MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subdird Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subdird 11617
Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mulm1d.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
mulnegd.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
subdid.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
subdird (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)))

Proof of Theorem subdird
StepHypRef Expression
1 mulm1d.1 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 mulnegd.2 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3 subdid.3 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
4 subdir 11594 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1372 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054   ยท cmul 11061   โˆ’ cmin 11390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-ltxr 11199  df-sub 11392
This theorem is referenced by:  mulsubfacd  11621  ltmul1a  12009  xp1d2m1eqxm1d2  12412  div4p1lem1div2  12413  lincmb01cmp  13418  iccf1o  13419  modmul1  13835  remullem  15019  mulcn2  15484  fsumparts  15696  pwdif  15758  geo2sum  15763  fallfacfwd  15924  bpoly4  15947  modprm0  16682  mul4sqlem  16830  vdwapun  16851  icopnfcnv  24321  itgconst  25199  itgmulc2lem2  25213  dvmulbr  25319  dvrec  25335  dvsincos  25361  cmvth  25371  dvcvx  25400  dvfsumlem1  25406  dvfsumlem2  25407  coeeulem  25601  abelthlem6  25811  tangtx  25878  tanarg  25990  logdivlti  25991  logcnlem4  26016  affineequiv  26189  affineequiv2  26190  chordthmlem2  26199  chordthmlem4  26201  mcubic  26213  dquartlem2  26218  quart1lem  26221  quart1  26222  quartlem1  26223  dvatan  26301  atantayl  26303  lgamcvg2  26420  wilthlem2  26434  logfaclbnd  26586  logexprlim  26589  perfectlem2  26594  dchrsum2  26632  sumdchr2  26634  bposlem9  26656  lgsquadlem1  26744  2sqmod  26800  chebbnd1lem3  26835  rpvmasumlem  26851  log2sumbnd  26908  chpdifbndlem1  26917  selberg3lem1  26921  selberg4lem1  26924  selbergr  26932  selberg3r  26933  selberg4r  26934  pntrlog2bndlem3  26943  pntrlog2bndlem5  26945  pntibndlem2  26955  pntlemo  26971  ttgcontlem1  27875  brbtwn2  27896  colinearalglem1  27897  axsegconlem9  27916  axcontlem2  27956  axcontlem7  27961  axcontlem8  27962  sinccvglem  34317  bj-bary1lem  35827  bj-bary1lem1  35828  itgmulc2nclem2  36191  bfp  36329  pellexlem6  41200  congmul  41334  areaquad  41593  itgsinexp  44282  stoweidlem13  44340  stoweidlem14  44341  stoweidlem26  44353  fourierdlem6  44440  fourierdlem26  44460  fourierdlem42  44476  fourierdlem65  44498  fourierdlem95  44528  smfmullem1  45118  sigarmf  45181  cevathlem2  45195  perfectALTVlem2  46000  submuladdmuld  46873  affinecomb2  46875  affineid  46876  rrx2linest  46914  itscnhlinecirc02plem2  46955  inlinecirc02p  46959  joinlmulsubmuld  47307
  Copyright terms: Public domain W3C validator