Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnexchb2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem llnexchb2 38332
Description: Line exchange property (compare cvlatexchb2 37797 for atoms). (Contributed by NM, 17-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llnexch.l = (le‘𝐾)
llnexch.j = (join‘𝐾)
llnexch.m = (meet‘𝐾)
llnexch.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llnexch.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
llnexchb2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → ((𝑋 𝑌) 𝑍 ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍)))

Proof of Theorem llnexchb2
Dummy variables 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp23 1208 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → 𝑍𝑁)
2 simp1 1136 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → 𝐾 ∈ HL)
3 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4 llnexch.n . . . . . 6 𝑁 = (LLines‘𝐾)
53, 4llnbase 37972 . . . . 5 (𝑍𝑁𝑍 ∈ (Base‘𝐾))
61, 5syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → 𝑍 ∈ (Base‘𝐾))
7 llnexch.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
8 llnexch.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
93, 7, 8, 4islln3 37973 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑍𝑁 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑍 = (𝑝 𝑞))))
102, 6, 9syl2anc 584 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → (𝑍𝑁 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑍 = (𝑝 𝑞))))
111, 10mpbid 231 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑍 = (𝑝 𝑞)))
12 simp3r 1202 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → 𝑋𝑍)
1312necomd 2999 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → 𝑍𝑋)
14 simp11 1203 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝐾 ∈ HL)
1514hllatd 37826 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝐾 ∈ Lat)
16 simp2l 1199 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑝𝐴)
173, 8atbase 37751 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝𝐴𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
19 simp2r 1200 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑞𝐴)
203, 8atbase 37751 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞𝐴𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
22 simp121 1305 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑋𝑁)
233, 4llnbase 37972 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
25 llnexch.l . . . . . . . . . . . 12 = (le‘𝐾)
263, 25, 7latjle12 18339 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑝 𝑋𝑞 𝑋) ↔ (𝑝 𝑞) 𝑋))
2715, 18, 21, 24, 26syl13anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → ((𝑝 𝑋𝑞 𝑋) ↔ (𝑝 𝑞) 𝑋))
28 simp3 1138 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑝𝑞)
297, 8, 4llni2 37975 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → (𝑝 𝑞) ∈ 𝑁)
3014, 16, 19, 28, 29syl31anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → (𝑝 𝑞) ∈ 𝑁)
3125, 4llncmp 37985 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 𝑞) ∈ 𝑁𝑋𝑁) → ((𝑝 𝑞) 𝑋 ↔ (𝑝 𝑞) = 𝑋))
3214, 30, 22, 31syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → ((𝑝 𝑞) 𝑋 ↔ (𝑝 𝑞) = 𝑋))
3327, 32bitr2d 279 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → ((𝑝 𝑞) = 𝑋 ↔ (𝑝 𝑋𝑞 𝑋)))
3433necon3abid 2980 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → ((𝑝 𝑞) ≠ 𝑋 ↔ ¬ (𝑝 𝑋𝑞 𝑋)))
35 ianor 980 . . . . . . . 8 (¬ (𝑝 𝑋𝑞 𝑋) ↔ (¬ 𝑝 𝑋 ∨ ¬ 𝑞 𝑋))
3634, 35bitrdi 286 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → ((𝑝 𝑞) ≠ 𝑋 ↔ (¬ 𝑝 𝑋 ∨ ¬ 𝑞 𝑋)))
37 simpl11 1248 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑝 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
3822adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑝 𝑋) → 𝑋𝑁)
39 simp122 1306 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑌𝑁)
4039adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑝 𝑋) → 𝑌𝑁)
41 simpl2l 1226 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑝 𝑋) → 𝑝𝐴)
42 simpl2r 1227 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑝 𝑋) → 𝑞𝐴)
43 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑝 𝑋) → ¬ 𝑝 𝑋)
44 simp13l 1288 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)
4544adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑝 𝑋) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)
46 llnexch.m . . . . . . . . . . 11 = (meet‘𝐾)
4725, 7, 46, 8, 4llnexchb2lem 38331 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑋) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞))))
4837, 38, 40, 41, 42, 43, 45, 47syl331anc 1395 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑝 𝑋) → ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞))))
4948ex 413 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → (¬ 𝑝 𝑋 → ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞)))))
50 simpl11 1248 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
5122adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → 𝑋𝑁)
5239adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → 𝑌𝑁)
53 simpl2r 1227 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → 𝑞𝐴)
54 simpl2l 1226 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → 𝑝𝐴)
55 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → ¬ 𝑞 𝑋)
5644adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)
5725, 7, 46, 8, 4llnexchb2lem 38331 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑞𝐴𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑋) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → ((𝑋 𝑌) (𝑞 𝑝) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑞 𝑝))))
5850, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57syl331anc 1395 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → ((𝑋 𝑌) (𝑞 𝑝) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑞 𝑝))))
597, 8hlatjcom 37830 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) → (𝑝 𝑞) = (𝑞 𝑝))
6050, 54, 53, 59syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → (𝑝 𝑞) = (𝑞 𝑝))
6160breq2d 5117 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) (𝑞 𝑝)))
6260oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → (𝑋 (𝑝 𝑞)) = (𝑋 (𝑞 𝑝)))
6362eqeq2d 2747 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → ((𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞)) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑞 𝑝))))
6458, 61, 633bitr4d 310 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞))))
6564ex 413 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → (¬ 𝑞 𝑋 → ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞)))))
6649, 65jaod 857 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → ((¬ 𝑝 𝑋 ∨ ¬ 𝑞 𝑋) → ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞)))))
6736, 66sylbid 239 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → ((𝑝 𝑞) ≠ 𝑋 → ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞)))))
68 neeq1 3006 . . . . . . 7 (𝑍 = (𝑝 𝑞) → (𝑍𝑋 ↔ (𝑝 𝑞) ≠ 𝑋))
69 breq2 5109 . . . . . . . 8 (𝑍 = (𝑝 𝑞) → ((𝑋 𝑌) 𝑍 ↔ (𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞)))
70 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑍 = (𝑝 𝑞) → (𝑋 𝑍) = (𝑋 (𝑝 𝑞)))
7170eqeq2d 2747 . . . . . . . 8 (𝑍 = (𝑝 𝑞) → ((𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞))))
7269, 71bibi12d 345 . . . . . . 7 (𝑍 = (𝑝 𝑞) → (((𝑋 𝑌) 𝑍 ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍)) ↔ ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞)))))
7368, 72imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑍 = (𝑝 𝑞) → ((𝑍𝑋 → ((𝑋 𝑌) 𝑍 ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍))) ↔ ((𝑝 𝑞) ≠ 𝑋 → ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞))))))
7467, 73syl5ibrcom 246 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → (𝑍 = (𝑝 𝑞) → (𝑍𝑋 → ((𝑋 𝑌) 𝑍 ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍)))))
75743exp 1119 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → ((𝑝𝐴𝑞𝐴) → (𝑝𝑞 → (𝑍 = (𝑝 𝑞) → (𝑍𝑋 → ((𝑋 𝑌) 𝑍 ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍)))))))
7675imp4a 423 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → ((𝑝𝐴𝑞𝐴) → ((𝑝𝑞𝑍 = (𝑝 𝑞)) → (𝑍𝑋 → ((𝑋 𝑌) 𝑍 ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍))))))
7776rexlimdvv 3204 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → (∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑍 = (𝑝 𝑞)) → (𝑍𝑋 → ((𝑋 𝑌) 𝑍 ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍)))))
7811, 13, 77mp2d 49 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → ((𝑋 𝑌) 𝑍 ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  lecple 17140  joincjn 18200  meetcmee 18201  Latclat 18320  Atomscatm 37725  HLchlt 37812  LLinesclln 37954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-lat 18321  df-clat 18388  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813  df-llines 37961  df-psubsp 37966  df-pmap 37967  df-padd 38259
This theorem is referenced by:  llnexch2N  38333  cdleme20l  38785
  Copyright terms: Public domain W3C validator