llnexchb2 - Mathbox for Norm Megill

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Theorem llnexchb2 39253

Description: Line exchange property (compare cvlatexchb2 38718 for atoms). (Contributed by NM, 17-Nov-2012.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
llnexch.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
llnexch.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
llnexch.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
llnexch.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llnexch.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)

**Assertion**
Ref	Expression
llnexchb2	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑍 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ 𝑍)))

Proof of Theorem llnexchb2 Dummy variables 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp23 1205	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝑁)
2		simp1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) → 𝐾 ∈ HL)
3		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		llnexch.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
5	3, 4	llnbase 38893	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑁 → 𝑍 ∈ (Base‘𝐾))
6	1, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) → 𝑍 ∈ (Base‘𝐾))
7		llnexch.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8		llnexch.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9	3, 7, 8, 4	islln3 38894	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑍 ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑍 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
10	2, 6, 9	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) → (𝑍 ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑍 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
11	1, 10	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑍 = (𝑝 ∨ 𝑞)))
12		simp3r 1199	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) → 𝑋 ≠ 𝑍)
13	12	necomd 2990	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) → 𝑍 ≠ 𝑋)
14		simp11 1200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝐾 ∈ HL)
15	14	hllatd 38747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝐾 ∈ Lat)
16		simp2l 1196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝑝 ∈ 𝐴)
17	3, 8	atbase 38672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
19		simp2r 1197	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝑞 ∈ 𝐴)
20	3, 8	atbase 38672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
22		simp121 1302	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝑋 ∈ 𝑁)
23	3, 4	llnbase 38893	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑁 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
25		llnexch.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
26	3, 25, 7	latjle12 18415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑋) ↔ (𝑝 ∨ 𝑞) ≤ 𝑋))
27	15, 18, 21, 24, 26	syl13anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → ((𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑋) ↔ (𝑝 ∨ 𝑞) ≤ 𝑋))
28		simp3 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝑝 ≠ 𝑞)
29	7, 8, 4	llni2 38896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝑁)
30	14, 16, 19, 28, 29	syl31anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝑁)
31	25, 4	llncmp 38906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ≤ 𝑋 ↔ (𝑝 ∨ 𝑞) = 𝑋))
32	14, 30, 22, 31	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ≤ 𝑋 ↔ (𝑝 ∨ 𝑞) = 𝑋))
33	27, 32	bitr2d 280	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → ((𝑝 ∨ 𝑞) = 𝑋 ↔ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑋)))
34	33	necon3abid 2971	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ≠ 𝑋 ↔ ¬ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑋)))
35		ianor 978	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑋) ↔ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∨ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋))
36	34, 35	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ≠ 𝑋 ↔ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∨ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋)))
37		simpl11 1245	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
38	22	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑁)
39		simp122 1303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝑌 ∈ 𝑁)
40	39	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝑁)
41		simpl2l 1223	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋) → 𝑝 ∈ 𝐴)
42		simpl2r 1224	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋) → 𝑞 ∈ 𝐴)
43		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋) → ¬ 𝑝 ≤ 𝑋)
44		simp13l 1285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴)
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴)
46		llnexch.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
47	25, 7, 46, 8, 4	llnexchb2lem 39252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞))))
48	37, 38, 40, 41, 42, 43, 45, 47	syl331anc 1392	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞))))
49	48	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)))))
50		simpl11 1245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
51	22	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑁)
52	39	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝑁)
53		simpl2r 1224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) → 𝑞 ∈ 𝐴)
54		simpl2l 1223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) → 𝑝 ∈ 𝐴)
55		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) → ¬ 𝑞 ≤ 𝑋)
56	44	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴)
57	25, 7, 46, 8, 4	llnexchb2lem 39252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑞 ∨ 𝑝) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑞 ∨ 𝑝))))
58	50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57	syl331anc 1392	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑞 ∨ 𝑝) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑞 ∨ 𝑝))))
59	7, 8	hlatjcom 38751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑝 ∨ 𝑞) = (𝑞 ∨ 𝑝))
60	50, 54, 53, 59	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) → (𝑝 ∨ 𝑞) = (𝑞 ∨ 𝑝))
61	60	breq2d 5153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑞 ∨ 𝑝)))
62	60	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) → (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)) = (𝑋 ∧ (𝑞 ∨ 𝑝)))
63	62	eqeq2d 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑞 ∨ 𝑝))))
64	58, 61, 63	3bitr4d 311	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞))))
65	64	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)))))
66	49, 65	jaod 856	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → ((¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∨ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)))))
67	36, 66	sylbid 239	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ≠ 𝑋 → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)))))
68		neeq1 2997	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 = (𝑝 ∨ 𝑞) → (𝑍 ≠ 𝑋 ↔ (𝑝 ∨ 𝑞) ≠ 𝑋))
69		breq2 5145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 = (𝑝 ∨ 𝑞) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑍 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))
70		oveq2 7413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 = (𝑝 ∨ 𝑞) → (𝑋 ∧ 𝑍) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)))
71	70	eqeq2d 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 = (𝑝 ∨ 𝑞) → ((𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ 𝑍) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞))))
72	69, 71	bibi12d 345	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 = (𝑝 ∨ 𝑞) → (((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑍 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ 𝑍)) ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)))))
73	68, 72	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 = (𝑝 ∨ 𝑞) → ((𝑍 ≠ 𝑋 → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑍 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ 𝑍))) ↔ ((𝑝 ∨ 𝑞) ≠ 𝑋 → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞))))))
74	67, 73	syl5ibrcom 246	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → (𝑍 = (𝑝 ∨ 𝑞) → (𝑍 ≠ 𝑋 → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑍 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ 𝑍)))))
75	74	3exp 1116	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) → ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑝 ≠ 𝑞 → (𝑍 = (𝑝 ∨ 𝑞) → (𝑍 ≠ 𝑋 → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑍 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ 𝑍)))))))
76	75	imp4a 422	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) → ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑍 = (𝑝 ∨ 𝑞)) → (𝑍 ≠ 𝑋 → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑍 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ 𝑍))))))
77	76	rexlimdvv 3204	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑍 = (𝑝 ∨ 𝑞)) → (𝑍 ≠ 𝑋 → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑍 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ 𝑍)))))
78	11, 13, 77	mp2d 49	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑍 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ 𝑍)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 ∨ wo 844 ∧ w3a 1084 = wceq 1533 ∈ wcel 2098 ≠ wne 2934 ∃wrex 3064 class class class wbr 5141 ‘cfv 6537 (class class class)co 7405 Basecbs 17153 lecple 17213 joincjn 18276 meetcmee 18277 Latclat 18396 Atomscatm 38646 HLchlt 38733 LLinesclln 38875

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7722

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-iun 4992 df-iin 4993 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-id 5567 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-proset 18260 df-poset 18278 df-plt 18295 df-lub 18311 df-glb 18312 df-join 18313 df-meet 18314 df-p0 18390 df-lat 18397 df-clat 18464 df-oposet 38559 df-ol 38561 df-oml 38562 df-covers 38649 df-ats 38650 df-atl 38681 df-cvlat 38705 df-hlat 38734 df-llines 38882 df-psubsp 38887 df-pmap 38888 df-padd 39180

This theorem is referenced by: llnexch2N 39254 cdleme20l 39706

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