Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnexchb2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem llnexchb2 38728
Description: Line exchange property (compare cvlatexchb2 38193 for atoms). (Contributed by NM, 17-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llnexch.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
llnexch.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
llnexch.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
llnexch.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
llnexch.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
llnexchb2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑍 ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ 𝑍)))

Proof of Theorem llnexchb2
Dummy variables π‘ž 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp23 1208 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) β†’ 𝑍 ∈ 𝑁)
2 simp1 1136 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
3 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
4 llnexch.n . . . . . 6 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
53, 4llnbase 38368 . . . . 5 (𝑍 ∈ 𝑁 β†’ 𝑍 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
61, 5syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) β†’ 𝑍 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7 llnexch.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
8 llnexch.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
93, 7, 8, 4islln3 38369 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑍 ∈ 𝑁 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑍 = (𝑝 ∨ π‘ž))))
102, 6, 9syl2anc 584 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) β†’ (𝑍 ∈ 𝑁 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑍 = (𝑝 ∨ π‘ž))))
111, 10mpbid 231 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑍 = (𝑝 ∨ π‘ž)))
12 simp3r 1202 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) β†’ 𝑋 β‰  𝑍)
1312necomd 2996 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) β†’ 𝑍 β‰  𝑋)
14 simp11 1203 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ 𝐾 ∈ HL)
1514hllatd 38222 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
16 simp2l 1199 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
173, 8atbase 38147 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
19 simp2r 1200 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
203, 8atbase 38147 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ))
22 simp121 1305 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)
233, 4llnbase 38368 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ 𝑁 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
25 llnexch.l . . . . . . . . . . . 12 ≀ = (leβ€˜πΎ)
263, 25, 7latjle12 18399 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑝 ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑋) ↔ (𝑝 ∨ π‘ž) ≀ 𝑋))
2715, 18, 21, 24, 26syl13anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ ((𝑝 ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑋) ↔ (𝑝 ∨ π‘ž) ≀ 𝑋))
28 simp3 1138 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ 𝑝 β‰  π‘ž)
297, 8, 4llni2 38371 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ (𝑝 ∨ π‘ž) ∈ 𝑁)
3014, 16, 19, 28, 29syl31anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ (𝑝 ∨ π‘ž) ∈ 𝑁)
3125, 4llncmp 38381 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∨ π‘ž) ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž) ≀ 𝑋 ↔ (𝑝 ∨ π‘ž) = 𝑋))
3214, 30, 22, 31syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž) ≀ 𝑋 ↔ (𝑝 ∨ π‘ž) = 𝑋))
3327, 32bitr2d 279 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž) = 𝑋 ↔ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑋)))
3433necon3abid 2977 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž) β‰  𝑋 ↔ Β¬ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑋)))
35 ianor 980 . . . . . . . 8 (Β¬ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑋) ↔ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∨ Β¬ π‘ž ≀ 𝑋))
3634, 35bitrdi 286 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž) β‰  𝑋 ↔ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∨ Β¬ π‘ž ≀ 𝑋)))
37 simpl11 1248 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ HL)
3822adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)
39 simp122 1306 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ π‘Œ ∈ 𝑁)
4039adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋) β†’ π‘Œ ∈ 𝑁)
41 simpl2l 1226 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
42 simpl2r 1227 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
43 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋) β†’ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋)
44 simp13l 1288 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴)
4544adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴)
46 llnexch.m . . . . . . . . . . 11 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
4725, 7, 46, 8, 4llnexchb2lem 38727 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ π‘ž))))
4837, 38, 40, 41, 42, 43, 45, 47syl331anc 1395 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ π‘ž))))
4948ex 413 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)))))
50 simpl11 1248 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ∧ Β¬ π‘ž ≀ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ HL)
5122adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ∧ Β¬ π‘ž ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)
5239adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ∧ Β¬ π‘ž ≀ 𝑋) β†’ π‘Œ ∈ 𝑁)
53 simpl2r 1227 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ∧ Β¬ π‘ž ≀ 𝑋) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
54 simpl2l 1226 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ∧ Β¬ π‘ž ≀ 𝑋) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
55 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ∧ Β¬ π‘ž ≀ 𝑋) β†’ Β¬ π‘ž ≀ 𝑋)
5644adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ∧ Β¬ π‘ž ≀ 𝑋) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴)
5725, 7, 46, 8, 4llnexchb2lem 38727 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (π‘ž ∨ 𝑝) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (π‘ž ∨ 𝑝))))
5850, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57syl331anc 1395 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ∧ Β¬ π‘ž ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (π‘ž ∨ 𝑝) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (π‘ž ∨ 𝑝))))
597, 8hlatjcom 38226 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (𝑝 ∨ π‘ž) = (π‘ž ∨ 𝑝))
6050, 54, 53, 59syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ∧ Β¬ π‘ž ≀ 𝑋) β†’ (𝑝 ∨ π‘ž) = (π‘ž ∨ 𝑝))
6160breq2d 5159 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ∧ Β¬ π‘ž ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (π‘ž ∨ 𝑝)))
6260oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ∧ Β¬ π‘ž ≀ 𝑋) β†’ (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)) = (𝑋 ∧ (π‘ž ∨ 𝑝)))
6362eqeq2d 2743 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ∧ Β¬ π‘ž ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (π‘ž ∨ 𝑝))))
6458, 61, 633bitr4d 310 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ∧ Β¬ π‘ž ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ π‘ž))))
6564ex 413 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)))))
6649, 65jaod 857 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∨ Β¬ π‘ž ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)))))
6736, 66sylbid 239 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž) β‰  𝑋 β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)))))
68 neeq1 3003 . . . . . . 7 (𝑍 = (𝑝 ∨ π‘ž) β†’ (𝑍 β‰  𝑋 ↔ (𝑝 ∨ π‘ž) β‰  𝑋))
69 breq2 5151 . . . . . . . 8 (𝑍 = (𝑝 ∨ π‘ž) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑍 ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))
70 oveq2 7413 . . . . . . . . 9 (𝑍 = (𝑝 ∨ π‘ž) β†’ (𝑋 ∧ 𝑍) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)))
7170eqeq2d 2743 . . . . . . . 8 (𝑍 = (𝑝 ∨ π‘ž) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ 𝑍) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ π‘ž))))
7269, 71bibi12d 345 . . . . . . 7 (𝑍 = (𝑝 ∨ π‘ž) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑍 ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ 𝑍)) ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)))))
7368, 72imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑍 = (𝑝 ∨ π‘ž) β†’ ((𝑍 β‰  𝑋 β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑍 ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ 𝑍))) ↔ ((𝑝 ∨ π‘ž) β‰  𝑋 β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ π‘ž))))))
7467, 73syl5ibrcom 246 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ (𝑍 = (𝑝 ∨ π‘ž) β†’ (𝑍 β‰  𝑋 β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑍 ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ 𝑍)))))
75743exp 1119 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (𝑝 β‰  π‘ž β†’ (𝑍 = (𝑝 ∨ π‘ž) β†’ (𝑍 β‰  𝑋 β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑍 ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ 𝑍)))))))
7675imp4a 423 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑍 = (𝑝 ∨ π‘ž)) β†’ (𝑍 β‰  𝑋 β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑍 ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ 𝑍))))))
7776rexlimdvv 3210 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑍 = (𝑝 ∨ π‘ž)) β†’ (𝑍 β‰  𝑋 β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑍 ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ 𝑍)))))
7811, 13, 77mp2d 49 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑍 ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18260  meetcmee 18261  Latclat 18380  Atomscatm 38121  HLchlt 38208  LLinesclln 38350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-llines 38357  df-psubsp 38362  df-pmap 38363  df-padd 38655
This theorem is referenced by:  llnexch2N  38729  cdleme20l  39181
  Copyright terms: Public domain W3C validator