HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmcopexi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmcopexi 31018
Description: The norm of a continuous linear Hilbert space operator exists. Theorem 3.5(i) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 5-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmcopex.1 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
nmcopex.2 ๐‘‡ โˆˆ ContOp
Assertion
Ref Expression
nmcopexi (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„

Proof of Theorem nmcopexi
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘š ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmcopex.2 . . . 4 ๐‘‡ โˆˆ ContOp
2 ax-hv0cl 29994 . . . 4 0โ„Ž โˆˆ โ„‹
3 1rp 12927 . . . 4 1 โˆˆ โ„+
4 cnopc 30904 . . . 4 ((๐‘‡ โˆˆ ContOp โˆง 0โ„Ž โˆˆ โ„‹ โˆง 1 โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜(๐‘ง โˆ’โ„Ž 0โ„Ž)) < ๐‘ฆ โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž))) < 1))
51, 2, 3, 4mp3an 1462 . . 3 โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜(๐‘ง โˆ’โ„Ž 0โ„Ž)) < ๐‘ฆ โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž))) < 1)
6 hvsub0 30067 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘ง โˆ’โ„Ž 0โ„Ž) = ๐‘ง)
76fveq2d 6850 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘ง โˆ’โ„Ž 0โ„Ž)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ง))
87breq1d 5119 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘ง โˆ’โ„Ž 0โ„Ž)) < ๐‘ฆ โ†” (normโ„Žโ€˜๐‘ง) < ๐‘ฆ))
9 nmcopex.1 . . . . . . . . . . 11 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
109lnop0i 30961 . . . . . . . . . 10 (๐‘‡โ€˜0โ„Ž) = 0โ„Ž
1110oveq2i 7372 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆ’โ„Ž 0โ„Ž)
129lnopfi 30960 . . . . . . . . . . 11 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
1312ffvelcdmi 7038 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
14 hvsub0 30067 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆ’โ„Ž 0โ„Ž) = (๐‘‡โ€˜๐‘ง))
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆ’โ„Ž 0โ„Ž) = (๐‘‡โ€˜๐‘ง))
1611, 15eqtrid 2785 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) = (๐‘‡โ€˜๐‘ง))
1716fveq2d 6850 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))
1817breq1d 5119 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž))) < 1 โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)) < 1))
198, 18imbi12d 345 . . . . 5 (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ (((normโ„Žโ€˜(๐‘ง โˆ’โ„Ž 0โ„Ž)) < ๐‘ฆ โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž))) < 1) โ†” ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) < ๐‘ฆ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)) < 1)))
2019ralbiia 3091 . . . 4 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜(๐‘ง โˆ’โ„Ž 0โ„Ž)) < ๐‘ฆ โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž))) < 1) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) < ๐‘ฆ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)) < 1))
2120rexbii 3094 . . 3 (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜(๐‘ง โˆ’โ„Ž 0โ„Ž)) < ๐‘ฆ โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž))) < 1) โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) < ๐‘ฆ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)) < 1))
225, 21mpbi 229 . 2 โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) < ๐‘ฆ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)) < 1)
23 nmopval 30847 . . 3 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) = sup({๐‘š โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘š = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))}, โ„*, < ))
2412, 23ax-mp 5 . 2 (normopโ€˜๐‘‡) = sup({๐‘š โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘š = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))}, โ„*, < )
2512ffvelcdmi 7038 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
26 normcl 30116 . . 3 ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
2725, 26syl 17 . 2 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
2810fveq2i 6849 . . 3 (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) = (normโ„Žโ€˜0โ„Ž)
29 norm0 30119 . . 3 (normโ„Žโ€˜0โ„Ž) = 0
3028, 29eqtri 2761 . 2 (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) = 0
31 rpcn 12933 . . . . 5 ((๐‘ฆ / 2) โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘ฆ / 2) โˆˆ โ„‚)
329lnopmuli 30963 . . . . 5 (((๐‘ฆ / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) = ((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
3331, 32sylan 581 . . . 4 (((๐‘ฆ / 2) โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) = ((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
3433fveq2d 6850 . . 3 (((๐‘ฆ / 2) โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
35 norm-iii 30131 . . . 4 (((๐‘ฆ / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = ((absโ€˜(๐‘ฆ / 2)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
3631, 25, 35syl2an 597 . . 3 (((๐‘ฆ / 2) โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = ((absโ€˜(๐‘ฆ / 2)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
37 rpre 12931 . . . . . 6 ((๐‘ฆ / 2) โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘ฆ / 2) โˆˆ โ„)
38 rpge0 12936 . . . . . 6 ((๐‘ฆ / 2) โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ฆ / 2))
3937, 38absidd 15316 . . . . 5 ((๐‘ฆ / 2) โˆˆ โ„+ โ†’ (absโ€˜(๐‘ฆ / 2)) = (๐‘ฆ / 2))
4039adantr 482 . . . 4 (((๐‘ฆ / 2) โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฆ / 2)) = (๐‘ฆ / 2))
4140oveq1d 7376 . . 3 (((๐‘ฆ / 2) โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ฆ / 2)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = ((๐‘ฆ / 2) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
4234, 36, 413eqtrrd 2778 . 2 (((๐‘ฆ / 2) โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฆ / 2) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ))))
4322, 24, 27, 30, 42nmcexi 31017 1 (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {cab 2710  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070   class class class wbr 5109  โŸถwf 6496  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  supcsup 9384  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   ยท cmul 11064  โ„*cxr 11196   < clt 11197   โ‰ค cle 11198   / cdiv 11820  2c2 12216  โ„+crp 12923  abscabs 15128   โ„‹chba 29910   ยทโ„Ž csm 29912  normโ„Žcno 29914  0โ„Žc0v 29915   โˆ’โ„Ž cmv 29916  normopcnop 29936  ContOpccop 29937  LinOpclo 29938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-hilex 29990  ax-hfvadd 29991  ax-hvass 29993  ax-hv0cl 29994  ax-hvaddid 29995  ax-hfvmul 29996  ax-hvmulid 29997  ax-hvmulass 29998  ax-hvdistr2 30000  ax-hvmul0 30001  ax-hfi 30070  ax-his1 30073  ax-his3 30075  ax-his4 30076
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-hnorm 29959  df-hvsub 29962  df-nmop 30830  df-cnop 30831  df-lnop 30832
This theorem is referenced by:  nmcoplbi  31019  nmcopex  31020  cnlnadjlem2  31059  cnlnadjlem7  31064  cnlnadjlem8  31065
  Copyright terms: Public domain W3C validator