HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopeq0i Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lnopeq0i 31769
Description: A condition implying that a linear Hilbert space operator is identically zero. Unlike ho01i 31590 for arbitrary operators, when the operator is linear we need to consider only the values of the quadratic form (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ). (Contributed by NM, 26-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnopeq0.1 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
Assertion
Ref Expression
lnopeq0i (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†” ๐‘‡ = 0hop )
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘‡
Proof of Theorem lnopeq0i
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopeq0.1 . . . . . . 7 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
21lnopeq0lem2 31768 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = (((((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) + (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))))) / 4))
32adantl 481 . . . . 5 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = (((((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) + (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))))) / 4))
4 hvaddcl 30774 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
5 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)))
6 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง) โ†’ ๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง))
75, 6oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)))
87eqeq1d 2728 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†” ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) = 0))
98rspccva 3605 . . . . . . . . . . . 12 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) = 0)
104, 9sylan2 592 . . . . . . . . . . 11 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) = 0)
11 hvsubcl 30779 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
12 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)))
13 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง) โ†’ ๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))
1412, 13oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)))
1514eqeq1d 2728 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†” ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) = 0))
1615rspccva 3605 . . . . . . . . . . . 12 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) = 0)
1711, 16sylan2 592 . . . . . . . . . . 11 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) = 0)
1810, 17oveq12d 7423 . . . . . . . . . 10 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) = (0 โˆ’ 0))
19 0m0e0 12336 . . . . . . . . . 10 (0 โˆ’ 0) = 0
2018, 19eqtrdi 2782 . . . . . . . . 9 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) = 0)
21 ax-icn 11171 . . . . . . . . . . . . . . . 16 i โˆˆ โ„‚
22 hvmulcl 30775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (i ยทโ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
2321, 22mpan 687 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ (i ยทโ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
24 hvaddcl 30774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง (i ยทโ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
2523, 24sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
26 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))))
27 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โ†’ ๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))
2826, 27oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))))
2928eqeq1d 2728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†” ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) = 0))
3029rspccva 3605 . . . . . . . . . . . . . 14 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) = 0)
3125, 30sylan2 592 . . . . . . . . . . . . 13 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) = 0)
32 hvsubcl 30779 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง (i ยทโ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
3323, 32sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
34 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))))
35 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โ†’ ๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))
3634, 35oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))))
3736eqeq1d 2728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†” ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) = 0))
3837rspccva 3605 . . . . . . . . . . . . . 14 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) = 0)
3933, 38sylan2 592 . . . . . . . . . . . . 13 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) = 0)
4031, 39oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . 12 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))) = (0 โˆ’ 0))
4140, 19eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . 11 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))) = 0)
4241oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))))) = (i ยท 0))
43 it0e0 12438 . . . . . . . . . 10 (i ยท 0) = 0
4442, 43eqtrdi 2782 . . . . . . . . 9 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))))) = 0)
4520, 44oveq12d 7423 . . . . . . . 8 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) + (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))))) = (0 + 0))
46 00id 11393 . . . . . . . 8 (0 + 0) = 0
4745, 46eqtrdi 2782 . . . . . . 7 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) + (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))))) = 0)
4847oveq1d 7420 . . . . . 6 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) + (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))))) / 4) = (0 / 4))
49 4cn 12301 . . . . . . 7 4 โˆˆ โ„‚
50 4ne0 12324 . . . . . . 7 4 โ‰  0
5149, 50div0i 11952 . . . . . 6 (0 / 4) = 0
5248, 51eqtrdi 2782 . . . . 5 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) + (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))))) / 4) = 0)
533, 52eqtrd 2766 . . . 4 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0)
5453ralrimivva 3194 . . 3 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0)
551lnopfi 31731 . . . 4 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
5655ho01i 31590 . . 3 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0 โ†” ๐‘‡ = 0hop )
5754, 56sylib 217 . 2 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†’ ๐‘‡ = 0hop )
58 fveq1 6884 . . . . . 6 (๐‘‡ = 0hop โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = ( 0hop โ€˜๐‘ฅ))
59 ho0val 31512 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ( 0hop โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž)
6058, 59sylan9eq 2786 . . . . 5 ((๐‘‡ = 0hop โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž)
6160oveq1d 7420 . . . 4 ((๐‘‡ = 0hop โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = (0โ„Ž ยทih ๐‘ฅ))
62 hi01 30858 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (0โ„Ž ยทih ๐‘ฅ) = 0)
6362adantl 481 . . . 4 ((๐‘‡ = 0hop โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (0โ„Ž ยทih ๐‘ฅ) = 0)
6461, 63eqtrd 2766 . . 3 ((๐‘‡ = 0hop โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0)
6564ralrimiva 3140 . 2 (๐‘‡ = 0hop โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0)
6657, 65impbii 208 1 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†” ๐‘‡ = 0hop )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  ici 11114   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  4c4 12273   โ„‹chba 30681   +โ„Ž cva 30682   ยทโ„Ž csm 30683   ยทih csp 30684  0โ„Žc0v 30686   โˆ’โ„Ž cmv 30687   0hop ch0o 30705  LinOpclo 30709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192  ax-hilex 30761  ax-hfvadd 30762  ax-hvcom 30763  ax-hvass 30764  ax-hv0cl 30765  ax-hvaddid 30766  ax-hfvmul 30767  ax-hvmulid 30768  ax-hvmulass 30769  ax-hvdistr1 30770  ax-hvdistr2 30771  ax-hvmul0 30772  ax-hfi 30841  ax-his1 30844  ax-his2 30845  ax-his3 30846  ax-his4 30847  ax-hcompl 30964
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-lm 23088  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cfil 25138  df-cau 25139  df-cmet 25140  df-grpo 30255  df-gid 30256  df-ginv 30257  df-gdiv 30258  df-ablo 30307  df-vc 30321  df-nv 30354  df-va 30357  df-ba 30358  df-sm 30359  df-0v 30360  df-vs 30361  df-nmcv 30362  df-ims 30363  df-dip 30463  df-ssp 30484  df-ph 30575  df-cbn 30625  df-hnorm 30730  df-hba 30731  df-hvsub 30733  df-hlim 30734  df-hcau 30735  df-sh 30969  df-ch 30983  df-oc 31014  df-ch0 31015  df-shs 31070  df-pjh 31157  df-h0op 31510  df-lnop 31603
This theorem is referenced by:  lnopeqi  31770
  Copyright terms: Public domain W3C validator