HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmcopexi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmcopexi 31713
Description: The norm of a continuous linear Hilbert space operator exists. Theorem 3.5(i) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 5-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmcopex.1 𝑇 ∈ LinOp
nmcopex.2 𝑇 ∈ ContOp
Assertion
Ref Expression
nmcopexi (normop𝑇) ∈ ℝ

Proof of Theorem nmcopexi
Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmcopex.2 . . . 4 𝑇 ∈ ContOp
2 ax-hv0cl 30689 . . . 4 0 ∈ ℋ
3 1rp 12985 . . . 4 1 ∈ ℝ+
4 cnopc 31599 . . . 4 ((𝑇 ∈ ContOp ∧ 0 ∈ ℋ ∧ 1 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℋ ((norm‘(𝑧 0)) < 𝑦 → (norm‘((𝑇𝑧) − (𝑇‘0))) < 1))
51, 2, 3, 4mp3an 1460 . . 3 𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℋ ((norm‘(𝑧 0)) < 𝑦 → (norm‘((𝑇𝑧) − (𝑇‘0))) < 1)
6 hvsub0 30762 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℋ → (𝑧 0) = 𝑧)
76fveq2d 6895 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℋ → (norm‘(𝑧 0)) = (norm𝑧))
87breq1d 5158 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℋ → ((norm‘(𝑧 0)) < 𝑦 ↔ (norm𝑧) < 𝑦))
9 nmcopex.1 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ∈ LinOp
109lnop0i 31656 . . . . . . . . . 10 (𝑇‘0) = 0
1110oveq2i 7423 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝑧) − (𝑇‘0)) = ((𝑇𝑧) − 0)
129lnopfi 31655 . . . . . . . . . . 11 𝑇: ℋ⟶ ℋ
1312ffvelcdmi 7085 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℋ → (𝑇𝑧) ∈ ℋ)
14 hvsub0 30762 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝑧) ∈ ℋ → ((𝑇𝑧) − 0) = (𝑇𝑧))
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑇𝑧) − 0) = (𝑇𝑧))
1611, 15eqtrid 2783 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑇𝑧) − (𝑇‘0)) = (𝑇𝑧))
1716fveq2d 6895 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℋ → (norm‘((𝑇𝑧) − (𝑇‘0))) = (norm‘(𝑇𝑧)))
1817breq1d 5158 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℋ → ((norm‘((𝑇𝑧) − (𝑇‘0))) < 1 ↔ (norm‘(𝑇𝑧)) < 1))
198, 18imbi12d 344 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℋ → (((norm‘(𝑧 0)) < 𝑦 → (norm‘((𝑇𝑧) − (𝑇‘0))) < 1) ↔ ((norm𝑧) < 𝑦 → (norm‘(𝑇𝑧)) < 1)))
2019ralbiia 3090 . . . 4 (∀𝑧 ∈ ℋ ((norm‘(𝑧 0)) < 𝑦 → (norm‘((𝑇𝑧) − (𝑇‘0))) < 1) ↔ ∀𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) < 𝑦 → (norm‘(𝑇𝑧)) < 1))
2120rexbii 3093 . . 3 (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℋ ((norm‘(𝑧 0)) < 𝑦 → (norm‘((𝑇𝑧) − (𝑇‘0))) < 1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) < 𝑦 → (norm‘(𝑇𝑧)) < 1))
225, 21mpbi 229 . 2 𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) < 𝑦 → (norm‘(𝑇𝑧)) < 1)
23 nmopval 31542 . . 3 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (normop𝑇) = sup({𝑚 ∣ ∃𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 ∧ 𝑚 = (norm‘(𝑇𝑥)))}, ℝ*, < ))
2412, 23ax-mp 5 . 2 (normop𝑇) = sup({𝑚 ∣ ∃𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 ∧ 𝑚 = (norm‘(𝑇𝑥)))}, ℝ*, < )
2512ffvelcdmi 7085 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
26 normcl 30811 . . 3 ((𝑇𝑥) ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
2725, 26syl 17 . 2 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
2810fveq2i 6894 . . 3 (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘0)
29 norm0 30814 . . 3 (norm‘0) = 0
3028, 29eqtri 2759 . 2 (norm‘(𝑇‘0)) = 0
31 rpcn 12991 . . . . 5 ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
329lnopmuli 31658 . . . . 5 (((𝑦 / 2) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑦 / 2) · 𝑥)) = ((𝑦 / 2) · (𝑇𝑥)))
3331, 32sylan 579 . . . 4 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑦 / 2) · 𝑥)) = ((𝑦 / 2) · (𝑇𝑥)))
3433fveq2d 6895 . . 3 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑇‘((𝑦 / 2) · 𝑥))) = (norm‘((𝑦 / 2) · (𝑇𝑥))))
35 norm-iii 30826 . . . 4 (((𝑦 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ) → (norm‘((𝑦 / 2) · (𝑇𝑥))) = ((abs‘(𝑦 / 2)) · (norm‘(𝑇𝑥))))
3631, 25, 35syl2an 595 . . 3 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘((𝑦 / 2) · (𝑇𝑥))) = ((abs‘(𝑦 / 2)) · (norm‘(𝑇𝑥))))
37 rpre 12989 . . . . . 6 ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
38 rpge0 12994 . . . . . 6 ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (𝑦 / 2))
3937, 38absidd 15376 . . . . 5 ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → (abs‘(𝑦 / 2)) = (𝑦 / 2))
4039adantr 480 . . . 4 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑦 / 2)) = (𝑦 / 2))
4140oveq1d 7427 . . 3 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℋ) → ((abs‘(𝑦 / 2)) · (norm‘(𝑇𝑥))) = ((𝑦 / 2) · (norm‘(𝑇𝑥))))
4234, 36, 413eqtrrd 2776 . 2 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑦 / 2) · (norm‘(𝑇𝑥))) = (norm‘(𝑇‘((𝑦 / 2) · 𝑥))))
4322, 24, 27, 30, 42nmcexi 31712 1 (normop𝑇) ∈ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  {cab 2708  wral 3060  wrex 3069   class class class wbr 5148  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7412  supcsup 9441  cc 11114  cr 11115  0cc0 11116  1c1 11117   · cmul 11121  *cxr 11254   < clt 11255  cle 11256   / cdiv 11878  2c2 12274  +crp 12981  abscabs 15188  chba 30605   · csm 30607  normcno 30609  0c0v 30610   cmv 30611  normopcnop 30631  ContOpccop 30632  LinOpclo 30633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-hilex 30685  ax-hfvadd 30686  ax-hvass 30688  ax-hv0cl 30689  ax-hvaddid 30690  ax-hfvmul 30691  ax-hvmulid 30692  ax-hvmulass 30693  ax-hvdistr2 30695  ax-hvmul0 30696  ax-hfi 30765  ax-his1 30768  ax-his3 30770  ax-his4 30771
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-hnorm 30654  df-hvsub 30657  df-nmop 31525  df-cnop 31526  df-lnop 31527
This theorem is referenced by:  nmcoplbi  31714  nmcopex  31715  cnlnadjlem2  31754  cnlnadjlem7  31759  cnlnadjlem8  31760
  Copyright terms: Public domain W3C validator