Theorem subdird 11607

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdir 11584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℂcc 11036   · cmul 11043   − cmin 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-sub 11379

This theorem is referenced by:  mulsubfacd  11611  ltmul1a  12004  xp1d2m1eqxm1d2  12431  div4p1lem1div2  12432  lincmb01cmp  13448  iccf1o  13449  modmul1  13886  remullem  15090  mulcn2  15558  fsumparts  15769  pwdif  15833  geo2sum  15838  fallfacfwd  16001  bpoly4  16024  modprm0  16776  mul4sqlem  16924  vdwapun  16945  icopnfcnv  24909  itgconst  25786  itgmulc2lem2  25800  dvmulbr  25906  dvrec  25922  dvsincos  25948  cmvth  25958  dvcvx  25987  dvfsumlem1  25993  dvfsumlem2  25994  coeeulem  26189  abelthlem6  26401  tangtx  26469  tanarg  26583  logdivlti  26584  logcnlem4  26609  affineequiv  26787  affineequiv2  26788  chordthmlem2  26797  chordthmlem4  26799  mcubic  26811  dquartlem2  26816  quart1lem  26819  quart1  26820  quartlem1  26821  dvatan  26899  atantayl  26901  lgamcvg2  27018  wilthlem2  27032  logfaclbnd  27185  logexprlim  27188  perfectlem2  27193  dchrsum2  27231  sumdchr2  27233  bposlem9  27255  lgsquadlem1  27343  2sqmod  27399  chebbnd1lem3  27434  rpvmasumlem  27450  log2sumbnd  27507  chpdifbndlem1  27516  selberg3lem1  27520  selberg4lem1  27523  selbergr  27531  selberg3r  27532  selberg4r  27533  pntrlog2bndlem3  27542  pntrlog2bndlem5  27544  pntibndlem2  27554  pntlemo  27570  ttgcontlem1  28953  brbtwn2  28974  colinearalglem1  28975  axsegconlem9  28994  axcontlem2  29034  axcontlem7  29039  axcontlem8  29040  constrrtlc1  33876  constrrtcclem  33878  constrrtcc  33879  constrrecl  33913  sinccvglem  35854  bj-bary1lem  37624  bj-bary1lem1  37625  itgmulc2nclem2  38008  bfp  38145  pellexlem6  43262  congmul  43395  areaquad  43644  itgsinexp  46383  stoweidlem13  46441  stoweidlem14  46442  stoweidlem26  46454  fourierdlem6  46541  fourierdlem26  46561  fourierdlem42  46577  fourierdlem65  46599  fourierdlem95  46629  smfmullem1  47219  sigarmf  47282  cevathlem2  47296  sin3t  47319  cos3t  47320  sin5tlem2  47322  sin5tlem4  47324  sin5tlem5  47325  perfectALTVlem2  48198  submuladdmuld  49177  affinecomb2  49179  affineid  49180  rrx2linest  49218  itscnhlinecirc02plem2  49259  inlinecirc02p  49263  joinlmulsubmuld  50249