Theorem subdird 11672

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdir 11649	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7412  ℂcc 11099   · cmul 11106   − cmin 11442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-sub 11444

This theorem is referenced by:  mulsubfacd  11676  ltmul1a  12065  xp1d2m1eqxm1d2  12499  div4p1lem1div2  12500  lincmb01cmp  13523  iccf1o  13524  modmul1  13962  remullem  15181  mulcn2  15649  fsumparts  15860  pwdif  15924  geo2sum  15929  fallfacfwd  16091  bpoly4  16114  modprm0  16866  mul4sqlem  17014  vdwapun  17035  icopnfcnv  25082  itgconst  25959  itgmulc2lem2  25973  dvmulbr  26079  dvrec  26095  dvsincos  26121  cmvth  26131  dvcvx  26160  dvfsumlem1  26166  dvfsumlem2  26167  coeeulem  26362  abelthlem6  26577  tangtx  26648  tanarg  26762  logdivlti  26763  logcnlem4  26788  affineequiv  26966  affineequiv2  26967  chordthmlem2  26976  chordthmlem4  26978  mcubic  26990  dquartlem2  26995  quart1lem  26998  quart1  26999  quartlem1  27000  dvatan  27078  atantayl  27080  lgamcvg2  27197  wilthlem2  27211  logfaclbnd  27364  logexprlim  27367  perfectlem2  27372  dchrsum2  27410  sumdchr2  27412  bposlem9  27434  lgsquadlem1  27522  2sqmod  27578  chebbnd1lem3  27613  rpvmasumlem  27629  log2sumbnd  27686  chpdifbndlem1  27695  selberg3lem1  27699  selberg4lem1  27702  selbergr  27710  selberg3r  27711  selberg4r  27712  pntrlog2bndlem3  27721  pntrlog2bndlem5  27723  pntibndlem2  27733  pntlemo  27749  ttgcontlem1  29212  brbtwn2  29233  colinearalglem1  29234  axsegconlem9  29253  axcontlem2  29293  axcontlem7  29298  axcontlem8  29299  constrrtlc1  34100  constrrtcclem  34102  constrrtcc  34103  constrrecl  34137  sinccvglem  36142  bj-bary1lem  37932  bj-bary1lem1  37933  itgmulc2nclem2  38316  bfp  38453  pellexlem6  43541  congmul  43674  areaquad  43923  itgsinexp  46649  stoweidlem13  46707  stoweidlem14  46708  stoweidlem26  46720  fourierdlem6  46807  fourierdlem26  46827  fourierdlem42  46843  fourierdlem65  46865  fourierdlem95  46895  smfmullem1  47485  sigarmf  47548  cevathlem2  47562  sin3t  47585  cos3t  47586  sin5tlem2  47588  sin5tlem4  47590  sin5tlem5  47591  perfectALTVlem2  48464  submuladdmuld  49458  affinecomb2  49460  affineid  49461  rrx2linest  49499  itscnhlinecirc02plem2  49540  inlinecirc02p  49544  joinlmulsubmuld  50529