Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2llnm2N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 2llnm2N 39073
Description: The meet of two different lattice lines in a lattice plane is an atom. (Contributed by NM, 5-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2llnm2.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
2llnm2.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
2llnm2.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
2llnm2.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
2llnm2.p 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
2llnm2N ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴)
Proof of Theorem 2llnm2N
StepHypRef Expression
1 simp22 1204 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑁)
2 simp1 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
3 hllat 38867 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
433ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5 simp21 1203 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)
6 eqid 2728 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
7 2llnm2.n . . . . . 6 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
86, 7llnbase 39014 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝑁 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
95, 8syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
106, 7llnbase 39014 . . . . 5 (π‘Œ ∈ 𝑁 β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
111, 10syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
12 2llnm2.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
136, 12latmcl 18439 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
144, 9, 11, 13syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
15 2llnm2.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
16 eqid 2728 . . . . . . 7 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
17 2llnm2.p . . . . . . 7 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
1815, 16, 7, 172llnjN 39072 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) = π‘Š)
19 simp23 1205 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ π‘Š ∈ 𝑃)
2018, 19eqeltrd 2829 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ∈ 𝑃)
216, 15, 16latlej1 18447 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ))
224, 9, 11, 21syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ))
23 eqid 2728 . . . . . 6 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
2415, 23, 7, 17llncvrlpln2 39062 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ))
252, 5, 20, 22, 24syl31anc 1370 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ))
266, 16, 12, 23cvrexch 38925 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ ↔ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))
272, 9, 11, 26syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ ↔ 𝑋( β‹– β€˜πΎ)(𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))
2825, 27mpbird 256 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ)
29 2llnm2.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
306, 23, 29, 7atcvrlln 39025 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)( β‹– β€˜πΎ)π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ↔ π‘Œ ∈ 𝑁))
312, 14, 11, 28, 30syl31anc 1370 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ↔ π‘Œ ∈ 𝑁))
321, 31mpbird 256 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  lecple 17247  joincjn 18310  meetcmee 18311  Latclat 18430   β‹– ccvr 38766  Atomscatm 38767  HLchlt 38854  LLinesclln 38996  LPlanesclpl 38997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-lat 18431  df-clat 18498  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855  df-llines 39003  df-lplanes 39004
This theorem is referenced by:  2llnm3N  39074
  Copyright terms: Public domain W3C validator