Theorem elnns2 28312

Description: A positive surreal integer is a non-negative surreal integer greater than zero. (Contributed by Scott Fenton, 15-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
elnns2	⊢ (𝐴 ∈ ℕs ↔ (𝐴 ∈ ℕ0s ∧ 0s <s 𝐴))

Proof of Theorem elnns2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnns 28311	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕs ↔ (𝐴 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 ≠ 0s ))
2		nesym 2987	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 0s ↔ ¬ 0s = 𝐴)
3		n0sge0 28309	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 0s ≤s 𝐴)
4		0sno 27856	. . . . . . . . 9 ⊢ 0s ∈ No
5		n0sno 28296	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 ∈ No )
6		sleloe 27784	. . . . . . . . 9 ⊢ (( 0s ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → ( 0s ≤s 𝐴 ↔ ( 0s <s 𝐴 ∨ 0s = 𝐴)))
7	4, 5, 6	sylancr 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → ( 0s ≤s 𝐴 ↔ ( 0s <s 𝐴 ∨ 0s = 𝐴)))
8	3, 7	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → ( 0s <s 𝐴 ∨ 0s = 𝐴))
9	8	orcomd 869	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → ( 0s = 𝐴 ∨ 0s <s 𝐴))
10	9	ord 862	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → (¬ 0s = 𝐴 → 0s <s 𝐴))
11	2, 10	biimtrid 241	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → (𝐴 ≠ 0s → 0s <s 𝐴))
12		sgt0ne0 27864	. . . 4 ⊢ ( 0s <s 𝐴 → 𝐴 ≠ 0s )
13	11, 12	impbid1 224	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → (𝐴 ≠ 0s ↔ 0s <s 𝐴))
14	13	pm5.32i 573	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 ≠ 0s ) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0s ∧ 0s <s 𝐴))
15	1, 14	bitri 274	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕs ↔ (𝐴 ∈ ℕ0s ∧ 0s <s 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930   class class class wbr 5153   No csur 27669   <s cslt 27670   ≤s csle 27774   0_s c0s 27852  ℕ_0scnn0s 28286  ℕ_scnns 28287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-ot 4642  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-nadd 8696  df-no 27672  df-slt 27673  df-bday 27674  df-sle 27775  df-sslt 27811  df-scut 27813  df-0s 27854  df-1s 27855  df-made 27871  df-old 27872  df-left 27874  df-right 27875  df-norec2 27963  df-adds 27974  df-n0s 28288  df-nns 28289

This theorem is referenced by:  nnaddscl  28315  nnmulscl  28316