HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopconi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnopconi 31025
Description: A condition equivalent to "๐‘‡ is continuous" when ๐‘‡ is linear. Theorem 3.5(iii) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnopcon.1 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
Assertion
Ref Expression
lnopconi (๐‘‡ โˆˆ ContOp โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฅ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘‡

Proof of Theorem lnopconi
Dummy variables ๐‘ค ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopcon.1 . . 3 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
2 nmcopex 31020 . . 3 ((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡ โˆˆ ContOp) โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„)
31, 2mpan 689 . 2 (๐‘‡ โˆˆ ContOp โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„)
4 nmcoplb 31021 . . 3 ((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡ โˆˆ ContOp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)))
51, 4mp3an1 1449 . 2 ((๐‘‡ โˆˆ ContOp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)))
61lnopfi 30960 . . 3 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
7 elcnop 30848 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ ContOp โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ)) < ๐‘ฆ โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘ค) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) < ๐‘ง)))
86, 7mpbiran 708 . 2 (๐‘‡ โˆˆ ContOp โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ)) < ๐‘ฆ โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘ค) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) < ๐‘ง))
96ffvelcdmi 7038 . . 3 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
10 normcl 30116 . . 3 ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)
119, 10syl 17 . 2 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)
121lnopsubi 30965 . 2 ((๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ค) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
133, 5, 8, 11, 12lnconi 31024 1 (๐‘‡ โˆˆ ContOp โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฅ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070   class class class wbr 5109  โŸถwf 6496  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„cr 11058   ยท cmul 11064   < clt 11197   โ‰ค cle 11198  โ„+crp 12923   โ„‹chba 29910  normโ„Žcno 29914   โˆ’โ„Ž cmv 29916  normopcnop 29936  ContOpccop 29937  LinOpclo 29938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-hilex 29990  ax-hfvadd 29991  ax-hvcom 29992  ax-hvass 29993  ax-hv0cl 29994  ax-hvaddid 29995  ax-hfvmul 29996  ax-hvmulid 29997  ax-hvmulass 29998  ax-hvdistr1 29999  ax-hvdistr2 30000  ax-hvmul0 30001  ax-hfi 30070  ax-his1 30073  ax-his2 30074  ax-his3 30075  ax-his4 30076
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-grpo 29484  df-gid 29485  df-ablo 29536  df-vc 29550  df-nv 29583  df-va 29586  df-ba 29587  df-sm 29588  df-0v 29589  df-nmcv 29591  df-hnorm 29959  df-hba 29960  df-hvsub 29962  df-nmop 30830  df-cnop 30831  df-lnop 30832  df-unop 30834
This theorem is referenced by:  lnopcon  31026  cnlnadjlem8  31065
  Copyright terms: Public domain W3C validator