Theorem subdird 11571

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdir 11548	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℂcc 11001   · cmul 11008   − cmin 11341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-ltxr 11148  df-sub 11343

This theorem is referenced by:  mulsubfacd  11575  ltmul1a  11967  xp1d2m1eqxm1d2  12372  div4p1lem1div2  12373  lincmb01cmp  13392  iccf1o  13393  modmul1  13828  remullem  15032  mulcn2  15500  fsumparts  15710  pwdif  15772  geo2sum  15777  fallfacfwd  15940  bpoly4  15963  modprm0  16714  mul4sqlem  16862  vdwapun  16883  icopnfcnv  24865  itgconst  25745  itgmulc2lem2  25759  dvmulbr  25866  dvmulbrOLD  25867  dvrec  25884  dvsincos  25910  cmvth  25920  cmvthOLD  25921  dvcvx  25950  dvfsumlem1  25957  dvfsumlem2  25958  dvfsumlem2OLD  25959  coeeulem  26154  abelthlem6  26371  tangtx  26439  tanarg  26553  logdivlti  26554  logcnlem4  26579  affineequiv  26758  affineequiv2  26759  chordthmlem2  26768  chordthmlem4  26770  mcubic  26782  dquartlem2  26787  quart1lem  26790  quart1  26791  quartlem1  26792  dvatan  26870  atantayl  26872  lgamcvg2  26990  wilthlem2  27004  logfaclbnd  27158  logexprlim  27161  perfectlem2  27166  dchrsum2  27204  sumdchr2  27206  bposlem9  27228  lgsquadlem1  27316  2sqmod  27372  chebbnd1lem3  27407  rpvmasumlem  27423  log2sumbnd  27480  chpdifbndlem1  27489  selberg3lem1  27493  selberg4lem1  27496  selbergr  27504  selberg3r  27505  selberg4r  27506  pntrlog2bndlem3  27515  pntrlog2bndlem5  27517  pntibndlem2  27527  pntlemo  27543  ttgcontlem1  28861  brbtwn2  28881  colinearalglem1  28882  axsegconlem9  28901  axcontlem2  28941  axcontlem7  28946  axcontlem8  28947  constrrtlc1  33740  constrrtcclem  33742  constrrtcc  33743  constrrecl  33777  sinccvglem  35704  bj-bary1lem  37343  bj-bary1lem1  37344  itgmulc2nclem2  37726  bfp  37863  pellexlem6  42866  congmul  42999  areaquad  43248  itgsinexp  45992  stoweidlem13  46050  stoweidlem14  46051  stoweidlem26  46063  fourierdlem6  46150  fourierdlem26  46170  fourierdlem42  46186  fourierdlem65  46208  fourierdlem95  46238  smfmullem1  46828  sigarmf  46891  cevathlem2  46905  perfectALTVlem2  47752  submuladdmuld  48732  affinecomb2  48734  affineid  48735  rrx2linest  48773  itscnhlinecirc02plem2  48814  inlinecirc02p  48818  joinlmulsubmuld  49805