Theorem subdird 11776

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdir 11753	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  ℂcc 11201   · cmul 11208   − cmin 11544

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-ltxr 11351  df-sub 11546

This theorem is used by:  mulsubfacd  11780  ltmul1a  12169  xp1d2m1eqxm1d2  12603  div4p1lem1div2  12604  lincmb01cmp  13629  iccf1o  13630  modmul1  14070  remullem  15300  mulcn2  15768  fsumparts  15978  pwdif  16042  geo2sum  16047  fallfacfwd  16207  bpoly4  16230  modprm0  16988  mul4sqlem  17136  vdwapun  17157  icopnfcnv  25268  itgconst  26144  itgmulc2lem2  26158  dvmulbr  26264  dvrec  26280  dvsincos  26306  cmvth  26316  dvcvx  26345  dvfsumlem1  26351  dvfsumlem2  26352  coeeulem  26548  abelthlem6  26768  tangtx  26839  tanarg  26952  logdivlti  26953  logcnlem4  26978  affineequiv  27156  affineequiv2  27157  chordthmlem2  27166  chordthmlem4  27168  mcubic  27180  dquartlem2  27185  quart1lem  27188  quart1  27189  quartlem1  27190  dvatan  27268  atantayl  27270  lgamcvg2  27387  wilthlem2  27401  logfaclbnd  27554  logexprlim  27557  perfectlem2  27562  dchrsum2  27600  sumdchr2  27602  bposlem9  27624  lgsquadlem1  27712  2sqmod  27768  chebbnd1lem3  27803  rpvmasumlem  27819  log2sumbnd  27876  chpdifbndlem1  27885  selberg3lem1  27889  selberg4lem1  27892  selbergr  27900  selberg3r  27901  selberg4r  27902  pntrlog2bndlem3  27911  pntrlog2bndlem5  27913  pntibndlem2  27923  pntlemo  27939  ttgcontlem1  29467  brbtwn2  29488  colinearalglem1  29489  axsegconlem9  29508  axcontlem2  29548  axcontlem7  29553  axcontlem8  29554  constrrtlc1  34410  constrrtcclem  34412  constrrtcc  34413  constrrecl  34447  sinccvglem  36523  bj-bary1lem  38324  bj-bary1lem1  38325  itgmulc2nclem2  38698  bfp  38851  pellexlem6  43934  congmul  44067  areaquad  44311  itgsinexp  47058  stoweidlem13  47116  stoweidlem14  47117  stoweidlem26  47129  fourierdlem6  47216  fourierdlem26  47236  fourierdlem42  47252  fourierdlem65  47274  fourierdlem95  47304  smfmullem1  47894  sigarmf  47957  cevathlem2  47971  sin3t  48010  cos3t  48011  sin5tlem2  48013  sin5tlem4  48015  sin5tlem5  48016  perfectALTVlem2  48913  submuladdmuld  49906  affinecomb2  49908  affineid  49909  rrx2linest  49947  itscnhlinecirc02plem2  49988  inlinecirc02p  49992  joinlmulsubmuld  51038