Theorem subdird 11594

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdir 11571	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℂcc 11024   · cmul 11031   − cmin 11364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-sub 11366

This theorem is referenced by:  mulsubfacd  11598  ltmul1a  11990  xp1d2m1eqxm1d2  12395  div4p1lem1div2  12396  lincmb01cmp  13411  iccf1o  13412  modmul1  13847  remullem  15051  mulcn2  15519  fsumparts  15729  pwdif  15791  geo2sum  15796  fallfacfwd  15959  bpoly4  15982  modprm0  16733  mul4sqlem  16881  vdwapun  16902  icopnfcnv  24896  itgconst  25776  itgmulc2lem2  25790  dvmulbr  25897  dvmulbrOLD  25898  dvrec  25915  dvsincos  25941  cmvth  25951  cmvthOLD  25952  dvcvx  25981  dvfsumlem1  25988  dvfsumlem2  25989  dvfsumlem2OLD  25990  coeeulem  26185  abelthlem6  26402  tangtx  26470  tanarg  26584  logdivlti  26585  logcnlem4  26610  affineequiv  26789  affineequiv2  26790  chordthmlem2  26799  chordthmlem4  26801  mcubic  26813  dquartlem2  26818  quart1lem  26821  quart1  26822  quartlem1  26823  dvatan  26901  atantayl  26903  lgamcvg2  27021  wilthlem2  27035  logfaclbnd  27189  logexprlim  27192  perfectlem2  27197  dchrsum2  27235  sumdchr2  27237  bposlem9  27259  lgsquadlem1  27347  2sqmod  27403  chebbnd1lem3  27438  rpvmasumlem  27454  log2sumbnd  27511  chpdifbndlem1  27520  selberg3lem1  27524  selberg4lem1  27527  selbergr  27535  selberg3r  27536  selberg4r  27537  pntrlog2bndlem3  27546  pntrlog2bndlem5  27548  pntibndlem2  27558  pntlemo  27574  ttgcontlem1  28957  brbtwn2  28978  colinearalglem1  28979  axsegconlem9  28998  axcontlem2  29038  axcontlem7  29043  axcontlem8  29044  constrrtlc1  33889  constrrtcclem  33891  constrrtcc  33892  constrrecl  33926  sinccvglem  35866  bj-bary1lem  37511  bj-bary1lem1  37512  itgmulc2nclem2  37884  bfp  38021  pellexlem6  43072  congmul  43205  areaquad  43454  itgsinexp  46195  stoweidlem13  46253  stoweidlem14  46254  stoweidlem26  46266  fourierdlem6  46353  fourierdlem26  46373  fourierdlem42  46389  fourierdlem65  46411  fourierdlem95  46441  smfmullem1  47031  sigarmf  47094  cevathlem2  47108  perfectALTVlem2  47964  submuladdmuld  48943  affinecomb2  48945  affineid  48946  rrx2linest  48984  itscnhlinecirc02plem2  49025  inlinecirc02p  49029  joinlmulsubmuld  50015