Theorem subdird 11717

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdir 11694	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1370	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430  ℂcc 11150   · cmul 11157   − cmin 11489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-ltxr 11297  df-sub 11491

This theorem is referenced by:  mulsubfacd  11721  ltmul1a  12113  xp1d2m1eqxm1d2  12517  div4p1lem1div2  12518  lincmb01cmp  13531  iccf1o  13532  modmul1  13961  remullem  15163  mulcn2  15628  fsumparts  15838  pwdif  15900  geo2sum  15905  fallfacfwd  16068  bpoly4  16091  modprm0  16838  mul4sqlem  16986  vdwapun  17007  icopnfcnv  24986  itgconst  25868  itgmulc2lem2  25882  dvmulbr  25989  dvmulbrOLD  25990  dvrec  26007  dvsincos  26033  cmvth  26043  cmvthOLD  26044  dvcvx  26073  dvfsumlem1  26080  dvfsumlem2  26081  dvfsumlem2OLD  26082  coeeulem  26277  abelthlem6  26494  tangtx  26561  tanarg  26675  logdivlti  26676  logcnlem4  26701  affineequiv  26880  affineequiv2  26881  chordthmlem2  26890  chordthmlem4  26892  mcubic  26904  dquartlem2  26909  quart1lem  26912  quart1  26913  quartlem1  26914  dvatan  26992  atantayl  26994  lgamcvg2  27112  wilthlem2  27126  logfaclbnd  27280  logexprlim  27283  perfectlem2  27288  dchrsum2  27326  sumdchr2  27328  bposlem9  27350  lgsquadlem1  27438  2sqmod  27494  chebbnd1lem3  27529  rpvmasumlem  27545  log2sumbnd  27602  chpdifbndlem1  27611  selberg3lem1  27615  selberg4lem1  27618  selbergr  27626  selberg3r  27627  selberg4r  27628  pntrlog2bndlem3  27637  pntrlog2bndlem5  27639  pntibndlem2  27649  pntlemo  27665  ttgcontlem1  28913  brbtwn2  28934  colinearalglem1  28935  axsegconlem9  28954  axcontlem2  28994  axcontlem7  28999  axcontlem8  29000  constrrtlc1  33737  constrrtcclem  33739  constrrtcc  33740  sinccvglem  35656  bj-bary1lem  37292  bj-bary1lem1  37293  itgmulc2nclem2  37673  bfp  37810  pellexlem6  42821  congmul  42955  areaquad  43204  itgsinexp  45910  stoweidlem13  45968  stoweidlem14  45969  stoweidlem26  45981  fourierdlem6  46068  fourierdlem26  46088  fourierdlem42  46104  fourierdlem65  46126  fourierdlem95  46156  smfmullem1  46746  sigarmf  46809  cevathlem2  46823  perfectALTVlem2  47646  submuladdmuld  48550  affinecomb2  48552  affineid  48553  rrx2linest  48591  itscnhlinecirc02plem2  48632  inlinecirc02p  48636  joinlmulsubmuld  49004