Theorem nmcopexi 32102

Description: The norm of a continuous linear Hilbert space operator exists. Theorem 3.5(i) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 5-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmcopex.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp
nmcopex.2	⊢ 𝑇 ∈ ContOp

Assertion

Ref	Expression
nmcopexi	⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ

Proof of Theorem nmcopexi

Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmcopex.2	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ ContOp
2		ax-hv0cl 31078	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
3		1rp 12909	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4		cnopc 31988	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ ContOp ∧ 0ℎ ∈ ℋ ∧ 1 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 → (normℎ‘((𝑇‘𝑧) −ℎ (𝑇‘0ℎ))) < 1))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1463	. . 3 ⊢ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 → (normℎ‘((𝑇‘𝑧) −ℎ (𝑇‘0ℎ))) < 1)
6		hvsub0 31151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑧 −ℎ 0ℎ) = 𝑧)
7	6	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) = (normℎ‘𝑧))
8	7	breq1d 5108	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 ↔ (normℎ‘𝑧) < 𝑦))
9		nmcopex.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
10	9	lnop0i 32045	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇‘0ℎ) = 0ℎ
11	10	oveq2i 7369	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇‘𝑧) −ℎ (𝑇‘0ℎ)) = ((𝑇‘𝑧) −ℎ 0ℎ)
12	9	lnopfi 32044	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
13	12	ffvelcdmi 7028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑧) ∈ ℋ)
14		hvsub0 31151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇‘𝑧) ∈ ℋ → ((𝑇‘𝑧) −ℎ 0ℎ) = (𝑇‘𝑧))
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑇‘𝑧) −ℎ 0ℎ) = (𝑇‘𝑧))
16	11, 15	eqtrid 2783	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑇‘𝑧) −ℎ (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘𝑧))
17	16	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (normℎ‘((𝑇‘𝑧) −ℎ (𝑇‘0ℎ))) = (normℎ‘(𝑇‘𝑧)))
18	17	breq1d 5108	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((normℎ‘((𝑇‘𝑧) −ℎ (𝑇‘0ℎ))) < 1 ↔ (normℎ‘(𝑇‘𝑧)) < 1))
19	8, 18	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 → (normℎ‘((𝑇‘𝑧) −ℎ (𝑇‘0ℎ))) < 1) ↔ ((normℎ‘𝑧) < 𝑦 → (normℎ‘(𝑇‘𝑧)) < 1)))
20	19	ralbiia 3080	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 → (normℎ‘((𝑇‘𝑧) −ℎ (𝑇‘0ℎ))) < 1) ↔ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑧) < 𝑦 → (normℎ‘(𝑇‘𝑧)) < 1))
21	20	rexbii 3083	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 → (normℎ‘((𝑇‘𝑧) −ℎ (𝑇‘0ℎ))) < 1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑧) < 𝑦 → (normℎ‘(𝑇‘𝑧)) < 1))
22	5, 21	mpbi 230	. 2 ⊢ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑧) < 𝑦 → (normℎ‘(𝑇‘𝑧)) < 1)
23		nmopval 31931	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (normop‘𝑇) = sup({𝑚 ∣ ∃𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 ∧ 𝑚 = (normℎ‘(𝑇‘𝑥)))}, ℝ*, < ))
24	12, 23	ax-mp 5	. 2 ⊢ (normop‘𝑇) = sup({𝑚 ∣ ∃𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 ∧ 𝑚 = (normℎ‘(𝑇‘𝑥)))}, ℝ*, < )
25	12	ffvelcdmi 7028	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
26		normcl 31200	. . 3 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
27	25, 26	syl 17	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
28	10	fveq2i 6837	. . 3 ⊢ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) = (normℎ‘0ℎ)
29		norm0 31203	. . 3 ⊢ (normℎ‘0ℎ) = 0
30	28, 29	eqtri 2759	. 2 ⊢ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) = 0
31		rpcn 12916	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
32	9	lnopmuli 32047	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑦 / 2) ·ℎ 𝑥)) = ((𝑦 / 2) ·ℎ (𝑇‘𝑥)))
33	31, 32	sylan 580	. . . 4 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑦 / 2) ·ℎ 𝑥)) = ((𝑦 / 2) ·ℎ (𝑇‘𝑥)))
34	33	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘((𝑦 / 2) ·ℎ 𝑥))) = (normℎ‘((𝑦 / 2) ·ℎ (𝑇‘𝑥))))
35		norm-iii 31215	. . . 4 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → (normℎ‘((𝑦 / 2) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((abs‘(𝑦 / 2)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
36	31, 25, 35	syl2an 596	. . 3 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘((𝑦 / 2) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((abs‘(𝑦 / 2)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
37		rpre 12914	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
38		rpge0 12919	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (𝑦 / 2))
39	37, 38	absidd 15346	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → (abs‘(𝑦 / 2)) = (𝑦 / 2))
40	39	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑦 / 2)) = (𝑦 / 2))
41	40	oveq1d 7373	. . 3 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((abs‘(𝑦 / 2)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) = ((𝑦 / 2) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
42	34, 36, 41	3eqtrrd 2776	. 2 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑦 / 2) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) = (normℎ‘(𝑇‘((𝑦 / 2) ·ℎ 𝑥))))
43	22, 24, 27, 30, 42	nmcexi 32101	1 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {cab 2714  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   class class class wbr 5098  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  supcsup 9343  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   · cmul 11031  ℝ^*cxr 11165   < clt 11166   ≤ cle 11167   / cdiv 11794  2c2 12200  ℝ⁺crp 12905  abscabs 15157   ℋchba 30994   ·_ℎ csm 30996  norm_ℎcno 30998  0_ℎc0v 30999   −_ℎ cmv 31000  norm_opcnop 31020  ContOpccop 31021  LinOpclo 31022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-hilex 31074  ax-hfvadd 31075  ax-hvass 31077  ax-hv0cl 31078  ax-hvaddid 31079  ax-hfvmul 31080  ax-hvmulid 31081  ax-hvmulass 31082  ax-hvdistr2 31084  ax-hvmul0 31085  ax-hfi 31154  ax-his1 31157  ax-his3 31159  ax-his4 31160

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-hnorm 31043  df-hvsub 31046  df-nmop 31914  df-cnop 31915  df-lnop 31916

This theorem is referenced by:  nmcoplbi  32103  nmcopex  32104  cnlnadjlem2  32143  cnlnadjlem7  32148  cnlnadjlem8  32149