Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atcvrlln2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atcvrlln2 36186
Description: An atom under a line is covered by it. (Contributed by NM, 2-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atcvrlln2.l = (le‘𝐾)
atcvrlln2.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
atcvrlln2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
atcvrlln2.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atcvrlln2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑋𝑁) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑃𝐶𝑋)

Proof of Theorem atcvrlln2
Dummy variables 𝑟 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 1186 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑋𝑁) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑋𝑁)
2 simpl1 1184 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑋𝑁) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
3 eqid 2795 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4 atcvrlln2.n . . . . . 6 𝑁 = (LLines‘𝐾)
53, 4llnbase 36176 . . . . 5 (𝑋𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
61, 5syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑋𝑁) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
7 eqid 2795 . . . . 5 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
8 atcvrlln2.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
93, 7, 8, 4islln3 36177 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋𝑁 ↔ ∃𝑞𝐴𝑟𝐴 (𝑞𝑟𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟))))
102, 6, 9syl2anc 584 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑋𝑁) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑋𝑁 ↔ ∃𝑞𝐴𝑟𝐴 (𝑞𝑟𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟))))
111, 10mpbid 233 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑋𝑁) ∧ 𝑃 𝑋) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴 (𝑞𝑟𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
12 simp1l1 1259 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑋𝑁) ∧ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (𝑞𝑟𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → 𝐾 ∈ HL)
13 simp1l2 1260 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑋𝑁) ∧ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (𝑞𝑟𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑃𝐴)
14 simp2l 1192 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑋𝑁) ∧ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (𝑞𝑟𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑞𝐴)
15 simp2r 1193 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑋𝑁) ∧ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (𝑞𝑟𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑟𝐴)
16 simp3l 1194 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑋𝑁) ∧ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (𝑞𝑟𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑞𝑟)
17 simp1r 1191 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑋𝑁) ∧ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (𝑞𝑟𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑃 𝑋)
18 simp3r 1195 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑋𝑁) ∧ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (𝑞𝑟𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟))
1917, 18breqtrd 4988 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑋𝑁) ∧ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (𝑞𝑟𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑃 (𝑞(join‘𝐾)𝑟))
20 atcvrlln2.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
21 atcvrlln2.c . . . . . . 7 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
2220, 7, 21, 8atcvrj2 36100 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (𝑞𝑟𝑃 (𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑃𝐶(𝑞(join‘𝐾)𝑟))
2312, 13, 14, 15, 16, 19, 22syl132anc 1381 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑋𝑁) ∧ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (𝑞𝑟𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑃𝐶(𝑞(join‘𝐾)𝑟))
2423, 18breqtrrd 4990 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑋𝑁) ∧ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (𝑞𝑟𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑃𝐶𝑋)
25243exp 1112 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑋𝑁) ∧ 𝑃 𝑋) → ((𝑞𝐴𝑟𝐴) → ((𝑞𝑟𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → 𝑃𝐶𝑋)))
2625rexlimdvv 3256 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑋𝑁) ∧ 𝑃 𝑋) → (∃𝑞𝐴𝑟𝐴 (𝑞𝑟𝑋 = (𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → 𝑃𝐶𝑋))
2711, 26mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑋𝑁) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑃𝐶𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  wrex 3106   class class class wbr 4962  cfv 6225  (class class class)co 7016  Basecbs 16312  lecple 16401  joincjn 17383  ccvr 35929  Atomscatm 35930  HLchlt 36017  LLinesclln 36158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-proset 17367  df-poset 17385  df-plt 17397  df-lub 17413  df-glb 17414  df-join 17415  df-meet 17416  df-p0 17478  df-lat 17485  df-clat 17547  df-oposet 35843  df-ol 35845  df-oml 35846  df-covers 35933  df-ats 35934  df-atl 35965  df-cvlat 35989  df-hlat 36018  df-llines 36165
This theorem is referenced by:  llnexatN  36188  llncmp  36189  2llnmat  36191  2llnmj  36227
  Copyright terms: Public domain W3C validator