llnexchb2 - Mathbox for Norm Megill

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Theorem llnexchb2 39398

Description: Line exchange property (compare cvlatexchb2 38863 for atoms). (Contributed by NM, 17-Nov-2012.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
llnexch.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
llnexch.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
llnexch.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
llnexch.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llnexch.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)

**Assertion**
Ref	Expression
llnexchb2	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑍 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ 𝑍)))

Proof of Theorem llnexchb2 Dummy variables 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp23 1205	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝑁)
2		simp1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) → 𝐾 ∈ HL)
3		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		llnexch.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
5	3, 4	llnbase 39038	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑁 → 𝑍 ∈ (Base‘𝐾))
6	1, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) → 𝑍 ∈ (Base‘𝐾))
7		llnexch.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8		llnexch.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9	3, 7, 8, 4	islln3 39039	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑍 ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑍 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
10	2, 6, 9	syl2anc 582	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) → (𝑍 ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑍 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
11	1, 10	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑍 = (𝑝 ∨ 𝑞)))
12		simp3r 1199	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) → 𝑋 ≠ 𝑍)
13	12	necomd 2986	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) → 𝑍 ≠ 𝑋)
14		simp11 1200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝐾 ∈ HL)
15	14	hllatd 38892	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝐾 ∈ Lat)
16		simp2l 1196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝑝 ∈ 𝐴)
17	3, 8	atbase 38817	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
19		simp2r 1197	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝑞 ∈ 𝐴)
20	3, 8	atbase 38817	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
22		simp121 1302	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝑋 ∈ 𝑁)
23	3, 4	llnbase 39038	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑁 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
25		llnexch.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
26	3, 25, 7	latjle12 18441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑋) ↔ (𝑝 ∨ 𝑞) ≤ 𝑋))
27	15, 18, 21, 24, 26	syl13anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → ((𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑋) ↔ (𝑝 ∨ 𝑞) ≤ 𝑋))
28		simp3 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝑝 ≠ 𝑞)
29	7, 8, 4	llni2 39041	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝑁)
30	14, 16, 19, 28, 29	syl31anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝑁)
31	25, 4	llncmp 39051	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ≤ 𝑋 ↔ (𝑝 ∨ 𝑞) = 𝑋))
32	14, 30, 22, 31	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ≤ 𝑋 ↔ (𝑝 ∨ 𝑞) = 𝑋))
33	27, 32	bitr2d 279	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → ((𝑝 ∨ 𝑞) = 𝑋 ↔ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑋)))
34	33	necon3abid 2967	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ≠ 𝑋 ↔ ¬ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑋)))
35		ianor 979	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑋) ↔ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∨ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋))
36	34, 35	bitrdi 286	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ≠ 𝑋 ↔ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∨ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋)))
37		simpl11 1245	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
38	22	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑁)
39		simp122 1303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝑌 ∈ 𝑁)
40	39	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝑁)
41		simpl2l 1223	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋) → 𝑝 ∈ 𝐴)
42		simpl2r 1224	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋) → 𝑞 ∈ 𝐴)
43		simpr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋) → ¬ 𝑝 ≤ 𝑋)
44		simp13l 1285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴)
45	44	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴)
46		llnexch.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
47	25, 7, 46, 8, 4	llnexchb2lem 39397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞))))
48	37, 38, 40, 41, 42, 43, 45, 47	syl331anc 1392	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞))))
49	48	ex 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)))))
50		simpl11 1245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
51	22	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑁)
52	39	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝑁)
53		simpl2r 1224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) → 𝑞 ∈ 𝐴)
54		simpl2l 1223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) → 𝑝 ∈ 𝐴)
55		simpr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) → ¬ 𝑞 ≤ 𝑋)
56	44	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴)
57	25, 7, 46, 8, 4	llnexchb2lem 39397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑞 ∨ 𝑝) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑞 ∨ 𝑝))))
58	50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57	syl331anc 1392	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑞 ∨ 𝑝) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑞 ∨ 𝑝))))
59	7, 8	hlatjcom 38896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑝 ∨ 𝑞) = (𝑞 ∨ 𝑝))
60	50, 54, 53, 59	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) → (𝑝 ∨ 𝑞) = (𝑞 ∨ 𝑝))
61	60	breq2d 5155	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑞 ∨ 𝑝)))
62	60	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) → (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)) = (𝑋 ∧ (𝑞 ∨ 𝑝)))
63	62	eqeq2d 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑞 ∨ 𝑝))))
64	58, 61, 63	3bitr4d 310	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞))))
65	64	ex 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)))))
66	49, 65	jaod 857	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → ((¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∨ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)))))
67	36, 66	sylbid 239	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ≠ 𝑋 → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)))))
68		neeq1 2993	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 = (𝑝 ∨ 𝑞) → (𝑍 ≠ 𝑋 ↔ (𝑝 ∨ 𝑞) ≠ 𝑋))
69		breq2 5147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 = (𝑝 ∨ 𝑞) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑍 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))
70		oveq2 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 = (𝑝 ∨ 𝑞) → (𝑋 ∧ 𝑍) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)))
71	70	eqeq2d 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 = (𝑝 ∨ 𝑞) → ((𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ 𝑍) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞))))
72	69, 71	bibi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 = (𝑝 ∨ 𝑞) → (((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑍 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ 𝑍)) ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)))))
73	68, 72	imbi12d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 = (𝑝 ∨ 𝑞) → ((𝑍 ≠ 𝑋 → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑍 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ 𝑍))) ↔ ((𝑝 ∨ 𝑞) ≠ 𝑋 → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞))))))
74	67, 73	syl5ibrcom 246	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → (𝑍 = (𝑝 ∨ 𝑞) → (𝑍 ≠ 𝑋 → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑍 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ 𝑍)))))
75	74	3exp 1116	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) → ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑝 ≠ 𝑞 → (𝑍 = (𝑝 ∨ 𝑞) → (𝑍 ≠ 𝑋 → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑍 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ 𝑍)))))))
76	75	imp4a 421	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) → ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑍 = (𝑝 ∨ 𝑞)) → (𝑍 ≠ 𝑋 → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑍 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ 𝑍))))))
77	76	rexlimdvv 3201	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑍 = (𝑝 ∨ 𝑞)) → (𝑍 ≠ 𝑋 → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑍 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ 𝑍)))))
78	11, 13, 77	mp2d 49	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑍 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ 𝑍)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 394 ∨ wo 845 ∧ w3a 1084 = wceq 1533 ∈ wcel 2098 ≠ wne 2930 ∃wrex 3060 class class class wbr 5143 ‘cfv 6543 (class class class)co 7416 Basecbs 17179 lecple 17239 joincjn 18302 meetcmee 18303 Latclat 18422 Atomscatm 38791 HLchlt 38878 LLinesclln 39020

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-rep 5280 ax-sep 5294 ax-nul 5301 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7738

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3364 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3769 df-csb 3885 df-dif 3942 df-un 3944 df-in 3946 df-ss 3956 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-iun 4993 df-iin 4994 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5227 df-id 5570 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7372 df-ov 7419 df-oprab 7420 df-mpo 7421 df-1st 7991 df-2nd 7992 df-proset 18286 df-poset 18304 df-plt 18321 df-lub 18337 df-glb 18338 df-join 18339 df-meet 18340 df-p0 18416 df-lat 18423 df-clat 18490 df-oposet 38704 df-ol 38706 df-oml 38707 df-covers 38794 df-ats 38795 df-atl 38826 df-cvlat 38850 df-hlat 38879 df-llines 39027 df-psubsp 39032 df-pmap 39033 df-padd 39325

This theorem is referenced by: llnexch2N 39399 cdleme20l 39851

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