Theorem subdird 11667

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdir 11644	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1368	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7401  ℂcc 11103   · cmul 11110   − cmin 11440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-sub 11442

This theorem is referenced by:  mulsubfacd  11671  ltmul1a  12059  xp1d2m1eqxm1d2  12462  div4p1lem1div2  12463  lincmb01cmp  13468  iccf1o  13469  modmul1  13885  remullem  15071  mulcn2  15536  fsumparts  15748  pwdif  15810  geo2sum  15815  fallfacfwd  15976  bpoly4  15999  modprm0  16736  mul4sqlem  16884  vdwapun  16905  icopnfcnv  24788  itgconst  25669  itgmulc2lem2  25683  dvmulbr  25790  dvmulbrOLD  25791  dvrec  25808  dvsincos  25834  cmvth  25844  cmvthOLD  25845  dvcvx  25874  dvfsumlem1  25881  dvfsumlem2  25882  dvfsumlem2OLD  25883  coeeulem  26077  abelthlem6  26289  tangtx  26356  tanarg  26468  logdivlti  26469  logcnlem4  26494  affineequiv  26670  affineequiv2  26671  chordthmlem2  26680  chordthmlem4  26682  mcubic  26694  dquartlem2  26699  quart1lem  26702  quart1  26703  quartlem1  26704  dvatan  26782  atantayl  26784  lgamcvg2  26902  wilthlem2  26916  logfaclbnd  27070  logexprlim  27073  perfectlem2  27078  dchrsum2  27116  sumdchr2  27118  bposlem9  27140  lgsquadlem1  27228  2sqmod  27284  chebbnd1lem3  27319  rpvmasumlem  27335  log2sumbnd  27392  chpdifbndlem1  27401  selberg3lem1  27405  selberg4lem1  27408  selbergr  27416  selberg3r  27417  selberg4r  27418  pntrlog2bndlem3  27427  pntrlog2bndlem5  27429  pntibndlem2  27439  pntlemo  27455  ttgcontlem1  28577  brbtwn2  28598  colinearalglem1  28599  axsegconlem9  28618  axcontlem2  28658  axcontlem7  28663  axcontlem8  28664  sinccvglem  35112  bj-bary1lem  36647  bj-bary1lem1  36648  itgmulc2nclem2  37011  bfp  37148  pellexlem6  42027  congmul  42161  areaquad  42420  itgsinexp  45122  stoweidlem13  45180  stoweidlem14  45181  stoweidlem26  45193  fourierdlem6  45280  fourierdlem26  45300  fourierdlem42  45316  fourierdlem65  45338  fourierdlem95  45368  smfmullem1  45958  sigarmf  46021  cevathlem2  46035  perfectALTVlem2  46841  submuladdmuld  47541  affinecomb2  47543  affineid  47544  rrx2linest  47582  itscnhlinecirc02plem2  47623  inlinecirc02p  47627  joinlmulsubmuld  47975