Theorem lnopeq0i 32036

Description: A condition implying that a linear Hilbert space operator is identically zero. Unlike ho01i 31857 for arbitrary operators, when the operator is linear we need to consider only the values of the quadratic form (𝑇‘𝑥) ·_ih 𝑥). (Contributed by NM, 26-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
lnopeq0.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp

Assertion

Ref	Expression
lnopeq0i	⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ↔ 𝑇 = 0hop )

Distinct variable group:   𝑥,𝑇

Proof of Theorem lnopeq0i

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnopeq0.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
2	1	lnopeq0lem2 32035	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑧) = (((((𝑇‘(𝑦 +ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 +ℎ 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 −ℎ 𝑧))) + (i · (((𝑇‘(𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)))))) / 4))
3	2	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑧) = (((((𝑇‘(𝑦 +ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 +ℎ 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 −ℎ 𝑧))) + (i · (((𝑇‘(𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)))))) / 4))
4		hvaddcl 31041	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
5		fveq2 6907	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘(𝑦 +ℎ 𝑧)))
6		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
7	5, 6	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘(𝑦 +ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 +ℎ 𝑧)))
8	7	eqeq1d 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ↔ ((𝑇‘(𝑦 +ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 +ℎ 𝑧)) = 0))
9	8	rspccva 3621	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝑦 +ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 +ℎ 𝑧)) = 0)
10	4, 9	sylan2 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(𝑦 +ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 +ℎ 𝑧)) = 0)
11		hvsubcl 31046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 −ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
12		fveq2 6907	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝑦 −ℎ 𝑧) → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘(𝑦 −ℎ 𝑧)))
13		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝑦 −ℎ 𝑧) → 𝑥 = (𝑦 −ℎ 𝑧))
14	12, 13	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑦 −ℎ 𝑧) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘(𝑦 −ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 −ℎ 𝑧)))
15	14	eqeq1d 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑦 −ℎ 𝑧) → (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ↔ ((𝑇‘(𝑦 −ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 −ℎ 𝑧)) = 0))
16	15	rspccva 3621	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 −ℎ 𝑧) ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝑦 −ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 −ℎ 𝑧)) = 0)
17	11, 16	sylan2 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(𝑦 −ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 −ℎ 𝑧)) = 0)
18	10, 17	oveq12d 7449	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((𝑇‘(𝑦 +ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 +ℎ 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 −ℎ 𝑧))) = (0 − 0))
19		0m0e0 12384	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 − 0) = 0
20	18, 19	eqtrdi 2791	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((𝑇‘(𝑦 +ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 +ℎ 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 −ℎ 𝑧))) = 0)
21		ax-icn 11212	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ i ∈ ℂ
22		hvmulcl 31042	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (i ·ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
23	21, 22	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (i ·ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
24		hvaddcl 31041	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (i ·ℎ 𝑧) ∈ ℋ) → (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧)) ∈ ℋ)
25	23, 24	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧)) ∈ ℋ)
26		fveq2 6907	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧)) → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘(𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))))
27		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧)) → 𝑥 = (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧)))
28	26, 27	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧)) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘(𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))))
29	28	eqeq1d 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧)) → (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ↔ ((𝑇‘(𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) = 0))
30	29	rspccva 3621	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧)) ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) = 0)
31	25, 30	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) = 0)
32		hvsubcl 31046	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (i ·ℎ 𝑧) ∈ ℋ) → (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)) ∈ ℋ)
33	23, 32	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)) ∈ ℋ)
34		fveq2 6907	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)) → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘(𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))))
35		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)) → 𝑥 = (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)))
36	34, 35	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘(𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))))
37	36	eqeq1d 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)) → (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ↔ ((𝑇‘(𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) = 0))
38	37	rspccva 3621	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)) ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) = 0)
39	33, 38	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) = 0)
40	31, 39	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((𝑇‘(𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)))) = (0 − 0))
41	40, 19	eqtrdi 2791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((𝑇‘(𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)))) = 0)
42	41	oveq2d 7447	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (i · (((𝑇‘(𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))))) = (i · 0))
43		it0e0 12486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i · 0) = 0
44	42, 43	eqtrdi 2791	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (i · (((𝑇‘(𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))))) = 0)
45	20, 44	oveq12d 7449	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((((𝑇‘(𝑦 +ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 +ℎ 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 −ℎ 𝑧))) + (i · (((𝑇‘(𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)))))) = (0 + 0))
46		00id 11434	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 0) = 0
47	45, 46	eqtrdi 2791	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((((𝑇‘(𝑦 +ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 +ℎ 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 −ℎ 𝑧))) + (i · (((𝑇‘(𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)))))) = 0)
48	47	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((((𝑇‘(𝑦 +ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 +ℎ 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 −ℎ 𝑧))) + (i · (((𝑇‘(𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)))))) / 4) = (0 / 4))
49		4cn 12349	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
50		4ne0 12372	. . . . . . 7 ⊢ 4 ≠ 0
51	49, 50	div0i 11999	. . . . . 6 ⊢ (0 / 4) = 0
52	48, 51	eqtrdi 2791	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((((𝑇‘(𝑦 +ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 +ℎ 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ 𝑧)) ·ih (𝑦 −ℎ 𝑧))) + (i · (((𝑇‘(𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 +ℎ (i ·ℎ 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧))) ·ih (𝑦 −ℎ (i ·ℎ 𝑧)))))) / 4) = 0)
53	3, 52	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑧) = 0)
54	53	ralrimivva 3200	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 → ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑧) = 0)
55	1	lnopfi 31998	. . . 4 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
56	55	ho01i 31857	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑧) = 0 ↔ 𝑇 = 0hop )
57	54, 56	sylib 218	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 → 𝑇 = 0hop )
58		fveq1 6906	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = 0hop → (𝑇‘𝑥) = ( 0hop ‘𝑥))
59		ho0val 31779	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ( 0hop ‘𝑥) = 0ℎ)
60	58, 59	sylan9eq 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 = 0hop ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) = 0ℎ)
61	60	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ ((𝑇 = 0hop ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = (0ℎ ·ih 𝑥))
62		hi01 31125	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (0ℎ ·ih 𝑥) = 0)
63	62	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑇 = 0hop ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (0ℎ ·ih 𝑥) = 0)
64	61, 63	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ ((𝑇 = 0hop ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0)
65	64	ralrimiva 3144	. 2 ⊢ (𝑇 = 0hop → ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0)
66	57, 65	impbii 209	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ↔ 𝑇 = 0hop )

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  0cc0 11153  ici 11155   + caddc 11156   · cmul 11158   − cmin 11490   / cdiv 11918  4c4 12321   ℋchba 30948   +_ℎ cva 30949   ·_ℎ csm 30950   ·_ih csp 30951  0_ℎc0v 30953   −_ℎ cmv 30954   0_hop ch0o 30972  LinOpclo 30976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hvcom 31030  ax-hvass 31031  ax-hv0cl 31032  ax-hvaddid 31033  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035  ax-hvmulass 31036  ax-hvdistr1 31037  ax-hvdistr2 31038  ax-hvmul0 31039  ax-hfi 31108  ax-his1 31111  ax-his2 31112  ax-his3 31113  ax-his4 31114  ax-hcompl 31231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-lm 23253  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cfil 25303  df-cau 25304  df-cmet 25305  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-gdiv 30525  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-vs 30628  df-nmcv 30629  df-ims 30630  df-dip 30730  df-ssp 30751  df-ph 30842  df-cbn 30892  df-hnorm 30997  df-hba 30998  df-hvsub 31000  df-hlim 31001  df-hcau 31002  df-sh 31236  df-ch 31250  df-oc 31281  df-ch0 31282  df-shs 31337  df-pjh 31424  df-h0op 31777  df-lnop 31870

This theorem is referenced by:  lnopeqi  32037