Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp22 1207 |
. 2
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π β§ π β π β§ π β π) β§ (π β€ π β§ π β€ π β§ π β π)) β π β π) |
2 | | simp1 1136 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π β§ π β π β§ π β π) β§ (π β€ π β§ π β€ π β§ π β π)) β πΎ β HL) |
3 | | hllat 38221 |
. . . . 5
β’ (πΎ β HL β πΎ β Lat) |
4 | 3 | 3ad2ant1 1133 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π β§ π β π β§ π β π) β§ (π β€ π β§ π β€ π β§ π β π)) β πΎ β Lat) |
5 | | simp21 1206 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π β§ π β π β§ π β π) β§ (π β€ π β§ π β€ π β§ π β π)) β π β π) |
6 | | eqid 2732 |
. . . . . 6
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
7 | | 2llnm2.n |
. . . . . 6
β’ π = (LLinesβπΎ) |
8 | 6, 7 | llnbase 38368 |
. . . . 5
β’ (π β π β π β (BaseβπΎ)) |
9 | 5, 8 | syl 17 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π β§ π β π β§ π β π) β§ (π β€ π β§ π β€ π β§ π β π)) β π β (BaseβπΎ)) |
10 | 6, 7 | llnbase 38368 |
. . . . 5
β’ (π β π β π β (BaseβπΎ)) |
11 | 1, 10 | syl 17 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π β§ π β π β§ π β π) β§ (π β€ π β§ π β€ π β§ π β π)) β π β (BaseβπΎ)) |
12 | | 2llnm2.m |
. . . . 5
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
13 | 6, 12 | latmcl 18389 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β (π β§ π) β (BaseβπΎ)) |
14 | 4, 9, 11, 13 | syl3anc 1371 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π β§ π β π β§ π β π) β§ (π β€ π β§ π β€ π β§ π β π)) β (π β§ π) β (BaseβπΎ)) |
15 | | 2llnm2.l |
. . . . . . 7
β’ β€ =
(leβπΎ) |
16 | | eqid 2732 |
. . . . . . 7
β’
(joinβπΎ) =
(joinβπΎ) |
17 | | 2llnm2.p |
. . . . . . 7
β’ π = (LPlanesβπΎ) |
18 | 15, 16, 7, 17 | 2llnjN 38426 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π β§ π β π β§ π β π) β§ (π β€ π β§ π β€ π β§ π β π)) β (π(joinβπΎ)π) = π) |
19 | | simp23 1208 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π β§ π β π β§ π β π) β§ (π β€ π β§ π β€ π β§ π β π)) β π β π) |
20 | 18, 19 | eqeltrd 2833 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π β§ π β π β§ π β π) β§ (π β€ π β§ π β€ π β§ π β π)) β (π(joinβπΎ)π) β π) |
21 | 6, 15, 16 | latlej1 18397 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β π β€ (π(joinβπΎ)π)) |
22 | 4, 9, 11, 21 | syl3anc 1371 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π β§ π β π β§ π β π) β§ (π β€ π β§ π β€ π β§ π β π)) β π β€ (π(joinβπΎ)π)) |
23 | | eqid 2732 |
. . . . . 6
β’ ( β
βπΎ) = ( β
βπΎ) |
24 | 15, 23, 7, 17 | llncvrlpln2 38416 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π β§ (π(joinβπΎ)π) β π) β§ π β€ (π(joinβπΎ)π)) β π( β βπΎ)(π(joinβπΎ)π)) |
25 | 2, 5, 20, 22, 24 | syl31anc 1373 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π β§ π β π β§ π β π) β§ (π β€ π β§ π β€ π β§ π β π)) β π( β βπΎ)(π(joinβπΎ)π)) |
26 | 6, 16, 12, 23 | cvrexch 38279 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β§ π)( β βπΎ)π β π( β βπΎ)(π(joinβπΎ)π))) |
27 | 2, 9, 11, 26 | syl3anc 1371 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π β§ π β π β§ π β π) β§ (π β€ π β§ π β€ π β§ π β π)) β ((π β§ π)( β βπΎ)π β π( β βπΎ)(π(joinβπΎ)π))) |
28 | 25, 27 | mpbird 256 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π β§ π β π β§ π β π) β§ (π β€ π β§ π β€ π β§ π β π)) β (π β§ π)( β βπΎ)π) |
29 | | 2llnm2.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
30 | 6, 23, 29, 7 | atcvrlln 38379 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ (π β§ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β§ (π β§ π)( β βπΎ)π) β ((π β§ π) β π΄ β π β π)) |
31 | 2, 14, 11, 28, 30 | syl31anc 1373 |
. 2
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π β§ π β π β§ π β π) β§ (π β€ π β§ π β€ π β§ π β π)) β ((π β§ π) β π΄ β π β π)) |
32 | 1, 31 | mpbird 256 |
1
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π β§ π β π β§ π β π) β§ (π β€ π β§ π β€ π β§ π β π)) β (π β§ π) β π΄) |