Theorem lnopeq0i 30949

Description: A condition implying that a linear Hilbert space operator is identically zero. Unlike ho01i 30770 for arbitrary operators, when the operator is linear we need to consider only the values of the quadratic form (𝑇‘𝑥) ·_ih 𝑥). (Contributed by NM, 26-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
lnopeq0.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp

Assertion

Ref	Expression
lnopeq0i	⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ↔ 𝑇 = 0hop )

Distinct variable group:   𝑥,𝑇

Proof of Theorem lnopeq0i

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnopeq0.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
2	1	lnopeq0lem2 30948	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑧) = (((((𝑇‘(𝑦 +ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 +ℎ 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 −ℎ 𝑧))) + (i · (((𝑇‘(𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)))))) / 4))
3	2	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑧) = (((((𝑇‘(𝑦 +ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 +ℎ 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 −ℎ 𝑧))) + (i · (((𝑇‘(𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)))))) / 4))
4		hvaddcl 29954	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
5		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘(𝑦 +ℎ 𝑧)))
6		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
7	5, 6	oveq12d 7375	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘(𝑦 +ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 +ℎ 𝑧)))
8	7	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ↔ ((𝑇‘(𝑦 +ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 +ℎ 𝑧)) = 0))
9	8	rspccva 3580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝑦 +ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 +ℎ 𝑧)) = 0)
10	4, 9	sylan2 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(𝑦 +ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 +ℎ 𝑧)) = 0)
11		hvsubcl 29959	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 −ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
12		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝑦 −ℎ 𝑧) → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘(𝑦 −ℎ 𝑧)))
13		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝑦 −ℎ 𝑧) → 𝑥 = (𝑦 −ℎ 𝑧))
14	12, 13	oveq12d 7375	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑦 −ℎ 𝑧) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘(𝑦 −ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 −ℎ 𝑧)))
15	14	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑦 −ℎ 𝑧) → (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ↔ ((𝑇‘(𝑦 −ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 −ℎ 𝑧)) = 0))
16	15	rspccva 3580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 −ℎ 𝑧) ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝑦 −ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 −ℎ 𝑧)) = 0)
17	11, 16	sylan2 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(𝑦 −ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 −ℎ 𝑧)) = 0)
18	10, 17	oveq12d 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((𝑇‘(𝑦 +ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 +ℎ 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 −ℎ 𝑧))) = (0 − 0))
19		0m0e0 12273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 − 0) = 0
20	18, 19	eqtrdi 2792	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((𝑇‘(𝑦 +ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 +ℎ 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 −ℎ 𝑧))) = 0)
21		ax-icn 11110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ i ∈ ℂ
22		hvmulcl 29955	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (i ·ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
23	21, 22	mpan 688	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (i ·ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
24		hvaddcl 29954	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (i ·ℎ 𝑧) ∈ ℋ) → (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧)) ∈ ℋ)
25	23, 24	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧)) ∈ ℋ)
26		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧)) → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘(𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))))
27		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧)) → 𝑥 = (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧)))
28	26, 27	oveq12d 7375	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧)) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘(𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))))
29	28	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧)) → (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ↔ ((𝑇‘(𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) = 0))
30	29	rspccva 3580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧)) ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) = 0)
31	25, 30	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) = 0)
32		hvsubcl 29959	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (i ·ℎ 𝑧) ∈ ℋ) → (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)) ∈ ℋ)
33	23, 32	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)) ∈ ℋ)
34		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)) → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘(𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))))
35		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)) → 𝑥 = (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)))
36	34, 35	oveq12d 7375	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘(𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))))
37	36	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)) → (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ↔ ((𝑇‘(𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) = 0))
38	37	rspccva 3580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)) ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) = 0)
39	33, 38	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) = 0)
40	31, 39	oveq12d 7375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((𝑇‘(𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)))) = (0 − 0))
41	40, 19	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((𝑇‘(𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)))) = 0)
42	41	oveq2d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (i · (((𝑇‘(𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))))) = (i · 0))
43		it0e0 12375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i · 0) = 0
44	42, 43	eqtrdi 2792	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (i · (((𝑇‘(𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))))) = 0)
45	20, 44	oveq12d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((((𝑇‘(𝑦 +ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 +ℎ 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 −ℎ 𝑧))) + (i · (((𝑇‘(𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)))))) = (0 + 0))
46		00id 11330	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 0) = 0
47	45, 46	eqtrdi 2792	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((((𝑇‘(𝑦 +ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 +ℎ 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 −ℎ 𝑧))) + (i · (((𝑇‘(𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)))))) = 0)
48	47	oveq1d 7372	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((((𝑇‘(𝑦 +ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 +ℎ 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 −ℎ 𝑧))) + (i · (((𝑇‘(𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)))))) / 4) = (0 / 4))
49		4cn 12238	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
50		4ne0 12261	. . . . . . 7 ⊢ 4 ≠ 0
51	49, 50	div0i 11889	. . . . . 6 ⊢ (0 / 4) = 0
52	48, 51	eqtrdi 2792	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((((𝑇‘(𝑦 +ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 +ℎ 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 −ℎ 𝑧))) + (i · (((𝑇‘(𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)))))) / 4) = 0)
53	3, 52	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑧) = 0)
54	53	ralrimivva 3197	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 → ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑧) = 0)
55	1	lnopfi 30911	. . . 4 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
56	55	ho01i 30770	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑧) = 0 ↔ 𝑇 = 0hop )
57	54, 56	sylib 217	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 → 𝑇 = 0hop )
58		fveq1 6841	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = 0hop → (𝑇‘𝑥) = ( 0hop ‘𝑥))
59		ho0val 30692	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ( 0hop ‘𝑥) = 0ℎ)
60	58, 59	sylan9eq 2796	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 = 0hop ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) = 0ℎ)
61	60	oveq1d 7372	. . . 4 ⊢ ((𝑇 = 0hop ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = (0ℎ ·ih 𝑥))
62		hi01 30038	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (0ℎ ·ih 𝑥) = 0)
63	62	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑇 = 0hop ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (0ℎ ·ih 𝑥) = 0)
64	61, 63	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝑇 = 0hop ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0)
65	64	ralrimiva 3143	. 2 ⊢ (𝑇 = 0hop → ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0)
66	57, 65	impbii 208	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ↔ 𝑇 = 0hop )

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  0cc0 11051  ici 11053   + caddc 11054   · cmul 11056   − cmin 11385   / cdiv 11812  4c4 12210   ℋchba 29861   +_ℎ cva 29862   ·_ℎ csm 29863   ·_ih csp 29864  0_ℎc0v 29866   −_ℎ cmv 29867   0_hop ch0o 29885  LinOpclo 29889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131  ax-hilex 29941  ax-hfvadd 29942  ax-hvcom 29943  ax-hvass 29944  ax-hv0cl 29945  ax-hvaddid 29946  ax-hfvmul 29947  ax-hvmulid 29948  ax-hvmulass 29949  ax-hvdistr1 29950  ax-hvdistr2 29951  ax-hvmul0 29952  ax-hfi 30021  ax-his1 30024  ax-his2 30025  ax-his3 30026  ax-his4 30027  ax-hcompl 30144

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-lm 22580  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cfil 24619  df-cau 24620  df-cmet 24621  df-grpo 29435  df-gid 29436  df-ginv 29437  df-gdiv 29438  df-ablo 29487  df-vc 29501  df-nv 29534  df-va 29537  df-ba 29538  df-sm 29539  df-0v 29540  df-vs 29541  df-nmcv 29542  df-ims 29543  df-dip 29643  df-ssp 29664  df-ph 29755  df-cbn 29805  df-hnorm 29910  df-hba 29911  df-hvsub 29913  df-hlim 29914  df-hcau 29915  df-sh 30149  df-ch 30163  df-oc 30194  df-ch0 30195  df-shs 30250  df-pjh 30337  df-h0op 30690  df-lnop 30783

This theorem is referenced by:  lnopeqi  30950