Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnexchb2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem llnexchb2 39826
Description: Line exchange property (compare cvlatexchb2 39291 for atoms). (Contributed by NM, 17-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llnexch.l = (le‘𝐾)
llnexch.j = (join‘𝐾)
llnexch.m = (meet‘𝐾)
llnexch.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llnexch.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
llnexchb2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → ((𝑋 𝑌) 𝑍 ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍)))

Proof of Theorem llnexchb2
Dummy variables 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp23 1208 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → 𝑍𝑁)
2 simp1 1136 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → 𝐾 ∈ HL)
3 eqid 2740 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4 llnexch.n . . . . . 6 𝑁 = (LLines‘𝐾)
53, 4llnbase 39466 . . . . 5 (𝑍𝑁𝑍 ∈ (Base‘𝐾))
61, 5syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → 𝑍 ∈ (Base‘𝐾))
7 llnexch.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
8 llnexch.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
93, 7, 8, 4islln3 39467 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑍𝑁 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑍 = (𝑝 𝑞))))
102, 6, 9syl2anc 583 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → (𝑍𝑁 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑍 = (𝑝 𝑞))))
111, 10mpbid 232 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑍 = (𝑝 𝑞)))
12 simp3r 1202 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → 𝑋𝑍)
1312necomd 3002 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → 𝑍𝑋)
14 simp11 1203 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝐾 ∈ HL)
1514hllatd 39320 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝐾 ∈ Lat)
16 simp2l 1199 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑝𝐴)
173, 8atbase 39245 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝𝐴𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
19 simp2r 1200 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑞𝐴)
203, 8atbase 39245 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞𝐴𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
22 simp121 1305 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑋𝑁)
233, 4llnbase 39466 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
25 llnexch.l . . . . . . . . . . . 12 = (le‘𝐾)
263, 25, 7latjle12 18520 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑝 𝑋𝑞 𝑋) ↔ (𝑝 𝑞) 𝑋))
2715, 18, 21, 24, 26syl13anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → ((𝑝 𝑋𝑞 𝑋) ↔ (𝑝 𝑞) 𝑋))
28 simp3 1138 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑝𝑞)
297, 8, 4llni2 39469 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → (𝑝 𝑞) ∈ 𝑁)
3014, 16, 19, 28, 29syl31anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → (𝑝 𝑞) ∈ 𝑁)
3125, 4llncmp 39479 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 𝑞) ∈ 𝑁𝑋𝑁) → ((𝑝 𝑞) 𝑋 ↔ (𝑝 𝑞) = 𝑋))
3214, 30, 22, 31syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → ((𝑝 𝑞) 𝑋 ↔ (𝑝 𝑞) = 𝑋))
3327, 32bitr2d 280 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → ((𝑝 𝑞) = 𝑋 ↔ (𝑝 𝑋𝑞 𝑋)))
3433necon3abid 2983 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → ((𝑝 𝑞) ≠ 𝑋 ↔ ¬ (𝑝 𝑋𝑞 𝑋)))
35 ianor 982 . . . . . . . 8 (¬ (𝑝 𝑋𝑞 𝑋) ↔ (¬ 𝑝 𝑋 ∨ ¬ 𝑞 𝑋))
3634, 35bitrdi 287 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → ((𝑝 𝑞) ≠ 𝑋 ↔ (¬ 𝑝 𝑋 ∨ ¬ 𝑞 𝑋)))
37 simpl11 1248 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑝 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
3822adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑝 𝑋) → 𝑋𝑁)
39 simp122 1306 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑌𝑁)
4039adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑝 𝑋) → 𝑌𝑁)
41 simpl2l 1226 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑝 𝑋) → 𝑝𝐴)
42 simpl2r 1227 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑝 𝑋) → 𝑞𝐴)
43 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑝 𝑋) → ¬ 𝑝 𝑋)
44 simp13l 1288 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)
4544adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑝 𝑋) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)
46 llnexch.m . . . . . . . . . . 11 = (meet‘𝐾)
4725, 7, 46, 8, 4llnexchb2lem 39825 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑋) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞))))
4837, 38, 40, 41, 42, 43, 45, 47syl331anc 1395 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑝 𝑋) → ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞))))
4948ex 412 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → (¬ 𝑝 𝑋 → ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞)))))
50 simpl11 1248 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
5122adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → 𝑋𝑁)
5239adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → 𝑌𝑁)
53 simpl2r 1227 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → 𝑞𝐴)
54 simpl2l 1226 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → 𝑝𝐴)
55 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → ¬ 𝑞 𝑋)
5644adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)
5725, 7, 46, 8, 4llnexchb2lem 39825 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑞𝐴𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑋) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → ((𝑋 𝑌) (𝑞 𝑝) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑞 𝑝))))
5850, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57syl331anc 1395 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → ((𝑋 𝑌) (𝑞 𝑝) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑞 𝑝))))
597, 8hlatjcom 39324 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) → (𝑝 𝑞) = (𝑞 𝑝))
6050, 54, 53, 59syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → (𝑝 𝑞) = (𝑞 𝑝))
6160breq2d 5178 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) (𝑞 𝑝)))
6260oveq2d 7464 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → (𝑋 (𝑝 𝑞)) = (𝑋 (𝑞 𝑝)))
6362eqeq2d 2751 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → ((𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞)) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑞 𝑝))))
6458, 61, 633bitr4d 311 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞))))
6564ex 412 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → (¬ 𝑞 𝑋 → ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞)))))
6649, 65jaod 858 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → ((¬ 𝑝 𝑋 ∨ ¬ 𝑞 𝑋) → ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞)))))
6736, 66sylbid 240 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → ((𝑝 𝑞) ≠ 𝑋 → ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞)))))
68 neeq1 3009 . . . . . . 7 (𝑍 = (𝑝 𝑞) → (𝑍𝑋 ↔ (𝑝 𝑞) ≠ 𝑋))
69 breq2 5170 . . . . . . . 8 (𝑍 = (𝑝 𝑞) → ((𝑋 𝑌) 𝑍 ↔ (𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞)))
70 oveq2 7456 . . . . . . . . 9 (𝑍 = (𝑝 𝑞) → (𝑋 𝑍) = (𝑋 (𝑝 𝑞)))
7170eqeq2d 2751 . . . . . . . 8 (𝑍 = (𝑝 𝑞) → ((𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞))))
7269, 71bibi12d 345 . . . . . . 7 (𝑍 = (𝑝 𝑞) → (((𝑋 𝑌) 𝑍 ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍)) ↔ ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞)))))
7368, 72imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑍 = (𝑝 𝑞) → ((𝑍𝑋 → ((𝑋 𝑌) 𝑍 ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍))) ↔ ((𝑝 𝑞) ≠ 𝑋 → ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞))))))
7467, 73syl5ibrcom 247 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → (𝑍 = (𝑝 𝑞) → (𝑍𝑋 → ((𝑋 𝑌) 𝑍 ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍)))))
75743exp 1119 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → ((𝑝𝐴𝑞𝐴) → (𝑝𝑞 → (𝑍 = (𝑝 𝑞) → (𝑍𝑋 → ((𝑋 𝑌) 𝑍 ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍)))))))
7675imp4a 422 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → ((𝑝𝐴𝑞𝐴) → ((𝑝𝑞𝑍 = (𝑝 𝑞)) → (𝑍𝑋 → ((𝑋 𝑌) 𝑍 ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍))))))
7776rexlimdvv 3218 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → (∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑍 = (𝑝 𝑞)) → (𝑍𝑋 → ((𝑋 𝑌) 𝑍 ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍)))))
7811, 13, 77mp2d 49 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → ((𝑋 𝑌) 𝑍 ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 846  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2108  wne 2946  wrex 3076   class class class wbr 5166  cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  lecple 17318  joincjn 18381  meetcmee 18382  Latclat 18501  Atomscatm 39219  HLchlt 39306  LLinesclln 39448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-p0 18495  df-lat 18502  df-clat 18569  df-oposet 39132  df-ol 39134  df-oml 39135  df-covers 39222  df-ats 39223  df-atl 39254  df-cvlat 39278  df-hlat 39307  df-llines 39455  df-psubsp 39460  df-pmap 39461  df-padd 39753
This theorem is referenced by:  llnexch2N  39827  cdleme20l  40279
  Copyright terms: Public domain W3C validator