Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2llnm2N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 2llnm2N 38951
Description: The meet of two different lattice lines in a lattice plane is an atom. (Contributed by NM, 5-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2llnm2.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
2llnm2.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
2llnm2.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
2llnm2.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
2llnm2.p 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
2llnm2N ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴)
Proof of Theorem 2llnm2N
StepHypRef Expression
1 simp22 1204 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑁)
2 simp1 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
3 hllat 38745 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
433ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5 simp21 1203 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)
6 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
7 2llnm2.n . . . . . 6 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
86, 7llnbase 38892 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝑁 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
95, 8syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
106, 7llnbase 38892 . . . . 5 (π‘Œ ∈ 𝑁 β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
111, 10syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
12 2llnm2.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
136, 12latmcl 18402 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
144, 9, 11, 13syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
15 2llnm2.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
16 eqid 2726 . . . . . . 7 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
17 2llnm2.p . . . . . . 7 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
1815, 16, 7, 172llnjN 38950 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) = π‘Š)
19 simp23 1205 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ π‘Š ∈ 𝑃)
2018, 19eqeltrd 2827 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ∈ 𝑃)
216, 15, 16latlej1 18410 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ))
224, 9, 11, 21syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ))
23 eqid 2726 . . . . . 6 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
2415, 23, 7, 17llncvrlpln2 38940 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ))
252, 5, 20, 22, 24syl31anc 1370 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ))
266, 16, 12, 23cvrexch 38803 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ ↔ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))
272, 9, 11, 26syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ ↔ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))
2825, 27mpbird 257 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ)
29 2llnm2.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
306, 23, 29, 7atcvrlln 38903 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ↔ π‘Œ ∈ 𝑁))
312, 14, 11, 28, 30syl31anc 1370 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ↔ π‘Œ ∈ 𝑁))
321, 31mpbird 257 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  lecple 17210  joincjn 18273  meetcmee 18274  Latclat 18393   β‹– ccvr 38644  Atomscatm 38645  HLchlt 38732  LLinesclln 38874  LPlanesclpl 38875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-proset 18257  df-poset 18275  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-lat 18394  df-clat 18461  df-oposet 38558  df-ol 38560  df-oml 38561  df-covers 38648  df-ats 38649  df-atl 38680  df-cvlat 38704  df-hlat 38733  df-llines 38881  df-lplanes 38882
This theorem is referenced by:  2llnm3N  38952
  Copyright terms: Public domain W3C validator