HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopeq0i Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lnopeq0i 31845
Description: A condition implying that a linear Hilbert space operator is identically zero. Unlike ho01i 31666 for arbitrary operators, when the operator is linear we need to consider only the values of the quadratic form (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ). (Contributed by NM, 26-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnopeq0.1 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
Assertion
Ref Expression
lnopeq0i (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†” ๐‘‡ = 0hop )
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘‡
Proof of Theorem lnopeq0i
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopeq0.1 . . . . . . 7 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
21lnopeq0lem2 31844 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = (((((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) + (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))))) / 4))
32adantl 480 . . . . 5 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = (((((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) + (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))))) / 4))
4 hvaddcl 30850 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
5 fveq2 6902 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)))
6 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง) โ†’ ๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง))
75, 6oveq12d 7444 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)))
87eqeq1d 2730 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†” ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) = 0))
98rspccva 3610 . . . . . . . . . . . 12 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) = 0)
104, 9sylan2 591 . . . . . . . . . . 11 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) = 0)
11 hvsubcl 30855 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
12 fveq2 6902 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)))
13 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง) โ†’ ๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))
1412, 13oveq12d 7444 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)))
1514eqeq1d 2730 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†” ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) = 0))
1615rspccva 3610 . . . . . . . . . . . 12 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) = 0)
1711, 16sylan2 591 . . . . . . . . . . 11 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) = 0)
1810, 17oveq12d 7444 . . . . . . . . . 10 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) = (0 โˆ’ 0))
19 0m0e0 12372 . . . . . . . . . 10 (0 โˆ’ 0) = 0
2018, 19eqtrdi 2784 . . . . . . . . 9 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) = 0)
21 ax-icn 11207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 i โˆˆ โ„‚
22 hvmulcl 30851 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (i ยทโ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
2321, 22mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ (i ยทโ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
24 hvaddcl 30850 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง (i ยทโ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
2523, 24sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
26 fveq2 6902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))))
27 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โ†’ ๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))
2826, 27oveq12d 7444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))))
2928eqeq1d 2730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†” ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) = 0))
3029rspccva 3610 . . . . . . . . . . . . . 14 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) = 0)
3125, 30sylan2 591 . . . . . . . . . . . . 13 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) = 0)
32 hvsubcl 30855 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง (i ยทโ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
3323, 32sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
34 fveq2 6902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))))
35 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โ†’ ๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))
3634, 35oveq12d 7444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))))
3736eqeq1d 2730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†” ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) = 0))
3837rspccva 3610 . . . . . . . . . . . . . 14 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) = 0)
3933, 38sylan2 591 . . . . . . . . . . . . 13 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) = 0)
4031, 39oveq12d 7444 . . . . . . . . . . . 12 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))) = (0 โˆ’ 0))
4140, 19eqtrdi 2784 . . . . . . . . . . 11 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))) = 0)
4241oveq2d 7442 . . . . . . . . . 10 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))))) = (i ยท 0))
43 it0e0 12474 . . . . . . . . . 10 (i ยท 0) = 0
4442, 43eqtrdi 2784 . . . . . . . . 9 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))))) = 0)
4520, 44oveq12d 7444 . . . . . . . 8 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) + (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))))) = (0 + 0))
46 00id 11429 . . . . . . . 8 (0 + 0) = 0
4745, 46eqtrdi 2784 . . . . . . 7 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) + (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))))) = 0)
4847oveq1d 7441 . . . . . 6 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) + (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))))) / 4) = (0 / 4))
49 4cn 12337 . . . . . . 7 4 โˆˆ โ„‚
50 4ne0 12360 . . . . . . 7 4 โ‰  0
5149, 50div0i 11988 . . . . . 6 (0 / 4) = 0
5248, 51eqtrdi 2784 . . . . 5 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ง)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) + (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง))) ยทih (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐‘ง)))))) / 4) = 0)
533, 52eqtrd 2768 . . . 4 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0)
5453ralrimivva 3198 . . 3 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0)
551lnopfi 31807 . . . 4 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
5655ho01i 31666 . . 3 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0 โ†” ๐‘‡ = 0hop )
5754, 56sylib 217 . 2 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†’ ๐‘‡ = 0hop )
58 fveq1 6901 . . . . . 6 (๐‘‡ = 0hop โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = ( 0hop โ€˜๐‘ฅ))
59 ho0val 31588 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ( 0hop โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž)
6058, 59sylan9eq 2788 . . . . 5 ((๐‘‡ = 0hop โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž)
6160oveq1d 7441 . . . 4 ((๐‘‡ = 0hop โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = (0โ„Ž ยทih ๐‘ฅ))
62 hi01 30934 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (0โ„Ž ยทih ๐‘ฅ) = 0)
6362adantl 480 . . . 4 ((๐‘‡ = 0hop โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (0โ„Ž ยทih ๐‘ฅ) = 0)
6461, 63eqtrd 2768 . . 3 ((๐‘‡ = 0hop โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0)
6564ralrimiva 3143 . 2 (๐‘‡ = 0hop โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0)
6657, 65impbii 208 1 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0 โ†” ๐‘‡ = 0hop )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3058  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11146  0cc0 11148  ici 11150   + caddc 11151   ยท cmul 11153   โˆ’ cmin 11484   / cdiv 11911  4c4 12309   โ„‹chba 30757   +โ„Ž cva 30758   ยทโ„Ž csm 30759   ยทih csp 30760  0โ„Žc0v 30762   โˆ’โ„Ž cmv 30763   0hop ch0o 30781  LinOpclo 30785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cc 10468  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226  ax-addf 11227  ax-mulf 11228  ax-hilex 30837  ax-hfvadd 30838  ax-hvcom 30839  ax-hvass 30840  ax-hv0cl 30841  ax-hvaddid 30842  ax-hfvmul 30843  ax-hvmulid 30844  ax-hvmulass 30845  ax-hvdistr1 30846  ax-hvdistr2 30847  ax-hvmul0 30848  ax-hfi 30917  ax-his1 30920  ax-his2 30921  ax-his3 30922  ax-his4 30923  ax-hcompl 31040
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-oadd 8499  df-omul 8500  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-fi 9444  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-card 9972  df-acn 9975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13134  df-xadd 13135  df-xmul 13136  df-ioo 13370  df-ico 13372  df-icc 13373  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14332  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-clim 15474  df-rlim 15475  df-sum 15675  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-hom 17266  df-cco 17267  df-rest 17413  df-topn 17414  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-topgen 17434  df-pt 17435  df-prds 17438  df-xrs 17493  df-qtop 17498  df-imas 17499  df-xps 17501  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-submnd 18750  df-mulg 19038  df-cntz 19282  df-cmn 19751  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-fbas 21290  df-fg 21291  df-cnfld 21294  df-top 22824  df-topon 22841  df-topsp 22863  df-bases 22877  df-cld 22951  df-ntr 22952  df-cls 22953  df-nei 23030  df-cn 23159  df-cnp 23160  df-lm 23161  df-haus 23247  df-tx 23494  df-hmeo 23687  df-fil 23778  df-fm 23870  df-flim 23871  df-flf 23872  df-xms 24254  df-ms 24255  df-tms 24256  df-cfil 25211  df-cau 25212  df-cmet 25213  df-grpo 30331  df-gid 30332  df-ginv 30333  df-gdiv 30334  df-ablo 30383  df-vc 30397  df-nv 30430  df-va 30433  df-ba 30434  df-sm 30435  df-0v 30436  df-vs 30437  df-nmcv 30438  df-ims 30439  df-dip 30539  df-ssp 30560  df-ph 30651  df-cbn 30701  df-hnorm 30806  df-hba 30807  df-hvsub 30809  df-hlim 30810  df-hcau 30811  df-sh 31045  df-ch 31059  df-oc 31090  df-ch0 31091  df-shs 31146  df-pjh 31233  df-h0op 31586  df-lnop 31679
This theorem is referenced by:  lnopeqi  31846
  Copyright terms: Public domain W3C validator