HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopeq0i Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lnopeq0i 31527
Description: A condition implying that a linear Hilbert space operator is identically zero. Unlike ho01i 31348 for arbitrary operators, when the operator is linear we need to consider only the values of the quadratic form (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ). (Contributed by NM, 26-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnopeq0.1 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
Assertion
Ref Expression
lnopeq0i (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†” ๐‘‡ = 0hop )
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘‡
Proof of Theorem lnopeq0i
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopeq0.1 . . . . . . 7 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
21lnopeq0lem2 31526 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = (((((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) + (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))))) / 4))
32adantl 480 . . . . 5 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = (((((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) + (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))))) / 4))
4 hvaddcl 30532 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
5 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)))
6 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง) โ†’ ๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง))
75, 6oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)))
87eqeq1d 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†” ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) = 0))
98rspccva 3610 . . . . . . . . . . . 12 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) = 0)
104, 9sylan2 591 . . . . . . . . . . 11 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) = 0)
11 hvsubcl 30537 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
12 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)))
13 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง) โ†’ ๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))
1412, 13oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)))
1514eqeq1d 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†” ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) = 0))
1615rspccva 3610 . . . . . . . . . . . 12 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) = 0)
1711, 16sylan2 591 . . . . . . . . . . 11 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) = 0)
1810, 17oveq12d 7429 . . . . . . . . . 10 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) = (0 โˆ’ 0))
19 0m0e0 12336 . . . . . . . . . 10 (0 โˆ’ 0) = 0
2018, 19eqtrdi 2786 . . . . . . . . 9 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) = 0)
21 ax-icn 11171 . . . . . . . . . . . . . . . 16 i โˆˆ โ„‚
22 hvmulcl 30533 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (i ยทโ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
2321, 22mpan 686 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ (i ยทโ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
24 hvaddcl 30532 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง (i ยทโ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
2523, 24sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
26 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))))
27 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โ†’ ๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))
2826, 27oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))))
2928eqeq1d 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†” ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) = 0))
3029rspccva 3610 . . . . . . . . . . . . . 14 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) = 0)
3125, 30sylan2 591 . . . . . . . . . . . . 13 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) = 0)
32 hvsubcl 30537 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง (i ยทโ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
3323, 32sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
34 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))))
35 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โ†’ ๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))
3634, 35oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))))
3736eqeq1d 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†” ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) = 0))
3837rspccva 3610 . . . . . . . . . . . . . 14 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) = 0)
3933, 38sylan2 591 . . . . . . . . . . . . 13 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) = 0)
4031, 39oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . 12 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))) = (0 โˆ’ 0))
4140, 19eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . 11 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))) = 0)
4241oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))))) = (i ยท 0))
43 it0e0 12438 . . . . . . . . . 10 (i ยท 0) = 0
4442, 43eqtrdi 2786 . . . . . . . . 9 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))))) = 0)
4520, 44oveq12d 7429 . . . . . . . 8 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) + (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))))) = (0 + 0))
46 00id 11393 . . . . . . . 8 (0 + 0) = 0
4745, 46eqtrdi 2786 . . . . . . 7 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) + (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))))) = 0)
4847oveq1d 7426 . . . . . 6 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) + (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))))) / 4) = (0 / 4))
49 4cn 12301 . . . . . . 7 4 โˆˆ โ„‚
50 4ne0 12324 . . . . . . 7 4 โ‰  0
5149, 50div0i 11952 . . . . . 6 (0 / 4) = 0
5248, 51eqtrdi 2786 . . . . 5 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) + (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))))) / 4) = 0)
533, 52eqtrd 2770 . . . 4 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0)
5453ralrimivva 3198 . . 3 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0)
551lnopfi 31489 . . . 4 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
5655ho01i 31348 . . 3 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0 โ†” ๐‘‡ = 0hop )
5754, 56sylib 217 . 2 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†’ ๐‘‡ = 0hop )
58 fveq1 6889 . . . . . 6 (๐‘‡ = 0hop โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = ( 0hop โ€˜๐‘ฅ))
59 ho0val 31270 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ( 0hop โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž)
6058, 59sylan9eq 2790 . . . . 5 ((๐‘‡ = 0hop โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž)
6160oveq1d 7426 . . . 4 ((๐‘‡ = 0hop โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = (0โ„Ž ยทih ๐‘ฅ))
62 hi01 30616 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (0โ„Ž ยทih ๐‘ฅ) = 0)
6362adantl 480 . . . 4 ((๐‘‡ = 0hop โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (0โ„Ž ยทih ๐‘ฅ) = 0)
6461, 63eqtrd 2770 . . 3 ((๐‘‡ = 0hop โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0)
6564ralrimiva 3144 . 2 (๐‘‡ = 0hop โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0)
6657, 65impbii 208 1 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†” ๐‘‡ = 0hop )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆ€wral 3059  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  ici 11114   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  4c4 12273   โ„‹chba 30439   +โ„Ž cva 30440   ยทโ„Ž csm 30441   ยทih csp 30442  0โ„Žc0v 30444   โˆ’โ„Ž cmv 30445   0hop ch0o 30463  LinOpclo 30467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192  ax-hilex 30519  ax-hfvadd 30520  ax-hvcom 30521  ax-hvass 30522  ax-hv0cl 30523  ax-hvaddid 30524  ax-hfvmul 30525  ax-hvmulid 30526  ax-hvmulass 30527  ax-hvdistr1 30528  ax-hvdistr2 30529  ax-hvmul0 30530  ax-hfi 30599  ax-his1 30602  ax-his2 30603  ax-his3 30604  ax-his4 30605  ax-hcompl 30722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-lm 22953  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cfil 25003  df-cau 25004  df-cmet 25005  df-grpo 30013  df-gid 30014  df-ginv 30015  df-gdiv 30016  df-ablo 30065  df-vc 30079  df-nv 30112  df-va 30115  df-ba 30116  df-sm 30117  df-0v 30118  df-vs 30119  df-nmcv 30120  df-ims 30121  df-dip 30221  df-ssp 30242  df-ph 30333  df-cbn 30383  df-hnorm 30488  df-hba 30489  df-hvsub 30491  df-hlim 30492  df-hcau 30493  df-sh 30727  df-ch 30741  df-oc 30772  df-ch0 30773  df-shs 30828  df-pjh 30915  df-h0op 31268  df-lnop 31361
This theorem is referenced by:  lnopeqi  31528
  Copyright terms: Public domain W3C validator