Theorem nmcopexi 32686

Description: The norm of a continuous linear Hilbert space operator exists. Theorem 3.5(i) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 5-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmcopex.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp
nmcopex.2	⊢ 𝑇 ∈ ContOp

Assertion

Ref	Expression
nmcopexi	⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ

Proof of Theorem nmcopexi

Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmcopex.2	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ ContOp
2		ax-hv0cl 31662	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
3		1rp 13164	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4		cnopc 32572	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ ContOp ∧ 0ℎ ∈ ℋ ∧ 1 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 → (normℎ‘((𝑇‘𝑧) −ℎ (𝑇‘0ℎ))) < 1))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1491	. . 3 ⊢ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 → (normℎ‘((𝑇‘𝑧) −ℎ (𝑇‘0ℎ))) < 1)
6		hvsub0 31735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑧 −ℎ 0ℎ) = 𝑧)
7	6	fveq2d 6920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) = (normℎ‘𝑧))
8	7	breq1d 5118	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 ↔ (normℎ‘𝑧) < 𝑦))
9		nmcopex.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
10	9	lnop0i 32629	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇‘0ℎ) = 0ℎ
11	10	oveq2i 7462	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇‘𝑧) −ℎ (𝑇‘0ℎ)) = ((𝑇‘𝑧) −ℎ 0ℎ)
12	9	lnopfi 32628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
13	12	ffvelcdmi 7115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑧) ∈ ℋ)
14		hvsub0 31735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇‘𝑧) ∈ ℋ → ((𝑇‘𝑧) −ℎ 0ℎ) = (𝑇‘𝑧))
15	13, 14	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑇‘𝑧) −ℎ 0ℎ) = (𝑇‘𝑧))
16	11, 15	eqtrid 2810	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑇‘𝑧) −ℎ (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘𝑧))
17	16	fveq2d 6920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (normℎ‘((𝑇‘𝑧) −ℎ (𝑇‘0ℎ))) = (normℎ‘(𝑇‘𝑧)))
18	17	breq1d 5118	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((normℎ‘((𝑇‘𝑧) −ℎ (𝑇‘0ℎ))) < 1 ↔ (normℎ‘(𝑇‘𝑧)) < 1))
19	8, 18	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 → (normℎ‘((𝑇‘𝑧) −ℎ (𝑇‘0ℎ))) < 1) ↔ ((normℎ‘𝑧) < 𝑦 → (normℎ‘(𝑇‘𝑧)) < 1)))
20	19	ralbiia 3110	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 → (normℎ‘((𝑇‘𝑧) −ℎ (𝑇‘0ℎ))) < 1) ↔ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑧) < 𝑦 → (normℎ‘(𝑇‘𝑧)) < 1))
21	20	rexbii 3113	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 → (normℎ‘((𝑇‘𝑧) −ℎ (𝑇‘0ℎ))) < 1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑧) < 𝑦 → (normℎ‘(𝑇‘𝑧)) < 1))
22	5, 21	mpbi 233	. 2 ⊢ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑧) < 𝑦 → (normℎ‘(𝑇‘𝑧)) < 1)
23		nmopval 32515	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (normop‘𝑇) = sup({𝑚 ∣ ∃𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 ∧ 𝑚 = (normℎ‘(𝑇‘𝑥)))}, ℝ*, < ))
24	12, 23	ax-mp 5	. 2 ⊢ (normop‘𝑇) = sup({𝑚 ∣ ∃𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 ∧ 𝑚 = (normℎ‘(𝑇‘𝑥)))}, ℝ*, < )
25	12	ffvelcdmi 7115	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
26		normcl 31784	. . 3 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
27	25, 26	syl 18	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
28	10	fveq2i 6919	. . 3 ⊢ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) = (normℎ‘0ℎ)
29		norm0 31787	. . 3 ⊢ (normℎ‘0ℎ) = 0
30	28, 29	eqtri 2786	. 2 ⊢ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) = 0
31		rpcn 13171	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
32	9	lnopmuli 32631	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑦 / 2) ·ℎ 𝑥)) = ((𝑦 / 2) ·ℎ (𝑇‘𝑥)))
33	31, 32	sylan 592	. . . 4 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑦 / 2) ·ℎ 𝑥)) = ((𝑦 / 2) ·ℎ (𝑇‘𝑥)))
34	33	fveq2d 6920	. . 3 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘((𝑦 / 2) ·ℎ 𝑥))) = (normℎ‘((𝑦 / 2) ·ℎ (𝑇‘𝑥))))
35		norm-iii 31799	. . . 4 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → (normℎ‘((𝑦 / 2) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((abs‘(𝑦 / 2)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
36	31, 25, 35	syl2an 608	. . 3 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘((𝑦 / 2) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((abs‘(𝑦 / 2)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
37		rpre 13169	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
38		rpge0 13174	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (𝑦 / 2))
39	37, 38	absidd 15634	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → (abs‘(𝑦 / 2)) = (𝑦 / 2))
40	39	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑦 / 2)) = (𝑦 / 2))
41	40	oveq1d 7466	. . 3 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((abs‘(𝑦 / 2)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) = ((𝑦 / 2) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
42	34, 36, 41	3eqtrrd 2803	. 2 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑦 / 2) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) = (normℎ‘(𝑇‘((𝑦 / 2) ·ℎ 𝑥))))
43	22, 24, 27, 30, 42	nmcexi 32685	1 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {cab 2741  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   class class class wbr 5108  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  supcsup 9469  ℂcc 11237  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   · cmul 11244  ℝ^*cxr 11381   < clt 11382   ≤ cle 11383   / cdiv 12013  2c2 12437  ℝ⁺crp 13160  abscabs 15444   ℋchba 31578   ·_ℎ csm 31580  norm_ℎcno 31582  0_ℎc0v 31583   −_ℎ cmv 31584  norm_opcnop 31604  ContOpccop 31605  LinOpclo 31606

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-hilex 31658  ax-hfvadd 31659  ax-hvass 31661  ax-hv0cl 31662  ax-hvaddid 31663  ax-hfvmul 31664  ax-hvmulid 31665  ax-hvmulass 31666  ax-hvdistr2 31668  ax-hvmul0 31669  ax-hfi 31738  ax-his1 31741  ax-his3 31743  ax-his4 31744

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-hnorm 31627  df-hvsub 31630  df-nmop 32498  df-cnop 32499  df-lnop 32500

This theorem is used by:  nmcoplbi  32687  nmcopex  32688  cnlnadjlem2  32727  cnlnadjlem7  32732  cnlnadjlem8  32733