Theorem subdird 11581

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdir 11558	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7352  ℂcc 11011   · cmul 11018   − cmin 11351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-ltxr 11158  df-sub 11353

This theorem is referenced by:  mulsubfacd  11585  ltmul1a  11977  xp1d2m1eqxm1d2  12382  div4p1lem1div2  12383  lincmb01cmp  13397  iccf1o  13398  modmul1  13833  remullem  15037  mulcn2  15505  fsumparts  15715  pwdif  15777  geo2sum  15782  fallfacfwd  15945  bpoly4  15968  modprm0  16719  mul4sqlem  16867  vdwapun  16888  icopnfcnv  24868  itgconst  25748  itgmulc2lem2  25762  dvmulbr  25869  dvmulbrOLD  25870  dvrec  25887  dvsincos  25913  cmvth  25923  cmvthOLD  25924  dvcvx  25953  dvfsumlem1  25960  dvfsumlem2  25961  dvfsumlem2OLD  25962  coeeulem  26157  abelthlem6  26374  tangtx  26442  tanarg  26556  logdivlti  26557  logcnlem4  26582  affineequiv  26761  affineequiv2  26762  chordthmlem2  26771  chordthmlem4  26773  mcubic  26785  dquartlem2  26790  quart1lem  26793  quart1  26794  quartlem1  26795  dvatan  26873  atantayl  26875  lgamcvg2  26993  wilthlem2  27007  logfaclbnd  27161  logexprlim  27164  perfectlem2  27169  dchrsum2  27207  sumdchr2  27209  bposlem9  27231  lgsquadlem1  27319  2sqmod  27375  chebbnd1lem3  27410  rpvmasumlem  27426  log2sumbnd  27483  chpdifbndlem1  27492  selberg3lem1  27496  selberg4lem1  27499  selbergr  27507  selberg3r  27508  selberg4r  27509  pntrlog2bndlem3  27518  pntrlog2bndlem5  27520  pntibndlem2  27530  pntlemo  27546  ttgcontlem1  28864  brbtwn2  28885  colinearalglem1  28886  axsegconlem9  28905  axcontlem2  28945  axcontlem7  28950  axcontlem8  28951  constrrtlc1  33766  constrrtcclem  33768  constrrtcc  33769  constrrecl  33803  sinccvglem  35737  bj-bary1lem  37375  bj-bary1lem1  37376  itgmulc2nclem2  37747  bfp  37884  pellexlem6  42951  congmul  43084  areaquad  43333  itgsinexp  46077  stoweidlem13  46135  stoweidlem14  46136  stoweidlem26  46148  fourierdlem6  46235  fourierdlem26  46255  fourierdlem42  46271  fourierdlem65  46293  fourierdlem95  46323  smfmullem1  46913  sigarmf  46976  cevathlem2  46990  perfectALTVlem2  47846  submuladdmuld  48826  affinecomb2  48828  affineid  48829  rrx2linest  48867  itscnhlinecirc02plem2  48908  inlinecirc02p  48912  joinlmulsubmuld  49899