Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnexchb2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem llnexchb2 36536
Description: Line exchange property (compare cvlatexchb2 36002 for atoms). (Contributed by NM, 17-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llnexch.l = (le‘𝐾)
llnexch.j = (join‘𝐾)
llnexch.m = (meet‘𝐾)
llnexch.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llnexch.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
llnexchb2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → ((𝑋 𝑌) 𝑍 ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍)))

Proof of Theorem llnexchb2
Dummy variables 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp23 1201 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → 𝑍𝑁)
2 simp1 1129 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → 𝐾 ∈ HL)
3 eqid 2795 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4 llnexch.n . . . . . 6 𝑁 = (LLines‘𝐾)
53, 4llnbase 36176 . . . . 5 (𝑍𝑁𝑍 ∈ (Base‘𝐾))
61, 5syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → 𝑍 ∈ (Base‘𝐾))
7 llnexch.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
8 llnexch.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
93, 7, 8, 4islln3 36177 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑍𝑁 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑍 = (𝑝 𝑞))))
102, 6, 9syl2anc 584 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → (𝑍𝑁 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑍 = (𝑝 𝑞))))
111, 10mpbid 233 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑍 = (𝑝 𝑞)))
12 simp3r 1195 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → 𝑋𝑍)
1312necomd 3039 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → 𝑍𝑋)
14 simp11 1196 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝐾 ∈ HL)
1514hllatd 36031 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝐾 ∈ Lat)
16 simp2l 1192 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑝𝐴)
173, 8atbase 35956 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝𝐴𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
19 simp2r 1193 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑞𝐴)
203, 8atbase 35956 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞𝐴𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
22 simp121 1298 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑋𝑁)
233, 4llnbase 36176 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
25 llnexch.l . . . . . . . . . . . 12 = (le‘𝐾)
263, 25, 7latjle12 17501 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑝 𝑋𝑞 𝑋) ↔ (𝑝 𝑞) 𝑋))
2715, 18, 21, 24, 26syl13anc 1365 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → ((𝑝 𝑋𝑞 𝑋) ↔ (𝑝 𝑞) 𝑋))
28 simp3 1131 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑝𝑞)
297, 8, 4llni2 36179 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → (𝑝 𝑞) ∈ 𝑁)
3014, 16, 19, 28, 29syl31anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → (𝑝 𝑞) ∈ 𝑁)
3125, 4llncmp 36189 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 𝑞) ∈ 𝑁𝑋𝑁) → ((𝑝 𝑞) 𝑋 ↔ (𝑝 𝑞) = 𝑋))
3214, 30, 22, 31syl3anc 1364 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → ((𝑝 𝑞) 𝑋 ↔ (𝑝 𝑞) = 𝑋))
3327, 32bitr2d 281 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → ((𝑝 𝑞) = 𝑋 ↔ (𝑝 𝑋𝑞 𝑋)))
3433necon3abid 3020 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → ((𝑝 𝑞) ≠ 𝑋 ↔ ¬ (𝑝 𝑋𝑞 𝑋)))
35 ianor 976 . . . . . . . 8 (¬ (𝑝 𝑋𝑞 𝑋) ↔ (¬ 𝑝 𝑋 ∨ ¬ 𝑞 𝑋))
3634, 35syl6bb 288 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → ((𝑝 𝑞) ≠ 𝑋 ↔ (¬ 𝑝 𝑋 ∨ ¬ 𝑞 𝑋)))
37 simpl11 1241 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑝 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
3822adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑝 𝑋) → 𝑋𝑁)
39 simp122 1299 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑌𝑁)
4039adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑝 𝑋) → 𝑌𝑁)
41 simpl2l 1219 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑝 𝑋) → 𝑝𝐴)
42 simpl2r 1220 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑝 𝑋) → 𝑞𝐴)
43 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑝 𝑋) → ¬ 𝑝 𝑋)
44 simp13l 1281 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)
4544adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑝 𝑋) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)
46 llnexch.m . . . . . . . . . . 11 = (meet‘𝐾)
4725, 7, 46, 8, 4llnexchb2lem 36535 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑋) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞))))
4837, 38, 40, 41, 42, 43, 45, 47syl331anc 1388 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑝 𝑋) → ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞))))
4948ex 413 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → (¬ 𝑝 𝑋 → ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞)))))
50 simpl11 1241 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
5122adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → 𝑋𝑁)
5239adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → 𝑌𝑁)
53 simpl2r 1220 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → 𝑞𝐴)
54 simpl2l 1219 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → 𝑝𝐴)
55 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → ¬ 𝑞 𝑋)
5644adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)
5725, 7, 46, 8, 4llnexchb2lem 36535 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑞𝐴𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑋) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → ((𝑋 𝑌) (𝑞 𝑝) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑞 𝑝))))
5850, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57syl331anc 1388 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → ((𝑋 𝑌) (𝑞 𝑝) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑞 𝑝))))
597, 8hlatjcom 36035 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) → (𝑝 𝑞) = (𝑞 𝑝))
6050, 54, 53, 59syl3anc 1364 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → (𝑝 𝑞) = (𝑞 𝑝))
6160breq2d 4974 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) (𝑞 𝑝)))
6260oveq2d 7032 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → (𝑋 (𝑝 𝑞)) = (𝑋 (𝑞 𝑝)))
6362eqeq2d 2805 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → ((𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞)) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑞 𝑝))))
6458, 61, 633bitr4d 312 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞))))
6564ex 413 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → (¬ 𝑞 𝑋 → ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞)))))
6649, 65jaod 854 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → ((¬ 𝑝 𝑋 ∨ ¬ 𝑞 𝑋) → ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞)))))
6736, 66sylbid 241 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → ((𝑝 𝑞) ≠ 𝑋 → ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞)))))
68 neeq1 3046 . . . . . . 7 (𝑍 = (𝑝 𝑞) → (𝑍𝑋 ↔ (𝑝 𝑞) ≠ 𝑋))
69 breq2 4966 . . . . . . . 8 (𝑍 = (𝑝 𝑞) → ((𝑋 𝑌) 𝑍 ↔ (𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞)))
70 oveq2 7024 . . . . . . . . 9 (𝑍 = (𝑝 𝑞) → (𝑋 𝑍) = (𝑋 (𝑝 𝑞)))
7170eqeq2d 2805 . . . . . . . 8 (𝑍 = (𝑝 𝑞) → ((𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞))))
7269, 71bibi12d 347 . . . . . . 7 (𝑍 = (𝑝 𝑞) → (((𝑋 𝑌) 𝑍 ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍)) ↔ ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞)))))
7368, 72imbi12d 346 . . . . . 6 (𝑍 = (𝑝 𝑞) → ((𝑍𝑋 → ((𝑋 𝑌) 𝑍 ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍))) ↔ ((𝑝 𝑞) ≠ 𝑋 → ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞))))))
7467, 73syl5ibrcom 248 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → (𝑍 = (𝑝 𝑞) → (𝑍𝑋 → ((𝑋 𝑌) 𝑍 ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍)))))
75743exp 1112 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → ((𝑝𝐴𝑞𝐴) → (𝑝𝑞 → (𝑍 = (𝑝 𝑞) → (𝑍𝑋 → ((𝑋 𝑌) 𝑍 ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍)))))))
7675imp4a 423 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → ((𝑝𝐴𝑞𝐴) → ((𝑝𝑞𝑍 = (𝑝 𝑞)) → (𝑍𝑋 → ((𝑋 𝑌) 𝑍 ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍))))))
7776rexlimdvv 3256 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → (∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑍 = (𝑝 𝑞)) → (𝑍𝑋 → ((𝑋 𝑌) 𝑍 ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍)))))
7811, 13, 77mp2d 49 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → ((𝑋 𝑌) 𝑍 ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 842  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  wrex 3106   class class class wbr 4962  cfv 6225  (class class class)co 7016  Basecbs 16312  lecple 16401  joincjn 17383  meetcmee 17384  Latclat 17484  Atomscatm 35930  HLchlt 36017  LLinesclln 36158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-iin 4828  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-proset 17367  df-poset 17385  df-plt 17397  df-lub 17413  df-glb 17414  df-join 17415  df-meet 17416  df-p0 17478  df-lat 17485  df-clat 17547  df-oposet 35843  df-ol 35845  df-oml 35846  df-covers 35933  df-ats 35934  df-atl 35965  df-cvlat 35989  df-hlat 36018  df-llines 36165  df-psubsp 36170  df-pmap 36171  df-padd 36463
This theorem is referenced by:  llnexch2N  36537  cdleme20l  36989
  Copyright terms: Public domain W3C validator