Theorem nmcopexi 32508

Description: The norm of a continuous linear Hilbert space operator exists. Theorem 3.5(i) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 5-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmcopex.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp
nmcopex.2	⊢ 𝑇 ∈ ContOp

Assertion

Ref	Expression
nmcopexi	⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ

Proof of Theorem nmcopexi

Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmcopex.2	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ ContOp
2		ax-hv0cl 31484	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
3		1rp 13046	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4		cnopc 32394	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ ContOp ∧ 0ℎ ∈ ℋ ∧ 1 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 → (normℎ‘((𝑇‘𝑧) −ℎ (𝑇‘0ℎ))) < 1))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1490	. . 3 ⊢ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 → (normℎ‘((𝑇‘𝑧) −ℎ (𝑇‘0ℎ))) < 1)
6		hvsub0 31557	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑧 −ℎ 0ℎ) = 𝑧)
7	6	fveq2d 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) = (normℎ‘𝑧))
8	7	breq1d 5113	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 ↔ (normℎ‘𝑧) < 𝑦))
9		nmcopex.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
10	9	lnop0i 32451	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇‘0ℎ) = 0ℎ
11	10	oveq2i 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇‘𝑧) −ℎ (𝑇‘0ℎ)) = ((𝑇‘𝑧) −ℎ 0ℎ)
12	9	lnopfi 32450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
13	12	ffvelcdmi 7076	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑧) ∈ ℋ)
14		hvsub0 31557	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇‘𝑧) ∈ ℋ → ((𝑇‘𝑧) −ℎ 0ℎ) = (𝑇‘𝑧))
15	13, 14	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑇‘𝑧) −ℎ 0ℎ) = (𝑇‘𝑧))
16	11, 15	eqtrid 2807	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑇‘𝑧) −ℎ (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘𝑧))
17	16	fveq2d 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (normℎ‘((𝑇‘𝑧) −ℎ (𝑇‘0ℎ))) = (normℎ‘(𝑇‘𝑧)))
18	17	breq1d 5113	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((normℎ‘((𝑇‘𝑧) −ℎ (𝑇‘0ℎ))) < 1 ↔ (normℎ‘(𝑇‘𝑧)) < 1))
19	8, 18	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 → (normℎ‘((𝑇‘𝑧) −ℎ (𝑇‘0ℎ))) < 1) ↔ ((normℎ‘𝑧) < 𝑦 → (normℎ‘(𝑇‘𝑧)) < 1)))
20	19	ralbiia 3106	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 → (normℎ‘((𝑇‘𝑧) −ℎ (𝑇‘0ℎ))) < 1) ↔ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑧) < 𝑦 → (normℎ‘(𝑇‘𝑧)) < 1))
21	20	rexbii 3109	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 → (normℎ‘((𝑇‘𝑧) −ℎ (𝑇‘0ℎ))) < 1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑧) < 𝑦 → (normℎ‘(𝑇‘𝑧)) < 1))
22	5, 21	mpbi 233	. 2 ⊢ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑧) < 𝑦 → (normℎ‘(𝑇‘𝑧)) < 1)
23		nmopval 32337	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (normop‘𝑇) = sup({𝑚 ∣ ∃𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 ∧ 𝑚 = (normℎ‘(𝑇‘𝑥)))}, ℝ*, < ))
24	12, 23	ax-mp 5	. 2 ⊢ (normop‘𝑇) = sup({𝑚 ∣ ∃𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 ∧ 𝑚 = (normℎ‘(𝑇‘𝑥)))}, ℝ*, < )
25	12	ffvelcdmi 7076	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
26		normcl 31606	. . 3 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
27	25, 26	syl 18	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
28	10	fveq2i 6881	. . 3 ⊢ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) = (normℎ‘0ℎ)
29		norm0 31609	. . 3 ⊢ (normℎ‘0ℎ) = 0
30	28, 29	eqtri 2783	. 2 ⊢ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) = 0
31		rpcn 13053	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
32	9	lnopmuli 32453	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑦 / 2) ·ℎ 𝑥)) = ((𝑦 / 2) ·ℎ (𝑇‘𝑥)))
33	31, 32	sylan 592	. . . 4 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑦 / 2) ·ℎ 𝑥)) = ((𝑦 / 2) ·ℎ (𝑇‘𝑥)))
34	33	fveq2d 6882	. . 3 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘((𝑦 / 2) ·ℎ 𝑥))) = (normℎ‘((𝑦 / 2) ·ℎ (𝑇‘𝑥))))
35		norm-iii 31621	. . . 4 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → (normℎ‘((𝑦 / 2) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((abs‘(𝑦 / 2)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
36	31, 25, 35	syl2an 608	. . 3 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘((𝑦 / 2) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((abs‘(𝑦 / 2)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
37		rpre 13051	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
38		rpge0 13056	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (𝑦 / 2))
39	37, 38	absidd 15510	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → (abs‘(𝑦 / 2)) = (𝑦 / 2))
40	39	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑦 / 2)) = (𝑦 / 2))
41	40	oveq1d 7428	. . 3 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((abs‘(𝑦 / 2)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) = ((𝑦 / 2) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
42	34, 36, 41	3eqtrrd 2800	. 2 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑦 / 2) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) = (normℎ‘(𝑇‘((𝑦 / 2) ·ℎ 𝑥))))
43	22, 24, 27, 30, 42	nmcexi 32507	1 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2738  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   class class class wbr 5103  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  supcsup 9410  ℂcc 11122  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   · cmul 11129  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267   ≤ cle 11268   / cdiv 11895  2c2 12319  ℝ⁺crp 13042  abscabs 15321   ℋchba 31400   ·_ℎ csm 31402  norm_ℎcno 31404  0_ℎc0v 31405   −_ℎ cmv 31406  norm_opcnop 31426  ContOpccop 31427  LinOpclo 31428

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-hilex 31480  ax-hfvadd 31481  ax-hvass 31483  ax-hv0cl 31484  ax-hvaddid 31485  ax-hfvmul 31486  ax-hvmulid 31487  ax-hvmulass 31488  ax-hvdistr2 31490  ax-hvmul0 31491  ax-hfi 31560  ax-his1 31563  ax-his3 31565  ax-his4 31566

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-seq 14066  df-exp 14126  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-hnorm 31449  df-hvsub 31452  df-nmop 32320  df-cnop 32321  df-lnop 32322

This theorem is used by:  nmcoplbi  32509  nmcopex  32510  cnlnadjlem2  32549  cnlnadjlem7  32554  cnlnadjlem8  32555