Theorem lnopconi 32501

Description: A condition equivalent to "𝑇 is continuous" when 𝑇 is linear. Theorem 3.5(iii) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
lnopcon.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp

Assertion

Ref	Expression
lnopconi	⊢ (𝑇 ∈ ContOp ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem lnopconi

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnopcon.1	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
2		nmcopex 32496	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑇 ∈ ContOp) → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan 703	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ ContOp → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
4		nmcoplb 32497	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑇 ∈ ContOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)))
5	1, 4	mp3an1 1477	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ ContOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)))
6	1	lnopfi 32436	. . 3 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
7		elcnop 32324	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ ContOp ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑦 → (normℎ‘((𝑇‘𝑤) −ℎ (𝑇‘𝑥))) < 𝑧)))
8	6, 7	mpbiran 722	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ ContOp ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑦 → (normℎ‘((𝑇‘𝑤) −ℎ (𝑇‘𝑥))) < 𝑧))
9	6	ffvelcdmi 7079	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
10		normcl 31592	. . 3 ⊢ ((𝑇‘𝑦) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ∈ ℝ)
11	9, 10	syl 18	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ∈ ℝ)
12	1	lnopsubi 32441	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) = ((𝑇‘𝑤) −ℎ (𝑇‘𝑥)))
13	3, 5, 8, 11, 12	lnconi 32500	1 ⊢ (𝑇 ∈ ContOp ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   class class class wbr 5107  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℝcr 11126   · cmul 11132   < clt 11270   ≤ cle 11271  ℝ⁺crp 13044   ℋchba 31386  norm_ℎcno 31390   −_ℎ cmv 31392  norm_opcnop 31412  ContOpccop 31413  LinOpclo 31414

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-hilex 31466  ax-hfvadd 31467  ax-hvcom 31468  ax-hvass 31469  ax-hv0cl 31470  ax-hvaddid 31471  ax-hfvmul 31472  ax-hvmulid 31473  ax-hvmulass 31474  ax-hvdistr1 31475  ax-hvdistr2 31476  ax-hvmul0 31477  ax-hfi 31546  ax-his1 31549  ax-his2 31550  ax-his3 31551  ax-his4 31552

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-seq 14068  df-exp 14128  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-grpo 30960  df-gid 30961  df-ablo 31012  df-vc 31026  df-nv 31059  df-va 31062  df-ba 31063  df-sm 31064  df-0v 31065  df-nmcv 31067  df-hnorm 31435  df-hba 31436  df-hvsub 31438  df-nmop 32306  df-cnop 32307  df-lnop 32308  df-unop 32310

This theorem is used by:  lnopcon  32502  cnlnadjlem8  32541