Theorem llnexchb2 40333

Description: Line exchange property (compare cvlatexchb2 39799 for atoms). (Contributed by NM, 17-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
llnexch.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
llnexch.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
llnexch.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
llnexch.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llnexch.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
llnexchb2	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑍 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ 𝑍)))

Proof of Theorem llnexchb2

Dummy variables 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp23 1210	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝑁)
2		simp1 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) → 𝐾 ∈ HL)
3		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		llnexch.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
5	3, 4	llnbase 39973	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑁 → 𝑍 ∈ (Base‘𝐾))
6	1, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) → 𝑍 ∈ (Base‘𝐾))
7		llnexch.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8		llnexch.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9	3, 7, 8, 4	islln3 39974	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑍 ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑍 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
10	2, 6, 9	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) → (𝑍 ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑍 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
11	1, 10	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑍 = (𝑝 ∨ 𝑞)))
12		simp3r 1204	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) → 𝑋 ≠ 𝑍)
13	12	necomd 2988	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) → 𝑍 ≠ 𝑋)
14		simp11 1205	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝐾 ∈ HL)
15	14	hllatd 39828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝐾 ∈ Lat)
16		simp2l 1201	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝑝 ∈ 𝐴)
17	3, 8	atbase 39753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
19		simp2r 1202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝑞 ∈ 𝐴)
20	3, 8	atbase 39753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
22		simp121 1307	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝑋 ∈ 𝑁)
23	3, 4	llnbase 39973	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑁 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
25		llnexch.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
26	3, 25, 7	latjle12 18411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑋) ↔ (𝑝 ∨ 𝑞) ≤ 𝑋))
27	15, 18, 21, 24, 26	syl13anc 1375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → ((𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑋) ↔ (𝑝 ∨ 𝑞) ≤ 𝑋))
28		simp3 1139	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝑝 ≠ 𝑞)
29	7, 8, 4	llni2 39976	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝑁)
30	14, 16, 19, 28, 29	syl31anc 1376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝑁)
31	25, 4	llncmp 39986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ≤ 𝑋 ↔ (𝑝 ∨ 𝑞) = 𝑋))
32	14, 30, 22, 31	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ≤ 𝑋 ↔ (𝑝 ∨ 𝑞) = 𝑋))
33	27, 32	bitr2d 280	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → ((𝑝 ∨ 𝑞) = 𝑋 ↔ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑋)))
34	33	necon3abid 2969	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ≠ 𝑋 ↔ ¬ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑋)))
35		ianor 984	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑋) ↔ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∨ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋))
36	34, 35	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ≠ 𝑋 ↔ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∨ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋)))
37		simpl11 1250	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
38	22	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑁)
39		simp122 1308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝑌 ∈ 𝑁)
40	39	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝑁)
41		simpl2l 1228	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋) → 𝑝 ∈ 𝐴)
42		simpl2r 1229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋) → 𝑞 ∈ 𝐴)
43		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋) → ¬ 𝑝 ≤ 𝑋)
44		simp13l 1290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴)
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴)
46		llnexch.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
47	25, 7, 46, 8, 4	llnexchb2lem 40332	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞))))
48	37, 38, 40, 41, 42, 43, 45, 47	syl331anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞))))
49	48	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)))))
50		simpl11 1250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
51	22	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑁)
52	39	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝑁)
53		simpl2r 1229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) → 𝑞 ∈ 𝐴)
54		simpl2l 1228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) → 𝑝 ∈ 𝐴)
55		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) → ¬ 𝑞 ≤ 𝑋)
56	44	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴)
57	25, 7, 46, 8, 4	llnexchb2lem 40332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑞 ∨ 𝑝) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑞 ∨ 𝑝))))
58	50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57	syl331anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑞 ∨ 𝑝) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑞 ∨ 𝑝))))
59	7, 8	hlatjcom 39832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑝 ∨ 𝑞) = (𝑞 ∨ 𝑝))
60	50, 54, 53, 59	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) → (𝑝 ∨ 𝑞) = (𝑞 ∨ 𝑝))
61	60	breq2d 5098	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑞 ∨ 𝑝)))
62	60	oveq2d 7378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) → (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)) = (𝑋 ∧ (𝑞 ∨ 𝑝)))
63	62	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑞 ∨ 𝑝))))
64	58, 61, 63	3bitr4d 311	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞))))
65	64	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)))))
66	49, 65	jaod 860	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → ((¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∨ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)))))
67	36, 66	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ≠ 𝑋 → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)))))
68		neeq1 2995	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 = (𝑝 ∨ 𝑞) → (𝑍 ≠ 𝑋 ↔ (𝑝 ∨ 𝑞) ≠ 𝑋))
69		breq2 5090	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 = (𝑝 ∨ 𝑞) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑍 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))
70		oveq2 7370	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 = (𝑝 ∨ 𝑞) → (𝑋 ∧ 𝑍) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)))
71	70	eqeq2d 2748	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 = (𝑝 ∨ 𝑞) → ((𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ 𝑍) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞))))
72	69, 71	bibi12d 345	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 = (𝑝 ∨ 𝑞) → (((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑍 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ 𝑍)) ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)))))
73	68, 72	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 = (𝑝 ∨ 𝑞) → ((𝑍 ≠ 𝑋 → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑍 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ 𝑍))) ↔ ((𝑝 ∨ 𝑞) ≠ 𝑋 → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞))))))
74	67, 73	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → (𝑍 = (𝑝 ∨ 𝑞) → (𝑍 ≠ 𝑋 → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑍 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ 𝑍)))))
75	74	3exp 1120	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) → ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑝 ≠ 𝑞 → (𝑍 = (𝑝 ∨ 𝑞) → (𝑍 ≠ 𝑋 → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑍 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ 𝑍)))))))
76	75	imp4a 422	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) → ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑍 = (𝑝 ∨ 𝑞)) → (𝑍 ≠ 𝑋 → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑍 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ 𝑍))))))
77	76	rexlimdvv 3194	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑍 = (𝑝 ∨ 𝑞)) → (𝑍 ≠ 𝑋 → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑍 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ 𝑍)))))
78	11, 13, 77	mp2d 49	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑍 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ 𝑍)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   class class class wbr 5086  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  Basecbs 17174  lecple 17222  joincjn 18272  meetcmee 18273  Latclat 18392  Atomscatm 39727  HLchlt 39814  LLinesclln 39955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-lat 18393  df-clat 18460  df-oposet 39640  df-ol 39642  df-oml 39643  df-covers 39730  df-ats 39731  df-atl 39762  df-cvlat 39786  df-hlat 39815  df-llines 39962  df-psubsp 39967  df-pmap 39968  df-padd 40260

This theorem is referenced by:  llnexch2N  40334  cdleme20l  40786