Theorem lnopeq0i 31894

Description: A condition implying that a linear Hilbert space operator is identically zero. Unlike ho01i 31715 for arbitrary operators, when the operator is linear we need to consider only the values of the quadratic form (𝑇‘𝑥) ·_ih 𝑥). (Contributed by NM, 26-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
lnopeq0.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp

Assertion

Ref	Expression
lnopeq0i	⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ↔ 𝑇 = 0hop )

Distinct variable group:   𝑥,𝑇

Proof of Theorem lnopeq0i

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnopeq0.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
2	1	lnopeq0lem2 31893	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑧) = (((((𝑇‘(𝑦 +ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 +ℎ 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 −ℎ 𝑧))) + (i · (((𝑇‘(𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)))))) / 4))
3	2	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑧) = (((((𝑇‘(𝑦 +ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 +ℎ 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 −ℎ 𝑧))) + (i · (((𝑇‘(𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)))))) / 4))
4		hvaddcl 30899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
5		fveq2 6896	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘(𝑦 +ℎ 𝑧)))
6		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
7	5, 6	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘(𝑦 +ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 +ℎ 𝑧)))
8	7	eqeq1d 2727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ↔ ((𝑇‘(𝑦 +ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 +ℎ 𝑧)) = 0))
9	8	rspccva 3605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝑦 +ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 +ℎ 𝑧)) = 0)
10	4, 9	sylan2 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(𝑦 +ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 +ℎ 𝑧)) = 0)
11		hvsubcl 30904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 −ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
12		fveq2 6896	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝑦 −ℎ 𝑧) → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘(𝑦 −ℎ 𝑧)))
13		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝑦 −ℎ 𝑧) → 𝑥 = (𝑦 −ℎ 𝑧))
14	12, 13	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑦 −ℎ 𝑧) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘(𝑦 −ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 −ℎ 𝑧)))
15	14	eqeq1d 2727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑦 −ℎ 𝑧) → (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ↔ ((𝑇‘(𝑦 −ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 −ℎ 𝑧)) = 0))
16	15	rspccva 3605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 −ℎ 𝑧) ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝑦 −ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 −ℎ 𝑧)) = 0)
17	11, 16	sylan2 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(𝑦 −ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 −ℎ 𝑧)) = 0)
18	10, 17	oveq12d 7437	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((𝑇‘(𝑦 +ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 +ℎ 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 −ℎ 𝑧))) = (0 − 0))
19		0m0e0 12370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 − 0) = 0
20	18, 19	eqtrdi 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((𝑇‘(𝑦 +ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 +ℎ 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 −ℎ 𝑧))) = 0)
21		ax-icn 11204	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ i ∈ ℂ
22		hvmulcl 30900	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (i ·ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
23	21, 22	mpan 688	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (i ·ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
24		hvaddcl 30899	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (i ·ℎ 𝑧) ∈ ℋ) → (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧)) ∈ ℋ)
25	23, 24	sylan2 591	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧)) ∈ ℋ)
26		fveq2 6896	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧)) → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘(𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))))
27		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧)) → 𝑥 = (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧)))
28	26, 27	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧)) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘(𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))))
29	28	eqeq1d 2727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧)) → (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ↔ ((𝑇‘(𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) = 0))
30	29	rspccva 3605	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧)) ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) = 0)
31	25, 30	sylan2 591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) = 0)
32		hvsubcl 30904	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (i ·ℎ 𝑧) ∈ ℋ) → (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)) ∈ ℋ)
33	23, 32	sylan2 591	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)) ∈ ℋ)
34		fveq2 6896	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)) → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘(𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))))
35		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)) → 𝑥 = (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)))
36	34, 35	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘(𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))))
37	36	eqeq1d 2727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)) → (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ↔ ((𝑇‘(𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) = 0))
38	37	rspccva 3605	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)) ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) = 0)
39	33, 38	sylan2 591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) = 0)
40	31, 39	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((𝑇‘(𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)))) = (0 − 0))
41	40, 19	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((𝑇‘(𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)))) = 0)
42	41	oveq2d 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (i · (((𝑇‘(𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))))) = (i · 0))
43		it0e0 12472	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i · 0) = 0
44	42, 43	eqtrdi 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (i · (((𝑇‘(𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))))) = 0)
45	20, 44	oveq12d 7437	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((((𝑇‘(𝑦 +ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 +ℎ 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 −ℎ 𝑧))) + (i · (((𝑇‘(𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)))))) = (0 + 0))
46		00id 11426	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 0) = 0
47	45, 46	eqtrdi 2781	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((((𝑇‘(𝑦 +ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 +ℎ 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 −ℎ 𝑧))) + (i · (((𝑇‘(𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)))))) = 0)
48	47	oveq1d 7434	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((((𝑇‘(𝑦 +ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 +ℎ 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 −ℎ 𝑧))) + (i · (((𝑇‘(𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)))))) / 4) = (0 / 4))
49		4cn 12335	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
50		4ne0 12358	. . . . . . 7 ⊢ 4 ≠ 0
51	49, 50	div0i 11986	. . . . . 6 ⊢ (0 / 4) = 0
52	48, 51	eqtrdi 2781	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((((𝑇‘(𝑦 +ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 +ℎ 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 −ℎ 𝑧))) + (i · (((𝑇‘(𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)))))) / 4) = 0)
53	3, 52	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑧) = 0)
54	53	ralrimivva 3190	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 → ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑧) = 0)
55	1	lnopfi 31856	. . . 4 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
56	55	ho01i 31715	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑧) = 0 ↔ 𝑇 = 0hop )
57	54, 56	sylib 217	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 → 𝑇 = 0hop )
58		fveq1 6895	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = 0hop → (𝑇‘𝑥) = ( 0hop ‘𝑥))
59		ho0val 31637	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ( 0hop ‘𝑥) = 0ℎ)
60	58, 59	sylan9eq 2785	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 = 0hop ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) = 0ℎ)
61	60	oveq1d 7434	. . . 4 ⊢ ((𝑇 = 0hop ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = (0ℎ ·ih 𝑥))
62		hi01 30983	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (0ℎ ·ih 𝑥) = 0)
63	62	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝑇 = 0hop ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (0ℎ ·ih 𝑥) = 0)
64	61, 63	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ ((𝑇 = 0hop ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0)
65	64	ralrimiva 3135	. 2 ⊢ (𝑇 = 0hop → ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0)
66	57, 65	impbii 208	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ↔ 𝑇 = 0hop )

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3050  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  ℂcc 11143  0cc0 11145  ici 11147   + caddc 11148   · cmul 11150   − cmin 11481   / cdiv 11908  4c4 12307   ℋchba 30806   +_ℎ cva 30807   ·_ℎ csm 30808   ·_ih csp 30809  0_ℎc0v 30811   −_ℎ cmv 30812   0_hop ch0o 30830  LinOpclo 30834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9671  ax-cc 10465  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-pre-sup 11223  ax-addf 11224  ax-mulf 11225  ax-hilex 30886  ax-hfvadd 30887  ax-hvcom 30888  ax-hvass 30889  ax-hv0cl 30890  ax-hvaddid 30891  ax-hfvmul 30892  ax-hvmulid 30893  ax-hvmulass 30894  ax-hvdistr1 30895  ax-hvdistr2 30896  ax-hvmul0 30897  ax-hfi 30966  ax-his1 30969  ax-his2 30970  ax-his3 30971  ax-his4 30972  ax-hcompl 31089

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9393  df-fi 9441  df-sup 9472  df-inf 9473  df-oi 9540  df-card 9969  df-acn 9972  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13798  df-seq 14008  df-exp 14068  df-hash 14331  df-cj 15087  df-re 15088  df-im 15089  df-sqrt 15223  df-abs 15224  df-clim 15473  df-rlim 15474  df-sum 15674  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17189  df-ress 17218  df-plusg 17254  df-mulr 17255  df-starv 17256  df-sca 17257  df-vsca 17258  df-ip 17259  df-tset 17260  df-ple 17261  df-ds 17263  df-unif 17264  df-hom 17265  df-cco 17266  df-rest 17412  df-topn 17413  df-0g 17431  df-gsum 17432  df-topgen 17433  df-pt 17434  df-prds 17437  df-xrs 17492  df-qtop 17497  df-imas 17498  df-xps 17500  df-mre 17574  df-mrc 17575  df-acs 17577  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18749  df-mulg 19037  df-cntz 19285  df-cmn 19754  df-psmet 21293  df-xmet 21294  df-met 21295  df-bl 21296  df-mopn 21297  df-fbas 21298  df-fg 21299  df-cnfld 21302  df-top 22845  df-topon 22862  df-topsp 22884  df-bases 22898  df-cld 22972  df-ntr 22973  df-cls 22974  df-nei 23051  df-cn 23180  df-cnp 23181  df-lm 23182  df-haus 23268  df-tx 23515  df-hmeo 23708  df-fil 23799  df-fm 23891  df-flim 23892  df-flf 23893  df-xms 24275  df-ms 24276  df-tms 24277  df-cfil 25232  df-cau 25233  df-cmet 25234  df-grpo 30380  df-gid 30381  df-ginv 30382  df-gdiv 30383  df-ablo 30432  df-vc 30446  df-nv 30479  df-va 30482  df-ba 30483  df-sm 30484  df-0v 30485  df-vs 30486  df-nmcv 30487  df-ims 30488  df-dip 30588  df-ssp 30609  df-ph 30700  df-cbn 30750  df-hnorm 30855  df-hba 30856  df-hvsub 30858  df-hlim 30859  df-hcau 30860  df-sh 31094  df-ch 31108  df-oc 31139  df-ch0 31140  df-shs 31195  df-pjh 31282  df-h0op 31635  df-lnop 31728

This theorem is referenced by:  lnopeqi  31895