HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopeq0i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnopeq0i 30998
Description: A condition implying that a linear Hilbert space operator is identically zero. Unlike ho01i 30819 for arbitrary operators, when the operator is linear we need to consider only the values of the quadratic form (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ). (Contributed by NM, 26-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnopeq0.1 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
Assertion
Ref Expression
lnopeq0i (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†” ๐‘‡ = 0hop )
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘‡

Proof of Theorem lnopeq0i
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopeq0.1 . . . . . . 7 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
21lnopeq0lem2 30997 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = (((((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) + (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))))) / 4))
32adantl 483 . . . . 5 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = (((((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) + (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))))) / 4))
4 hvaddcl 30003 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
5 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)))
6 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง) โ†’ ๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง))
75, 6oveq12d 7379 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)))
87eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†” ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) = 0))
98rspccva 3582 . . . . . . . . . . . 12 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) = 0)
104, 9sylan2 594 . . . . . . . . . . 11 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) = 0)
11 hvsubcl 30008 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
12 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)))
13 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง) โ†’ ๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))
1412, 13oveq12d 7379 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)))
1514eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†” ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) = 0))
1615rspccva 3582 . . . . . . . . . . . 12 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) = 0)
1711, 16sylan2 594 . . . . . . . . . . 11 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) = 0)
1810, 17oveq12d 7379 . . . . . . . . . 10 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) = (0 โˆ’ 0))
19 0m0e0 12281 . . . . . . . . . 10 (0 โˆ’ 0) = 0
2018, 19eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) = 0)
21 ax-icn 11118 . . . . . . . . . . . . . . . 16 i โˆˆ โ„‚
22 hvmulcl 30004 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (i ยทโ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
2321, 22mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ (i ยทโ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
24 hvaddcl 30003 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง (i ยทโ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
2523, 24sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
26 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))))
27 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โ†’ ๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))
2826, 27oveq12d 7379 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))))
2928eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†” ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) = 0))
3029rspccva 3582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) = 0)
3125, 30sylan2 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) = 0)
32 hvsubcl 30008 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง (i ยทโ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
3323, 32sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
34 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))))
35 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โ†’ ๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))
3634, 35oveq12d 7379 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))))
3736eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†” ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) = 0))
3837rspccva 3582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) = 0)
3933, 38sylan2 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) = 0)
4031, 39oveq12d 7379 . . . . . . . . . . . 12 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))) = (0 โˆ’ 0))
4140, 19eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . 11 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))) = 0)
4241oveq2d 7377 . . . . . . . . . 10 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))))) = (i ยท 0))
43 it0e0 12383 . . . . . . . . . 10 (i ยท 0) = 0
4442, 43eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))))) = 0)
4520, 44oveq12d 7379 . . . . . . . 8 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) + (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))))) = (0 + 0))
46 00id 11338 . . . . . . . 8 (0 + 0) = 0
4745, 46eqtrdi 2789 . . . . . . 7 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) + (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))))) = 0)
4847oveq1d 7376 . . . . . 6 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) + (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))))) / 4) = (0 / 4))
49 4cn 12246 . . . . . . 7 4 โˆˆ โ„‚
50 4ne0 12269 . . . . . . 7 4 โ‰  0
5149, 50div0i 11897 . . . . . 6 (0 / 4) = 0
5248, 51eqtrdi 2789 . . . . 5 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) + (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))))) / 4) = 0)
533, 52eqtrd 2773 . . . 4 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0)
5453ralrimivva 3194 . . 3 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0)
551lnopfi 30960 . . . 4 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
5655ho01i 30819 . . 3 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0 โ†” ๐‘‡ = 0hop )
5754, 56sylib 217 . 2 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†’ ๐‘‡ = 0hop )
58 fveq1 6845 . . . . . 6 (๐‘‡ = 0hop โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = ( 0hop โ€˜๐‘ฅ))
59 ho0val 30741 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ( 0hop โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž)
6058, 59sylan9eq 2793 . . . . 5 ((๐‘‡ = 0hop โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž)
6160oveq1d 7376 . . . 4 ((๐‘‡ = 0hop โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = (0โ„Ž ยทih ๐‘ฅ))
62 hi01 30087 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (0โ„Ž ยทih ๐‘ฅ) = 0)
6362adantl 483 . . . 4 ((๐‘‡ = 0hop โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (0โ„Ž ยทih ๐‘ฅ) = 0)
6461, 63eqtrd 2773 . . 3 ((๐‘‡ = 0hop โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0)
6564ralrimiva 3140 . 2 (๐‘‡ = 0hop โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0)
6657, 65impbii 208 1 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†” ๐‘‡ = 0hop )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  0cc0 11059  ici 11061   + caddc 11062   ยท cmul 11064   โˆ’ cmin 11393   / cdiv 11820  4c4 12218   โ„‹chba 29910   +โ„Ž cva 29911   ยทโ„Ž csm 29912   ยทih csp 29913  0โ„Žc0v 29915   โˆ’โ„Ž cmv 29916   0hop ch0o 29934  LinOpclo 29938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cc 10379  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139  ax-hilex 29990  ax-hfvadd 29991  ax-hvcom 29992  ax-hvass 29993  ax-hv0cl 29994  ax-hvaddid 29995  ax-hfvmul 29996  ax-hvmulid 29997  ax-hvmulass 29998  ax-hvdistr1 29999  ax-hvdistr2 30000  ax-hvmul0 30001  ax-hfi 30070  ax-his1 30073  ax-his2 30074  ax-his3 30075  ax-his4 30076  ax-hcompl 30193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-omul 8421  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-acn 9886  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-lm 22603  df-haus 22689  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-fil 23220  df-fm 23312  df-flim 23313  df-flf 23314  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698  df-cfil 24642  df-cau 24643  df-cmet 24644  df-grpo 29484  df-gid 29485  df-ginv 29486  df-gdiv 29487  df-ablo 29536  df-vc 29550  df-nv 29583  df-va 29586  df-ba 29587  df-sm 29588  df-0v 29589  df-vs 29590  df-nmcv 29591  df-ims 29592  df-dip 29692  df-ssp 29713  df-ph 29804  df-cbn 29854  df-hnorm 29959  df-hba 29960  df-hvsub 29962  df-hlim 29963  df-hcau 29964  df-sh 30198  df-ch 30212  df-oc 30243  df-ch0 30244  df-shs 30299  df-pjh 30386  df-h0op 30739  df-lnop 30832
This theorem is referenced by:  lnopeqi  30999
  Copyright terms: Public domain W3C validator