Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnexchb2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem llnexchb2 39398
Description: Line exchange property (compare cvlatexchb2 38863 for atoms). (Contributed by NM, 17-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llnexch.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
llnexch.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
llnexch.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
llnexch.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
llnexch.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
llnexchb2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑍 ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ 𝑍)))

Proof of Theorem llnexchb2
Dummy variables π‘ž 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp23 1205 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) β†’ 𝑍 ∈ 𝑁)
2 simp1 1133 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
3 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
4 llnexch.n . . . . . 6 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
53, 4llnbase 39038 . . . . 5 (𝑍 ∈ 𝑁 β†’ 𝑍 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
61, 5syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) β†’ 𝑍 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7 llnexch.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
8 llnexch.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
93, 7, 8, 4islln3 39039 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑍 ∈ 𝑁 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑍 = (𝑝 ∨ π‘ž))))
102, 6, 9syl2anc 582 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) β†’ (𝑍 ∈ 𝑁 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑍 = (𝑝 ∨ π‘ž))))
111, 10mpbid 231 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑍 = (𝑝 ∨ π‘ž)))
12 simp3r 1199 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) β†’ 𝑋 β‰  𝑍)
1312necomd 2986 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) β†’ 𝑍 β‰  𝑋)
14 simp11 1200 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ 𝐾 ∈ HL)
1514hllatd 38892 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
16 simp2l 1196 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
173, 8atbase 38817 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
19 simp2r 1197 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
203, 8atbase 38817 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ))
22 simp121 1302 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)
233, 4llnbase 39038 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ 𝑁 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
25 llnexch.l . . . . . . . . . . . 12 ≀ = (leβ€˜πΎ)
263, 25, 7latjle12 18441 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑝 ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑋) ↔ (𝑝 ∨ π‘ž) ≀ 𝑋))
2715, 18, 21, 24, 26syl13anc 1369 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ ((𝑝 ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑋) ↔ (𝑝 ∨ π‘ž) ≀ 𝑋))
28 simp3 1135 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ 𝑝 β‰  π‘ž)
297, 8, 4llni2 39041 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ (𝑝 ∨ π‘ž) ∈ 𝑁)
3014, 16, 19, 28, 29syl31anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ (𝑝 ∨ π‘ž) ∈ 𝑁)
3125, 4llncmp 39051 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∨ π‘ž) ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž) ≀ 𝑋 ↔ (𝑝 ∨ π‘ž) = 𝑋))
3214, 30, 22, 31syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž) ≀ 𝑋 ↔ (𝑝 ∨ π‘ž) = 𝑋))
3327, 32bitr2d 279 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž) = 𝑋 ↔ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑋)))
3433necon3abid 2967 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž) β‰  𝑋 ↔ Β¬ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑋)))
35 ianor 979 . . . . . . . 8 (Β¬ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑋) ↔ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∨ Β¬ π‘ž ≀ 𝑋))
3634, 35bitrdi 286 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž) β‰  𝑋 ↔ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∨ Β¬ π‘ž ≀ 𝑋)))
37 simpl11 1245 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ HL)
3822adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)
39 simp122 1303 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ π‘Œ ∈ 𝑁)
4039adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋) β†’ π‘Œ ∈ 𝑁)
41 simpl2l 1223 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
42 simpl2r 1224 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
43 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋) β†’ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋)
44 simp13l 1285 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴)
4544adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴)
46 llnexch.m . . . . . . . . . . 11 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
4725, 7, 46, 8, 4llnexchb2lem 39397 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ π‘ž))))
4837, 38, 40, 41, 42, 43, 45, 47syl331anc 1392 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ π‘ž))))
4948ex 411 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)))))
50 simpl11 1245 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ∧ Β¬ π‘ž ≀ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ HL)
5122adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ∧ Β¬ π‘ž ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)
5239adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ∧ Β¬ π‘ž ≀ 𝑋) β†’ π‘Œ ∈ 𝑁)
53 simpl2r 1224 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ∧ Β¬ π‘ž ≀ 𝑋) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
54 simpl2l 1223 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ∧ Β¬ π‘ž ≀ 𝑋) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
55 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ∧ Β¬ π‘ž ≀ 𝑋) β†’ Β¬ π‘ž ≀ 𝑋)
5644adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ∧ Β¬ π‘ž ≀ 𝑋) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴)
5725, 7, 46, 8, 4llnexchb2lem 39397 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (π‘ž ∨ 𝑝) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (π‘ž ∨ 𝑝))))
5850, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57syl331anc 1392 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ∧ Β¬ π‘ž ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (π‘ž ∨ 𝑝) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (π‘ž ∨ 𝑝))))
597, 8hlatjcom 38896 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (𝑝 ∨ π‘ž) = (π‘ž ∨ 𝑝))
6050, 54, 53, 59syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ∧ Β¬ π‘ž ≀ 𝑋) β†’ (𝑝 ∨ π‘ž) = (π‘ž ∨ 𝑝))
6160breq2d 5155 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ∧ Β¬ π‘ž ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (π‘ž ∨ 𝑝)))
6260oveq2d 7432 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ∧ Β¬ π‘ž ≀ 𝑋) β†’ (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)) = (𝑋 ∧ (π‘ž ∨ 𝑝)))
6362eqeq2d 2736 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ∧ Β¬ π‘ž ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (π‘ž ∨ 𝑝))))
6458, 61, 633bitr4d 310 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ∧ Β¬ π‘ž ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ π‘ž))))
6564ex 411 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)))))
6649, 65jaod 857 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∨ Β¬ π‘ž ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)))))
6736, 66sylbid 239 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž) β‰  𝑋 β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)))))
68 neeq1 2993 . . . . . . 7 (𝑍 = (𝑝 ∨ π‘ž) β†’ (𝑍 β‰  𝑋 ↔ (𝑝 ∨ π‘ž) β‰  𝑋))
69 breq2 5147 . . . . . . . 8 (𝑍 = (𝑝 ∨ π‘ž) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑍 ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))
70 oveq2 7424 . . . . . . . . 9 (𝑍 = (𝑝 ∨ π‘ž) β†’ (𝑋 ∧ 𝑍) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)))
7170eqeq2d 2736 . . . . . . . 8 (𝑍 = (𝑝 ∨ π‘ž) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ 𝑍) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ π‘ž))))
7269, 71bibi12d 344 . . . . . . 7 (𝑍 = (𝑝 ∨ π‘ž) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑍 ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ 𝑍)) ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)))))
7368, 72imbi12d 343 . . . . . 6 (𝑍 = (𝑝 ∨ π‘ž) β†’ ((𝑍 β‰  𝑋 β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑍 ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ 𝑍))) ↔ ((𝑝 ∨ π‘ž) β‰  𝑋 β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ π‘ž))))))
7467, 73syl5ibrcom 246 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ (𝑍 = (𝑝 ∨ π‘ž) β†’ (𝑍 β‰  𝑋 β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑍 ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ 𝑍)))))
75743exp 1116 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (𝑝 β‰  π‘ž β†’ (𝑍 = (𝑝 ∨ π‘ž) β†’ (𝑍 β‰  𝑋 β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑍 ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ 𝑍)))))))
7675imp4a 421 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑍 = (𝑝 ∨ π‘ž)) β†’ (𝑍 β‰  𝑋 β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑍 ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ 𝑍))))))
7776rexlimdvv 3201 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑍 = (𝑝 ∨ π‘ž)) β†’ (𝑍 β‰  𝑋 β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑍 ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ 𝑍)))))
7811, 13, 77mp2d 49 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑍 ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆƒwrex 3060   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  lecple 17239  joincjn 18302  meetcmee 18303  Latclat 18422  Atomscatm 38791  HLchlt 38878  LLinesclln 39020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-lat 18423  df-clat 18490  df-oposet 38704  df-ol 38706  df-oml 38707  df-covers 38794  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879  df-llines 39027  df-psubsp 39032  df-pmap 39033  df-padd 39325
This theorem is referenced by:  llnexch2N  39399  cdleme20l  39851
  Copyright terms: Public domain W3C validator