HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopconi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnopconi 31916
Description: A condition equivalent to "𝑇 is continuous" when 𝑇 is linear. Theorem 3.5(iii) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnopcon.1 𝑇 ∈ LinOp
Assertion
Ref Expression
lnopconi (𝑇 ∈ ContOp ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (norm‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (norm𝑦)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem lnopconi
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopcon.1 . . 3 𝑇 ∈ LinOp
2 nmcopex 31911 . . 3 ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑇 ∈ ContOp) → (normop𝑇) ∈ ℝ)
31, 2mpan 688 . 2 (𝑇 ∈ ContOp → (normop𝑇) ∈ ℝ)
4 nmcoplb 31912 . . 3 ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑇 ∈ ContOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑇𝑦)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝑦)))
51, 4mp3an1 1444 . 2 ((𝑇 ∈ ContOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑇𝑦)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝑦)))
61lnopfi 31851 . . 3 𝑇: ℋ⟶ ℋ
7 elcnop 31739 . . 3 (𝑇 ∈ ContOp ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑦 → (norm‘((𝑇𝑤) − (𝑇𝑥))) < 𝑧)))
86, 7mpbiran 707 . 2 (𝑇 ∈ ContOp ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑦 → (norm‘((𝑇𝑤) − (𝑇𝑥))) < 𝑧))
96ffvelcdmi 7092 . . 3 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑇𝑦) ∈ ℋ)
10 normcl 31007 . . 3 ((𝑇𝑦) ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑦)) ∈ ℝ)
119, 10syl 17 . 2 (𝑦 ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑦)) ∈ ℝ)
121lnopsubi 31856 . 2 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑤 𝑥)) = ((𝑇𝑤) − (𝑇𝑥)))
133, 5, 8, 11, 12lnconi 31915 1 (𝑇 ∈ ContOp ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (norm‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (norm𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wcel 2098  wral 3050  wrex 3059   class class class wbr 5149  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  cr 11139   · cmul 11145   < clt 11280  cle 11281  +crp 13009  chba 30801  normcno 30805   cmv 30807  normopcnop 30827  ContOpccop 30828  LinOpclo 30829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-hilex 30881  ax-hfvadd 30882  ax-hvcom 30883  ax-hvass 30884  ax-hv0cl 30885  ax-hvaddid 30886  ax-hfvmul 30887  ax-hvmulid 30888  ax-hvmulass 30889  ax-hvdistr1 30890  ax-hvdistr2 30891  ax-hvmul0 30892  ax-hfi 30961  ax-his1 30964  ax-his2 30965  ax-his3 30966  ax-his4 30967
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-grpo 30375  df-gid 30376  df-ablo 30427  df-vc 30441  df-nv 30474  df-va 30477  df-ba 30478  df-sm 30479  df-0v 30480  df-nmcv 30482  df-hnorm 30850  df-hba 30851  df-hvsub 30853  df-nmop 31721  df-cnop 31722  df-lnop 31723  df-unop 31725
This theorem is referenced by:  lnopcon  31917  cnlnadjlem8  31956
  Copyright terms: Public domain W3C validator