HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmcopexi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmcopexi 29458
Description: The norm of a continuous linear Hilbert space operator exists. Theorem 3.5(i) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 5-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmcopex.1 𝑇 ∈ LinOp
nmcopex.2 𝑇 ∈ ContOp
Assertion
Ref Expression
nmcopexi (normop𝑇) ∈ ℝ

Proof of Theorem nmcopexi
Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmcopex.2 . . . 4 𝑇 ∈ ContOp
2 ax-hv0cl 28432 . . . 4 0 ∈ ℋ
3 1rp 12141 . . . 4 1 ∈ ℝ+
4 cnopc 29344 . . . 4 ((𝑇 ∈ ContOp ∧ 0 ∈ ℋ ∧ 1 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℋ ((norm‘(𝑧 0)) < 𝑦 → (norm‘((𝑇𝑧) − (𝑇‘0))) < 1))
51, 2, 3, 4mp3an 1534 . . 3 𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℋ ((norm‘(𝑧 0)) < 𝑦 → (norm‘((𝑇𝑧) − (𝑇‘0))) < 1)
6 hvsub0 28505 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℋ → (𝑧 0) = 𝑧)
76fveq2d 6450 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℋ → (norm‘(𝑧 0)) = (norm𝑧))
87breq1d 4896 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℋ → ((norm‘(𝑧 0)) < 𝑦 ↔ (norm𝑧) < 𝑦))
9 nmcopex.1 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ∈ LinOp
109lnop0i 29401 . . . . . . . . . 10 (𝑇‘0) = 0
1110oveq2i 6933 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝑧) − (𝑇‘0)) = ((𝑇𝑧) − 0)
129lnopfi 29400 . . . . . . . . . . 11 𝑇: ℋ⟶ ℋ
1312ffvelrni 6622 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℋ → (𝑇𝑧) ∈ ℋ)
14 hvsub0 28505 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝑧) ∈ ℋ → ((𝑇𝑧) − 0) = (𝑇𝑧))
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑇𝑧) − 0) = (𝑇𝑧))
1611, 15syl5eq 2825 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑇𝑧) − (𝑇‘0)) = (𝑇𝑧))
1716fveq2d 6450 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℋ → (norm‘((𝑇𝑧) − (𝑇‘0))) = (norm‘(𝑇𝑧)))
1817breq1d 4896 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℋ → ((norm‘((𝑇𝑧) − (𝑇‘0))) < 1 ↔ (norm‘(𝑇𝑧)) < 1))
198, 18imbi12d 336 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℋ → (((norm‘(𝑧 0)) < 𝑦 → (norm‘((𝑇𝑧) − (𝑇‘0))) < 1) ↔ ((norm𝑧) < 𝑦 → (norm‘(𝑇𝑧)) < 1)))
2019ralbiia 3160 . . . 4 (∀𝑧 ∈ ℋ ((norm‘(𝑧 0)) < 𝑦 → (norm‘((𝑇𝑧) − (𝑇‘0))) < 1) ↔ ∀𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) < 𝑦 → (norm‘(𝑇𝑧)) < 1))
2120rexbii 3223 . . 3 (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℋ ((norm‘(𝑧 0)) < 𝑦 → (norm‘((𝑇𝑧) − (𝑇‘0))) < 1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) < 𝑦 → (norm‘(𝑇𝑧)) < 1))
225, 21mpbi 222 . 2 𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) < 𝑦 → (norm‘(𝑇𝑧)) < 1)
23 nmopval 29287 . . 3 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (normop𝑇) = sup({𝑚 ∣ ∃𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 ∧ 𝑚 = (norm‘(𝑇𝑥)))}, ℝ*, < ))
2412, 23ax-mp 5 . 2 (normop𝑇) = sup({𝑚 ∣ ∃𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 ∧ 𝑚 = (norm‘(𝑇𝑥)))}, ℝ*, < )
2512ffvelrni 6622 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
26 normcl 28554 . . 3 ((𝑇𝑥) ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
2725, 26syl 17 . 2 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
2810fveq2i 6449 . . 3 (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘0)
29 norm0 28557 . . 3 (norm‘0) = 0
3028, 29eqtri 2801 . 2 (norm‘(𝑇‘0)) = 0
31 rpcn 12149 . . . . 5 ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
329lnopmuli 29403 . . . . 5 (((𝑦 / 2) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑦 / 2) · 𝑥)) = ((𝑦 / 2) · (𝑇𝑥)))
3331, 32sylan 575 . . . 4 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑦 / 2) · 𝑥)) = ((𝑦 / 2) · (𝑇𝑥)))
3433fveq2d 6450 . . 3 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑇‘((𝑦 / 2) · 𝑥))) = (norm‘((𝑦 / 2) · (𝑇𝑥))))
35 norm-iii 28569 . . . 4 (((𝑦 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ) → (norm‘((𝑦 / 2) · (𝑇𝑥))) = ((abs‘(𝑦 / 2)) · (norm‘(𝑇𝑥))))
3631, 25, 35syl2an 589 . . 3 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘((𝑦 / 2) · (𝑇𝑥))) = ((abs‘(𝑦 / 2)) · (norm‘(𝑇𝑥))))
37 rpre 12145 . . . . . 6 ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
38 rpge0 12152 . . . . . 6 ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (𝑦 / 2))
3937, 38absidd 14569 . . . . 5 ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → (abs‘(𝑦 / 2)) = (𝑦 / 2))
4039adantr 474 . . . 4 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑦 / 2)) = (𝑦 / 2))
4140oveq1d 6937 . . 3 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℋ) → ((abs‘(𝑦 / 2)) · (norm‘(𝑇𝑥))) = ((𝑦 / 2) · (norm‘(𝑇𝑥))))
4234, 36, 413eqtrrd 2818 . 2 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑦 / 2) · (norm‘(𝑇𝑥))) = (norm‘(𝑇‘((𝑦 / 2) · 𝑥))))
4322, 24, 27, 30, 42nmcexi 29457 1 (normop𝑇) ∈ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2106  {cab 2762  wral 3089  wrex 3090   class class class wbr 4886  wf 6131  cfv 6135  (class class class)co 6922  supcsup 8634  cc 10270  cr 10271  0cc0 10272  1c1 10273   · cmul 10277  *cxr 10410   < clt 10411  cle 10412   / cdiv 11032  2c2 11430  +crp 12137  abscabs 14381  chba 28348   · csm 28350  normcno 28352  0c0v 28353   cmv 28354  normopcnop 28374  ContOpccop 28375  LinOpclo 28376
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-hilex 28428  ax-hfvadd 28429  ax-hvass 28431  ax-hv0cl 28432  ax-hvaddid 28433  ax-hfvmul 28434  ax-hvmulid 28435  ax-hvmulass 28436  ax-hvdistr2 28438  ax-hvmul0 28439  ax-hfi 28508  ax-his1 28511  ax-his3 28513  ax-his4 28514
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-sup 8636  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-hnorm 28397  df-hvsub 28400  df-nmop 29270  df-cnop 29271  df-lnop 29272
This theorem is referenced by:  nmcoplbi  29459  nmcopex  29460  cnlnadjlem2  29499  cnlnadjlem7  29504  cnlnadjlem8  29505
  Copyright terms: Public domain W3C validator