1lem1  35216  itgmulc2nclem2  35581  bfp  35719  pellexlem6  40359  congmul  40492  areaquad  40750  itgsinexp  43171  stoweidlem13  43229  stoweidlem14  43230  stoweidlem26  43242  fourierdlem6  43329  fourierdlem26  43349  fourierdlem42  43365  fourierdlem65  43387  fourierdlem95  43417  smfmullem1  43997  sigarmf  44042  cevathlem2  44056  perfectALTVlem2  44847  submuladdmuld  45720  affinecomb2  45722  affineid  45723  rrx2linest  45761  itscnhlinecirc02plem2  45802  inlinecirc02p  45806  joinlmulsubmuld  46149