Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2llnm2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2llnm2N 39570
Description: The meet of two different lattice lines in a lattice plane is an atom. (Contributed by NM, 5-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2llnm2.l = (le‘𝐾)
2llnm2.m = (meet‘𝐾)
2llnm2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2llnm2.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
2llnm2.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2llnm2N ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem 2llnm2N
StepHypRef Expression
1 simp22 1208 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → 𝑌𝑁)
2 simp1 1137 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
3 hllat 39364 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
433ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simp21 1207 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → 𝑋𝑁)
6 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7 2llnm2.n . . . . . 6 𝑁 = (LLines‘𝐾)
86, 7llnbase 39511 . . . . 5 (𝑋𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
95, 8syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
106, 7llnbase 39511 . . . . 5 (𝑌𝑁𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
111, 10syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
12 2llnm2.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
136, 12latmcl 18485 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
144, 9, 11, 13syl3anc 1373 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
15 2llnm2.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
16 eqid 2737 . . . . . . 7 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
17 2llnm2.p . . . . . . 7 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
1815, 16, 7, 172llnjN 39569 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌) = 𝑊)
19 simp23 1209 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → 𝑊𝑃)
2018, 19eqeltrd 2841 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ 𝑃)
216, 15, 16latlej1 18493 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑋 (𝑋(join‘𝐾)𝑌))
224, 9, 11, 21syl3anc 1373 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → 𝑋 (𝑋(join‘𝐾)𝑌))
23 eqid 2737 . . . . . 6 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
2415, 23, 7, 17llncvrlpln2 39559 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁 ∧ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋(join‘𝐾)𝑌))
252, 5, 20, 22, 24syl31anc 1375 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋(join‘𝐾)𝑌))
266, 16, 12, 23cvrexch 39422 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋(join‘𝐾)𝑌)))
272, 9, 11, 26syl3anc 1373 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → ((𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋(join‘𝐾)𝑌)))
2825, 27mpbird 257 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌)
29 2llnm2.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
306, 23, 29, 7atcvrlln 39522 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑌𝑁))
312, 14, 11, 28, 30syl31anc 1375 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑌𝑁))
321, 31mpbird 257 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  lecple 17304  joincjn 18357  meetcmee 18358  Latclat 18476  ccvr 39263  Atomscatm 39264  HLchlt 39351  LLinesclln 39493  LPlanesclpl 39494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-lat 18477  df-clat 18544  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-llines 39500  df-lplanes 39501
This theorem is referenced by:  2llnm3N  39571
  Copyright terms: Public domain W3C validator