Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnexch2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem llnexch2N 39399
Description: Line exchange property (compare cvlatexch2 38865 for atoms). (Contributed by NM, 18-Nov-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
llnexch.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
llnexch.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
llnexch.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
llnexch.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
llnexch.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
llnexch2N ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑍 β†’ (𝑋 ∧ 𝑍) ≀ π‘Œ))

Proof of Theorem llnexch2N
StepHypRef Expression
1 llnexch.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2 llnexch.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3 llnexch.m . . 3 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
4 llnexch.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
5 llnexch.n . . 3 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
61, 2, 3, 4, 5llnexchb2 39398 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑍 ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ 𝑍)))
7 hllat 38891 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
873ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
9 simp21 1203 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)
10 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
1110, 5llnbase 39038 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝑁 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
129, 11syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
13 simp22 1204 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑁)
1410, 5llnbase 39038 . . . . 5 (π‘Œ ∈ 𝑁 β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1513, 14syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1610, 1, 3latmle2 18456 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ)
178, 12, 15, 16syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ)
18 breq1 5146 . . 3 ((𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ 𝑍) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ ↔ (𝑋 ∧ 𝑍) ≀ π‘Œ))
1917, 18syl5ibcom 244 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ 𝑍) β†’ (𝑋 ∧ 𝑍) ≀ π‘Œ))
206, 19sylbid 239 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑍 β†’ (𝑋 ∧ 𝑍) ≀ π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  lecple 17239  joincjn 18302  meetcmee 18303  Latclat 18422  Atomscatm 38791  HLchlt 38878  LLinesclln 39020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-lat 18423  df-clat 18490  df-oposet 38704  df-ol 38706  df-oml 38707  df-covers 38794  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879  df-llines 39027  df-psubsp 39032  df-pmap 39033  df-padd 39325
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator