Theorem subdird 11800

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdir 11777	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1399	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7443  ℂcc 11225   · cmul 11232   − cmin 11568

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-ltxr 11375  df-sub 11570

This theorem is used by:  mulsubfacd  11804  ltmul1a  12193  xp1d2m1eqxm1d2  12627  div4p1lem1div2  12628  lincmb01cmp  13653  iccf1o  13654  modmul1  14094  remullem  15324  mulcn2  15792  fsumparts  16002  pwdif  16066  geo2sum  16071  fallfacfwd  16231  bpoly4  16254  modprm0  17012  mul4sqlem  17160  vdwapun  17181  icopnfcnv  25293  itgconst  26169  itgmulc2lem2  26183  dvmulbr  26289  dvrec  26305  dvsincos  26331  cmvth  26341  dvcvx  26370  dvfsumlem1  26376  dvfsumlem2  26377  coeeulem  26573  abelthlem6  26793  tangtx  26864  tanarg  26977  logdivlti  26978  logcnlem4  27003  affineequiv  27181  affineequiv2  27182  chordthmlem2  27191  chordthmlem4  27193  mcubic  27205  dquartlem2  27210  quart1lem  27213  quart1  27214  quartlem1  27215  dvatan  27293  atantayl  27295  lgamcvg2  27412  wilthlem2  27426  logfaclbnd  27579  logexprlim  27582  perfectlem2  27587  dchrsum2  27625  sumdchr2  27627  bposlem9  27649  lgsquadlem1  27737  2sqmod  27793  chebbnd1lem3  27828  rpvmasumlem  27844  log2sumbnd  27901  chpdifbndlem1  27910  selberg3lem1  27914  selberg4lem1  27917  selbergr  27925  selberg3r  27926  selberg4r  27927  pntrlog2bndlem3  27936  pntrlog2bndlem5  27938  pntibndlem2  27948  pntlemo  27964  ttgcontlem1  29492  brbtwn2  29513  colinearalglem1  29514  axsegconlem9  29533  axcontlem2  29573  axcontlem7  29578  axcontlem8  29579  constrrtlc1  34434  constrrtcclem  34436  constrrtcc  34437  constrrecl  34471  sinccvglem  36604  bj-bary1lem  38423  bj-bary1lem1  38424  itgmulc2nclem2  38797  bfp  38950  pellexlem6  44034  congmul  44167  areaquad  44410  itgsinexp  47170  stoweidlem13  47228  stoweidlem14  47229  stoweidlem26  47241  fourierdlem6  47328  fourierdlem26  47348  fourierdlem42  47364  fourierdlem65  47386  fourierdlem95  47416  smfmullem1  48006  sigarmf  48069  cevathlem2  48083  sin3t  48122  cos3t  48123  sin5tlem2  48125  sin5tlem4  48127  sin5tlem5  48128  perfectALTVlem2  49025  submuladdmuld  50018  affinecomb2  50020  affineid  50021  rrx2linest  50059  itscnhlinecirc02plem2  50100  inlinecirc02p  50104  joinlmulsubmuld  51150