Theorem subdird 11595

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdir 11572	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  ℂcc 11026   · cmul 11033   − cmin 11365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11367

This theorem is referenced by:  mulsubfacd  11599  ltmul1a  11991  xp1d2m1eqxm1d2  12396  div4p1lem1div2  12397  lincmb01cmp  13416  iccf1o  13417  modmul1  13849  remullem  15053  mulcn2  15521  fsumparts  15731  pwdif  15793  geo2sum  15798  fallfacfwd  15961  bpoly4  15984  modprm0  16735  mul4sqlem  16883  vdwapun  16904  icopnfcnv  24856  itgconst  25736  itgmulc2lem2  25750  dvmulbr  25857  dvmulbrOLD  25858  dvrec  25875  dvsincos  25901  cmvth  25911  cmvthOLD  25912  dvcvx  25941  dvfsumlem1  25948  dvfsumlem2  25949  dvfsumlem2OLD  25950  coeeulem  26145  abelthlem6  26362  tangtx  26430  tanarg  26544  logdivlti  26545  logcnlem4  26570  affineequiv  26749  affineequiv2  26750  chordthmlem2  26759  chordthmlem4  26761  mcubic  26773  dquartlem2  26778  quart1lem  26781  quart1  26782  quartlem1  26783  dvatan  26861  atantayl  26863  lgamcvg2  26981  wilthlem2  26995  logfaclbnd  27149  logexprlim  27152  perfectlem2  27157  dchrsum2  27195  sumdchr2  27197  bposlem9  27219  lgsquadlem1  27307  2sqmod  27363  chebbnd1lem3  27398  rpvmasumlem  27414  log2sumbnd  27471  chpdifbndlem1  27480  selberg3lem1  27484  selberg4lem1  27487  selbergr  27495  selberg3r  27496  selberg4r  27497  pntrlog2bndlem3  27506  pntrlog2bndlem5  27508  pntibndlem2  27518  pntlemo  27534  ttgcontlem1  28848  brbtwn2  28868  colinearalglem1  28869  axsegconlem9  28888  axcontlem2  28928  axcontlem7  28933  axcontlem8  28934  constrrtlc1  33698  constrrtcclem  33700  constrrtcc  33701  constrrecl  33735  sinccvglem  35644  bj-bary1lem  37283  bj-bary1lem1  37284  itgmulc2nclem2  37666  bfp  37803  pellexlem6  42807  congmul  42940  areaquad  43189  itgsinexp  45937  stoweidlem13  45995  stoweidlem14  45996  stoweidlem26  46008  fourierdlem6  46095  fourierdlem26  46115  fourierdlem42  46131  fourierdlem65  46153  fourierdlem95  46183  smfmullem1  46773  sigarmf  46836  cevathlem2  46850  perfectALTVlem2  47707  submuladdmuld  48687  affinecomb2  48689  affineid  48690  rrx2linest  48728  itscnhlinecirc02plem2  48769  inlinecirc02p  48773  joinlmulsubmuld  49760