HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopeq0i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnopeq0i 30377
Description: A condition implying that a linear Hilbert space operator is identically zero. Unlike ho01i 30198 for arbitrary operators, when the operator is linear we need to consider only the values of the quadratic form (𝑇𝑥) ·ih 𝑥). (Contributed by NM, 26-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnopeq0.1 𝑇 ∈ LinOp
Assertion
Ref Expression
lnopeq0i (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ↔ 𝑇 = 0hop )
Distinct variable group:   𝑥,𝑇

Proof of Theorem lnopeq0i
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopeq0.1 . . . . . . 7 𝑇 ∈ LinOp
21lnopeq0lem2 30376 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑦) ·ih 𝑧) = (((((𝑇‘(𝑦 + 𝑧)) ·ih (𝑦 + 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 𝑧)) ·ih (𝑦 𝑧))) + (i · (((𝑇‘(𝑦 + (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 + (i · 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 (i · 𝑧)))))) / 4))
32adantl 482 . . . . 5 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑦) ·ih 𝑧) = (((((𝑇‘(𝑦 + 𝑧)) ·ih (𝑦 + 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 𝑧)) ·ih (𝑦 𝑧))) + (i · (((𝑇‘(𝑦 + (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 + (i · 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 (i · 𝑧)))))) / 4))
4 hvaddcl 29382 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℋ)
5 fveq2 6766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (𝑇𝑥) = (𝑇‘(𝑦 + 𝑧)))
6 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥 = (𝑦 + 𝑧))
75, 6oveq12d 7285 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘(𝑦 + 𝑧)) ·ih (𝑦 + 𝑧)))
87eqeq1d 2740 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ↔ ((𝑇‘(𝑦 + 𝑧)) ·ih (𝑦 + 𝑧)) = 0))
98rspccva 3558 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 + 𝑧) ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝑦 + 𝑧)) ·ih (𝑦 + 𝑧)) = 0)
104, 9sylan2 593 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(𝑦 + 𝑧)) ·ih (𝑦 + 𝑧)) = 0)
11 hvsubcl 29387 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 𝑧) ∈ ℋ)
12 fveq2 6766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑦 𝑧) → (𝑇𝑥) = (𝑇‘(𝑦 𝑧)))
13 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑦 𝑧) → 𝑥 = (𝑦 𝑧))
1412, 13oveq12d 7285 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑦 𝑧) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘(𝑦 𝑧)) ·ih (𝑦 𝑧)))
1514eqeq1d 2740 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑦 𝑧) → (((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ↔ ((𝑇‘(𝑦 𝑧)) ·ih (𝑦 𝑧)) = 0))
1615rspccva 3558 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 𝑧) ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝑦 𝑧)) ·ih (𝑦 𝑧)) = 0)
1711, 16sylan2 593 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(𝑦 𝑧)) ·ih (𝑦 𝑧)) = 0)
1810, 17oveq12d 7285 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((𝑇‘(𝑦 + 𝑧)) ·ih (𝑦 + 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 𝑧)) ·ih (𝑦 𝑧))) = (0 − 0))
19 0m0e0 12103 . . . . . . . . . 10 (0 − 0) = 0
2018, 19eqtrdi 2794 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((𝑇‘(𝑦 + 𝑧)) ·ih (𝑦 + 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 𝑧)) ·ih (𝑦 𝑧))) = 0)
21 ax-icn 10940 . . . . . . . . . . . . . . . 16 i ∈ ℂ
22 hvmulcl 29383 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (i · 𝑧) ∈ ℋ)
2321, 22mpan 687 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℋ → (i · 𝑧) ∈ ℋ)
24 hvaddcl 29382 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (i · 𝑧) ∈ ℋ) → (𝑦 + (i · 𝑧)) ∈ ℋ)
2523, 24sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 + (i · 𝑧)) ∈ ℋ)
26 fveq2 6766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → (𝑇𝑥) = (𝑇‘(𝑦 + (i · 𝑧))))
27 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → 𝑥 = (𝑦 + (i · 𝑧)))
2826, 27oveq12d 7285 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘(𝑦 + (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 + (i · 𝑧))))
2928eqeq1d 2740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → (((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ↔ ((𝑇‘(𝑦 + (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 + (i · 𝑧))) = 0))
3029rspccva 3558 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 + (i · 𝑧)) ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝑦 + (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 + (i · 𝑧))) = 0)
3125, 30sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(𝑦 + (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 + (i · 𝑧))) = 0)
32 hvsubcl 29387 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (i · 𝑧) ∈ ℋ) → (𝑦 (i · 𝑧)) ∈ ℋ)
3323, 32sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 (i · 𝑧)) ∈ ℋ)
34 fveq2 6766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑦 (i · 𝑧)) → (𝑇𝑥) = (𝑇‘(𝑦 (i · 𝑧))))
35 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑦 (i · 𝑧)) → 𝑥 = (𝑦 (i · 𝑧)))
3634, 35oveq12d 7285 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑦 (i · 𝑧)) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘(𝑦 (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 (i · 𝑧))))
3736eqeq1d 2740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑦 (i · 𝑧)) → (((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ↔ ((𝑇‘(𝑦 (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 (i · 𝑧))) = 0))
3837rspccva 3558 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 (i · 𝑧)) ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝑦 (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 (i · 𝑧))) = 0)
3933, 38sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(𝑦 (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 (i · 𝑧))) = 0)
4031, 39oveq12d 7285 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((𝑇‘(𝑦 + (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 + (i · 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 (i · 𝑧)))) = (0 − 0))
4140, 19eqtrdi 2794 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((𝑇‘(𝑦 + (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 + (i · 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 (i · 𝑧)))) = 0)
4241oveq2d 7283 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (i · (((𝑇‘(𝑦 + (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 + (i · 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 (i · 𝑧))))) = (i · 0))
43 it0e0 12205 . . . . . . . . . 10 (i · 0) = 0
4442, 43eqtrdi 2794 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (i · (((𝑇‘(𝑦 + (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 + (i · 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 (i · 𝑧))))) = 0)
4520, 44oveq12d 7285 . . . . . . . 8 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((((𝑇‘(𝑦 + 𝑧)) ·ih (𝑦 + 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 𝑧)) ·ih (𝑦 𝑧))) + (i · (((𝑇‘(𝑦 + (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 + (i · 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 (i · 𝑧)))))) = (0 + 0))
46 00id 11160 . . . . . . . 8 (0 + 0) = 0
4745, 46eqtrdi 2794 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((((𝑇‘(𝑦 + 𝑧)) ·ih (𝑦 + 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 𝑧)) ·ih (𝑦 𝑧))) + (i · (((𝑇‘(𝑦 + (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 + (i · 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 (i · 𝑧)))))) = 0)
4847oveq1d 7282 . . . . . 6 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((((𝑇‘(𝑦 + 𝑧)) ·ih (𝑦 + 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 𝑧)) ·ih (𝑦 𝑧))) + (i · (((𝑇‘(𝑦 + (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 + (i · 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 (i · 𝑧)))))) / 4) = (0 / 4))
49 4cn 12068 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
50 4ne0 12091 . . . . . . 7 4 ≠ 0
5149, 50div0i 11719 . . . . . 6 (0 / 4) = 0
5248, 51eqtrdi 2794 . . . . 5 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((((𝑇‘(𝑦 + 𝑧)) ·ih (𝑦 + 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 𝑧)) ·ih (𝑦 𝑧))) + (i · (((𝑇‘(𝑦 + (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 + (i · 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 (i · 𝑧)))))) / 4) = 0)
533, 52eqtrd 2778 . . . 4 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑦) ·ih 𝑧) = 0)
5453ralrimivva 3115 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 → ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑇𝑦) ·ih 𝑧) = 0)
551lnopfi 30339 . . . 4 𝑇: ℋ⟶ ℋ
5655ho01i 30198 . . 3 (∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑇𝑦) ·ih 𝑧) = 0 ↔ 𝑇 = 0hop )
5754, 56sylib 217 . 2 (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 → 𝑇 = 0hop )
58 fveq1 6765 . . . . . 6 (𝑇 = 0hop → (𝑇𝑥) = ( 0hop𝑥))
59 ho0val 30120 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → ( 0hop𝑥) = 0)
6058, 59sylan9eq 2798 . . . . 5 ((𝑇 = 0hop𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) = 0)
6160oveq1d 7282 . . . 4 ((𝑇 = 0hop𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = (0 ·ih 𝑥))
62 hi01 29466 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (0 ·ih 𝑥) = 0)
6362adantl 482 . . . 4 ((𝑇 = 0hop𝑥 ∈ ℋ) → (0 ·ih 𝑥) = 0)
6461, 63eqtrd 2778 . . 3 ((𝑇 = 0hop𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0)
6564ralrimiva 3108 . 2 (𝑇 = 0hop → ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0)
6657, 65impbii 208 1 (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ↔ 𝑇 = 0hop )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wral 3064  cfv 6426  (class class class)co 7267  cc 10879  0cc0 10881  ici 10883   + caddc 10884   · cmul 10886  cmin 11215   / cdiv 11642  4c4 12040  chba 29289   + cva 29290   · csm 29291   ·ih csp 29292  0c0v 29294   cmv 29295   0hop ch0o 29313  LinOpclo 29317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-inf2 9386  ax-cc 10201  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958  ax-pre-sup 10959  ax-addf 10960  ax-mulf 10961  ax-hilex 29369  ax-hfvadd 29370  ax-hvcom 29371  ax-hvass 29372  ax-hv0cl 29373  ax-hvaddid 29374  ax-hfvmul 29375  ax-hvmulid 29376  ax-hvmulass 29377  ax-hvdistr1 29378  ax-hvdistr2 29379  ax-hvmul0 29380  ax-hfi 29449  ax-his1 29452  ax-his2 29453  ax-his3 29454  ax-his4 29455  ax-hcompl 29572
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-se 5540  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-isom 6435  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-of 7523  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-supp 7965  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-2o 8285  df-oadd 8288  df-omul 8289  df-er 8485  df-map 8604  df-pm 8605  df-ixp 8673  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-fsupp 9116  df-fi 9157  df-sup 9188  df-inf 9189  df-oi 9256  df-card 9707  df-acn 9710  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-div 11643  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-4 12048  df-5 12049  df-6 12050  df-7 12051  df-8 12052  df-9 12053  df-n0 12244  df-z 12330  df-dec 12448  df-uz 12593  df-q 12699  df-rp 12741  df-xneg 12858  df-xadd 12859  df-xmul 12860  df-ioo 13093  df-ico 13095  df-icc 13096  df-fz 13250  df-fzo 13393  df-fl 13522  df-seq 13732  df-exp 13793  df-hash 14055  df-cj 14820  df-re 14821  df-im 14822  df-sqrt 14956  df-abs 14957  df-clim 15207  df-rlim 15208  df-sum 15408  df-struct 16858  df-sets 16875  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-ress 16952  df-plusg 16985  df-mulr 16986  df-starv 16987  df-sca 16988  df-vsca 16989  df-ip 16990  df-tset 16991  df-ple 16992  df-ds 16994  df-unif 16995  df-hom 16996  df-cco 16997  df-rest 17143  df-topn 17144  df-0g 17162  df-gsum 17163  df-topgen 17164  df-pt 17165  df-prds 17168  df-xrs 17223  df-qtop 17228  df-imas 17229  df-xps 17231  df-mre 17305  df-mrc 17306  df-acs 17308  df-mgm 18336  df-sgrp 18385  df-mnd 18396  df-submnd 18441  df-mulg 18711  df-cntz 18933  df-cmn 19398  df-psmet 20599  df-xmet 20600  df-met 20601  df-bl 20602  df-mopn 20603  df-fbas 20604  df-fg 20605  df-cnfld 20608  df-top 22053  df-topon 22070  df-topsp 22092  df-bases 22106  df-cld 22180  df-ntr 22181  df-cls 22182  df-nei 22259  df-cn 22388  df-cnp 22389  df-lm 22390  df-haus 22476  df-tx 22723  df-hmeo 22916  df-fil 23007  df-fm 23099  df-flim 23100  df-flf 23101  df-xms 23483  df-ms 23484  df-tms 23485  df-cfil 24429  df-cau 24430  df-cmet 24431  df-grpo 28863  df-gid 28864  df-ginv 28865  df-gdiv 28866  df-ablo 28915  df-vc 28929  df-nv 28962  df-va 28965  df-ba 28966  df-sm 28967  df-0v 28968  df-vs 28969  df-nmcv 28970  df-ims 28971  df-dip 29071  df-ssp 29092  df-ph 29183  df-cbn 29233  df-hnorm 29338  df-hba 29339  df-hvsub 29341  df-hlim 29342  df-hcau 29343  df-sh 29577  df-ch 29591  df-oc 29622  df-ch0 29623  df-shs 29678  df-pjh 29765  df-h0op 30118  df-lnop 30211
This theorem is referenced by:  lnopeqi  30378
  Copyright terms: Public domain W3C validator