HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmcopexi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmcopexi 31857
Description: The norm of a continuous linear Hilbert space operator exists. Theorem 3.5(i) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 5-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmcopex.1 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
nmcopex.2 ๐‘‡ โˆˆ ContOp
Assertion
Ref Expression
nmcopexi (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„

Proof of Theorem nmcopexi
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘š ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmcopex.2 . . . 4 ๐‘‡ โˆˆ ContOp
2 ax-hv0cl 30833 . . . 4 0โ„Ž โˆˆ โ„‹
3 1rp 13018 . . . 4 1 โˆˆ โ„+
4 cnopc 31743 . . . 4 ((๐‘‡ โˆˆ ContOp โˆง 0โ„Ž โˆˆ โ„‹ โˆง 1 โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜(๐‘ง โˆ’โ„Ž 0โ„Ž)) < ๐‘ฆ โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž))) < 1))
51, 2, 3, 4mp3an 1457 . . 3 โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜(๐‘ง โˆ’โ„Ž 0โ„Ž)) < ๐‘ฆ โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž))) < 1)
6 hvsub0 30906 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘ง โˆ’โ„Ž 0โ„Ž) = ๐‘ง)
76fveq2d 6906 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘ง โˆ’โ„Ž 0โ„Ž)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ง))
87breq1d 5162 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘ง โˆ’โ„Ž 0โ„Ž)) < ๐‘ฆ โ†” (normโ„Žโ€˜๐‘ง) < ๐‘ฆ))
9 nmcopex.1 . . . . . . . . . . 11 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
109lnop0i 31800 . . . . . . . . . 10 (๐‘‡โ€˜0โ„Ž) = 0โ„Ž
1110oveq2i 7437 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆ’โ„Ž 0โ„Ž)
129lnopfi 31799 . . . . . . . . . . 11 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
1312ffvelcdmi 7098 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
14 hvsub0 30906 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆ’โ„Ž 0โ„Ž) = (๐‘‡โ€˜๐‘ง))
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆ’โ„Ž 0โ„Ž) = (๐‘‡โ€˜๐‘ง))
1611, 15eqtrid 2780 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) = (๐‘‡โ€˜๐‘ง))
1716fveq2d 6906 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))
1817breq1d 5162 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž))) < 1 โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)) < 1))
198, 18imbi12d 343 . . . . 5 (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ (((normโ„Žโ€˜(๐‘ง โˆ’โ„Ž 0โ„Ž)) < ๐‘ฆ โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž))) < 1) โ†” ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) < ๐‘ฆ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)) < 1)))
2019ralbiia 3088 . . . 4 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜(๐‘ง โˆ’โ„Ž 0โ„Ž)) < ๐‘ฆ โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž))) < 1) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) < ๐‘ฆ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)) < 1))
2120rexbii 3091 . . 3 (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜(๐‘ง โˆ’โ„Ž 0โ„Ž)) < ๐‘ฆ โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž))) < 1) โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) < ๐‘ฆ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)) < 1))
225, 21mpbi 229 . 2 โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) < ๐‘ฆ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)) < 1)
23 nmopval 31686 . . 3 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) = sup({๐‘š โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘š = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))}, โ„*, < ))
2412, 23ax-mp 5 . 2 (normopโ€˜๐‘‡) = sup({๐‘š โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘š = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))}, โ„*, < )
2512ffvelcdmi 7098 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
26 normcl 30955 . . 3 ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
2725, 26syl 17 . 2 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
2810fveq2i 6905 . . 3 (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) = (normโ„Žโ€˜0โ„Ž)
29 norm0 30958 . . 3 (normโ„Žโ€˜0โ„Ž) = 0
3028, 29eqtri 2756 . 2 (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) = 0
31 rpcn 13024 . . . . 5 ((๐‘ฆ / 2) โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘ฆ / 2) โˆˆ โ„‚)
329lnopmuli 31802 . . . . 5 (((๐‘ฆ / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) = ((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
3331, 32sylan 578 . . . 4 (((๐‘ฆ / 2) โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) = ((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
3433fveq2d 6906 . . 3 (((๐‘ฆ / 2) โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
35 norm-iii 30970 . . . 4 (((๐‘ฆ / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = ((absโ€˜(๐‘ฆ / 2)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
3631, 25, 35syl2an 594 . . 3 (((๐‘ฆ / 2) โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = ((absโ€˜(๐‘ฆ / 2)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
37 rpre 13022 . . . . . 6 ((๐‘ฆ / 2) โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘ฆ / 2) โˆˆ โ„)
38 rpge0 13027 . . . . . 6 ((๐‘ฆ / 2) โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ฆ / 2))
3937, 38absidd 15409 . . . . 5 ((๐‘ฆ / 2) โˆˆ โ„+ โ†’ (absโ€˜(๐‘ฆ / 2)) = (๐‘ฆ / 2))
4039adantr 479 . . . 4 (((๐‘ฆ / 2) โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฆ / 2)) = (๐‘ฆ / 2))
4140oveq1d 7441 . . 3 (((๐‘ฆ / 2) โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ฆ / 2)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = ((๐‘ฆ / 2) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
4234, 36, 413eqtrrd 2773 . 2 (((๐‘ฆ / 2) โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฆ / 2) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ))))
4322, 24, 27, 30, 42nmcexi 31856 1 (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {cab 2705  โˆ€wral 3058  โˆƒwrex 3067   class class class wbr 5152  โŸถwf 6549  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  supcsup 9471  โ„‚cc 11144  โ„cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   ยท cmul 11151  โ„*cxr 11285   < clt 11286   โ‰ค cle 11287   / cdiv 11909  2c2 12305  โ„+crp 13014  abscabs 15221   โ„‹chba 30749   ยทโ„Ž csm 30751  normโ„Žcno 30753  0โ„Žc0v 30754   โˆ’โ„Ž cmv 30755  normopcnop 30775  ContOpccop 30776  LinOpclo 30777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-hilex 30829  ax-hfvadd 30830  ax-hvass 30832  ax-hv0cl 30833  ax-hvaddid 30834  ax-hfvmul 30835  ax-hvmulid 30836  ax-hvmulass 30837  ax-hvdistr2 30839  ax-hvmul0 30840  ax-hfi 30909  ax-his1 30912  ax-his3 30914  ax-his4 30915
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-hnorm 30798  df-hvsub 30801  df-nmop 31669  df-cnop 31670  df-lnop 31671
This theorem is referenced by:  nmcoplbi  31858  nmcopex  31859  cnlnadjlem2  31898  cnlnadjlem7  31903  cnlnadjlem8  31904
  Copyright terms: Public domain W3C validator