Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopconi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnopconi 29444
 Description: A condition equivalent to "𝑇 is continuous" when 𝑇 is linear. Theorem 3.5(iii) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnopcon.1 𝑇 ∈ LinOp
Assertion
Ref Expression
lnopconi (𝑇 ∈ ContOp ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (norm‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (norm𝑦)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem lnopconi
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopcon.1 . . 3 𝑇 ∈ LinOp
2 nmcopex 29439 . . 3 ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑇 ∈ ContOp) → (normop𝑇) ∈ ℝ)
31, 2mpan 681 . 2 (𝑇 ∈ ContOp → (normop𝑇) ∈ ℝ)
4 nmcoplb 29440 . . 3 ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑇 ∈ ContOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑇𝑦)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝑦)))
51, 4mp3an1 1576 . 2 ((𝑇 ∈ ContOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑇𝑦)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝑦)))
61lnopfi 29379 . . 3 𝑇: ℋ⟶ ℋ
7 elcnop 29267 . . 3 (𝑇 ∈ ContOp ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑦 → (norm‘((𝑇𝑤) − (𝑇𝑥))) < 𝑧)))
86, 7mpbiran 700 . 2 (𝑇 ∈ ContOp ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑦 → (norm‘((𝑇𝑤) − (𝑇𝑥))) < 𝑧))
96ffvelrni 6612 . . 3 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑇𝑦) ∈ ℋ)
10 normcl 28533 . . 3 ((𝑇𝑦) ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑦)) ∈ ℝ)
119, 10syl 17 . 2 (𝑦 ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑦)) ∈ ℝ)
121lnopsubi 29384 . 2 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑤 𝑥)) = ((𝑇𝑤) − (𝑇𝑥)))
133, 5, 8, 11, 12lnconi 29443 1 (𝑇 ∈ ContOp ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (norm‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (norm𝑦)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∈ wcel 2164  ∀wral 3117  ∃wrex 3118   class class class wbr 4875  ⟶wf 6123  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  ℝcr 10258   · cmul 10264   < clt 10398   ≤ cle 10399  ℝ+crp 12119   ℋchba 28327  normℎcno 28331   −ℎ cmv 28333  normopcnop 28353  ContOpccop 28354  LinOpclo 28355 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-hilex 28407  ax-hfvadd 28408  ax-hvcom 28409  ax-hvass 28410  ax-hv0cl 28411  ax-hvaddid 28412  ax-hfvmul 28413  ax-hvmulid 28414  ax-hvmulass 28415  ax-hvdistr1 28416  ax-hvdistr2 28417  ax-hvmul0 28418  ax-hfi 28487  ax-his1 28490  ax-his2 28491  ax-his3 28492  ax-his4 28493 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-sup 8623  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-rp 12120  df-seq 13103  df-exp 13162  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-grpo 27899  df-gid 27900  df-ablo 27951  df-vc 27965  df-nv 27998  df-va 28001  df-ba 28002  df-sm 28003  df-0v 28004  df-nmcv 28006  df-hnorm 28376  df-hba 28377  df-hvsub 28379  df-nmop 29249  df-cnop 29250  df-lnop 29251  df-unop 29253 This theorem is referenced by:  lnopcon  29445  cnlnadjlem8  29484
 Copyright terms: Public domain W3C validator