HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopeq0i Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lnopeq0i 31255
Description: A condition implying that a linear Hilbert space operator is identically zero. Unlike ho01i 31076 for arbitrary operators, when the operator is linear we need to consider only the values of the quadratic form (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ). (Contributed by NM, 26-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnopeq0.1 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
Assertion
Ref Expression
lnopeq0i (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†” ๐‘‡ = 0hop )
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘‡
Proof of Theorem lnopeq0i
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopeq0.1 . . . . . . 7 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
21lnopeq0lem2 31254 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = (((((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) + (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))))) / 4))
32adantl 482 . . . . 5 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = (((((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) + (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))))) / 4))
4 hvaddcl 30260 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
5 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)))
6 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง) โ†’ ๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง))
75, 6oveq12d 7426 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)))
87eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†” ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) = 0))
98rspccva 3611 . . . . . . . . . . . 12 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) = 0)
104, 9sylan2 593 . . . . . . . . . . 11 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) = 0)
11 hvsubcl 30265 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
12 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)))
13 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง) โ†’ ๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))
1412, 13oveq12d 7426 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)))
1514eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†” ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) = 0))
1615rspccva 3611 . . . . . . . . . . . 12 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) = 0)
1711, 16sylan2 593 . . . . . . . . . . 11 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) = 0)
1810, 17oveq12d 7426 . . . . . . . . . 10 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) = (0 โˆ’ 0))
19 0m0e0 12331 . . . . . . . . . 10 (0 โˆ’ 0) = 0
2018, 19eqtrdi 2788 . . . . . . . . 9 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) = 0)
21 ax-icn 11168 . . . . . . . . . . . . . . . 16 i โˆˆ โ„‚
22 hvmulcl 30261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (i ยทโ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
2321, 22mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ (i ยทโ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
24 hvaddcl 30260 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง (i ยทโ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
2523, 24sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
26 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))))
27 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โ†’ ๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))
2826, 27oveq12d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))))
2928eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†” ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) = 0))
3029rspccva 3611 . . . . . . . . . . . . . 14 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) = 0)
3125, 30sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) = 0)
32 hvsubcl 30265 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง (i ยทโ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
3323, 32sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
34 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))))
35 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โ†’ ๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))
3634, 35oveq12d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))))
3736eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†” ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) = 0))
3837rspccva 3611 . . . . . . . . . . . . . 14 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) = 0)
3933, 38sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) = 0)
4031, 39oveq12d 7426 . . . . . . . . . . . 12 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))) = (0 โˆ’ 0))
4140, 19eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . 11 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))) = 0)
4241oveq2d 7424 . . . . . . . . . 10 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))))) = (i ยท 0))
43 it0e0 12433 . . . . . . . . . 10 (i ยท 0) = 0
4442, 43eqtrdi 2788 . . . . . . . . 9 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))))) = 0)
4520, 44oveq12d 7426 . . . . . . . 8 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) + (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))))) = (0 + 0))
46 00id 11388 . . . . . . . 8 (0 + 0) = 0
4745, 46eqtrdi 2788 . . . . . . 7 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) + (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))))) = 0)
4847oveq1d 7423 . . . . . 6 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) + (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))))) / 4) = (0 / 4))
49 4cn 12296 . . . . . . 7 4 โˆˆ โ„‚
50 4ne0 12319 . . . . . . 7 4 โ‰  0
5149, 50div0i 11947 . . . . . 6 (0 / 4) = 0
5248, 51eqtrdi 2788 . . . . 5 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) + (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))))) / 4) = 0)
533, 52eqtrd 2772 . . . 4 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0)
5453ralrimivva 3200 . . 3 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0)
551lnopfi 31217 . . . 4 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
5655ho01i 31076 . . 3 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0 โ†” ๐‘‡ = 0hop )
5754, 56sylib 217 . 2 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†’ ๐‘‡ = 0hop )
58 fveq1 6890 . . . . . 6 (๐‘‡ = 0hop โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = ( 0hop โ€˜๐‘ฅ))
59 ho0val 30998 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ( 0hop โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž)
6058, 59sylan9eq 2792 . . . . 5 ((๐‘‡ = 0hop โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž)
6160oveq1d 7423 . . . 4 ((๐‘‡ = 0hop โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = (0โ„Ž ยทih ๐‘ฅ))
62 hi01 30344 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (0โ„Ž ยทih ๐‘ฅ) = 0)
6362adantl 482 . . . 4 ((๐‘‡ = 0hop โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (0โ„Ž ยทih ๐‘ฅ) = 0)
6461, 63eqtrd 2772 . . 3 ((๐‘‡ = 0hop โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0)
6564ralrimiva 3146 . 2 (๐‘‡ = 0hop โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0)
6657, 65impbii 208 1 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†” ๐‘‡ = 0hop )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107  0cc0 11109  ici 11111   + caddc 11112   ยท cmul 11114   โˆ’ cmin 11443   / cdiv 11870  4c4 12268   โ„‹chba 30167   +โ„Ž cva 30168   ยทโ„Ž csm 30169   ยทih csp 30170  0โ„Žc0v 30172   โˆ’โ„Ž cmv 30173   0hop ch0o 30191  LinOpclo 30195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cc 10429  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189  ax-hilex 30247  ax-hfvadd 30248  ax-hvcom 30249  ax-hvass 30250  ax-hv0cl 30251  ax-hvaddid 30252  ax-hfvmul 30253  ax-hvmulid 30254  ax-hvmulass 30255  ax-hvdistr1 30256  ax-hvdistr2 30257  ax-hvmul0 30258  ax-hfi 30327  ax-his1 30330  ax-his2 30331  ax-his3 30332  ax-his4 30333  ax-hcompl 30450
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-lm 22732  df-haus 22818  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cfil 24771  df-cau 24772  df-cmet 24773  df-grpo 29741  df-gid 29742  df-ginv 29743  df-gdiv 29744  df-ablo 29793  df-vc 29807  df-nv 29840  df-va 29843  df-ba 29844  df-sm 29845  df-0v 29846  df-vs 29847  df-nmcv 29848  df-ims 29849  df-dip 29949  df-ssp 29970  df-ph 30061  df-cbn 30111  df-hnorm 30216  df-hba 30217  df-hvsub 30219  df-hlim 30220  df-hcau 30221  df-sh 30455  df-ch 30469  df-oc 30500  df-ch0 30501  df-shs 30556  df-pjh 30643  df-h0op 30996  df-lnop 31089
This theorem is referenced by:  lnopeqi  31256
  Copyright terms: Public domain W3C validator